重慶市2024-2025學(xué)年高二上期第一次月考數(shù)學(xué)學(xué)情檢測試題（附解析）

重慶市2024-2025學(xué)年高二上期第一次月考數(shù)學(xué)學(xué)情檢測試題注意事項：1.答題前，務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡規(guī)定的位置.2.答選擇題時，必須使用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其它答案標號.3.答非選擇題時，必須使用0.5毫米黑色簽字筆，將答案書寫在答題卡規(guī)定的位置上.4.所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無效.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.直線的傾斜角為A. B. C. D.【正確答案】A【分析】首先將直線化為斜截式求出直線的斜率，然后再利用傾斜角與斜率的關(guān)系即可求解.【詳解】由直線，則，設(shè)直線的傾斜角為，所以，所以.故選：A本題考查了直線的斜截式方程、直線的傾斜角與斜率的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.2.已知，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)題意得，進而根據(jù)投影向量的概念求解即可.【詳解】因為，所以，所以，所以在上的投影向量為故選：B3.“”是“直線與直線垂直”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】A【分析】根據(jù)直線垂直的性質(zhì)，結(jié)合充分性、必要性的定義進行判斷即可.【詳解】由，得，所以或，所以是的充分不必要條件．故選：A4.如圖所示，在平行六面體中，，，，點是的中點，點是上的點，且，則向量可表示為（）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)空間向量加法和減法的運算法則，以及向量的數(shù)乘運算即可求解.【詳解】解：因為在平行六面體中，，，，點是的中點，點是上的點，且，所以，故選：D.5.已知在平面直角坐標系Oxy中，，.點P滿足，設(shè)點P所構(gòu)成的曲線為C，下列結(jié)論正確的是（）A.曲線C的方程為B.曲線C上存在點D，使得D到點的距離為10C.曲線C上存在點M，使得D.曲線C上的點到直線的最大距離為9【正確答案】D【分析】根據(jù)兩點坐標以及由兩點間距離公式即可整理得點P所構(gòu)成的曲線為C的方程為，即可判斷A；利用點到圓上點距離的最大值，即可知在C上不存在點D，即可判斷B；設(shè)，利用兩點間距離公式得到方程和聯(lián)立，無解，即可判斷C；求出C的圓心到直線的距離，可得曲線C上的點到直線的最大距離為9，即可判斷D.【詳解】對于A，由題意可設(shè)點Px,y由A?2,0，B4,0，，得，化簡得，即，故A錯誤；對于B，點到圓上的點的最大距離，故不存在點D符合題意，故B錯誤；對于C，設(shè)，由，得，又，聯(lián)立方程消去得，得無解，故C錯誤；對于D，C的圓心到直線的距離為，且曲線C的半徑為4，則C上的點到直線的最大距離，故D正確.故選：D.6.如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，若E，F(xiàn)分別是上底棱的中點，則點A到平面B1D1EF的距離為（）A.1 B.2 C.3 D.4【正確答案】A【分析】建立如圖所示的空間直角坐標系，求出平面B1D1EF的法向量后可求點到平面的距離.【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標系，則，故，，設(shè)平面的法向量為，則，取，則，故，故到平面的距離為，故選：A.7.廣為人知的太極圖，其形狀如陰陽兩魚互糾在一起，因而被習(xí)稱為“陰陽魚太極圖”如圖是放在平面直角坐標系中的“太極圖”整個圖形是一個圓形區(qū)域．其中黑色陰影區(qū)域在y軸左側(cè)部分的邊界為一個半圓．已知符號函數(shù)，則當時，下列不等式能表示圖中陰影部分的是（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)圓、符號函數(shù)的知識對選項逐一分析，從而確定正確選項.【詳解】對于A選項，當時，，即表示圓內(nèi)部及邊界，顯然不滿足，故A錯誤；對于C選項，當時，，即表示圓外部及邊界，滿足；當時，，即表示圓的內(nèi)部及邊界，滿足，故C正確；對于B選項，當時，，即表示圓內(nèi)部及邊界，顯然不滿足，故B錯誤；對于D選項，當時，，即表示圓外部及邊界，顯然不滿足，故D錯誤.故選：C8.在平面直角坐標系中，已知，為圓上兩動點，點，且，則的最大值為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】令為中點，根據(jù)直角三角形性質(zhì)，圓中弦長、弦心距、半徑的幾何關(guān)系求得軌跡為圓，求定點到所得圓上點距離的最大值，結(jié)合即可求結(jié)果.【詳解】由，要使最大只需到中點距離最大，又且，令，則，整理得，所以軌跡是以為圓心，為半徑的圓，又，即在圓內(nèi)，故，而，故.故選：D關(guān)鍵點點睛：利用圓、直角三角形的性質(zhì)求中點的軌跡，再求定點到圓上點距離最值即可.二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知圓C：，直線l.則以下幾個命題正確的有（）A.直線恒過定點B.圓被軸截得的弦長為C.直線與圓恒相交D.直線被圓截得最短弦長時，直線的方程為【正確答案】ABC【分析】根據(jù)直線方程求出定點坐標即可判斷選項A；求出圓和軸的交點坐標，即可判斷選項B；利用定點和圓的位置關(guān)系即可判斷選項C；當弦長最短時，直線與過圓心的直線垂直，從而判斷選項D.【詳解】選項A中，直線方程整理得，由，解得，∴直線過定點，A正確；選項B中，在圓方程中令，得，，∴軸上的弦長為，B正確；選項C中，，∴在圓內(nèi)，直線與圓一定相交，C正確；選項D中，直線被圓截得弦最短時，直線且，∴，則直線方程為，即，D錯誤.故選：ABC.10.下列四個命題是真命題的是（）A.經(jīng)過點且在軸和軸上截距都相等的直線方程為B.已知，，點為軸上一動點，則的最大值是C.已知，，，過A作直線與線段相交，則直線斜率的取值范圍為D.經(jīng)過兩條直線：和：的交點，且與直線平行的直線方程為【正確答案】BCD【分析】舉反例排除A；利用點關(guān)于直線對稱的知識，結(jié)合三角形兩邊之和大于第三邊判斷B；作出圖形，數(shù)形結(jié)合判斷C；先聯(lián)立兩直線方程求得交點，再利用直線平行求直線方程判斷D，從而得解.【詳解】對于A：當直線經(jīng)過原點時，所求直線為，故A錯誤；對于B：由已知點關(guān)于軸的對稱點為，又，直線方程為，令得，所以直線與軸交點為，則，當且僅當是與軸交點時等號成立，故B正確；對于C：因為，，，所以，，則過點作直線與線段相交時，則直線斜率的取值范圍為，故C正確；對于D：由，得，即與的交點為，設(shè)與直線平行的直線方程為，則，所以，則所求直線方程為，故D正確.故選：BCD.11.如圖，在棱長為2的正方體中，E，F(xiàn)分別為棱，的中點，G是棱上的一個動點，M為側(cè)面上的動點，則下列說法正確的是（）A.點G到平面的距離為定值B.若，則的最小值為2C.若，且，則點G到直線的距離為D.直線與平面所成角的正弦值的取值范圍為【正確答案】ACD【分析】利用平行線的傳遞性與平行線共面判斷A，利用線面垂直的判定定理判斷B，利用空間向量推得四點共面，結(jié)合面面平行的性質(zhì)定理判斷C，建立空間直角坐標系，利用空間向量法求得線面角的取值范圍判斷D，從而得解.【詳解】對于A，在正方體中，E，F(xiàn)分別為棱，的中點，所以，又平面，平面，所以平面，又點G是棱上的一個動點，所以點G到平面的距離為定值，故A正確；對于B，連接，面，是在平面上的射影，要使，則，所以點M的軌跡是平面上以F為圓心，1為半徑的半圓，所以的最小值為，故B錯誤；對于C，連接，，，，因為，且，所以A，E，，G四點共面，因為在正方體中，平面平面，又平面平面，平面平面，所以，在正方體中，，，所以四邊形是平行四邊形，則，則，因為E為棱的中點，所以G為棱的中點，故以為原點，建立空間直角坐標系，如圖，則，，，，所以，，，，故點G到直線距離，故C正確；對于D，以原點，建立空間直角坐標系，如圖，設(shè)（），則，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，故，設(shè)直線與平面所成角為（），則，因為，所以，則，所以，所以直線與平面所成角的正弦值的取值范圍為，故D正確.故選：ACD.方法點睛：（1）向量法求點面距離：求出平面的法向量，則點到平面的距離公式為.（2）向量法求線面所成角的正弦值：求出平面的法向量，則.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.12.已知圓：，圓：，若圓與圓內(nèi)切，則實數(shù)a的值是______.【正確答案】或2【分析】先由圓的標準方程得到兩圓的圓心與半徑，再利用兩圓內(nèi)切得到關(guān)于的方程，解之即可得解.【詳解】由題可知圓心，半徑，圓心，半徑，因為圓與圓內(nèi)切，所以，解得或.故或2.13.已知直線：，：，當時，直線與之間距離是_________．【正確答案】【分析】根據(jù)可得，再根據(jù)平行直線間的距離公式求解即可.【詳解】因為，所以，解得或.當時，與重合，不符合題意；當，直線：,：,即，滿足，故直線與之間的距離是.故答案為:.14.現(xiàn)有四棱錐（如圖），底面ABCD是矩形，平面ABCD.，，點E，F(xiàn)分別在棱AB，BC上.當空間四邊形PEFD的周長最小時，異面直線PE與DF所成角的余弦值為___________.【正確答案】##【分析】根據(jù)兩點間線段最短，結(jié)合平行線的性質(zhì)、異面直線所成角的定義、空間向量夾角公式進行求解即可.【詳解】將沿旋轉(zhuǎn)到平面內(nèi)，如下圖所示，設(shè)點關(guān)于對稱的點為，線段與的交點為，此時空間四邊形PEFD的周長最小，因為，所以，同理可得：，因為底面ABCD是矩形，所以，又因為平面ABCD，平面ABCD，所以，所以可以建立如下圖所示的空間直角坐標系，，，異面直線PE與DF所成角的余弦值為：，故關(guān)鍵點睛：利用兩點間線段最短是解題的關(guān)鍵.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知圓C的圓心為，直線與圓C相切.（1）求圓C的方程；（2）若直線過點，被圓C所截得的弦長為2，求直線的方程.【正確答案】（1）；（2）或.【分析】（1）由題意，根據(jù)點到直線距離公式，求出半徑，進而可得圓的方程；（2）先考慮斜率不存在的情況，由題中條件，直接得直線方程；再考慮斜率存在的情況，設(shè)的方程為，根據(jù)圓的弦長的幾何表示，得到圓心到直線的距離，再根據(jù)點到直線距離公式列出方程求解，即可得出斜率，求出對應(yīng)直線方程.【詳解】（1）因為直線與圓C相切，所以圓心到直線的距離等于半徑，即圓心到直線的距離為∴圓C方程為：；（2）當斜率不存在時，的方程為，易知此時被圓C截得的弦長為2，符合題意，所以；當斜率存在時，設(shè)的方程為，則.又直線被圓C所截得的弦長為2，所以，則，所以，解得，所以直線的方程為.綜上：方程為或.16.如圖，在四棱錐中，底面為菱形，分別為的中點．（1）證明：平面．（2）若平面，，且，求直線與平面所成角的正弦值．【正確答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）取中點G，連接，根據(jù)線面平行的判定定理只需證明,要想證明，也就是要證明四邊形為平行四邊形，即證且.（2）由已知可得兩兩垂直，以D為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系，然后利用空間向量求解即可．【小問1詳解】取的中點G，連接，分別為的中點，，又底面ABCD為菱形，，，四邊形為平行四邊形，，又平面，平面，平面．【小問2詳解】連接，平面，平面，，四邊形為菱形，，為等邊三角形，F(xiàn)為的中點，，，，兩兩垂直，以D為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系，由可知，則，設(shè)平面的法向量，則，令，得，，所以，設(shè)直線與平面所成的角為，則，直線與平面所成角的正弦值為．17.過點作直線分別交軸、軸正半軸于A，B兩點.（1）當面積最小時，求直線的方程；（2）當取到最小值時，求直線的方程.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）設(shè)直線的方程為（），則，，即可，展開后利用基本不等式，當面積最小時，求得值，即可得到直線的方程；（2）由，展開后利用基本不等式，當取到最小值時，求得值，即可得到直線的方程.【小問1詳解】過點的直線與軸、軸正半軸相交，所以直線的斜率設(shè)直線的方程為（），則，，，當且僅當（）即時取“”成立，則直線的方程為.【小問2詳解】由（1），，當且僅當（）即時，取“”成立，則直線的方程為.18.如圖1，在邊長為4的菱形ABCD中，∠DAB=60°，點，別是邊BC，CD的中點，，．沿MN將翻折到的位置，連接PA、PB、PD，得到如圖2所示的五棱錐P—ABMND．（1）在翻折過程中是否總有平面PBD⊥平面PAG？證明你的結(jié)論；（2）當四棱錐P—MNDB體積最大時，在線段PA上是否存在一點Q，使得平面QMN與平面PMN夾角的余弦值為？若存在，試確定點Q的位置；若不存在，請說明理由．【正確答案】（1）在翻折過程中總有平面PBD⊥平面PAG，證明見解析（2）符合題意的點存在且為線段的中點．【分析】（1）證明出平面，進而證明面面垂直；（2）易得當平面時，四棱錐體積最大，再建立空間直角坐標系，設(shè)（），利用空間向量和二面角的大小，列出方程，確定點的位置【小問1詳解】在翻折過程中總有平面平面，證明如下：∵點，分別是邊，的中點，又，∴，且是等邊三角形，∵是的中點，∴，∵菱形的對角線互相垂直，∴，∴，∵，平面，平面，∴平面，∴平面，∵平面，∴平面平面．【小問2詳解】由題意知，四邊形為等腰梯形，且，，，所以等腰梯形的面積，要使得四棱錐體積最大，只要點到平面的距離最大即可，∴當平面時，點到平面的距離的最大值為.假設(shè)符合題意