2024-2025學(xué)年廣東省深圳市高二上冊第一次月考數(shù)學(xué)質(zhì)量監(jiān)測試題（含解析）

2024-2025學(xué)年廣東省深圳市高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)質(zhì)量監(jiān)測試題注意事項：1.答題前，務(wù)必將自己的班級、姓名、考生號填寫在答題卡規(guī)定的位置上。2.答題時，必須使用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。3.所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無效。4.考試結(jié)束后，將答題卡交回。一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，選擇一個符合題目要求的選項涂在答題卷相應(yīng)的位置.）1．已知是空間的一個基底，那么下列選項中不可作為基底的是（

）A． B．C． D．2．向量，若，則（

）A． B．C． D．3．如圖所示，在四面體A－BCD中，點E是CD的中點，記，，，則等于（

）A． B． C． D．4．已知正方體的棱長為1，且，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則點P的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．5．我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將底面為矩形且一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為陽馬．如圖，四棱錐為陽馬，平面，且，，則（

）A． B．3C．2D．56．函數(shù)，的最小值為（

）A． B． C． D．7．已知平面的一個法向量，是平面內(nèi)一點，是平面外一點，則點到平面的距離是（

）A． B． C． D．38．設(shè)直線的方程為，則直線的傾斜角的取值范圍是（

）A．B．C． D．二、多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分）9．（多選）下面關(guān)于空間直角坐標(biāo)系的敘述正確的是（

）A．點與點關(guān)于z軸對稱B．點與點關(guān)于y軸對稱C．點與點關(guān)于平面對稱D．空間直角坐標(biāo)系中的三條坐標(biāo)軸組成的平面把空間分為八個部分10．如圖，已知圓臺的上底面半徑為1，下底面半徑為2，母線長為2，，分別為上、下底面的直徑，，為圓臺的母線，為弧的中點，則（

）

A．圓臺的側(cè)面積為 B．直線與下底面所成的角的大小為C．圓臺的體積為 D．異面直線和所成的角的大小為11．已知，則（

）A．，使得B．若，則C．若，則D．若，，則的最大值為三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12．過不重合的兩點的直線的傾斜角為，則的取值為．13．在中，內(nèi)角的對邊分別為，若，則.14．已知兩點，，過點的直線與線段有公共點，則直線的斜率的取值范圍是.四、解答題（本大題共5小題，共77分）15．(13分)（1）求經(jīng)過點和點的直線的方程；（2）求經(jīng)過點且傾斜角為的直線方程.16．(15分)已知直線的方程為．（Ⅰ）直線與垂直，且過點（1，-3），求直線的方程；（Ⅱ）直線與平行，且直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為4，求直線的方程．

17．(15分)如圖，在四棱錐中，底面ABCD為矩形，平面PAD，E是AD的中點，為等腰直角三角形，，．(1)求證：；(2)求PC與平面PBE所成角的正弦值．18．(17分)如圖，直棱柱的高為4，底面為平行四邊形，，，分別為線段、的中點．(1)求證：平面；(2)求二面角的余弦值．19．(17分)如圖，在直三棱柱中，，，D為的中點，G為的中點，E為的中點，，點P為線段上的動點（不包括線段的端點）．（1）若平面CFG，請確定點P的位置；（2）求直線CP與平面CFG所成角的正弦值的最大值．2024-2025學(xué)年廣東省深圳市高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)質(zhì)量監(jiān)測試題一、單選題1．已知是空間的一個基底，那么下列選項中不可作為基底的是（

）A． B．C． D．2．向量，若，則（

）A． B．C． D．3．如圖所示，在四面體A－BCD中，點E是CD的中點，記，，，則等于（

）A． B． C． D．4．已知正方體的棱長為1，且，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則點P的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．5．我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將底面為矩形且一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為陽馬．如圖，四棱錐為陽馬，平面，且，，則（

）A． B．3 C．2 D．56．函數(shù)，的最小值為（

）A． B． C． D．7．已知平面的一個法向量，是平面內(nèi)一點，是平面外一點，則點到平面的距離是（

）A． B． C． D．38．設(shè)直線的方程為，則直線的傾斜角的取值范圍是（

）A． B．C． D．二、多選題9．（多選）下面關(guān)于空間直角坐標(biāo)系的敘述正確的是（

）A．點與點關(guān)于z軸對稱B．點與點關(guān)于y軸對稱C．點與點關(guān)于平面對稱D．空間直角坐標(biāo)系中的三條坐標(biāo)軸組成的平面把空間分為八個部分10．如圖，已知圓臺的上底面半徑為1，下底面半徑為2，母線長為2，，分別為上、下底面的直徑，，為圓臺的母線，為弧的中點，則（

）

A．圓臺的側(cè)面積為 B．直線與下底面所成的角的大小為C．圓臺的體積為 D．異面直線和所成的角的大小為11．已知，則（

）A．，使得B．若，則C．若，則D．若，，則的最大值為三、填空題12．過不重合的兩點的直線的傾斜角為，則的取值為．13．在中，內(nèi)角的對邊分別為，若，則.14．已知兩點，，過點的直線與線段有公共點，則直線的斜率的取值范圍是.四、解答題15．（1）求經(jīng)過點和點的直線的方程；（2）求經(jīng)過點且傾斜角為的直線方程.16．已知直線的方程為．（Ⅰ）直線與垂直，且過點（1，-3），求直線的方程；（Ⅱ）直線與平行，且直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為4，求直線的方程．17．如圖，在四棱錐中，底面ABCD為矩形，平面PAD，E是AD的中點，為等腰直角三角形，，．(1)求證：；(2)求PC與平面PBE所成角的正弦值．18．如圖，直棱柱的高為4，底面為平行四邊形，，，分別為線段、的中點．(1)求證：平面；(2)求二面角的余弦值．19．如圖，在直三棱柱中，，，D為的中點，G為的中點，E為的中點，，點P為線段上的動點（不包括線段的端點）．（1）若平面CFG，請確定點P的位置；（2）求直線CP與平面CFG所成角的正弦值的最大值．答案：題號12345678910答案BCADBDCCBDABD題號11答案BD1．B【分析】根據(jù)共面向量的判斷方法，對每個選項進(jìn)行逐一分析，即可判斷.【詳解】對A：設(shè)，即，因為不共面，故不存在實數(shù)滿足，則不共面，可以作為基底；對B：因為存在實數(shù)，使得，故共面，不可作為基底；對C：設(shè)，即，因為不共面,故不存在實數(shù)滿足，則不共面，可以作為基底；對D：設(shè)，即，因為不共面，故不存在實數(shù)滿足，則不共面，可以作為基底.故選：B.2．C【分析】利用空間向量平行列出關(guān)于的方程組，解之即可求得的值.【詳解】因為，所以，由題意可得，所以，則．故選：C.3．A【分析】利用空間向量的線性運算，用基底表示向量.【詳解】連接AE，如圖所示，∵E是CD的中點，，，∴＝＝．在△ABE中，，又，∴.故選：A.4．D【分析】利用向量的線性運算及向量的坐標(biāo)表示即可求解.【詳解】記x，y，z軸正方向上的單位向量分別為，，，則，，，因為，所以點P的坐標(biāo)為．故選：D.5．B【分析】根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系計算求解即可.【詳解】因為平面，平面，所以，又因為四邊形是矩形，所以，以A為坐標(biāo)原點，，，的方向分別為x，y，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，則，所以，，所以．故選：B6．D【分析】由的圖像，即可得出時的最小值．【詳解】由的圖像可知，時，，所以，故選：D．7．C【分析】根據(jù)空間向量點到面的距離公式直接進(jìn)行求解即可.【詳解】因為，，則，點在平面內(nèi)，點平面外，平面的一個法向量，所以點到平面的距離.故選：C.8．C【分析】求出直線的斜率的取值范圍，結(jié)合傾斜角的取值范圍可得結(jié)果.【詳解】直線的方程可化為，所以，，因為，因此，直線的傾斜角的取值范圍是.故選：C.9．BD【分析】結(jié)合空間直角坐標(biāo)系的概念對選項逐一分析即可.【詳解】點與點關(guān)于x軸對稱，故錯誤；點與關(guān)于y軸對稱，故正確；點與不關(guān)于平面對稱，故錯誤；空間直角坐標(biāo)系中的三條坐標(biāo)軸組成的平面把空間分為八個部分，故正確．故選.10．ABD【分析】由圓臺的側(cè)面積公式以及體積公式即可判斷AC，由線面角的定義即可判斷B，由異面直線所成角的定義即可判斷D.【詳解】由題意可得上底面半徑為，下底面圓半徑為，母線，則圓臺的側(cè)面積為，故A正確；做圓臺的軸截面如圖所示，做，

則直線與下底面所成的角為，且，則，且，則，所以，故B正確；因為上底面圓的面積，圓臺的高，則圓臺的體積為，故C錯誤；

取中點，連接，由為弧的中點，可得，過點，作，連接，則，且，且，則四邊形為平行四邊形，所以，則異面直線和所成的角即為與所成角，即為，又，，所以，在中，，，則為等腰直角三角形，則，故D正確；故選：ABD.11．BD【分析】根據(jù)方程無解，可判定A錯誤；根據(jù)題意求得，結(jié)合兩角差的正弦公式，可判定B正確；結(jié)合兩角和的正弦公式，求得，利用余弦的倍角公式，可判定C錯誤；化簡，結(jié)合基本不等式，可判定D正確.【詳解】對于A中，若，可得因為，可得，解得，又因為時，，所以方程無解，所以A錯誤；對于B中，因為，可得，所以，又因為，所以，則，所以B正確；對于C中，由，則，所以C錯誤；對于D中，因為，可得，且，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，等號成立，所以的最大值為，所以D正確.故選：BD.12．【分析】由題意得，可求出的取值.【詳解】由題意知，所以，即，化簡得，解得或當(dāng)時，重合，不符合題意舍去，當(dāng)時，，符合題意，所以，故13．/60°【分析】先根據(jù)正弦定理化簡題干條件可得，進(jìn)而結(jié)合余弦定理即可求解.【詳解】對于，由正弦定理得，即，由余弦定理得，又，所以.故答案為.14．【分析】根據(jù)兩點間的斜率公式，利用數(shù)形結(jié)合即可求出直線斜率的取值范圍．【詳解】解：點，，過點的直線與線段有公共點，直線的斜率或，的斜率為，的斜率為，直線的斜率或，即，故．15．（1）；（2）.【分析】（1）（2）求出所求直線的斜率，利用點斜式可得出所求直線的方程.【詳解】解：（1）直線的斜率為，因此，直線的方程為，即；（2）由題意可知，所求直線的斜率為，故所求直線方程為，即.16．（1）（2）直線的方程為：或【詳解】試題分析：（1）由直線與垂直，可設(shè)直線的方程為：，將點代入方程解得，從而可得直線的方程；(2)由直線與平行，可設(shè)直線的方程，由直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，解得可得直線的方程.試題解析：（1）設(shè)直線的方程為：

直線過點（1，-3），

解得

直線的方程為：．(2)設(shè)直線的方程為：

令x=0，得；令，得

則，得

直線的方程為：或．17．(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)平面得到，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，利用線面垂直的判定定理得到平面，最后利用線面垂直的性質(zhì)即可得到；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的方法求角即可.【詳解】（1）證明：∵平面，平面PAD，∴，又∵是等腰直角三角形，是斜邊AD的中點，∴，又∵平面，平面，，∴平面∵平面ABCD，∴；（2）解：如圖，以為原點，EP，EA所在的直線為軸，軸，在平面ABCD內(nèi)，通過點作AD的垂線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，，，則，，設(shè)平面PBE的法向量為，，取，則，故為平面PBE的一個法向量，設(shè)PC與平面PBE所成的角為，則，∴與平面PBE所成角的正弦值為．18．(1)證明見解析(2)【分析】（1）取的中點，連接，，，利用線面垂直的判定定理求解即可；（2）利用空間直角坐標(biāo)系求解即可.【詳解】（1）取的中點，連接，，，因為為平行四邊形，，，所以三角形為正三角形，所以，所以為菱形，所以三角形為正三角形，所以,因為四棱柱為直棱柱，所以平面，因為平面，所以，又，，所以平面．又，，所以為平行四邊形，所以，平面．（2）因為，，所以，所以，，兩兩垂直，所以以為原點，分別以，，為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，設(shè)平面的法向量為，，，由方程組解得，設(shè)平面的法向量為，，，由方程組解得，所以，，，，因為二面角為鈍角，故所求二面角的余弦值為．19．（1）為的中點；（2）．【分析】（1）連接，先證平面，若平面，平面與平交，必有，再由，可知為的中點；（2）以C為坐標(biāo)原點，