《向量的數(shù)量積》同步學(xué)案(學(xué)生版)

高中數(shù)學(xué)精編資源2/2《向量的數(shù)量積》同步學(xué)案情境導(dǎo)入如圖,一個(gè)物體在力F的作用下產(chǎn)生位移s,所做的功是多少?功是怎樣的量?自主學(xué)習(xí)自學(xué)導(dǎo)引1.已知兩個(gè)非零向量a,b,O是平面上的任意一點(diǎn),作OA=a,OB=b,則∠AOB=θ2.如果a與b的夾角是π2,我們說(shuō)a與b______,記作3.向量的數(shù)量積.(1)定義:已知兩個(gè)非零向量a與b,它們的夾角為θ,我們把數(shù)量______叫做向量a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積),記作a?b,即(2)規(guī)定:零向量與任一向量的數(shù)量積為_(kāi)_____.4.如圖(1),設(shè)a,b是兩個(gè)非零向量,AB=a,CD=b,我們考慮如下的變換:過(guò)AB的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B,分別作CD所在直線的垂線,垂足分別為A1,B1,得到A1如圖(2),我們可以在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O,作OM=a,ON=b.過(guò)點(diǎn)M作直線ON的垂線,垂足為M1,則5.向量數(shù)量積的性質(zhì).設(shè)a,b是非零向量,它們的夾角是θ,e是與(1)a?(2)a⊥(3)當(dāng)a與b同向時(shí),a?b=______;當(dāng)a與b反向時(shí),a?b=______.特別地(4)|a預(yù)習(xí)測(cè)評(píng)1.若|m|=4,|n|=6,mA.12 B.122 C.-122 2.已知|a|=9,|b|=62,A.45° B.135° C.120° 3.|a|=2,|b|=4,設(shè)e是與b方向相同的單位向量,向量a與向量b的夾角為120A.-3e B.-2e C.2e 新知探究探究點(diǎn)1向量的數(shù)量積的概念知識(shí)詳解1.兩個(gè)非零向量的數(shù)量積.已知條件向量a,b是非零向量,定義數(shù)量|a‖b|cosθ叫做向量a與記法a2.零向量與任一向量的數(shù)量積.規(guī)定:零向量與任一向量的數(shù)量積均為0.[特別提示]1.向量的數(shù)量積a?b,不能表示為a×2.兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量,而不是向量,其大小與兩個(gè)向量的長(zhǎng)度及其夾角都有關(guān),符號(hào)由夾角的余弦值的符號(hào)決定.設(shè)兩個(gè)非零向量a與b的夾角為θ,則當(dāng)θ=0°時(shí),當(dāng)θ為銳角時(shí),cosθ>當(dāng)θ為針角時(shí),cosθ<當(dāng)θ為直角時(shí),cosθ=當(dāng)θ=180°時(shí),典例探究例1已知|a|=6,|b|=5,當(dāng):(1)a//b;(2)a⊥b;(3)a變式訓(xùn)練1判斷下列各命題是否正確,并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由.(1)a,b為非零向量,(2)若a≠0,a探究點(diǎn)2關(guān)于投影向量的問(wèn)題知識(shí)詳解1.投影向量的概念.如圖,設(shè)a,b是兩個(gè)非零向量,AB=a,CD=b,我們考慮如下的變換:過(guò)AB的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B,分別作CD所在直線的垂線,垂足分別為A1,B1,得到A1B2.投影向量的求法.(1)設(shè)e是與a方向相同的單位向量,a與b的夾角為θ,則向量b在向量a方向上的投影向量為|b(2)設(shè)e是與b方向相同的單位向量,a與b的夾角為θ,則向量a在向量b上的投影向量為|a典例探究例2設(shè)e是與b方向相同的單位向量,已知|a|=3,|b|=5,且a與bA.322e B.3e C.4e變式訓(xùn)練2已知|a|=2,|b|=10,a與b的夾角θ=120°,設(shè)e1是與a方向相同的單位向量,則向量b在向量a上的投影向量是______;探究點(diǎn)3向量數(shù)量積的性質(zhì)知識(shí)詳解1.設(shè)a,b是非零向量,它們的夾角是θ,e是與(1)a?(2)a⊥(3)當(dāng)a與b同向時(shí),a?b=|a‖b|;當(dāng)a與b反向時(shí),(4)|a[特別提示]1.在實(shí)數(shù)運(yùn)算中,若ab=0,則a與b中至少有一個(gè)為0.而在向量數(shù)量積的運(yùn)算中,不能從a?b=0推出a=0或(1)a=0,b=0;(2)a=02.在實(shí)數(shù)運(yùn)算中,若a,b∈R,則|ab|=|a|?|b|.但對(duì)于向量a典例探究例3給出以下命題:①a?0=0;②0?a=0;③0-AB=BA;④|a?b|=|a‖b|;⑤若a≠0其中正確命題的序號(hào)是______.變式訓(xùn)練3給出下面的關(guān)系式:①0?a=0;②a?b=b?a;③A.1 B.2 C.3 D.4 易錯(cuò)易混解讀例如圖,在?ABCD中,|AB|=2,|AD|=4,∠DAB=60°.設(shè)課堂檢測(cè)1.若向量a,b滿足|a|=|b|=A.12 B.32 C.1+32.已知|a|=8,|b|=4,a與b的夾角為120°,設(shè)eA.4e B.-4e C.2e 3.如果向量a,b滿足|a|=2,a?b=3,A.13 B.33 C.3 4.在ΔABC中,AB=aA