初中數(shù)學(xué)自主招生難度講義-8年級(jí)專(zhuān)題12 心中有數(shù)

專(zhuān)題12心中有數(shù)閱讀與思考現(xiàn)代社會(huì)是一個(gè)數(shù)字化的社會(huì)，我們每個(gè)人每天都要和各種各樣的數(shù)字打交道，從國(guó)民生產(chǎn)總值、人均消費(fèi)水平、人口自然增長(zhǎng)率、股市綜合指數(shù)，到家庭的水、電、煤氣的月平均數(shù)，學(xué)生的身高、體重、考試成績(jī)，都與數(shù)字有關(guān).“用數(shù)據(jù)說(shuō)話(huà)”已成為從事許多工作的基本要求，能用數(shù)據(jù)說(shuō)話(huà)的人必須具備一定的統(tǒng)計(jì)知識(shí).對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行收集、整理、計(jì)算、分析，并在此基礎(chǔ)上作出科學(xué)的推斷，這就是數(shù)據(jù)分析，是統(tǒng)計(jì)學(xué)研究的基本范疇和方法，收集數(shù)據(jù)、量化處理的目的在于運(yùn)用統(tǒng)計(jì)結(jié)果進(jìn)行判斷和決策.統(tǒng)計(jì)學(xué)的基本思想就是用樣本對(duì)總體進(jìn)行估計(jì)、推理，即用樣本的平均水平、波動(dòng)情況、分布規(guī)律等特征估計(jì)總體的平均水平、波動(dòng)情況和分布規(guī)律，是從局部看整體的思想方法.例題與求解【例l】在對(duì)某班的一次數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析中，各分?jǐn)?shù)段的人數(shù)如圖所示（分?jǐn)?shù)取正整數(shù)，滿(mǎn)分100分）.請(qǐng)觀察圖形，并回答下列問(wèn)題：（1）該班有________名學(xué)生.（2）69.5~79.5這一組的頻數(shù)是_________，頻率是_________.（3）請(qǐng)估算該班這次測(cè)驗(yàn)的平均成績(jī).（黃岡市中考試題）解題思路：從頻率直方圖中捕捉相關(guān)信息.【例2】某學(xué)生通過(guò)先求與的平均值，再求得數(shù)與的平均值來(lái)計(jì)算，，三個(gè)數(shù)的平均數(shù).當(dāng)時(shí)，這個(gè)學(xué)生的最后得數(shù)是（）A.正確的B.總小于AC.總大于AD.有時(shí)小于A，有時(shí)等于AE.有時(shí)大于A，有時(shí)等于A（第二屆美國(guó)中學(xué)生邀請(qǐng)賽試題）解題思路：按不同方法計(jì)算平均值，作差比較它們的大小.【例3】某校九年級(jí)學(xué)生共有900人，為了解這個(gè)年級(jí)學(xué)生的體能，從中隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行1min的跳繩測(cè)試，并指定甲、乙、丙、丁四名同學(xué)對(duì)這次測(cè)試結(jié)果的數(shù)據(jù)作出整理，下圖是這四名同學(xué)提供的部分信息：甲：將全體測(cè)試數(shù)據(jù)分成6組繪成直方圖（如圖）；乙：跳繩次數(shù)不少于105次的同學(xué)占96%；丙：第①、②兩組頻率之和為0.12，且第②組與第⑥組頻數(shù)都是12；?。旱冖凇ⅱ?、④組的頻數(shù)之比為4：17：15．根據(jù)這四名同學(xué)提供的材料，請(qǐng)解答如下問(wèn)題：（1）這次跳繩測(cè)試共抽取多少名學(xué)生？各組有多少人？（2）如果跳繩次數(shù)不少于135次為優(yōu)秀，根據(jù)這次抽查的結(jié)果，估計(jì)全年級(jí)達(dá)到跳繩優(yōu)秀的人數(shù)為多少.（3）以每組的組中值（每組的中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)）作為這組跳繩次數(shù)的代表，估計(jì)這批學(xué)生1min跳繩次數(shù)的平均值．（安徽省中考試題）解題思路：本題考查了頻率、頻數(shù)的概念和對(duì)頻數(shù)直方圖的認(rèn)識(shí)，要理解各組頻率之和為1，各組頻數(shù)之和等于總數(shù)，掌握好這些知識(shí)點(diǎn)，自然可以解決問(wèn)題.【例4】編號(hào)為1到25的25個(gè)彈珠被分放在兩個(gè)籃子A和B中，15號(hào)彈珠在籃子A中，把這個(gè)彈珠從籃子A移至籃子B中，這時(shí)籃子A中的彈珠號(hào)碼數(shù)的平均數(shù)等于原平均數(shù)加，籃子B中彈珠號(hào)碼數(shù)的平均數(shù)也等于原平均數(shù)加．問(wèn)原來(lái)在籃子A中有多少個(gè)彈珠？（第十六屆江蘇競(jìng)賽試題）解題思路：用字母分別表示籃子A，B中的彈珠數(shù)及相應(yīng)的平均數(shù)，運(yùn)用方程（組）來(lái)求解.【例5】某次數(shù)學(xué)競(jìng)賽共有15道題，下表是對(duì)于做對(duì)n（n=0，1，2，…，15）道題的人數(shù)的一個(gè)統(tǒng)計(jì)，如果又知其中做對(duì)4道題和4道以上的學(xué)生每人平均做對(duì)6道題，做對(duì)10道題和10道題以下的學(xué)生每人平均做對(duì)4道題，問(wèn)這個(gè)表至少統(tǒng)計(jì)了多少人？問(wèn)這個(gè)表至少統(tǒng)計(jì)了多少人？n0123…12131415做對(duì)

n道題的人數(shù)781021…15631（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）解題思路：從統(tǒng)計(jì)表中可知做對(duì)0~3道題、12~15道題的相應(yīng)總?cè)藬?shù)和總題數(shù)，結(jié)合已知條件，運(yùn)用方程（組）、不等式（組）等知識(shí)方法求解.【例6】一次中考模擬考試中，兩班學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)統(tǒng)計(jì)如下：分?jǐn)?shù)5060708090100人數(shù)三（3）251013146三（4）441621212請(qǐng)你根據(jù)學(xué)過(guò)的統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)，判斷這兩個(gè)班在這次模擬考試中的數(shù)學(xué)成績(jī)誰(shuí)優(yōu)誰(shuí)次？并說(shuō)明理由.解題思路：這是一道開(kāi)放性試題，看考慮問(wèn)題是從哪一個(gè)側(cè)面入手.本題因未說(shuō)明從何種角度來(lái)考慮，故我們應(yīng)多想幾套方案.能力訓(xùn)練A級(jí)1.大連是一個(gè)嚴(yán)重缺水的城市，為鼓勵(lì)市民珍惜每一滴水，某居委會(huì)表彰了100個(gè)節(jié)約用水模范戶(hù)，5月份這100戶(hù)節(jié)約用水的情況如下表：每戶(hù)節(jié)水量（單位：噸）11.21.5節(jié)水戶(hù)數(shù)523018那么，5月份這100戶(hù)平均節(jié)約用水的噸數(shù)為（精確到0.01噸）_________噸.（大連市中考試題）2.某班全體學(xué)生進(jìn)行了一次籃球投籃練習(xí)，每人投球10個(gè)，每投進(jìn)一球得1分．得分的部分情況如下表所示：得分012…8910人數(shù)754…341已知該班學(xué)生中，至少得3分的人的平均得分為6分，得分不到8分的人的平均得分為3分，那么該班學(xué)生有___________人．（江蘇競(jìng)賽試題）3.甲、乙兩名學(xué)生在相同的條件下各射靶10次，命中的環(huán)數(shù)如下：甲：78686591074乙：9578768677所以應(yīng)確定_______去參加射擊比賽.在綜合實(shí)踐課上，六名同學(xué)做的作品的數(shù)量（單位：件）分別是：5，7，3，，6，4，若這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是5，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是_________件.（包頭市中考試題）5.如果一組數(shù)據(jù)，，，，的平均數(shù)是，則另一組數(shù)據(jù)，，，，的平均數(shù)是（）A.B.C.D.（天津市中考試題）6.10名工人某天生產(chǎn)同一零件，生產(chǎn)的件數(shù)是45，50，75，50，20，30，50，80，20，30．設(shè)這些零件數(shù)的平均數(shù)為，眾數(shù)為，中位數(shù)為，那么（）A.B.C.D.（寧夏中考試題）為了了解某區(qū)九年級(jí)7000名學(xué)生，從中抽查了500名學(xué)生的體重.就這個(gè)問(wèn)題而言，下列說(shuō)法正確的是（）A．7000名學(xué)生是總體B．每個(gè)學(xué)生是個(gè)體C．500名學(xué)生是樣本D．樣本容量為5008.已知1~99中有49個(gè)偶數(shù)，從這49個(gè)偶數(shù)中取出48個(gè)數(shù)，其平均數(shù)為，則未取的數(shù)字是（）A．20B．28C．72D．78（臺(tái)灣省中考試題）9.甲、乙二人參加某體育項(xiàng)目訓(xùn)練，近期的五次測(cè)試成績(jī)得分情況如圖所示：（1）分別求出兩人得分的平均數(shù)與方差；（2）根據(jù)圖和上面算得的結(jié)果，對(duì)兩人的訓(xùn)練成績(jī)作出評(píng)價(jià).（安徽省中考試題）10.某校要從九年級(jí)（1）班和（2）班中各選取10名女同學(xué)組成禮儀隊(duì)，選取的女生身高如下：（單位：厘米）（1）班：168167170165168166171168167170（2）班：165167169170165168170171168167（1）補(bǔ)充完成下面的統(tǒng)計(jì)分析表班級(jí)平均數(shù)方差中位數(shù)極差（1）班1681686（2）班1683.8（2）請(qǐng)選一個(gè)合適的統(tǒng)計(jì)量作為選擇標(biāo)準(zhǔn)，說(shuō)明哪一個(gè)班能被選取.（2013寧夏回族自治區(qū)中考試題）11.為估計(jì)一次性木質(zhì)筷子的用量，2011年從某縣共600家高、中、低檔飯店中抽取10家作樣本.這些飯店每天消耗的一次性筷子盒數(shù)分別為：0.6，3.7，2.2，1.5，2.8，1.7，1.2，2.1，3.2，1.0.（1）通過(guò)對(duì)樣本的計(jì)算，估計(jì)該縣1999年消耗多少盒一次性筷子（每年按350個(gè)營(yíng)業(yè)日計(jì)算）；（2）2013年又對(duì)該縣一次性木質(zhì)筷子的用量以同樣的方式作了抽樣調(diào)查，調(diào)查的結(jié)果是10個(gè)樣本飯店每個(gè)飯店平均每天使用一次性筷子2.42盒．求該縣2012年、2013年這兩年一次性木質(zhì)筷子用量平均每年增長(zhǎng)的百分率（2012年該縣飯店數(shù)、全年?duì)I業(yè)天數(shù)均與2011年相同）；（3）在（2）的條件下，若生產(chǎn)一套中小學(xué)生桌椅需木材0.07，求該縣2013年使用一次性筷子的木材可以生產(chǎn)多少套學(xué)生桌椅?計(jì)算中需用的有關(guān)數(shù)據(jù)為：每盒筷子100雙，每雙筷子的質(zhì)量為5，所用木材的密度為0.5×103；（4）假如讓你統(tǒng)計(jì)你所在省一年使用一次性筷子所消耗的木材量，如何利用統(tǒng)計(jì)知識(shí)去做，簡(jiǎn)要地用文字表述出來(lái)．12.由9位裁判給參加健美比賽的12名運(yùn)動(dòng)員評(píng)分.每位裁判對(duì)他認(rèn)為的第1名運(yùn)動(dòng)員給1分，第2名運(yùn)動(dòng)員給2分，…，第12名運(yùn)動(dòng)員給12分，最后評(píng)分結(jié)果顯示：每個(gè)運(yùn)動(dòng)員所得的9個(gè)分?jǐn)?shù)中高、低之差都不大于3.設(shè)各運(yùn)動(dòng)員的得分總和分別為，，…，，且，求的最大值.(第十九屆江蘇省競(jìng)賽試題)B級(jí)1.為制定本市初中七、八、九年級(jí)學(xué)生校服的生產(chǎn)計(jì)劃，有關(guān)部門(mén)準(zhǔn)備對(duì)180名初中男生的身高作調(diào)查，現(xiàn)有三種調(diào)查方案：A、測(cè)量少體校中180名男子籃球、排球隊(duì)員的身高；B、查閱有關(guān)外地180名男生身高的統(tǒng)計(jì)資料；C、在本市的市區(qū)和郊縣各任選一所完全中學(xué)、兩所初級(jí)中學(xué)，在這六所學(xué)校有關(guān)年級(jí)的（1）班中，用抽簽的方法分別選出10名男生，然后測(cè)量他們的身高．問(wèn)：（1）為了達(dá)到估計(jì)本市初中這三個(gè)年級(jí)男生身高分布的目的，你認(rèn)為采用上述哪一種調(diào)查方案比較合理，為什么？答：選________；理由：______________________________________________________________（2）下表中的數(shù)據(jù)是使用了某種調(diào)查方法獲得的：初中男生身高情況抽樣調(diào)查表年級(jí)年級(jí)人數(shù)身高(cm)七年級(jí)八年級(jí)九年級(jí)總計(jì)（頻數(shù)）143~1531230153~1631896163~173243339173193003（注：每組可含最低值，不含最高值）①根據(jù)表中的數(shù)據(jù)填寫(xiě)表中的空格；②根據(jù)填寫(xiě)的數(shù)據(jù)繪制頻數(shù)分布直方圖．（上海市中考試題）2.為了檢查一批產(chǎn)品的合格率，從中檢查了100個(gè)產(chǎn)品，測(cè)得數(shù)據(jù)如下：數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)51015202015105其中，，，…，是從小到大排列的兩位數(shù)，且每個(gè)兩位數(shù)與它的反序數(shù)（12的反序數(shù)是21）之和都為完全平方數(shù)，樣本的方差是________.（遼寧錦州市競(jìng)賽試題）3.五名學(xué)生身高兩兩不同，把他們按從高到低排列，設(shè)前三名的平均身高為米，后兩名的平均身高為米，前兩名的平均身高為，后三名的平均身高為，則與比較（）A.大B.大C.兩者相等D.無(wú)法確定（“五羊杯”邀請(qǐng)賽試題）4.已知數(shù)據(jù)，，的平均數(shù)為，，，的平均數(shù)為，則數(shù)據(jù)，，的平均數(shù)為（）A.B.C.D.（全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）5.小林?jǐn)M將1，2，…，這個(gè)數(shù)輸入電腦，求平均數(shù).當(dāng)他認(rèn)為輸入完畢時(shí)，電腦顯示只輸入個(gè)數(shù)，平均數(shù)為，假設(shè)這個(gè)數(shù)輸入無(wú)誤，則漏輸入的一個(gè)數(shù)是（）A.10B.53C.56D.67（江蘇省競(jìng)賽試題）6.如圖，△ABC是一塊銳角三角形余料，邊BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成一個(gè)矩形零件，使矩形的一邊在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB、AC上．設(shè)該矩形的長(zhǎng)QM=mm，寬MN=mm．（1）求證：；（2）當(dāng)矩形PQMN的面積最大時(shí)，它的長(zhǎng)和寬是關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)根，而、的值又恰好分別是，10，12，13，這5個(gè)數(shù)據(jù)的眾數(shù)與平均數(shù)，試求與的值．（廣西壯族自治區(qū)中考試題）7.某班參加一次智力競(jìng)賽，共，，三道題，每題或者得滿(mǎn)分或者得0分．其中題滿(mǎn)分20分，、題滿(mǎn)分都為25分，競(jìng)賽結(jié)果：每個(gè)學(xué)生至少答對(duì)了一題，三題全答對(duì)的有1人，答對(duì)其中兩道題的有15人，答對(duì)題的人數(shù)與答對(duì)題的人數(shù)之和為29；答對(duì)題的人數(shù)與答對(duì)題的人數(shù)之和為25；答對(duì)題的人數(shù)與答對(duì)題的人數(shù)之和為20，問(wèn)這個(gè)班的平均成績(jī)是多少.（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）8.元旦聯(lián)歡會(huì)某班布置教室，同學(xué)們利用彩紙條粘成一環(huán)套一環(huán)的彩紙鏈，小敏測(cè)量了部分彩紙鏈的長(zhǎng)度，她得到的數(shù)據(jù)如下表：紙環(huán)數(shù)（個(gè)）1234…彩紙鏈長(zhǎng)度(cm)19365370…（1）把上表中、的各組對(duì)應(yīng)值作為點(diǎn)的坐標(biāo)，在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中描出相應(yīng)的點(diǎn)，猜想與的函數(shù)關(guān)系，并求出函數(shù)關(guān)系式；（2）教室天花板對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)10m，現(xiàn)需沿天花板對(duì)角線(xiàn)各拉一根彩紙鏈，則每根彩紙鏈至少要用多少個(gè)紙環(huán)？（濟(jì)南市中考試題）9.某射擊運(yùn)動(dòng)員在一次比賽中，前6次射擊已經(jīng)得到52環(huán)，該項(xiàng)目的記錄是89環(huán)（10次射擊，每次射擊環(huán)數(shù)只取1～10中的正整數(shù)）．（1）如果他要打破記錄，第7次射擊不能少于多少環(huán)？（2）如果他第7次射擊成績(jī)?yōu)?環(huán)，那么最后3次射擊中要有幾次命中10環(huán)才能打破記錄？（3）如果他第7次射擊成績(jī)?yōu)?0環(huán)，那么最后3次射擊中是否必須至少有一次命中10環(huán)才有可能打破記錄？（山東省中考試題）10.“中國(guó)夢(mèng)”關(guān)乎每個(gè)人的幸福生