2022-2023學(xué)年山東省濟(jì)南市章丘區(qū)九年級(jí)上學(xué)期數(shù)學(xué)期中試題及答案

2022-2023學(xué)年山東省濟(jì)南市章丘區(qū)九年級(jí)上學(xué)期數(shù)學(xué)期中試題及答案本試題分選擇題和非選擇題兩部分．選擇題部分共2頁，滿分為40分：非選擇題部分共6頁，滿分為110分．本試題共8頁，滿分為150分．考試時(shí)間120分鐘．本考試不允許使用計(jì)算器．（選擇題部分共40分）一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分．在每個(gè)小題給出四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求）1.下列判斷中不正確的是（）A.四個(gè)角相等的四邊形是矩形 B.對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是正方形C.對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形 D.兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形【答案】B【解析】【分析】由矩形的判定可判斷A，由正方形的判定可判斷B，由菱形的判定可判斷C，由平行四邊形的判定可判斷D，從而可得答案．【詳解】解：四個(gè)角相等的四邊形是矩形，判斷正確，故A不符合題意；對(duì)角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形，故原判斷不準(zhǔn)確，故B符合題意；對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形，判斷正確，故C不符合題意；兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形，判斷正確，故D不符合題意；故選B【點(diǎn)睛】本題考查的是平行四邊形的判定，矩形，菱形，正方形的判定，掌握“特殊四邊形的判定方法”是解本題的關(guān)鍵．2.不解方程，判斷方程2x2﹣4x﹣1＝0的根的情況是（）A.沒有實(shí)數(shù)根 B.有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根C.有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根 D.無法確定【答案】C【解析】【分析】把a(bǔ)=2，b=-4，c=-1代入判別式Δ=b2-4ac進(jìn)行計(jì)算，然后根據(jù)計(jì)算結(jié)果判斷方程根的情況．【詳解】解：∵a=2，b=-4，c=-1，∴Δ=b2-4ac=（-4）2-4×2×（-1）=24＞0，∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）根的判別式Δ=b2-4ac．當(dāng)Δ＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＜0，方程沒有實(shí)數(shù)根．3.若，則()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知可設(shè)，，代入原式，計(jì)算化簡即可．【詳解】∵，∴設(shè)，，將，，代入中得：，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的基本性質(zhì)，運(yùn)用分式基本性質(zhì)進(jìn)行正確運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．4.某學(xué)校組織學(xué)生到社區(qū)開展公益宣傳活動(dòng)，成立了“垃圾分類”“文明出行”“低碳環(huán)?！比齻€(gè)宣傳隊(duì)，如果小華和小麗每人隨機(jī)選擇參加其中一個(gè)宣傳隊(duì)，則她們恰好選到同一個(gè)宣傳隊(duì)的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，用列表法求出概率即可．【詳解】根據(jù)題意，設(shè)三個(gè)宣傳隊(duì)分別為列表如下：小華\小麗總共由9種等可能情況，她們恰好選擇同一個(gè)宣傳隊(duì)的情況有3種，則她們恰好選到同一個(gè)宣傳隊(duì)的概率是．故選C【點(diǎn)睛】本題考查了用列表法求概率，掌握列表法求概率是解題的關(guān)鍵．列表法或畫樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果數(shù)，概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．5.如圖，DE∥BC，且：：，，則的長為()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由平行線分線段成比例定理得，即可得出結(jié)論．【詳解】解：，，即，解得：，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，熟練掌握平行線分線段成比例定理是解題的關(guān)鍵．6.某省加快新舊動(dòng)能轉(zhuǎn)換，促進(jìn)企業(yè)創(chuàng)新發(fā)展．某企業(yè)一月份的營業(yè)額是1000萬元，月平均增長率相同，第一季度的總營業(yè)額是3990萬元．若設(shè)月平均增長率是x，那么可列出的方程是（）A.1000（1+x）2＝3990B.1000+1000（1+x）+1000（1+x）2＝3990C.1000（1+2x）＝3990D.1000+1000（1+x）+1000（1+2x）＝3990【答案】B【解析】【分析】設(shè)月平均增長的百分率是x，則該超市二月份的營業(yè)額為100（1+x）萬元，三月份的營業(yè)額為100（1+x）2萬元，根據(jù)該超市第一季度的總營業(yè)額是3990萬元，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．【詳解】解：設(shè)月平均增長的百分率是x，則該超市二月份的營業(yè)額為100（1+x）萬元，三月份的營業(yè)額為100（1+x）2萬元，依題意，得1000+1000（1+x）+1000（1+x）2＝3990．故選B．【點(diǎn)睛】此題主要考查一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟知增長率問題的求解.7.如圖，在菱形中，對(duì)角線，分別為16和12，于點(diǎn)，則（）A. B. C.10 D.8【答案】A【解析】【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)和面積公式，即可求出的值．【詳解】∵四邊形是菱形∴且平分對(duì)角線又∵，∴AO=8,BO=6,∴∵菱形的面積等于對(duì)角線乘積的一半，等于底乘高∴∴故選：A．

【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)和面積公式，熟練掌握菱形的性質(zhì)和面積公式是解題的關(guān)鍵．8.下列4×4的正方形網(wǎng)格中，小正方形的邊長均為1，三角形的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則與△ABC相似的三角形所在的網(wǎng)格圖形是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】根據(jù)勾股定理，AB=，BC=，AC=，所以△ABC的三邊之比為=，A、三角形的三邊分別為2，，，三邊之比為2：=，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意;B、三角形的三邊分別為2，4，，三邊之比為2：4：2=1：2：，故本選項(xiàng)正確，符合題意；C、三角形的三邊分別為2，3，，三邊之比為2：3：，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；D、三角形的三邊分別為，，4，三邊之比為：4，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意．故選：B．9.如圖，在矩形ABCD中，AB＝24，BC＝12，點(diǎn)E在邊AB上，點(diǎn)F在邊CD上，點(diǎn)G、H在對(duì)角線AC上，若四邊形EGFH是菱形．則AE的長是（）A.15 B.20 C. D.【答案】A【解析】【分析】連接EF交AC于點(diǎn)O，連接CE，證明△CFO≌△AEO，可得CF＝AE，再根據(jù)勾股定理可得CE的長，進(jìn)而可得結(jié)論．【詳解】解：如圖，連接EF交AC于點(diǎn)O，連接CE，∵四邊形EGFH是菱形，∴EF⊥GH，OE＝OF，DCAB，∴CF＝CE，，在△CFO和△AEO中，，∴△CFO≌△AEO（AAS），∴CF＝AE，∴CE＝AE，∴BE＝AB?AE＝24?CE，在Rt△CEB中，根據(jù)勾股定理，得，∴，解得CE＝15，∴AE＝15，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是證明△CFO≌△AEO，求出CF＝AE．10.如圖，在矩形紙片ABCD中，，，將AB沿AE翻折，使點(diǎn)B落在處，AE為折痕，再將EC沿EF翻折，使點(diǎn)C恰好落在線段上的點(diǎn)處，EF為折痕，連接．若，則的值為()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】連接，設(shè)，用表示、，再證明，由勾股定理解題，通過進(jìn)行等量代換，列出一元二次方程，利用因式分解法便可求得的值，再進(jìn)一步解得，即可解題．【詳解】連接，設(shè)，則，，，四邊形是矩形，，，，，，，，，，當(dāng)時(shí)，，，∴EC當(dāng)時(shí)，，，，，故答案為：B．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、勾股定理、因式分解法解一元二次方程等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．（非選擇題部分共110分）二．填空題（本大題共6小題，每小題4分，共24分）11.關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)根是2，則另一個(gè)根是__________．【答案】-3【解析】【分析】由題意可把x=2代入一元二次方程進(jìn)行求解a的值，然后再進(jìn)行求解方程的另一個(gè)根．【詳解】解：由題意把x=2代入一元二次方程得：，解得：，∴原方程為，解方程得：，∴方程的另一個(gè)根為-3；故答案為-3．【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程的解及其解法，熟練掌握一元二次方程的解及其解法是解題的關(guān)鍵．12.如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，∠AOB＝60°，AC＝2，則邊BC長為________．【答案】【解析】【分析】先證明△AOB是等邊三角形，得∠BAC＝60°，后運(yùn)用sin60°=計(jì)算即可．【詳解】∵四邊形ABCD是矩形，∴AO=BO，∵∠AOB＝60°，AC＝2，∴△AOB是等邊三角形，∠BAC＝60°，∴sin60°=∴BC=ACsin60°==，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握等邊三角形的判定和性質(zhì)，靈活運(yùn)用特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．13.梭梭樹因其頑強(qiáng)的生命力和防風(fēng)固沙的作用，被稱為“沙漠植被之王”．新疆北部某沙漠2020年有16萬畝梭梭樹，經(jīng)過兩年的人工種植和自然繁殖，2022年達(dá)到25萬畝，求這兩年的平均增長率_____．【答案】25%【解析】【分析】設(shè)這兩年的平均增長率為x，利用新疆北部某沙漠2022年梭梭樹的種植面積＝新疆北部某沙漠2020年梭梭樹的種植面積×，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)這兩年的平均增長率為x，依題意得：，解得：x1＝0.25＝25%，x2＝-2.25（不符合題意，舍去），∴這兩年的平均增長率為25%．故答案為：25%．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．14.若關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________．【答案】且##k≠-2且k≥-3【解析】【分析】根據(jù)根的判別式即可求出答案．【詳解】解：由題意可知：Δ=4+4（k+2）≥0，∴解得：k≥-3，∵k+2≠0，∴k≥-3且k≠-2，故答案為：且．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用根的判別式，本題屬于基礎(chǔ)題型．15.如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H，連接OH.若OB=4，S菱形ABCD=24，則OH的長為______________.【答案】3【解析】【分析】由四邊形ABCD是菱形，OB=4，根據(jù)菱形性質(zhì)可得BD=8，在根據(jù)菱形的面積等于兩條對(duì)角線乘積的一半求得AC=6，再根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半即可求得OH的長.【詳解】∵四邊形ABCD是菱形，OB=4，∴OA=OC，BD=2OB=8；∵S菱形ABCD=24，∴AC=6；∵AH⊥BC，OA=OC，∴OH=AC=3.故答案為3.【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)及直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，根據(jù)菱形的面積公式（菱形的面積等于兩條對(duì)角線乘積的一半）求得AC=6是解題的關(guān)鍵.16.如圖，點(diǎn)F，G分別在正方形ABCD的邊BC，CD上，E為AB中點(diǎn)，連結(jié)ED，正方形FGQP的邊PQ恰好在DE上，記正方形ABCD面積為，正方形FPQG面積為，則的值為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)，設(shè)，，根據(jù)正切，求得，根據(jù)，求得，之比，即可求得面積比．【詳解】四邊形，F(xiàn)GQP是正方形，，，，E為AB中點(diǎn)，，，設(shè)，，則，，，，，，，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，正方形的性質(zhì)，求得，的比值是解題的關(guān)鍵．17.解方程：（1）；（2）．【答案】（1），（2），【解析】【分析】（1）根據(jù)直接開平方法可進(jìn)行求解；（2）根據(jù)公式法可進(jìn)行求解方程．【小問1詳解】∵∴∴，∴，【小問2詳解】∵，，，∴，∴，∴，【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程的解法，熟練掌握一元二次方程的解法是解題的關(guān)鍵．18.如圖，、相交于點(diǎn)，連接、，且，，，，求的長．【答案】【解析】【分析】先證明得，從而即可求解．【詳解】解：，，，，，的長為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定及性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定是解題的關(guān)鍵．19.如圖，點(diǎn)，分別在菱形的邊，上，且．求證：．【答案】見解析【解析】【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)得出，，結(jié)合已知條件，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】∵四邊形是菱形，∴，，又∵，∴．∴．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定定理，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．20.如圖，在一塊長13m，寬7m的矩形空地上，修建同樣寬的兩條互相垂直的道路（兩條道路分別與矩形的一條邊平行），剩余部分栽種花草，若栽種花草的面積是，則道路的寬應(yīng)設(shè)計(jì)為多少m?【答案】【解析】【分析】先把兩條小路平移靠長方形的邊，設(shè)小路的寬應(yīng)為米，則空白部分長方形的長為，寬為，再利用栽種花草的面積是，列方程，解方程并檢驗(yàn)即可【詳解】如圖，把兩條垂直的小路通過平移得到如下圖形，設(shè)小路的寬應(yīng)為米，則空白部分長方形的長為m，寬為m，則整理得：解得：，，經(jīng)檢驗(yàn)：不符合題意，∴，答：小路的寬應(yīng)為1米【點(diǎn)睛】本題考查的是一元二次方程的應(yīng)用，掌握“利用平移的性質(zhì)與利用一元二次方程解決圖形面積問題”是解本題的關(guān)鍵21.如圖，O為矩形ABCD對(duì)角線AC的中點(diǎn)，EF⊥AC于點(diǎn)O，交AD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接AF，CE．（1）求證：四邊形AECF為菱形；（2）若AB=2，BC=4，求AE的長．【答案】（1）見解析（2）2.5【解析】【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)可知AD//BC，則，再根據(jù)，，證得，得出，再根據(jù)平行四邊形的判定和菱形的判定得出結(jié)論；（2）設(shè)，則，在Rt△ABF中，根據(jù)勾股定理列方程求出x，即可得到答案．【小問1詳解】證明：四邊形是矩形，，，點(diǎn)是矩形的對(duì)角線的中點(diǎn)，，，（AAS），，，四邊形是平行四邊形，，四邊形為菱形；【小問2詳解】解：四邊形是菱形，，設(shè)，則，在Rt△ABF中，，根據(jù)勾股定理得，，即，解得：，，．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定，矩形的性質(zhì)，勾股定理以及全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，熟記矩形的性質(zhì)：①平行四邊形的性質(zhì)矩形都具有；②角：矩形的四個(gè)角都是直角；③邊：鄰邊垂直；④對(duì)角線：矩形的對(duì)角線相等．22.如圖，正方形中，E，F(xiàn)分別是邊，上的點(diǎn)，，，連接并延長交的延長線于點(diǎn)G．（1）求證：；（2）若正方形的邊長為6，求的長．【答案】（1）見解析（2）15【解析】【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)及相似三角形的判定定理證明即可；（2）由正方形及平行線的性質(zhì)可得，再由對(duì)頂角相等，可得，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可得．【小問1詳解】證明：∵四邊形ABCD為正方形，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴；【小問2詳解】解：∵四邊形ABCD為正方形，∴，∴，∵，，∴，又∵，正方形的邊長為6，∴，，∴，∴．【點(diǎn)睛】此題主要考查正方形的性質(zhì)及相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練運(yùn)用相似三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．23.某中學(xué)在藝術(shù)節(jié)期間向全校學(xué)生征集書畫作品，美術(shù)王老師從全校隨機(jī)抽取了四個(gè)班級(jí)記作A、B、C、D，對(duì)征集到的作品的數(shù)量進(jìn)行了分析統(tǒng)計(jì)，制作了如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖．（1）王老師抽查的四個(gè)班級(jí)共征集到作品多少件？（2）請(qǐng)把圖2的條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；（3）若全校參展作品中有四名同學(xué)獲得一等獎(jiǎng)，其中有二名男生、二名女生．現(xiàn)在要在其中抽兩名同學(xué)去參加學(xué)?？偨Y(jié)表彰座談會(huì)，請(qǐng)用畫樹狀圖或列表的方法求恰好抽中一名男生一名女生的概率．【答案】（1）12件；（2）作圖見解析；（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)扇形統(tǒng)計(jì)圖算出C班作品數(shù)量占整體的份數(shù)，然后再計(jì)算整體件數(shù)即可；（2）由第一問知道作品總件數(shù)，算出B班件數(shù)，畫圖即可；（3）畫出表格或樹狀圖，然后計(jì)算概率即可【詳解】解：（1）（件）（2）12-2-5-2=3，補(bǔ)充作圖如下：（3）列表如下：由列表知，共有12種等可能結(jié)果，其中抽到一男一女的情況有8種，所以恰好抽到一男生一女生的概率為【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)據(jù)的收集處理，用列表和樹狀圖計(jì)算概率等知識(shí)點(diǎn)，牢記相關(guān)內(nèi)容是解題關(guān)鍵，24.如圖，，，，．點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，以的速度沿向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以的速度沿向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)隨之停止．（1）求經(jīng)過幾秒后，的面積等于？（2）經(jīng)過幾秒，與相似？（3）①是否存在t，使得的面積等于？若存在，請(qǐng)求出t的值，若不存在，請(qǐng)說明理由；②設(shè)四邊形的面積為S，請(qǐng)直接寫出S的最大值或最小值．【答案】（1）秒（2）秒，或秒（3）①不存在，理由見解析；②的最小值是【解析】【分析】（1）根據(jù)的面積等于，建立方程求解，即可得出答案（2）分和，得出比例式，建立方程求解，即可得出結(jié)果（3）①假設(shè)存在t，利用的面積等于，建立方程，判斷方程得方程無實(shí)數(shù)根，即可得出結(jié)論；②先得出，即可求出答案小問1詳解】解：由題意知，，，∵，，∴，，∵的面積等于，∴∴，即∴即經(jīng)過秒后，的面積等于【小問2詳解】∵，∴①當(dāng)時(shí)，∴，解得：；②當(dāng)時(shí)，∴，解得：；由①②可得：當(dāng)經(jīng)過秒或秒與相似【小問3詳解】①不存在，理由:假設(shè)存在t，使得面積等于，∴∴，∴，而，∴此方程無實(shí)數(shù)根，∴不存在t，使得面積等于②設(shè)四邊形的面積為∴∴當(dāng)時(shí)，S有最小值，最小值【點(diǎn)睛】此題是相似三角形形綜合題，主要考查了直角三角形的面積公式，相似三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的應(yīng)用，用方程的思想解決問題是解本題的關(guān)鍵25.如圖1四邊形和四邊形有公共頂點(diǎn)A（1）如圖2，若四邊形和四邊形都是正方形，當(dāng)正方形繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角（）時(shí)，BM和DN的數(shù)量關(guān)系是______，位置關(guān)系是______；（2）如圖3，若四邊形和四邊形都是矩形，且，判斷和的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由；（3）在（2）的條件下，若，，矩形繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角（），當(dāng)時(shí)，求線段的長．【答案】（1）相等，垂直；（2）數(shù)量關(guān)系：；位置關(guān)系：．（3）3，或【解析】【分析】（1）先證明得到和的數(shù)量關(guān)系，同時(shí)得到．然后延長交、于點(diǎn)E、F，在和中用三角形內(nèi)角和公式即可得到和的位置關(guān)系；（2）由已知條件可推出，得到和的數(shù)量關(guān)系，同時(shí)得到．然后使用同(1)中相同的方法可得到和的位置關(guān)系；（3）當(dāng)時(shí)，由已知條件可證得以點(diǎn)A、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，此時(shí)存在兩種位置情況，故進(jìn)行分類討論：①當(dāng)位于上方時(shí)，由平行四邊形的性質(zhì)可推出，再利用小問(2)的結(jié)論可求出的長；②當(dāng)位于下方時(shí)，由平行四邊形的性質(zhì)可推出，且能證明B、N、P在同一直線上，因此可在中使用勾股定理求出BM的長，再利用小問(2)的結(jié)論可求出的長．【小問1詳解】相等，垂直．理由如下：如圖：∵四邊形和四邊形都是正方形，∴，，，∴，即：，∴，∴，．延長交、于點(diǎn)E、F，在和中，∵，，且，∴