2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章概率單元質(zhì)量評估二習(xí)題含解析新人教A版必修3

第三章單元質(zhì)量評估(二)eq\o(\s\up7(時間：120分鐘滿分：150分),\s\do5())一、選擇題(每小題5分，共60分)1．拋擲一枚骰子，記事務(wù)A為“落地時向上的點數(shù)是奇數(shù)”，事務(wù)B為“落地時向上的點數(shù)是偶數(shù)”，事務(wù)C為“落地時向上的點數(shù)是3的倍數(shù)”，事務(wù)D為“落地時向上的點數(shù)是6或4”，則下列每對事務(wù)是互斥事務(wù)但不是對立事務(wù)的是(C)A．A與BB．B與CC．A與DD．C與D解析：A與B是對立事務(wù)，B與C既不是互斥事務(wù)也不是對立事務(wù)，A與D是互斥事務(wù)但不是對立事務(wù)，C與D既不是互斥事務(wù)也不是對立事務(wù)，選C.2．在給連體嬰兒動手術(shù)之前，外科醫(yī)生會告知病人家屬一些狀況，其中有一項是這種手術(shù)的勝利的概率大約是65%.下列說明正確的是(D)A．65%的醫(yī)生能做這個手術(shù)，另外35%的醫(yī)生不能做這個手術(shù)B．這個手術(shù)肯定勝利C．100個手術(shù)有65個手術(shù)勝利，有35個手術(shù)失敗D．這個手術(shù)勝利的可能性大小是65%解析：勝利的概率大約是65%，說明手術(shù)勝利的可能性大小是65%，故選D.3．某地區(qū)中學(xué)達標(biāo)校分為三個等級，一級達標(biāo)校共有3000名學(xué)生，二級達標(biāo)校共有3900名學(xué)生，三級達標(biāo)校共有4100名學(xué)生，若實行分層抽樣的方法抽取1000名學(xué)生，則一級達標(biāo)校中的學(xué)生甲被抽到的概率為(B)A.eq\f(1,10)B.eq\f(1,11)C.eq\f(1,3)D.eq\f(1,3000)解析：因為總體的個數(shù)為3000＋3900＋4100＝11000，實行分層抽樣的方法抽取1000名學(xué)生，由于每個個體被抽到的概率都相等，所以一級達標(biāo)校中的學(xué)生甲被抽到的概率P＝eq\f(1000,11000)＝eq\f(1,11)，故選B.4．小陳與小李兩人相約去游玩，他們約定各自獨立地從1～5號景點中任選4個進行巡游，每個景點參觀1小時，則最終1小時他們在同一個景點的概率為(C)A.eq\f(1,25)B.eq\f(1,10)C.eq\f(1,5)D.eq\f(2,5)解析：若用1,2,3,4,5代表5個景點，明顯最終1小時，小陳、小李兩人各選擇一個景點巡游的結(jié)果數(shù)為25，其中兩人在同一個景點有5種結(jié)果，所以最終1小時他們在同一個景點的概率為eq\f(5,25)＝eq\f(1,5)，故選C.5．已知函數(shù)f(x)＝log2x，x∈[1,8]，則1≤f(x)≤2成立的概率是(B)A.eq\f(1,7)B.eq\f(2,7)C.eq\f(3,7)D.eq\f(4,7)解析：由1≤f(x)≤2可知1≤log2x≤2，解得2≤x≤4，由幾何概型可知P＝eq\f(2,7)，選B.6．如圖所示，半徑為4的圓中有一個小狗圖案，在圓中隨機撒一粒豆子，它落在小狗圖案內(nèi)的概率是eq\f(1,3)，則小狗圖案的面積是(D)A.eq\f(π,3)B.eq\f(4π,3)C.eq\f(8π,3)D.eq\f(16π,3)解析：設(shè)小狗圖案的面積為S1，圓的面積S＝π×42＝16π，由幾何概型的概率計算公式得eq\f(S1,S)＝eq\f(1,3)，得S1＝eq\f(16π,3).故選D.7．在五個數(shù)字5,6,7,8,9中，若隨機取出三個數(shù)字，則剩下兩個數(shù)字都是奇數(shù)的概率是(B)A.eq\f(3,5)B.eq\f(3,10)C.eq\f(2,5)D.eq\f(7,10)解析：列舉出從五個已知數(shù)字中隨機取出三個數(shù)字后剩下兩個數(shù)字的全部可能狀況：{5,6}，{5,7}，{5,8}，{5,9}，{6,7}，{6,8}，{6,9}，{7,8}，{7,9}，{8,9}，共有10種狀況，剩下兩個數(shù)字都是奇數(shù)的可能狀況：{5,7}，{5,9}，{7,9}，共有3種狀況，所以所求概率P＝eq\f(3,10)，故選B.8．一個籠子里有3只白兔，2只灰兔，現(xiàn)讓它們一一跑出籠子，假設(shè)每一只跑出籠子的概率相同，則先跑出籠子的兩只兔子中一只是白兔，另一只是灰兔的概率是(A)A.eq\f(3,5)B.eq\f(4,5)C.eq\f(2,3)D.eq\f(3,4)解析：設(shè)3只白兔分別為b1，b2，b3,2只灰兔分別為h1，h2，則全部可能的狀況有(b1，h1)，(b1，h2)，(b2，h1)，(b2，h2)，(b3，h1)，(b3，h2)，(h1，b1)，(h2，b1)，(h1，b2)，(h2，b2)，(h1，b3)，(h2，b3)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b1)，(b2，b3)，(b3，b1)，(b3，b2)，(h1，h2)，(h2，h1)，共20種，其中符合一只是白兔，另一只是灰兔的狀況有12種，∴所求概率為eq\f(12,20)＝eq\f(3,5).9．有一個邊長為2米的正方體房間，每個墻角都安裝有一個可殲滅四周1米范圍內(nèi)的蚊子的滅蚊器(自身體積可忽視)，若一只蚊子隨機出現(xiàn)在該房間的某處，則它被滅蚊器殲滅的概率為(A)A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,4)C.eq\f(1,2)D.eq\f(2,3)解析：設(shè)“蚊子被滅蚊器殲滅”為事務(wù)A，由題知，墻角安裝有一個可殲滅四周1米范圍內(nèi)的蚊子的滅蚊器，其覆蓋區(qū)域為eq\f(1,8)個以正方體頂點為球心，1為半徑的球體，正方體的8個頂點覆蓋區(qū)域合計為1個球體．則P(A)＝eq\f(V球,V正)＝eq\f(\f(4,3)π,8)＝eq\f(π,6).10．四個人圍坐在一張圓桌旁，每個人面前放著完全相同的硬幣，全部人同時拋起自己的硬幣．硬幣落下后若硬幣正面朝上，則這個人站起來；若硬幣正面朝下，則這個人接著坐著．那么沒有相鄰的兩個人站起來的概率為(B)A.eq\f(1,4)B.eq\f(7,16)C.eq\f(1,2)D.eq\f(9,16)解析：由題知先計算有相鄰的兩個人站起來的概率．四個人同時拋硬幣，共有24＝16種不同的狀況，其中兩個人的硬幣同為正面時須要站起來的狀況有4種，三個人須要站起來有4種狀況，四個人都站起來有1種狀況，所以有相鄰的兩個人站起來的概率P＝eq\f(4＋4＋1,16)＝eq\f(9,16).故沒有相鄰的兩人站起來的概率P＝1－eq\f(9,16)＝eq\f(7,16).11．從區(qū)間[－1,1]上隨機抽取實數(shù)x，y，則|x|＋2|y|≤1的概率為(B)A.eq\f(1,6)B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,3)D.eq\f(1,2)解析：由幾何概型得，|x|＋2|y|≤1在區(qū)間[－1,1]上所形成的區(qū)域的面積S1＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＝1，總面積S＝2×2＝4，則所求概率P＝eq\f(S1,S)＝eq\f(1,4)，故選B.12．周三下午第一節(jié)40分鐘的自習(xí)課，小聰和小明分別去老師辦公室單獨請羅老師講解數(shù)學(xué)疑難問題，兩人在自習(xí)課內(nèi)的任何時刻去是等可能的，若羅老師給每個人講解的時間都是10分鐘，則羅老師給他們兩人單獨講解沒有時間沖突的概率為(C)A.eq\f(7,16)B.eq\f(3,4)C.eq\f(9,16)D.eq\f(1,2)解析：設(shè)上課起先的時刻為第0分鐘，小聰和小明到達老師辦公室的時刻分別為第x分鐘和第y分鐘，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤40，,0≤y≤40，))若羅老師給他們兩人單獨講解沒有時間沖突，則x，y滿意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤40，,0≤y≤40，,|x－y|>10，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤40，,0≤y≤40，,x－y>10，,y－x>10，))令事務(wù)A為羅老師給他們兩人單獨講解沒有時間沖突，則總的基本領(lǐng)件空間為如圖所示的正方形，其中事務(wù)A構(gòu)成的基本領(lǐng)件空間為正方形中的陰影部分．于是P(A)＝eq\f(\f(1,2)×30×30×2,40×40)＝eq\f(9,16)，即羅老師給他們兩人單獨講解沒有時間沖突的概率為eq\f(9,16)，故選C.二、填空題(每小題5分，共20分)13．在區(qū)間[－3,5]上隨機地取一個數(shù)x，則關(guān)于x的不等式2－m≤x≤1＋m成立的概率為eq\f(3,8)，則實數(shù)m的值為2.解析：依題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－m≤1＋m，,\f(1＋m－2－m,5－－3)＝\f(3,8)，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≥\f(1,2)，,m＝2，))解得m＝2.14．某縣打算從5名報名者(其中男性3名，女性2名)中選2人參與副局長職務(wù)的競選，則所選2人均為女性的概率為eq\f(1,10).解析：設(shè)5人中的3名男性分別為a，b，c,2名女性分別為D，E，所以從這5人中選2人的全部基本領(lǐng)件有{a，b}，{a，c}，{a，D}，{a，E}，{b，c}，{b，D}，{b，E}，{c，D}，{c，E}，{D，E}，共10個，其中2人均為女性的基本領(lǐng)件有{D，E}，共1個，所以所選2人均為女性的概率為eq\f(1,10).15．某棋類嬉戲的規(guī)則如下：棋子的初始位置在起點處，玩家每擲出一枚骰子，朝上一面的點數(shù)即為向終點方向前進的格子數(shù)(比如玩家一起先擲出的骰子點數(shù)為3，則走到炸彈所在位置)，若踩到炸彈，則返回起點重新起先，若達到終點，則嬉戲結(jié)束．現(xiàn)在已知小明擲完三次骰子后嬉戲恰好結(jié)束，則全部不同的狀況種數(shù)為21.解析：全部不同的狀況種數(shù)有(3,4,5)，(3,6,3)，(3,5,4)，(1,3,5)，(1,4,4)，(1,5,3)，(1,6,2)，(2,2,5)，(2,3,4)，(2,4,3)，(2,5,2)，(2,6,1)，(4,1,4)，(4,2,3)，(4,3,2)，(4,4,1)，(5,1,3)，(5,2,2)，(5,3,1)，(6,1,2)，(6,2,1)．共21種．16．關(guān)于圓周率π，數(shù)學(xué)發(fā)展史上出現(xiàn)過很多很有創(chuàng)意的求法，如聞名的蒲豐試驗和查理斯試驗．受其啟發(fā)，我們也可以通過設(shè)計下面的試驗來估計π的值：先請200名同學(xué)，每人隨機寫下一個兩數(shù)都小于1的正實數(shù)對(x，y)；再統(tǒng)計兩數(shù)能與1構(gòu)成鈍角三角形三邊長的數(shù)對(x，y)的個數(shù)m；最終再依據(jù)統(tǒng)計數(shù)m來估計π的值．假如統(tǒng)計結(jié)果是m＝56，那么可以估計π≈eq\f(78,25).(用分數(shù)表示)解析：由題意知，200個兩數(shù)都小于1的正實數(shù)對(x，y)滿意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤1，,0≤y≤1，))對應(yīng)圖形面積為1，兩個數(shù)能與1構(gòu)成鈍角三角形的三邊長的數(shù)對(x，y)滿意x2＋y2<1且eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤1，,0≤y≤1，,x＋y>1，))對應(yīng)圖形的面積為eq\f(π,4)－eq\f(1,2)，因為統(tǒng)計兩數(shù)能與1構(gòu)成鈍角三角形三邊長的數(shù)對(x，y)的個數(shù)m＝56，所以eq\f(56,200)≈eq\f(π,4)－eq\f(1,2)，∴π≈eq\f(78,25).三、解答題(本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟)17．(本小題10分)某醫(yī)院一天內(nèi)派出下鄉(xiāng)醫(yī)療的醫(yī)生人數(shù)及其概率如下：醫(yī)生人數(shù)012345人及以上概率0.10.16xy0.2z(1)若派出醫(yī)生不超過2人的概率為0.56，求x的值；(2)若派出醫(yī)生最多4人的概率為0.96，最少3人的概率為0.44，求y、z的值．解：(1)由派出醫(yī)生不超過2人的概率為0.56，得0.1＋0.16＋x＝0.56，∴x＝0.3.(2)由派出醫(yī)生最多4人的概率為0.96，得0.96＋z＝1，∴z＝0.04.由派出醫(yī)生最少3人的概率為0.44，得y＋0.2＋z＝0.44，∴y＝0.44－0.2－0.04＝0.2.18．(本小題12分)在甲、乙等5位學(xué)生參與的一次社區(qū)專場演唱會中，每位學(xué)生的節(jié)目集中支配在一起演出，若采納抽簽的方法隨機確定各位學(xué)生的演出依次(序號為1,2,3,4,5)．(1)甲、乙兩人的演出序號至少有一個為偶數(shù)的概率；(2)甲、乙兩人的演出序號不相鄰的概率．解：甲、乙兩人可能被排在1,2號；1,3號；1,4號；1,5號；2,3號；2,4號；2,5號；3,4號；3,5號；4,5號，共10種情形．其中甲、乙兩人至少有一人被支配在偶數(shù)號的情形有：1,2號；1,4號；2,3號；2,4號；2,5號；3,4號；4,5號，共7種．甲、乙兩人被支配在不相鄰的演出序號的情形有：1,3號；1,4號；1,5號；2,4號；2,5號；3,5號，共6種．(1)記“甲、乙兩人的演出序號至少有一個為偶數(shù)”為事務(wù)A，則P(A)＝eq\f(7,10).(2)記“甲、乙兩人的演出序號不相鄰”為事務(wù)B，則P(B)＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).19．(本小題12分)某市為了成為宜商、宜居的國際化現(xiàn)代新城，在該市的東城區(qū)、西城區(qū)分別引進8個廠家，現(xiàn)對這兩個城區(qū)的16個廠家進行評估，綜合得分狀況如莖葉圖所示．(1)依據(jù)莖葉圖推斷哪個城區(qū)的廠家的平均分較高；(2)規(guī)定85分以上(含85分)為優(yōu)秀廠家，若從這兩個城區(qū)各選1個優(yōu)秀廠家，求得分差距不超過4的概率．解：(1)依據(jù)莖葉圖，可知東城區(qū)的廠家的平均分為eq\f(1,8)×(78＋79＋79＋87＋88＋89＋93＋94)＝85.875.西城區(qū)的廠家的平均分為eq\f(1,8)×(72＋79＋81＋83＋84＋85＋94＋95)＝84.125.因為85.875>84.125，所以東城區(qū)的廠家的平均分較高．(2)東城區(qū)、西城區(qū)的優(yōu)秀廠家分別有5家、3家．從這兩個區(qū)域各選一個優(yōu)秀廠家，共有15種不同的取法，其基本領(lǐng)件分別為(東87，西85)，(東87，西94)，(東87，西95)，(東88，西85)，(東88，西94)，(東88，西95)，(東89，西85)，(東89，西94)，(東89，西95)，(東93，西85)，(東93，西94)，(東93，西95)，(東94，西85)，(東94，西94)，(東94，西95)．其中滿意得分差距不超過4的基本領(lǐng)件有7種，分別為(東87，西85)，(東88，西85)，(東89，西85)，(東93，西94)，(東93，西95)，(東94，西94)，(東94，西95)．所以所求概率P＝eq\f(7,15).20．(本小題12分)某港口有一個泊位，現(xiàn)統(tǒng)計了某月100艘輪船在該泊位?？康臅r間(單位：小時)，?？繒r間不足半小時按半小時計時，超過半小時不足1小時按1小時計時，以此類推，統(tǒng)計結(jié)果如表：?？繒r間2.533.544.555.56輪船數(shù)量12121720151383(1)設(shè)該月100艘輪船在該泊位的平均停靠時間為a小時，求a的值；(2)假定某天只有甲、乙兩艘輪船須要在該泊位?？縜小時，且在一晝夜的時間段中隨機到達，求這兩艘輪船中至少有一艘在停靠該泊位時必需等待的概率．解：(1)a＝eq\f(1,100)×(2.5×12＋3×12＋3.5×17＋4×20＋4.5×15＋5×13＋5.5×8＋6×3)＝4.(2)設(shè)甲船到達的時間為x時，乙船到達的時間為y時，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤24，,0≤y≤24，))若這兩艘輪船在停靠該泊位時至少有一艘船須要等待，則|y－x|<4，|y－x|<4表示的區(qū)域如圖中陰影部分所示，所以必需等待的概率P＝1－eq\f(202,242)＝eq\f(11,36).21．(本小題12分)x的取值范圍為[0,10]，給出如圖所示的程序框圖，輸入一個數(shù)x.(1)請寫出程序框圖所表示的函數(shù)表達式；(2)求輸出的y滿意y<5的概率；(3)求輸出的y滿意6<y≤8的概率．解：(1)由已知可得程序框圖所表示的函數(shù)表達式是y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1，7<x≤10，,x＋1，0≤x≤7.))(2)當(dāng)y<5時，若輸出y＝x＋1(0≤x