2024-2025學年高考數(shù)學考點第五章三角函數(shù)解三角形函數(shù)y＝Asinωx＋φ的圖象及應用理

PAGEPAGE23函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象及應用1．簡諧運動的有關概念y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x≥0振幅周期頻率相位初相AT＝eq\f(2π,ω)f＝eq\f(1,T)＝eq\f(ω,2π)ωx＋φφ2.用五點法畫y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈R)一個周期內(nèi)的簡圖時，要找五個特征點xeq\f(0－φ,ω)eq\f(\f(π,2)－φ,ω)eq\f(π－φ,ω)eq\f(\f(3π,2)－φ,ω)eq\f(2π－φ,ω)ωx＋φ0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πy＝Asin(ωx＋φ)0A0－A03.函數(shù)y＝sinx的圖象經(jīng)變換得到y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的圖象的兩種途徑．概念方法微思索1．怎樣從y＝sinωx的圖象變換得到y(tǒng)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的圖象？提示向左平移eq\f(φ,ω)個單位長度．2．函數(shù)y＝sin(ωx＋φ)圖象的對稱軸是什么？對稱中心是什么？提示對稱軸是直線x＝eq\f(kπ,ω)＋eq\f(π,2ω)－eq\f(φ,ω)(k∈Z)，對稱中心是點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,ω)－\f(φ,ω)，0))(k∈Z)．1．（2024?新課標Ⅰ）設函數(shù)在，的圖象大致如圖，則的最小正周期為A． B． C． D．【答案】C【解析】由圖象可得最小正周期小于，大于，解除，；由圖象可得，即為，，若選，即有，由，可得不為整數(shù)，解除；若選，即有，由，可得，成立．故選．2．（2024?天津）已知函數(shù)，，是奇函數(shù)，將的圖象上全部點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），所得圖象對應的函數(shù)為．若的最小正周期為，且，則A． B． C． D．2【答案】C【解析】是奇函數(shù)，，則將的圖象上全部點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），所得圖象對應的函數(shù)為．即的最小正周期為，，得，則，，若，則，即，則，則，故選．3．（2024?天津）已知函數(shù)，，是奇函數(shù)，且的最小正周期為，將的圖象上全部點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），所得圖象對應的函數(shù)為．若，則A． B． C． D．2【答案】C【解析】是奇函數(shù)，，的最小正周期為，，得，則，將的圖象上全部點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），所得圖象對應的函數(shù)為．則，若，則，即，則，則，故選．4．（2024?全國）要得到，則要將A．向左平移個單位 B．向右平移個單位 C．向左平移個單位 D．向右平移個單位【答案】C【解析】要將的圖象向左平移個單位，可得的圖象，故選．5．（2024?天津）將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，所得圖象對應的函數(shù)A．在區(qū)間，上單調遞增 B．在區(qū)間，上單調遞減 C．在區(qū)間，上單調遞增 D．在區(qū)間，上單調遞減【答案】A【解析】將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得到的函數(shù)為：，增區(qū)間滿意：，，減區(qū)間滿意：，，增區(qū)間為，，，減區(qū)間為，，，將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，所得圖象對應的函數(shù)在區(qū)間，上單調遞增．故選．6．（2024?天津）將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，所得圖象對應的函數(shù)A．在區(qū)間上單調遞增 B．在區(qū)間，上單調遞減 C．在區(qū)間上單調遞增 D．在區(qū)間，上單調遞減【答案】A【解析】將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，所得圖象對應的函數(shù)解析式為．當時，，，函數(shù)單調遞增；當，時，，，函數(shù)單調遞減；當，時，，，函數(shù)單調遞增；當，時，，，函數(shù)先減后增．故選．7．（2024?海南）如圖是函數(shù)的部分圖象，則A． B． C． D．【答案】BC【解析】由圖象知函數(shù)的周期，即，即，由五點對應法得，得，則故選．1．（2024?馬鞍山三模）將函數(shù)圖象上的全部點先向左平移個單位長度，再向下平移個單位長度得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)在，上零點的個數(shù)為A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【解析】將函數(shù)圖象上的全部點先向左平移個單位長度，可得的圖象；再向下平移個單位長度得到函數(shù)的圖象．在，上，，．令，可得，故，或．由可得，，，，，即，，，．由可得，，或，即，或．故在，上零點的個數(shù)為6，這6個零點分別為，，，，，．故選．2．（2024?福州三模）已知函數(shù)圖象上相鄰兩條對稱軸的距離為，把圖象上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再把得到的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則A． B． C． D．【答案】D【解析】函數(shù)圖象上相鄰兩條對稱軸的距離為，，，．把圖象上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，可得的圖象，再把得到的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，故選．3．（2024?梅河口市校級模擬）函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后所得圖象關于直線對稱，則函數(shù)的一個遞增區(qū)間是A． B． C． D．【答案】C【解析】函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后，可得的圖象．依據(jù)所得圖象關于直線對稱，可得，，令，可得，．由，求得，故函數(shù)的增區(qū)間為，，令，可得函數(shù)的一個遞增區(qū)間為，，故選．4．（2024?和平區(qū)校級一模）將函數(shù)圖象上全部點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標不變），再將所得到的圖象向右平移個單位長度得到的圖象，若函數(shù)的最大負零點在區(qū)間上，則的取值范圍是A． B． C． D．【答案】A【解析】將函數(shù)圖象上全部點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標不變），可得的圖象；再將所得到的圖象向右平移個單位長度得到的圖象．令，求得，，，，當時，函數(shù)的最大負零點在區(qū)間上，，，故選．5．（2024?眉山模擬）已知函數(shù)，將的圖象上全部點的橫坐標縮短到原來的倍（縱坐標不變），再將得到的圖象上全部點向右平行移動個單位長度，得到的圖象，則以下關于函數(shù)的結論正確的是A．若，是的零點，則是的整數(shù)倍 B．是函數(shù)圖象的對稱軸 C．點，是函數(shù)圖象的對稱中心 D．函數(shù)在區(qū)間，上單調遞增【答案】B【解析】函數(shù)，將的圖象上全部點的橫坐標縮短到原來的倍（縱坐標不變），可得的圖象，再將得到的圖象上全部點向右平行移動個單位長度，得到的圖象．若，是的零點，則是的半個周期的整數(shù)，故不正確；令，求得，為最大值，故是函數(shù)圖象的對稱軸，故正確；令，求得，故點，不是函數(shù)圖象的對稱中心，故不正確；在區(qū)間，上，，，函數(shù)沒有單調性，故解除，故選．6．（2024?雨花區(qū)校級模擬）要得到函數(shù)的圖象，可把函數(shù)的圖象A．向右平移 B．向右平移 C．向左平移 D．向左平移【答案】D【解析】由于．故要得到函數(shù)的圖象，可把函數(shù)的圖象向左平移．故選．7．（2024?青羊區(qū)校級模擬）已知，將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，則平移后圖象的對稱軸為A．， B．， C．， D．，【答案】A【解析】，圖象向右平移個單位長度得到的解析式為，令，則，所以對稱軸為，．故選．8．（2024?黃州區(qū)校級三模）把函數(shù)的圖象上每個點的橫坐標擴大到原來的2倍，再向左平移個單位，得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)的一個單調遞減區(qū)間為A．， B． C． D．【答案】B【解析】函數(shù)的圖象上每個點的橫坐標擴大到原來的2倍，可得的圖象；再向左平移個單位，得到函數(shù)的圖象．令，求得，可得函數(shù)的減區(qū)間為，，故選．9．（2024?新華區(qū)校級模擬）已知函數(shù)，其圖象相鄰的最高點之間的距離為，將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，且為奇函數(shù)，則A．的圖象關于點對稱 B．的圖象關于點對稱 C．在上單調遞增 D．在上單調遞增【答案】C【解析】函數(shù)，其圖象相鄰的最高點之間的距離為，所以函數(shù)的周期為：，則，所以函數(shù)，將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度時，得到函數(shù)，函數(shù)是奇函數(shù)有：，，又，解得：，可得，對于，，故錯誤；對于，，故錯誤；對于，令，，解得，，可得在上單調遞增，故正確，錯誤．故選．10．（2024?靖遠縣四模）要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象A．向左平移3個單位長度 B．向右平移3個單位長度 C．向左平移1個單位長度 D．向右平移1個單位長度【答案】C【解析】因為，所以要得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)的圖象上全部的點向左平移1個單位長度．故選．11．（2024?馬鞍山三模）將函數(shù)的圖象上各點橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再將所得圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則A． B． C． D．【答案】B【解析】的圖象上各點橫坐標伸長到原來的2倍，得到，再將其向左平移個單位長度，得到．故選．12．（2024?道里區(qū)校級四模）將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)的圖象的一條對稱軸可以是A． B． C． D．【答案】D【解析】將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，令，求得，，則函數(shù)的圖象的對稱軸防為，．令，可得圖象的一條對稱軸可以是，故選．13．（2024?天心區(qū)校級模擬）若將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后與原函數(shù)的圖象關于軸對稱，則的最小正值是A． B．3 C． D．6【答案】A【解析】把函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后與原函數(shù)的圖象關于軸對稱，則平移了半個周期的奇數(shù)倍，于是有，即，故的最小正值是，故選．14．（2024?道里區(qū)校級四模）為了得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)的圖象A．向右平行移動個單位長度 B．向左平行移動個單位長度 C．向左平移移動個單位長度 D．向右平行移動個單位長度【答案】B【解析】只需把函數(shù)的圖象向左平行移動個單位長度，‘即可得到函數(shù)的圖象，故選．15．（2024?銀川校級一模）已知函數(shù)（Ⅰ）求函數(shù)的單調增區(qū)間，并說明可把圖象經(jīng)過怎樣的平移變換得到的圖象．（Ⅱ）若在中，、、分別是角、、的對邊，且，，（A），求的面積．【解析】（Ⅰ），令：，解得：，所以函數(shù)的單調遞增區(qū)間為：，把函數(shù)的圖象上的全部點的坐標向右平移個單位，就可得到的圖象．（Ⅱ）（A），．又，．，故．在中，，，，，即．．．16．（2024?閔行區(qū)校級模擬）將函數(shù)的圖象向右平移個長度單位，得到的圖象，再把的圖象上各點的橫坐標縮小到原來的（縱坐標不變），得到函數(shù)的圖象．（1）求的最小值和的解析式；（2）當時，求函數(shù)的單調遞減區(qū)間．【解析】（1）將函數(shù)的圖象向右平移個長度單位，得到的圖象，，即，，故的最小值為．再把的圖象上各點的橫坐標縮小到原來的（縱坐標不變），得到函數(shù)的圖象．故．（2）當時，，，故當，時，即，，函數(shù)單調遞增，故當，時，即，，函數(shù)單調遞減，故的遞減區(qū)間為．17．（2024?寧波模擬）已知函數(shù)．（Ⅰ）求的振幅、最小正周期和初相位；（Ⅱ）將的圖象向右平移個單位，得到函數(shù)的圖象，當時，求的取值范圍．【解析】（Ⅰ）因為函數(shù)．故周期為，振幅為2，初相位；（Ⅱ）將的圖象向右平移個單位，得到函數(shù)；即函數(shù)；當時，，；，；，．即的取值范圍是，．18．（2024?濰坊模擬）已知函數(shù)的圖象如圖所示．（1）求的解析式；（2）將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)，設，求函數(shù)在，上的最大值．【解析】（1）由題意可得，最小正周期，則，由，又，可得，所以．（2）由題意可知，所以，由于，，可得：，，可得：．19．（2024?合肥三模）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示．（1）求函數(shù)的解析式；（2）將函數(shù)的圖象向左平移個單位，再將圖象上各點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變）得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)在區(qū)間，上的值域．【解析】（1）由已知函數(shù)的部分圖象得，解得，．（2）將函數(shù)的圖象向左平移個單位，可得的圖象；再將圖象上各點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變）得到函數(shù)的圖象．，，，，的值域為．20．（2024?山東模擬）在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，函數(shù)，將的圖象向左平移個單位得到函數(shù)的圖象，且，．（1）求；（2）若，求．【解析】（1），，，，，，故．（2），由正弦定理得：，，，，，．21．（2024?南通模擬）已知函數(shù)，，和是函數(shù)的圖象與軸的2個相鄰交點的橫坐標，且當時，取得最大值．（1）求函數(shù)的解析式；（2）將函數(shù)的圖象向右平移個單位，得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)在區(qū)間，上的最大值和最小值．【解析】（1）數(shù)，，和是函數(shù)的圖象與軸的2個相鄰交點的橫坐標，所以，整理得，所以，當時，取得最大值．故，整理得，由于，當時，．所以．（2）將函數(shù)的圖象向右平移個單位，得到函數(shù)的圖象，由于，所以，所以，故．即函數(shù)的最大值為2，最小值為．22．（2024?淮陰區(qū)模擬）已知為坐標原點，，，，若．（1）求函數(shù)的最小正周期和單調遞增區(qū)間；（2）將函數(shù)的圖象上各點的橫坐標伸長為原來的2倍（縱坐標不變），再將得到的圖象向左平移個單位，得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)在，上的最小值．【解析】（1）由題意，，，，的最小正周期為．令，求得，所以的單調遞增區(qū)間為，，．（2）由（1）得，所以將函數(shù)的圖象上各點的橫坐標伸長為原來的2倍（縱坐標不變），得到函數(shù)的圖象；再將得到的圖象向左平移個單位，得到的圖象的圖象．在上，，，當時，取得最小值為，即函數(shù)在上的最小值為2．23．（2024?浙江模擬）已知，，過點，且當時，函數(shù)取得最大值1．（1）將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度得到函數(shù)，求函數(shù)的表達式；（2）在（1）的條件下，函數(shù)，求在，上的值域．【解析】（1）由題意可得，由函數(shù)過，得，結合范圍，由，，可得：，可得：，．（2），由于，可得：，在上的值域為，．24．（2024?柯城區(qū)校級模擬）設函數(shù)，已知函數(shù)圖象的相鄰兩對稱軸之間的距離為．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）將函數(shù)的圖象上的各點的橫坐標伸長原來的2倍（縱坐標不變），再將得到的圖象向右平移個單位，得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)在，上的值域．【解析】（Ⅰ）函數(shù)，函數(shù)圖象的相鄰兩對稱軸之間的距離為，，，，．（Ⅱ）將函數(shù)的圖象上的各點的橫坐標伸長原來的2倍（縱坐標不變），可得的圖象；將得到的圖象向右平移個單位，得到函數(shù)的圖象．在，上，，，，，故函數(shù)在，上的值域為，．25．（2024?江蘇模擬）已知函數(shù)，，，是的圖象與直線的兩個交點，且的最小值為．（1）求的值；（2）將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，再將所得圖象上各點的橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標不變，得到函數(shù)的圖象，若，，求的值．【解析】（1）由函數(shù)，整理得．所以或，，設和的橫坐標為和，且的最小值為．所以解得．（2）由（1）得，函數(shù)的圖象向左平移個單位，得到．再將所得圖象上各點的橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標不變，得到函數(shù)的圖象，由于，所以，整理得，由于，所以，整理得，故．26．（2024?西湖區(qū)校級模擬）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示．（1）求函數(shù)的解析式；（2）將函數(shù)的圖象向右平移個單位得到函數(shù)，當時，求函數(shù)的值域．【解析】（1）由圖象知，，得，得，即，由五點對應法得得，得，則．（2）將函數(shù)