《向量的線性運(yùn)算》同步學(xué)案(教師版)

高中數(shù)學(xué)精編資源2/2《向量的線性運(yùn)算》同步學(xué)案情境導(dǎo)入質(zhì)點(diǎn)從點(diǎn)O出發(fā)做勻速直線運(yùn)動(dòng),若經(jīng)過(guò)1s的位移對(duì)應(yīng)的向量用a表示,那么在同方向上經(jīng)過(guò)6s的位移對(duì)應(yīng)的向量怎樣表示?自學(xué)導(dǎo)引1.向量的數(shù)乘.一般地,我們規(guī)定實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)這種運(yùn)算叫做向量的,記作,其長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下:(1)|λ(2)λa的方向由(1)可知,當(dāng)λ=0時(shí),λ由(1)(2)可知,(-2.向量數(shù)乘的運(yùn)算律.(1)λ((2)(λ+μ(3)λ(特別地,有(-λ)aλ(答案1.向量數(shù)乘λa(1)|λ||a|(2)λ>02.(1)(λμ)a(2)λa+μa(3)λ預(yù)習(xí)測(cè)評(píng)1.設(shè)a是非零向量,λ是非零實(shí)數(shù),則下列結(jié)論中正確的是()A.a與λaB.a與-λaC.a與λ2D.|2.已知m,n是實(shí)數(shù),a,b(1)m((2)(m-n(3)若ma=mb,(4)若ma=na,A.(1)(4)B.(1)(2)C.(1)(3)D.(3)(4)3.在ΔABC中,點(diǎn)P是AB上一點(diǎn),且CP=23CA+13A.1B.2C.1D.54.如圖,向量OA,OB,OC的終點(diǎn)在同一直線上,且AC=-3A.r=-12p+325.(1)(-(2)3(a答案1.C解析:只有當(dāng)λ>0時(shí),a與λa的方向相同,a與-λa的方向相反,且|λa|=λ|a|2.B解析:(1)和(2)正確;(3)中,若m=0,則不能推出a=b,錯(cuò)誤;(4)中,若a=0,3.A解析:由題意可得AP=CP-CA4.A解析:∵AC5.(1)8(2)-新知探究探究點(diǎn)1向量的數(shù)乘的定義知識(shí)詳解一般地,規(guī)定實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量,這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘,記作λa,其長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下(1)|λ(2)當(dāng)λ>0時(shí),λa的方向與a的方向相同;當(dāng)λ<0時(shí),λa由(1)可知,當(dāng)λ=0時(shí),λ由(1)(2)可知,(-1)a[特別提示]從兩個(gè)角度看向量的數(shù)乘:(1)代數(shù)角度：λ是實(shí)數(shù),a是向量,它們的積仍是向量;另外,λa=0的條件是λ=(2)幾何角度:對(duì)于向量的長(zhǎng)度而言,①當(dāng)|λ|>1時(shí),有|λa|>|a|,這意味著表示向量②當(dāng)0<|λ|<1時(shí),有|λa|<|a典例探究例1已知λ,μ∈R,且a≠0(1)λ<0時(shí),λa的方向與a(2)λ>0時(shí),λa的方向與a(3)λ=0時(shí),λa與a(4)λμ>0時(shí),λa的方向與μ(5)λμ<0時(shí),λa的方向與μA.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)解析:根據(jù)實(shí)數(shù)λ與向量a的積λa的方向的規(guī)定,易知(1)(2)都是正確的;對(duì)于(3),當(dāng)λ=0時(shí),λa=0,0與a是共線向量,故(3)正確;對(duì)于(4),由λμ>0可得λ,μ同為正或同為負(fù),所以λa和μa或者都與a同向,或者都與a反向,所以λa與μa是同向的,故(4)正確;對(duì)于(5),由λμ<0可得λ,μ異號(hào),所以λa和μa中,一個(gè)與答案:D歸納總結(jié):λ的正負(fù)決定向量λa的方向,λ的大小決定λa變式訓(xùn)練1設(shè)a是非零向量,λ是非零實(shí)數(shù),下列結(jié)論中正確的是()A.a的方向與-λa的方向相反 B.|-λa|≥|a| C.|答案:D解析:對(duì)于A,∵a是非零向量,λ是非零實(shí)數(shù),∴a的方向與-λa的方向相反或相同,A錯(cuò)誤;對(duì)于B,當(dāng)|λ|<1時(shí),|-λa|<|a|,B錯(cuò)誤;探究點(diǎn)2向量數(shù)乘的運(yùn)算律知識(shí)詳解1.設(shè)λ,μ為實(shí)數(shù)(1)λ((2)(λ+μ(3)λ(特別地,(-λλ(2.向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算.對(duì)于任意向量a,b,以及任意實(shí)數(shù)λ,μ典例探究例2計(jì)算:(1)(-(2)2(a(3)(x+y解析:利用向量的數(shù)乘的運(yùn)算律進(jìn)行計(jì)算.注意在去括號(hào)時(shí),如果括號(hào)前是負(fù)號(hào),則括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)前面的符號(hào)都要變號(hào).答案:(1)原式=((2)原式=2(3)原式=[(方法技巧:向量的數(shù)乘與數(shù)乘數(shù)不同,前者結(jié)果是一個(gè)向量,后者結(jié)果是一個(gè)數(shù),λ>0時(shí),λa與a同向;λ<0時(shí),λa與a反向;λ=0時(shí),λa=0,故λa與變式訓(xùn)練2化簡(jiǎn):14答案:1===-易錯(cuò)易混解讀例設(shè)向量a=3i+2j,b錯(cuò)解:原式===-=-=-==-13錯(cuò)因分析:向量的線性運(yùn)算類似多項(xiàng)式的運(yùn)算,在去、添括號(hào)時(shí)尤其要注意括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)符號(hào)的變化.在第一步去原式的括號(hào)時(shí),第二個(gè)括號(hào)前面是負(fù)號(hào),因此在去括號(hào)時(shí),括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)都要變號(hào),但這里的“-23b”沒(méi)有變號(hào),這是錯(cuò)誤一.在倒數(shù)第二步中,針對(duì)向量j的系數(shù)進(jìn)行添括號(hào)時(shí),括號(hào)前面是負(fù)號(hào),因此括號(hào)內(nèi)的各項(xiàng)都應(yīng)該變號(hào),但“-13正解:原式===-=-=-==-糾錯(cuò)心得:在進(jìn)行向量的線性運(yùn)算時(shí),可以類比多項(xiàng)式的計(jì)算,尤其要注意去、添括號(hào)時(shí)括號(hào)內(nèi)相應(yīng)各項(xiàng)前面符號(hào)的變化情況.課堂檢測(cè)1.化簡(jiǎn)131A.2a-b B.2b-2.在ΔABC中,如果AD,BE分別為BC,AC邊上的中線,且A.23a+43b B.3.在三棱錐O-ABC中,OA=a,OB=b,A.-a+1