2025年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)：銳角三角函數(shù) 壓軸解答題練習(xí)題（含答案解析）

第第頁2025年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)：銳角三角函數(shù)壓軸解答題練習(xí)題一．填空題（共25小題）1．如圖，sin∠O=35，長(zhǎng)度為2的線段DE在射線OB上滑動(dòng)，點(diǎn)C在射線OA上，且OC＝5，△CDE的兩個(gè)內(nèi)角的角平分線相交于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作FG⊥DE，垂足為G，則FG的最大值為2．如圖，△ABC為等邊三角形，點(diǎn)D在△ABC外，連接BD、CD．若∠ABD＝2∠ACD，tan∠ACD=235，BD=37，則3．如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，AB∥CD，點(diǎn)E是四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，∠BEC＝90°，F(xiàn)是AE的中點(diǎn)，連DF，若AB＝3，BC＝2，tan∠BAD＝2，則DF+1010AF的最小值為4．如圖，BE是△ABC的角平分線，F(xiàn)是AB上一點(diǎn)，∠ACF＝∠EBC，BE、CF相交于點(diǎn)G．若sin∠AEB=255，BG＝4，EG＝5，則S△ABE5．圖1是某折疊式躺椅的實(shí)物圖，圖2是靠背垂直地面時(shí)的側(cè)面展開圖，此時(shí)四邊形ABCD是矩形，AB＝20cm，AD＝305cm，DE＝60cm，BF＝30cm．點(diǎn)H在BC上，椅子的支撐桿AF、BG、CE分別繞B、H、D轉(zhuǎn)動(dòng)并帶動(dòng)AI轉(zhuǎn)動(dòng)，支撐桿LK、JM不動(dòng)．躺椅在轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)：（1）若直線EF過點(diǎn)J，當(dāng)∠ADE＝120°時(shí)，△AFJ的面積是cm2．（2）若12＜tan∠EDI＜2，EF與地面的夾角為α，則tanα的取值范圍是6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知Rt△ABC可運(yùn)動(dòng)（平移或旋轉(zhuǎn)），且∠C＝90°，BC=5+4，tanA=12，若以點(diǎn)M（3，6）為圓心，2為半徑的⊙M始終在△ABC的內(nèi)部，則△ABC的頂點(diǎn)C到原點(diǎn)7．“曲柄搖桿機(jī)構(gòu)”是一種運(yùn)動(dòng)零件．圖1是某個(gè)“曲柄搖桿”的示意圖，它由四條固定長(zhǎng)度的線段組成，其中AB是靜止不動(dòng)的機(jī)架，AD是繞A做圓周運(yùn)動(dòng)的曲柄，BC是繞B上下擺動(dòng)的搖桿，CD是連結(jié)AD和BC兩個(gè)運(yùn)動(dòng)的連桿，A，B，C，D始終在同一平面內(nèi)．已知AB＝BC＝5．當(dāng)D運(yùn)動(dòng)到圖2位置時(shí)，記AB，CD的交點(diǎn)為E，現(xiàn)測(cè)得AD⊥BC，AD＝DE，tan∠DAE=34，則CD＝．圖2之后，D繞A繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)C再次回到圖2位置時(shí)（如圖3），則此時(shí)“曲柄搖桿”所圍成的四邊形ABCD的面積為8．如圖，△ABC中，CD為邊AB上的中線，點(diǎn)E在AC上，連接BE交CD于點(diǎn)F，∠BEC＝120°，BF＝AE+EF，若AB＝47，AE＝8，則CD的長(zhǎng)為．9．如圖是一種手機(jī)三腳架，它通過改變鎖扣C在主軸AB上的位置調(diào)節(jié)三腳架的高度，其它支架長(zhǎng)度固定不變，已知支腳DE＝AB．底座CD⊥AB，BG⊥AB，且CD＝BG，F(xiàn)是DE上的固定點(diǎn)，且EF：DF＝2：3．（1）當(dāng)點(diǎn)B，G，E三點(diǎn)在同一直線上（如圖1所示）時(shí)，測(cè)得tan∠BED＝2．設(shè)BC＝5a，則FG＝（用含a的代數(shù)式表示）；（2）在（1）的條件下，若將點(diǎn)C向下移動(dòng)24cm，則點(diǎn)B，G，F(xiàn)三點(diǎn)在同一直線上（如圖2），此時(shí)點(diǎn)A離地面的高度是cm．10．如圖2，有一塊四邊形的鐵板余料ABCD，經(jīng)測(cè)量AB＝50cm，BC＝108cm，CD＝60cm，且tanB＝tanC=43，若要從這塊余料中裁出頂點(diǎn)M、N在邊BC上且面積最大的矩形PQMN，則該矩形的面積為cm11．如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D為△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，且∠ADB+∠BAC＝240°，∠ADC＝2∠ABC，若3BD＝2CD，則tan∠ADC的值為．12．如圖，△ABC中，AB＝AC，tanC=34，D、F分別在邊AC、BC上，作AE⊥BD，DE∥AF交AE于E．若AEBD=13．在△ABC中，已知b＝1，c＝2，AD是∠A的平分線，AD=233，則∠C14．如圖，Rt△ABC，∠C＝90°，tanA=12，D是AC中點(diǎn)，∠ABD＝∠FBD，BC＝6，CF∥AB，則DF＝15．如圖，在△ABC中，AB＝AC，BC＝12，D為AC邊的中點(diǎn)，線段BD的垂直平分線分別與邊BC，AB交于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接DF，DE．設(shè)BE＝x，tan∠ACB＝y(tǒng)．給出以下結(jié)論：①DF∥BC；②△BDE的面積為32xy；③△CDE的周長(zhǎng)為12+x；④x2﹣y2＝9；⑤2x﹣y2＝9．其中正確結(jié)論有16．如圖，C為射線AM上一點(diǎn)，以點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)作∠BCD交射線AN于D，B兩點(diǎn)，當(dāng)tanA=34時(shí)，ADBD17．在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝8，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E是邊AC上一點(diǎn)，過點(diǎn)D作ED的垂線交邊AC于點(diǎn)F，若AC＝7CF，且DE恰好平分△ABC的周長(zhǎng)，則△ABC的面積為．18．如圖，已知四邊形ABCD的一組對(duì)邊AD、BC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E．另一組對(duì)邊AB、DC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F，若cos∠ABC＝cos∠ADC=35，CD＝5，CF＝ED＝n，則AD的長(zhǎng)為（用含19．如圖，線段AC，BD交于點(diǎn)P，∠A＝30°，∠ACD＝120°，∠D＝15°，AB＝1，CD=3，則BD的長(zhǎng)為20．等腰三角形ABC，AB＝BC，tan∠BAC＝2，D為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接AD、BD、CD，AD＝3，BD＝25，CD＝5，則AB＝．21．已知△ABC中，滿足1tanA2+1tanC2=22．“5?12”汶川大地震使不少建筑物受損．某地一水塔地震時(shí)發(fā)生了嚴(yán)重沉陷（未傾斜）．如圖，已知地震前，在距該水塔30米的A處測(cè)得塔頂B的仰角為60°；地震后，在A處測(cè)得塔頂B的仰角為45°，則該水塔沉陷了米．（精確到0.01，3≈1.7321，223．（按課改要求命制）如圖，設(shè)P是等邊三角形ABC內(nèi)的一點(diǎn)，PA＝1，PB＝2，PC=5，將△ABP繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使AB與AC重合，點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)到P′外，則sin∠PCP′的值是24．如圖，在矩形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別為AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，若AH：AE＝4：3，四邊形EFGH的周長(zhǎng)是40cm，則矩形ABCD的面積是cm2．25．在△ABC中，tan∠ABC=512，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，過A作AE⊥AB交BC于點(diǎn)E，若AE＝EC，BD=26，則AB

參考答案與試題解析一．填空題（共25小題）1．如圖，sin∠O=35，長(zhǎng)度為2的線段DE在射線OB上滑動(dòng)，點(diǎn)C在射線OA上，且OC＝5，△CDE的兩個(gè)內(nèi)角的角平分線相交于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作FG⊥DE，垂足為G，則FG的最大值為10【考點(diǎn)】解直角三角形；角平分線的性質(zhì)．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；應(yīng)用意識(shí)．【答案】10?1【分析】如圖1中，連接CF，過點(diǎn)F作FM⊥CD于M，F(xiàn)N⊥EC于N，過點(diǎn)C作CH⊥OE于H．利用面積法可得FG?（2+EC+CD）＝6，推出當(dāng)EC+CD的值最小時(shí)，F(xiàn)G的值最大，想辦法求出EC+CD的最小值即可．【解答】解：如圖1中，連接CF，過點(diǎn)F作FM⊥CD于M，F(xiàn)N⊥EC于N，過點(diǎn)C作CH⊥OE于H．∵△CDE的兩個(gè)內(nèi)角的角平分線相交于點(diǎn)F，F(xiàn)G⊥DE，F(xiàn)M⊥CD，F(xiàn)N⊥EC，∴FG＝FM＝FN，在Rt△OCH中，∵∠CHO＝90°，OC＝5，∴sinO=CH∴CH＝3，∴S△DEC=12?DE?CH=12?EC?FN+12?CD?FM∴FG?（2+EC+CD）＝6，∴當(dāng)EC+CD的值最小時(shí)，F(xiàn)G的值最大，如圖2中，過點(diǎn)C作CK∥DE，使得CK＝DE＝2，作點(diǎn)K關(guān)于直線OB的對(duì)稱點(diǎn)J，連接CJ交OB于E，連接EJ交OB于T，截取ED＝CD，此時(shí)CE+CD的值最小，最小值＝CJ的長(zhǎng)．由圖1可知KT＝TJ＝3，在Rt△JKC中，∵∠JKC＝90°，CK＝2，JK＝6，∴CJ=KJ2∴CE+CD的最小值＝210，∴FG的最大值=6故答案為：10?1【點(diǎn)評(píng)】考查了軸對(duì)稱最短問題，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考?jí)狠S題．2．如圖，△ABC為等邊三角形，點(diǎn)D在△ABC外，連接BD、CD．若∠ABD＝2∠ACD，tan∠ACD=235，BD=37，則【考點(diǎn)】解直角三角形；等邊三角形的性質(zhì)．【專題】與圓有關(guān)的計(jì)算；解直角三角形及其應(yīng)用；應(yīng)用意識(shí)．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】如圖，連接AD，作BH⊥AD于H，作DE⊥CB交CB的延長(zhǎng)線于E，作CM⊥DA交DA的延長(zhǎng)線于M．首先證明BD＝BC，推出△ADC的外接圓的圓心是點(diǎn)B，推出∠ADC=12∠ABC＝30°，解直角三角形求出DH，設(shè)CM＝x，則DM=3x，CD＝2x，AM=3x﹣43，在Rt△ACM中，根據(jù)AC2＝AM2【解答】解：如圖，連接AD，作BH⊥AD于H，作DE⊥CB交CB的延長(zhǎng)線于E，作CM⊥DA交DA的延長(zhǎng)線于M．∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∵∠DBE＝180°﹣∠ABD﹣∠ABC＝120°﹣2∠ACD＝120°﹣2（60°﹣∠BCD）＝2∠BCD，又∵∠DBE＝∠BDC+∠BCD，∴∠BCD＝∠BDC，∴BD＝BC，∴BD＝BA＝BC＝AC=37∴△ADC的外接圓的圓心是點(diǎn)B，∴∠ADC=12∠∵BD＝BA，BH⊥AD，∴∠ABH＝∠DBH，∵∠ABD＝2∠ACD，∴∠BDH＝∠ACD，∴tan∠DBH＝tan∠ACD=2設(shè)DH＝23k，BH＝5k，∴（23k）2+（5k）2＝37，∴k＝1或﹣1（舍棄），∴DH＝AH＝23，設(shè)CM＝x，則DM=3x，CD＝2x∴AM=3x﹣43在Rt△ACM中，∵AC2＝AM2+CM2，∴37＝（3x﹣43）2+x2，解得x=12（舍棄）或∴CM=11∴CD＝2x＝11，故答案為11．【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形，等邊三角形的性質(zhì)，三角形的外接圓等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)點(diǎn)B是△ACD的外接圓的圓心，屬于中考填空題中的壓軸題．3．如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，AB∥CD，點(diǎn)E是四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，∠BEC＝90°，F(xiàn)是AE的中點(diǎn)，連DF，若AB＝3，BC＝2，tan∠BAD＝2，則DF+1010AF的最小值為1010【考點(diǎn)】解直角三角形；勾股定理．【專題】幾何綜合題；推理能力．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】取BC的中點(diǎn)為點(diǎn)G，連接GE、AG，取AG的中點(diǎn)為點(diǎn)H，連接FH，根據(jù)直角三角形斜邊上中點(diǎn)的性質(zhì)以及三角形的中位線定理可得GE＝1，HF=12，由勾股定理可得AG=10，從而得到AH=102，在AH上取一點(diǎn)M，使得∠HFM＝∠HAF，連接FM，則△FHM∽△AHF，從而即可得到FHAH=FMAF=HMHF=12102=1010，F(xiàn)M=1010AF，HM=1010HF=1010×12=1020，可得DF+1010AF=DF+FM，連接DM，可知當(dāng)D、F、M三點(diǎn)共線時(shí)，DF+1010【解答】解：如圖，取BC的中點(diǎn)為點(diǎn)G，連接GE、AG，取AG的中點(diǎn)為點(diǎn)H，連接FH，∵BC＝2，∠CEB＝90°，點(diǎn)G為BC的中點(diǎn)，∴GE=12BC∵F為AE的中點(diǎn)，H為AG的中點(diǎn)，∴HF為△AGE的中位線，∴HF=12GE在Rt△ABG中，BG＝1，AB＝3，∴AG=B∵H為AG的中點(diǎn)，∴AH=10在AH上取一點(diǎn)M，使得∠HFM＝∠HAF，連接FM，∵∠FHM＝∠AHF，∴△FHM∽△AHF，∴FHAH∴FM=1010AF，∴DF+1010AF=DF連接DM，∴當(dāng)D、F、M三點(diǎn)共線時(shí)，DF+10連接DH，過點(diǎn)D作DN⊥AB于N，連接DG，∵AB∥CD，∠ABC＝90°，∴∠ABC＝∠BCD＝∠BND＝90°，∴四邊形BCDN是矩形，∴DN＝BC＝2，∠DNA＝90°，∵tan∠BAD=DN∴AN＝1，∴BN＝AB﹣AN＝3﹣1＝2＝BC，∴四邊形BCDN是正方形，∴CD＝DN＝2，在△CDG和△NDA中，CG=AN∠DCG=∠DNA∴△CDG≌△NDA（SAS），∴∠CDG＝∠NDA，GD＝AD，∵∠CDG+∠GDN＝90°，∴∠NDA+∠GDN＝∠GDA＝90°，∴△ADG是等腰直角三角形，∴DH=12AG=102，∴∠DHM＝90°，∴DM=D∴DF+1010AF的最小值為故答案為：101020【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形的中位線定理、直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、解直角三角形、勾股定理等知識(shí)，添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．4．如圖，BE是△ABC的角平分線，F(xiàn)是AB上一點(diǎn)，∠ACF＝∠EBC，BE、CF相交于點(diǎn)G．若sin∠AEB=255，BG＝4，EG＝5，則S△ABE＝【考點(diǎn)】解直角三角形；角平分線的性質(zhì)．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；應(yīng)用意識(shí)．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】如圖，過點(diǎn)B作BT⊥AC于T，連接EF．在Rt△BET中，解直角三角形求出BT，ET，BC，由△ECG∽△EBC，求出EC，CG，再利用相似三角形的性質(zhì)求出EF，BF，AE，AB，證明點(diǎn)T與點(diǎn)A重合即可解決問題．【解答】解：如圖，過點(diǎn)B作BT⊥AC于T，連接EF．∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∵∠ECG＝∠ABE，∴∠ECG＝∠CBE，∵∠CEG＝∠CEB，∴△ECG∽△EBC，∴ECEB∴EC2＝EG?EB＝5×（5+4）＝45，∵EC＞0，∴EC＝35，在Rt△BET中，∵sin∠AEB=BTBE=∴BT=18∴ET=B∴CT＝ET+CE=24∴BC=BT2∴CG=EG?BC∵∠ECG＝∠FBG，∴E，F(xiàn)，B，C四點(diǎn)共圓，∴∠EFG＝∠CBG，∵∠FGE＝∠BGC，∴△EGF∽△CGB，∴EFCB∴EF6∴EF＝35，∵∠AFE＝∠ACB，∠EAF＝∠BAC，∴△EAF∽△BAC，∴AEAB=AFAC=EFBC=1∵∠FBG＝∠ECG，∠BGF＝∠CGE，∴△BGF∽△CGE，∴BFCE∴BF3∴BF=6∵AE?AC＝AF?AB，∴x（x+35）＝（2x?655解得x=9∴AE＝ET=9∴點(diǎn)A與點(diǎn)T重合，∴AB＝2AE=18∴S△ABE=12×AB×故答案為815【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，角平分線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，四點(diǎn)共圓等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題．5．圖1是某折疊式躺椅的實(shí)物圖，圖2是靠背垂直地面時(shí)的側(cè)面展開圖，此時(shí)四邊形ABCD是矩形，AB＝20cm，AD＝305cm，DE＝60cm，BF＝30cm．點(diǎn)H在BC上，椅子的支撐桿AF、BG、CE分別繞B、H、D轉(zhuǎn)動(dòng)并帶動(dòng)AI轉(zhuǎn)動(dòng)，支撐桿LK、JM不動(dòng)．躺椅在轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)：（1）若直線EF過點(diǎn)J，當(dāng)∠ADE＝120°時(shí)，△AFJ的面積是18751511cm（2）若12＜tan∠EDI＜2，EF與地面的夾角為α，則tanα的取值范圍是1137＜tan【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問題；矩形的判定；銳角三角函數(shù)的增減性．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】18751511cm2；1137＜【分析】（1）先證明△FAJ∽△EDJ，得到AFDE=AJDJ，進(jìn)一步得到AFDE=AJDJ=5060=56，求得AJ，過點(diǎn)F作FN⊥（2）分tan∠EDI=12和tan∠EDI＝2兩種情況，求解tana，由EF與地面的夾角α隨著∠EDI的增大而增大，求得tan【解答】解：（1）若直線EF過點(diǎn)J，當(dāng)∠ADE＝120°時(shí)，如圖1所示，由題意可知，AB∥CD，∴∠F＝∠E，∠FAJ＝∠ADE＝120°，∴△FAJ∽△EDJ，∴AFDE∵AF＝AB+BF＝50cm，DE＝60cm，∴AFDE∴AJ=511AD=過點(diǎn)F作FN⊥DA交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，則∠ANF＝90°，在Rt△AFN中，∠FAN＝180°﹣∠FAJ＝60°，AF＝50cm，∴FN＝AFsin∠FAN＝50×sin60°＝253，∴△AFJ的面積=12×AJ×FN=（2）當(dāng)tan∠EDI=12時(shí)，如圖2所示，作EP⊥DI于點(diǎn)P，則∠EPD＝90°，設(shè)EF交AD于點(diǎn)由題意可知，AB∥CD，∴∠F＝∠QED，∠FAQ＝∠QDE，∴△FAQ∽△EDQ，∴AFDE∵AF＝AB+BF＝50cm，DE＝60cm，∴AFDE∴DQ=611AD=設(shè)EP＝x，則DP＝2x，由勾股定理得：EP2+DP2＝DE2，∴x2+（2x）2＝602，解得x＝125cm，∴EP＝125cm，DP＝245cm，PQ＝DP+DQ=4445∴tanα＝tan∠EQP=EP當(dāng)tan∠EDI＝2時(shí)，如圖3所示，同理可求得DQ=180511cm，DP＝125cm，EP＝24∴PQ＝DP+DQ=3125∴tanα＝tan∠EQP=EP∵EF與地面的夾角α隨著∠EDI的增大而增大，∴當(dāng)12＜tan∠EDI＜2時(shí)，tanα的取值范圍是1137＜故答案為：18751511cm2；1137＜【點(diǎn)評(píng)】此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函數(shù)等知識(shí)，讀懂題意，分情況畫出圖形是解題的關(guān)鍵．6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知Rt△ABC可運(yùn)動(dòng)（平移或旋轉(zhuǎn)），且∠C＝90°，BC=5+4，tanA=12，若以點(diǎn)M（3，6）為圓心，2為半徑的⊙M始終在△ABC的內(nèi)部，則△ABC的頂點(diǎn)C到原點(diǎn)O的距離的最小值為【考點(diǎn)】解直角三角形；坐標(biāo)與圖形變化﹣平移；坐標(biāo)與圖形變化﹣旋轉(zhuǎn)．【專題】動(dòng)點(diǎn)型；平面直角坐標(biāo)系；與圓有關(guān)的計(jì)算；應(yīng)用意識(shí)．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】如圖，設(shè)⊙M與AC相切于點(diǎn)J，與AB相切于點(diǎn)T，連接OC，MJ，MT，延長(zhǎng)JM交AB于F．解直角三角形求出CM，OM，根據(jù)OC≥OM﹣CM即可解決問題．【解答】解：如圖，設(shè)⊙M與AC相切于點(diǎn)J，與AB相切于點(diǎn)T，連接OC，MJ，MT，延長(zhǎng)JM交AB于F．∵AC，AB是⊙O的切線，∴MJ⊥AC，MT⊥AB，∴∠AJM＝∠ATM＝90°，∴∠A+∠JMT＝180°，∵∠JMT+∠FMT＝180°，∴∠A＝∠FMT，∴tanA＝tan∠FMT=1∵M(jìn)T＝2，∴TF＝1，F(xiàn)M=M∴JF＝MJ+MF＝2+5∴AJ＝2FJ＝4+25，∵AC＝2BC＝8+25，∴CJ＝4，∵∠CJM＝90°，∴CM=CJ2∵M(jìn)（3，6），∴OM=32+∵OC≥OM﹣CM，∴OC≥35?25∴OC≥5∴OC的最小值為5．故答案為5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形，切線的性質(zhì)，坐標(biāo)由圖形變化﹣旋轉(zhuǎn)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題．7．“曲柄搖桿機(jī)構(gòu)”是一種運(yùn)動(dòng)零件．圖1是某個(gè)“曲柄搖桿”的示意圖，它由四條固定長(zhǎng)度的線段組成，其中AB是靜止不動(dòng)的機(jī)架，AD是繞A做圓周運(yùn)動(dòng)的曲柄，BC是繞B上下擺動(dòng)的搖桿，CD是連結(jié)AD和BC兩個(gè)運(yùn)動(dòng)的連桿，A，B，C，D始終在同一平面內(nèi)．已知AB＝BC＝5．當(dāng)D運(yùn)動(dòng)到圖2位置時(shí)，記AB，CD的交點(diǎn)為E，現(xiàn)測(cè)得AD⊥BC，AD＝DE，tan∠DAE=34，則CD＝253．圖2之后，D繞A繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)C再次回到圖2位置時(shí)（如圖3），則此時(shí)“曲柄搖桿”所圍成的四邊形ABCD的面積為【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用；等腰三角形的性質(zhì)．【專題】圖形的相似；解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）延長(zhǎng)AD交CB的延長(zhǎng)線于F，作BG∥CD交AF于G，先解Rt△ABF，求得AF和BF，推出△ABG是等腰三角形，設(shè)AG＝BG＝x，在Rt△BFG中列出方程，求得BG，再根據(jù)△FBG∽△FCD列出比例式，求得CD；（2）在AF上截取AD′＝AD，連接CD′（即還原圖2的CD的位置），根據(jù)勾股定理求得D′F的長(zhǎng)，進(jìn)而求得△ACD′及△ABC的面積，進(jìn)而求得四邊形ABCD的面積．【解答】解：如圖1，延長(zhǎng)AD交CB的延長(zhǎng)線于F，作BG∥CD交AF于G，∴△ADE∽△AGB，△FBG∽△FCD，∴DEBG=AD∵AD＝DE，∴AG＝BG，∵AD⊥BC，∴∠F＝90°，∵AB＝5，tan∠DAE=3∴BF＝3，AF＝4，設(shè)AG＝BG＝x，則FG＝4﹣x，在Rt△BFG中，由勾股定理得，F(xiàn)G2+BF2＝BG2，∴（4﹣x）2+32＝x2∴x=25∴258∴CD=25如圖2，CD′是CD在圖2的位置，在△ACD和△ACD′中，CD=CD′AC=AC∴△ACD≌△ACD′（SSS），∵∠F＝90°，CF＝8，CD′＝CD=25∴D′F=(∴AD′＝AF﹣D′F＝4?7∴S△ACD′=12AD′?∴S△ACD=20∵S△ABC∴S四邊形ABCD＝10+20故答案為：253，50【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造相似三角形及轉(zhuǎn)化圖形的面積．8．如圖，△ABC中，CD為邊AB上的中線，點(diǎn)E在AC上，連接BE交CD于點(diǎn)F，∠BEC＝120°，BF＝AE+EF，若AB＝47，AE＝8，則CD的長(zhǎng)為63．【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用；等腰三角形的判定與性質(zhì)；三角形中位線定理．【專題】等腰三角形與直角三角形；解直角三角形及其應(yīng)用；推理能力．【答案】63．【分析】如圖，延長(zhǎng)BE到T，使得ET＝AE，連接AT，過點(diǎn)A作AJ⊥BE于J，過點(diǎn)E作EK⊥CD于K．解直角三角形求出AT，BT，再利用三角形中位線定理求出DF，證明EF＝EC＝2，可得結(jié)論．【解答】解：如圖，延長(zhǎng)BE到T，使得ET＝AE，連接AT，過點(diǎn)A作AJ⊥BE于J，過點(diǎn)E作EK⊥CD于K．∵∠BEC＝120°，∴∠AET＝∠BEC＝120°，∴∠AEJ＝180°﹣∠AET＝60°，∵AE＝ET＝8，∴∠T＝∠EAT＝30°，∴JE=12∴AJ=AE2∴AT＝2AJ＝83，JT＝4+8＝12，∵BF＝AE+EF＝EF+ET＝FT，BD＝AD，∴DF∥AT，DF=12AT＝4在Rt△ABJ中，BJ=A∴BT＝BJ+JT＝8+12＝20，∵BF＝EF+8，∴BF+EF+ET＝20，∴EF＝2，∵AT∥FC，∴∠ECF＝∠EAT＝30°，∠EFC＝∠T＝30°，∴∠ECF＝∠EFC＝30°，∴EF＝EC＝2，∵EK⊥CF，∴EK=12∴FK＝KC=E∴CF＝2FK＝23，∴CD＝DF+CF＝63，故答案為：63【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，三角形中位線定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造三角形中位線解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題．9．如圖是一種手機(jī)三腳架，它通過改變鎖扣C在主軸AB上的位置調(diào)節(jié)三腳架的高度，其它支架長(zhǎng)度固定不變，已知支腳DE＝AB．底座CD⊥AB，BG⊥AB，且CD＝BG，F(xiàn)是DE上的固定點(diǎn)，且EF：DF＝2：3．（1）當(dāng)點(diǎn)B，G，E三點(diǎn)在同一直線上（如圖1所示）時(shí)，測(cè)得tan∠BED＝2．設(shè)BC＝5a，則FG＝5a2（用含a（2）在（1）的條件下，若將點(diǎn)C向下移動(dòng)24cm，則點(diǎn)B，G，F(xiàn)三點(diǎn)在同一直線上（如圖2），此時(shí)點(diǎn)A離地面的高度是（19+195）cm．【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用；相似三角形的判定與性質(zhì)．【專題】壓軸題；推理填空題；解直角三角形及其應(yīng)用；應(yīng)用意識(shí)．【答案】（1）5a2（2）19+195．【分析】（1）如圖1中，連接DG，EG，過點(diǎn)F作FH⊥BE于H，則四邊形CDGB是矩形．可得BC＝DG＝5a，根據(jù)勾股定理和已知條件可得EG和DE，再證明△EFH∽△EDG，可得DF，根據(jù)勾股定理即可解決問題；（2）如圖1中，連接DG，EG，過點(diǎn)F作FH⊥BE于H，則四邊形CDGB是矩形．如圖2中，連接DG．作EJ⊥BF交BF的延長(zhǎng)線于J．利用勾股定理構(gòu)建方程求出x即可．【解答】解：（1）如圖1中，連接DG，EG，過點(diǎn)F作FH⊥BE于H，則四邊形CDGB是矩形．∴BC＝DG＝5a，在Rt△DEG中，tan∠DEB=DG∴EG=5a2，DE=∵FH∥DG，∴EFDF∴△EFH∽△EDG，∴EFDE∴EF=25DE=25∴DF=352a，EH=25EG=25×5a2=a，HG∴FH=EF2∴FG=F故答案為：5a2（2）如圖1中，連接DG，EG，過點(diǎn)F作FH⊥BE于H，則四邊形CDGB是矩形．設(shè)BC＝DG＝2xcm，在Rt△DEG中，tan∠DEB=DG∴EG＝x（cm），DE=EG2+D∵FH∥DG，∴EFDF∴DF=355x（cm），EH=25x（cm），HG∴FH=EF2?F∴FG=FH2+H如圖2中，連接DG．∵DF2＝DG2+FG2，∴（355x）2＝x2+（2x﹣24）解得x＝15+35或15﹣35（舍棄），∴AB＝DE=5x＝（15+155）cm作EJ⊥BF交BF的延長(zhǎng)線于J．則EJ＝EF?sin∠EFJ＝（4+45）cm，∴點(diǎn)A離地面的高度＝AB+EJ＝（19+195）cm．故答案為：19+195．【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題．10．如圖2，有一塊四邊形的鐵板余料ABCD，經(jīng)測(cè)量AB＝50cm，BC＝108cm，CD＝60cm，且tanB＝tanC=43，若要從這塊余料中裁出頂點(diǎn)M、N在邊BC上且面積最大的矩形PQMN，則該矩形的面積為1944cm【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用；等腰三角形的性質(zhì)；三角形中位線定理；相似三角形的判定與性質(zhì)．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】1944．【分析】延長(zhǎng)BA、CD交于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EH⊥BC于點(diǎn)H，中位線PQ的兩端點(diǎn)在線段AB、CD上，在△ABC中，設(shè)BC＝a，BC邊上的高AD＝h，矩形PQMN的頂點(diǎn)P、N分別在邊AB、AC上，頂點(diǎn)Q、M在邊BC上，由△APN∽△ABC，設(shè)PQ＝x，則S矩形PQMN＝PQ?PN＝x（a?a?x）=?a?x2+ax=?a?（x??2）2+a?4，可得當(dāng)PQ【解答】解：如圖，延長(zhǎng)BA、CD交于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EH⊥BC于點(diǎn)H，交PQ于點(diǎn)G，如圖，設(shè)矩形PQMN，∵tanB＝tanC=4∴∠B＝∠C，∴EB＝EC，∵BC＝108cm，且EH⊥BC，∴BH＝CH=12BC＝54∵tanB=EH∴EH=43BH=4∴EG＝EH﹣GH＝72﹣QM，∵PQ∥BC，∴△EQP∽△EBC，∴PQBC=EG∴PQ=32（72﹣設(shè)QM＝x，則S矩形PQMN＝PQ?QM=32x（72﹣x）=?32（∴當(dāng)x＝36時(shí)，S矩形PQMN最大值為1944，所以當(dāng)QM＝36時(shí)，矩形PQMN的最大面積為1944cm2，答：該矩形的面積為1944cm2．故答案為：1944．【點(diǎn)評(píng)】本題屬于四邊形綜合題，主要考查解直角三角形的應(yīng)用、中位線定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、二次函數(shù)的最值及類比思想的運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．11．如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D為△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，且∠ADB+∠BAC＝240°，∠ADC＝2∠ABC，若3BD＝2CD，則tan∠ADC的值為43．【考點(diǎn)】解直角三角形；等腰三角形的性質(zhì)．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；推理能力．【答案】43．【分析】在CD上取一點(diǎn)T，使得∠DAT＝60°，過點(diǎn)T作TH⊥AD于H．想辦法證明△ADB≌△CTA（AAS），推出BD＝AT，AD＝CT，可以假設(shè)BD＝3k，CD＝2k，則AH＝AT?cos60°＝k，HT＝AT?sin60°=3k，設(shè)AD＝CT＝x，則DH＝x﹣k，利用勾股定理求出x=54k，可得DH【解答】解：在CD上取一點(diǎn)T，使得∠DAT＝60°，過點(diǎn)T作TH⊥AD于H．∵∠ADB+∠BAC＝240°，∴∠ADB+∠BAD+60°+∠CAT＝240°，∴∠ADB+∠BAD+∠CAT＝180°，∵∠ADB+∠BAD+∠ABD＝180°，∴∠ABD＝∠CAT，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠ADC＝2∠ABC，∠ADT+∠DAT+∠ATD＝180°，∠BAC+2∠ABC＝180°，∴∠BAC＝∠DAT+∠ATD＝60°+∠ATD，∴∠ATC+∠ABC＝∠ATC+∠ATD+∠DAT＝240°，∴∠ADB＝∠ATC，∴△ADB≌△CTA（AAS），∴BD＝AT，AD＝CT，∵3BD＝2CD，∴可以假設(shè)BD＝2k，CD＝3k，則AH＝AT?cos60°＝k，HT＝AT?sin60°=3k設(shè)AD＝CT＝x，則DH＝x﹣k，在Rt△DHT中，DT2＝DH2+HT2，∴（x﹣k）2+（3k）2＝（3k﹣x）2∴x=54∴DH=14∴tan∠ADC=HTDH=故答案為：43．【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，全等三角形的判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題．12．如圖，△ABC中，AB＝AC，tanC=34，D、F分別在邊AC、BC上，作AE⊥BD，DE∥AF交AE于E．若AEBD=34【考點(diǎn)】解直角三角形；平行線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；應(yīng)用意識(shí)．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】如圖，過點(diǎn)A作AH⊥BC于H，連接DH，EH，設(shè)BD交AH于O，交AE于K，設(shè)DH交AE于T．想辦法證明△CDH∽△BFA，推出CDBF【解答】解：如圖，過點(diǎn)A作AH⊥BC于H，連接DH，EH，設(shè)BD交AH于O，交AE于K，設(shè)DH交AE于T．∵BD⊥AE，AH⊥BC，∴∠AKO＝∠BHO＝90°，∵∠AOK＝∠BOH，∴∠DBH＝∠EAH，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∴tan∠ABC＝tan∠C=AH∵AEBD∴AHBH∴△AHE∽△HBD，∴∠AEH＝∠BDH，EHDH∵∠DTK＝∠ETH，∴∠DHE＝∠DKT＝90°，∴tan∠HDE＝tan∠C=3∴∠HDE＝∠C，∵∠DJH＝∠C+∠CDJ，∠CDH＝∠CDJ+∠EDH，∴∠DJH＝∠CDH，∵AF∥DE，∴∠AFB＝∠CDH，∵∠ABH＝∠C，∴△CDH∽△BFA，∴CDBF設(shè)AH＝3k，則BH＝CH＝4k，AB＝AC＝5k，∴CDBF故答案為45【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題．13．在△ABC中，已知b＝1，c＝2，AD是∠A的平分線，AD=233，則∠C【考點(diǎn)】解直角三角形．【專題】計(jì)算題；解直角三角形及其應(yīng)用．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】如圖作CE∥AB交AD的延長(zhǎng)線于E．首先證明CA＝CE，求出AE，解直角三角形求出∠CAD，∠CDH即可解決問題．【解答】解：如圖作CE∥AB交AD的延長(zhǎng)線于E．∵EC∥AB，∴∠E＝∠EAB，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝∠DAB＝∠E，∴AC＝CE＝1，∴CEAB∴DE=3∴AE=3∵CA＝CE，CH⊥AE，∴AH＝HE=3∴cos∠CAH=3∴∠CAD＝30°，∴CH=12，DH∴tan∠CDH=CH∴∠CDH＝60°∴∠ACD＝90°．故答案為：90°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解三角形的有關(guān)知識(shí)和方法，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)出現(xiàn)角平分線，構(gòu)造平行線解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題．14．如圖，Rt△ABC，∠C＝90°，tanA=12，D是AC中點(diǎn)，∠ABD＝∠FBD，BC＝6，CF∥AB，則DF＝2【考點(diǎn)】解直角三角形；全等三角形的判定與性質(zhì)；銳角三角函數(shù)的定義．【專題】推理填空題；解直角三角形及其應(yīng)用；推理能力．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)已知條件證明∠EBC＝∠A，再根據(jù)銳角三角函數(shù)和勾股定理即可求解．【解答】解：如圖：過點(diǎn)F作FG⊥AC于點(diǎn)G，∵∠ACB＝90°，∴BC⊥AC，∴GF∥BC．∵tan∠A=BCD是AC中點(diǎn)，∴BC＝CD＝AD，∴∠CBD＝∠CDB＝45°，∴∠ABD+∠A＝45°，∠FBD+∠FBC＝45°，∵∠ABD＝∠FBD，∴∠FBC＝∠A，∴tan∠EBC＝tan∠A=1即在Rt△CBE中，tan∠EBC=CE∴CE6∴CE＝3．根據(jù)勾股定理，得BE=CB2∵CF∥AB，∴EFBE即EF3∴EF=5∵GF∥BC．∴FGBC∴FG6∴FG＝2，EG＝1．∴DG＝DE﹣EG＝3﹣1＝2．∴Rt△FGE中，根據(jù)勾股定理，得DF=DG2故答案為22．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形、銳角三角函數(shù)的定義，解決本題的關(guān)鍵是綜合銳角三角函數(shù)和勾股定理解決問題．15．如圖，在△ABC中，AB＝AC，BC＝12，D為AC邊的中點(diǎn)，線段BD的垂直平分線分別與邊BC，AB交于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接DF，DE．設(shè)BE＝x，tan∠ACB＝y(tǒng)．給出以下結(jié)論：①DF∥BC；②△BDE的面積為32xy；③△CDE的周長(zhǎng)為12+x；④x2﹣y2＝9；⑤2x﹣y2＝9．其中正確結(jié)論有②⑤【考點(diǎn)】解直角三角形；平行線的判定與性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；應(yīng)用意識(shí)．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】過A作AQ⊥BC于Q，過D作DM⊥BC于M，連接DE，根據(jù)線段垂直平分線求出DE＝BE＝x，根據(jù)等腰三角形求出BQ＝CQ＝6，求出CM＝QM＝3，解直角三角形求出DM＝3y，AQ＝6y，在Rt△DEM中，根據(jù)勾股定理求出即可．由此可以判斷②⑤正確．【解答】解：過A作AQ⊥BC于Q，過D作DM⊥BC于M，連接DE，∵BD的垂直平分線交BC于E，BDEx，∴BE＝DE＝x，∵AB＝AC，BC＝12，tan∠ACB＝y(tǒng)，∴DMMC=AQCQ=y∴AQ＝6y，∵AQ⊥BC，DM⊥BC，∴AQ∥EM，∵D為AC中點(diǎn)，∴CM＝QM=12∴DM＝3y，∴S△EBD=12?BE?DM=32∴EM＝12﹣3﹣x＝9﹣x，在Rt△EDM中，由勾股定理得：x2＝（3y）2+（9﹣x）2，即2x﹣y2＝9，故⑤正確．不妨設(shè)①成立，則可以推出BD平分∠ABC，推出△ABC是等邊三角形，這個(gè)顯然不可能，故①不成立．不妨設(shè)③成立，則推出CD＝BE＝DE＝x，推出DE∥AB，這個(gè)顯然不可能，故③錯(cuò)誤，不妨設(shè)④成立，則由⑤可知x2＝2x，推出x＝2，這個(gè)顯然不可能，故④錯(cuò)誤，故答案為②⑤．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線段垂直平分線性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)，能正確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．16．如圖，C為射線AM上一點(diǎn)，以點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)作∠BCD交射線AN于D，B兩點(diǎn)，當(dāng)tanA=34時(shí)，ADBD的最大值為【考點(diǎn)】解直角三角形．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；推理能力．【答案】13【分析】取BD的中點(diǎn)E，連接CE，過點(diǎn)E作EF⊥AM．設(shè)AD＝x，BD＝2y，由ECEA≥EFEA=【解答】解：取BD的中點(diǎn)E，連接CE，過點(diǎn)E作EF⊥AM．設(shè)AD＝x，BD＝2y，在Rt△AEF中，tan∠A=EF設(shè)EF＝3k，AF＝4k，則AE＝5k，∵∠DCB＝90°，DE＝EB，∴EC＝ED＝EB＝y(tǒng)，∵ECEA∴yx+y∴xy∴ADBD∴ADBD的最大值為1故最大值為13【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題．17．在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝8，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E是邊AC上一點(diǎn)，過點(diǎn)D作ED的垂線交邊AC于點(diǎn)F，若AC＝7CF，且DE恰好平分△ABC的周長(zhǎng)，則△ABC的面積為103．【考點(diǎn)】解直角三角形；三角形的面積．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】如圖，取AC的中點(diǎn)M，連接DM，作AH⊥BC于H．設(shè)DM＝a，AE＝b．想辦法證明DM＝EM＝FM＝a．AE＝CF＝b，2a＝5b，解直角三角形求出BH，CH用b表示，根據(jù)邊長(zhǎng)的長(zhǎng)構(gòu)建方程求出b即可解決問題．【解答】解：如圖，取AC的中點(diǎn)M，連接DM，作AH⊥BC于H．設(shè)DM＝a，AE＝b．∵BD＝DC，AM＝MC，∴AB＝2DM＝2a，∵AB+AE+BD＝EC+DC，∴EC＝2a+b，AC＝2a+2b，∴AM＝MC＝a+b，∴EM＝a，∴EM＝DM，∴∠MED＝∠MDE，∵∠MED+∠MFD＝90°，∠MDE+∠MDF＝90°，∴∠MFD＝∠MDF，∴MD＝MF＝a，∴CF＝AE＝b，∵AC＝7CF，∴2a+2b＝7b，∴2a＝5b，∵AB＝5b，AC＝7b，在Rt△ABH中，∵∠B＝60°，∴BH=12AB=52b，在Rt△ACH中，CH=AC∴BC＝BH+HC＝8b，∴8b＝8，∴b＝1，∴S△ABC=12×8×故答案為103．【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形，三角形的面積，勾股定理，三角形的中位線定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題．18．如圖，已知四邊形ABCD的一組對(duì)邊AD、BC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E．另一組對(duì)邊AB、DC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F，若cos∠ABC＝cos∠ADC=35，CD＝5，CF＝ED＝n，則AD的長(zhǎng)為5(n+5)n+6【考點(diǎn)】解直角三角形．【專題】計(jì)算題．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】作輔助線，構(gòu)建直角三角形，利用三角函數(shù)計(jì)算DH和CH的長(zhǎng)，并設(shè)AD＝5a，則DG＝3a，AG＝4a，證明△AFG∽△CEH，列比例式可得a的值，從而得AD的長(zhǎng)．【解答】解：過C作CH⊥AD于H，∵cos∠ADC=35，∴DH＝3，∴CH＝4，∴tan∠E=CH過A作AG⊥CD于G，設(shè)AD＝5a，則DG＝3a，AG＝4a，∴FG＝DF﹣DG＝5+n﹣3a，∵CH⊥AD，AG⊥DF，∵∠CHE＝∠AGF＝90°，∵∠ADC＝∠ABC，∴∠EDC＝∠CBF，∵∠DCE＝∠BCF，∴∠E＝∠F，∴△AFG∽△CEH，∴AGCH∴4a4∴a=n+5∴AD＝5a=5(n+5)故答案為：5(n+5)n+6【點(diǎn)評(píng)】本題是解直角三角形的問題，作輔助線構(gòu)建直角三角形是關(guān)鍵，從而應(yīng)用已知三角函數(shù)值求線段的長(zhǎng)，還考查了三角形相似的性質(zhì)和判定．19．如圖，線段AC，BD交于點(diǎn)P，∠A＝30°，∠ACD＝120°，∠D＝15°，AB＝1，CD=3，則BD的長(zhǎng)為22【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；應(yīng)用意識(shí)．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】作BM⊥AC于M，CN⊥BD于N，在DB上取一點(diǎn)H，使得DH＝CH，連接CH．解直角三角形分別求出BP，PD即可解決問題．【解答】解：作BM⊥AC于M，CN⊥BD于N，在DB上取一點(diǎn)H，使得DH＝CH，連接CH．∵∠D＝15°，∠PCD＝120°，∴∠CPD＝∠APB＝180°﹣120°﹣15°＝45°，∵∠AMB＝∠BMP＝90°，∠A＝30°，∴BM＝PM=12AB∴BP=2BM=設(shè)PN＝x，則CN＝PN＝x，∵HC＝HD，∴∠HCD＝∠D＝15°，∴∠CHN＝30°，∴CH＝DH＝2x，NH=3x在Rt△CDN中，∵CN2+DN2＝CD2，∴x2+（3x+2x）2＝（3）2，∴x=2∴PD＝3x+3x＝（3+3）x∴BD＝BP+PD＝22．解法二：如圖，過點(diǎn)B作BM⊥AC于M，過點(diǎn)D作DN⊥AC交AC的延長(zhǎng)線于N．由題意，△PBM，△PDN都是等腰直角三角形，∵BM=12AB∴PB=1∴DN＝CD?sin60°=3∴PD=2DN=∴BD＝PB+PD＝22．故答案為22．【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題．20．等腰三角形ABC，AB＝BC，tan∠BAC＝2，D為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接AD、BD、CD，AD＝3，BD＝25，CD＝5，則AB＝53．【考點(diǎn)】解直角三角形；等腰三角形的性質(zhì)．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；應(yīng)用意識(shí)．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】作BE⊥AC于E，將△BCD繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ABF，連接DF交AB于O，作BH⊥DF于H．解直角三角形求出BH，F(xiàn)H，再利用平行線分線段成比例定理求出OH，OD，再利用勾股定理即可解決問題．【解答】解：作BE⊥AC于E，將△BCD繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ABF，連接DF交AB于O，作BH⊥DF于H．∵BC＝BA，BD＝BF，BE⊥AC，BH⊥DF，∴∠ABE=12∠ABC，∠FBH=1∵∠ABC＝∠DBF，∴∠ABE＝∠FBH，∵∠ABE+∠BAE＝90°，∠FBH+∠BFH＝90°，∴∠BAE＝∠BFH，∴tan∠BAE＝tan∠BFH＝2，∴BHFH=2，∵BD＝BF＝2∴FH＝2，BH＝4，∴DF＝4，∵DF＝4，AD＝3，AF＝CD＝5，∴DF2+AD2＝AF2，∴∠ADF＝90°，∵∠ADO＝∠BHO＝90°，∴BH∥AD，∴BHAD∴43∴OH=47DH=87，OD∴BO=BH2+O∴AB＝OB+OA=53故答案為53．【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．21．已知△ABC中，滿足1tanA2+1tanC2=【考點(diǎn)】解直角三角形．【專題】綜合題．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】作△ABC的內(nèi)切圓，設(shè)O為圓心，r為半徑，圓O與三邊AB、BC、AC的切點(diǎn)依次為D、E、F，連接OA、OB、OC、OD、OE、OF，則OA、OB、OC平分△ABC的三個(gè)內(nèi)角．根據(jù)正切函數(shù)的定義及已知條件，可得BD＝1，然后根據(jù)切線長(zhǎng)定理即可求出a+c的值．【解答】解：如圖，作△ABC的內(nèi)切圓，設(shè)O為圓心，r為半徑，圓O與三邊AB、BC、AC的切點(diǎn)依次為D、E、F，連接OA、OB、OC、OD、OE、OF．則tanB2=rBD，tan∵1tan∴AFr∴AF+CF＝4BD，即AC＝4BD，又∵b＝AC＝4，∴BD＝1，∴BE＝BD＝1，∴a+c＝（BE+CE）+（BD+AD）＝（CE+AD）+（BE+BD）＝b+2BD＝6．故答案為6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的內(nèi)切圓的性質(zhì)，正切函數(shù)的定義，切線長(zhǎng)定理，綜合性較強(qiáng)，有一定難度．關(guān)鍵是作輔助線．22．“5?12”汶川大地震使不少建筑物受損．某地一水塔地震時(shí)發(fā)生了嚴(yán)重沉陷（未傾斜）．如圖，已知地震前，在距該水塔30米的A處測(cè)得塔頂B的仰角為60°；地震后，在A處測(cè)得塔頂B的仰角為45°，則該水塔沉陷了21.96米．（精確到0.01，3≈1.7321，2【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題．【專題】計(jì)算題．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】在兩個(gè)三角形中，利用60°、45°角的正切函數(shù)分別求出塔高，二者的差即為所求．【解答】解：設(shè)B在地面的垂足為C．根據(jù)題意可得：地震前塔高BC=3×AC＝30地震后塔高BC＝AC＝30，則水塔沉陷了303?故答案為：21.96．【點(diǎn)評(píng)】本題考查仰角的定義，要求學(xué)生能借助仰角構(gòu)造直角三角形并解直角三角形．23．（按課改要求命制）如圖，設(shè)P是等邊三角形ABC內(nèi)的一點(diǎn)，PA＝1，PB＝2，PC=5，將△ABP繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使AB與AC重合，點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)到P′外，則sin∠PCP′的值是55【考點(diǎn)】解直角三角形；等邊三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理的逆定理；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．【專題】壓軸題．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)題意，旋轉(zhuǎn)角度為60°．易證明△APP′是等邊三角形，PP′＝1；由CP′＝BP＝2，PC=5可證明△PCP′是直角三角形，且∠PP′C【解答】解：∵△ABC為等邊三角形，∴∠BAC＝60°．根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，有∠PAP′＝60°，AP′＝AP＝1，CP′＝BP＝2．∴△APP′是等邊三角形，PP′＝1．在△PCP′中，PC=5，PP′＝1，CP∴PC2＝P′P2+P′C2．∴△PCP′是直角三角形，且∠PP′C＝90°．∴sin∠PCP′=1【點(diǎn)評(píng)】此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及直角三角形的判定和三角函數(shù)等知識(shí)點(diǎn)，有一定的綜合性．24．如圖，在矩形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別為AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，若AH：AE＝4：3，四邊形EFGH的周長(zhǎng)是40cm，則矩形ABCD的面積是192cm2．【考點(diǎn)】解直角三角形．【專題】計(jì)算題；壓軸題．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】由題意知，△AEH，△DHG，△CGF，△EFB是全等三角形，所以EH＝HG＝FG＝EF，即四邊形EFGH為菱形，四邊形EFGH的周長(zhǎng)是40cm，可知邊長(zhǎng)為10，根據(jù)勾股定理可求得AH和AE，即AD和AB的值就可求出，從而求矩形面積．【解答】解：在△AHE和△DHG中，∵AH＝DH=12AD，∠A＝∠D＝90°，AE＝DG=∴△AHE≌△DHG，∴EH＝GH，同理EH＝GH＝GF＝EF，即四邊形EFGH為菱形．又∵四邊形EFGH的周長(zhǎng)是40cm，∴EH＝10．∵AH：AE＝4：3，設(shè)AH＝4x，則AE＝3x．由勾股定理得，EH2＝AE2+AH2，∴x＝2，AH＝8，AE＝6，∴矩形ABCD的面積＝16×12＝192（cm2）．故答案為：192．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形、菱形的性質(zhì)及勾股定理，有一定難度．25．在△ABC中，tan∠ABC=512，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，過A作AE⊥AB交BC于點(diǎn)E，若AE＝EC，BD=26，則AB的長(zhǎng)為【考點(diǎn)】解直角三角形．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】如圖，設(shè)BD交AE于J，作JH⊥BE于H，作DK⊥BC于K，ZUOEF∥AC交AB于F．可以假設(shè)AE＝5k，AB＝12k，則BE＝13k，由BJ平分∠ABE，JA⊥AB，JH⊥BE，可得AJ＝JH，設(shè)AJ＝JH＝x，易證AB＝BH＝12k，HE＝k，利用勾股定理求出x=125k，推出tan∠ABJ＝tan∠JBH=AJAB=15=DKBK，求出DK，BK，再證明∠FEA＝∠FEB＝∠C，由EF∥AC，推出BFAF=BE【解答】解：如圖，設(shè)BD交AE于J，作JH⊥BE于H，作DK⊥BC于K，作EF∥AC交AB于F．在Rt△ABE中，∵∠BAE＝90°，∴tan∠ABE=AE∴可以假設(shè)AE＝5k，AB＝12k，則BE＝13k，∵EA＝EC，∴EC＝5k，BC＝18k，∵BJ平分∠ABE，JA⊥AB，JH⊥BE，∴AJ＝JH，設(shè)AJ＝JH＝x，易證AB＝BH＝12k，HE＝k，在Rt△JEH中，∵JE2＝JH2+HE2，∴（5k﹣x）2＝x2+k2，∴x=125∴tan∠ABJ＝tan∠JBH=AJ∵BD=26∴DK＝1，BK＝5，∵EF∥AC，∴∠AEF＝∠CAE，∠BEF＝∠C，∵EA＝EC，∴∠EAC＝∠C，∴∠FEA＝∠FEB＝∠C，∵EF∥AC，∴BFAF∴AF=103∴tan∠C＝tan∠AEF=AF∴KC=3∴BC＝18k＝5+3∴k=13∴AB＝12k=13故答案為133【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題．

考點(diǎn)卡片1．平行線的性質(zhì)1、平行線性質(zhì)定理定理1：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等．簡(jiǎn)單說成：兩直線平行，同位角相等．定理2：兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．簡(jiǎn)單說成：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．定理3：兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等．簡(jiǎn)單說成：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．2、兩條平行線之間的距離處處相等．2．平行線的判定與性質(zhì)（1）平行線的判定是由角的數(shù)量關(guān)系判斷兩直線的位置關(guān)系．平行線的性質(zhì)是由平行關(guān)系來尋找角的數(shù)量關(guān)系．（2）應(yīng)用平行線的判定和性質(zhì)定理時(shí)，一定要弄清題設(shè)和結(jié)論，切莫混淆．（3）平行線的判定與性質(zhì)的聯(lián)系與區(qū)別區(qū)別：性質(zhì)由形到數(shù)，用于推導(dǎo)角的關(guān)系并計(jì)算；判定由數(shù)到形，用于判定兩直線平行．聯(lián)系：性質(zhì)與判定的已知和結(jié)論正好相反，都是角的關(guān)系與平行線相關(guān)．（4）輔助線規(guī)律，經(jīng)常作出兩平行線平行的直線或作出聯(lián)系兩直線的截線，構(gòu)造出三類角．3．三角形的面積（1）三角形的面積等于底邊長(zhǎng)與高線乘積的一半，即S△=1（2）三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分．4．全等三角形的判定與性質(zhì)（1）全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．（2）在應(yīng)用全等三角形的判定時(shí)，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時(shí)添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形．5．角平分線的性質(zhì)角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．注意：①這里的距離是指點(diǎn)到角的兩邊垂線段的長(zhǎng)；②該性質(zhì)可以獨(dú)立作為證明兩條線段相等的依據(jù)，有時(shí)不必證明全等；③使用該結(jié)論的前提條件是圖中有角平分線，有垂直角平分線的性質(zhì)語言：如圖，∵C在∠AOB的平分線上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE6．線段垂直平分線的性質(zhì)（1）定義：經(jīng)過某一條線段的中點(diǎn)，并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線（中垂線）垂直平分線，簡(jiǎn)稱“中垂線”．（2）性質(zhì)：①垂直平分線垂直且平分其所在線段．②垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等．③三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，該點(diǎn)叫外心，并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等．7．等腰三角形的性質(zhì)（1）等腰三角形的概念有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性質(zhì)①等腰三角形的兩腰相等②等腰三角形的兩個(gè)底角相等．【簡(jiǎn)稱：等邊對(duì)等角】③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．【三線合一】（3）在①等腰；②底邊上的高；③底邊上的中線；④頂角平分線．以上四個(gè)元素中，從中任意取出兩個(gè)元素當(dāng)成條件，就可以得到另外兩個(gè)元素為結(jié)論．8．等腰三角形的判定與性質(zhì)1、等腰三角形提供了好多相等的線段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是證明線段相等、角相等的重要手段．2、在等腰三角形有關(guān)問題中，會(huì)遇到一些添加輔助線的問題，其頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線是常見的輔助線，雖然“三線合一”，但添加輔助線時(shí)，有時(shí)作哪條線都可以，有時(shí)不同的做法引起解決問題的復(fù)雜程度不同，需要具體問題具體分析．3、等腰三角形性質(zhì)問題都可以利用三角形全等來解決，但要注意糾正不顧條件，一概依賴全等三角形的思維定勢(shì)，凡可以直接利用等腰三角形的問題，應(yīng)當(dāng)優(yōu)先選擇簡(jiǎn)便方法來解決．9．等邊三角形的性質(zhì)（1）等邊三角形的定義：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，等邊三角形是特殊的等腰三角形．①它可以作為判定一個(gè)三角形是否為等邊三角形的方法；②可以得到它與等腰三角形的關(guān)系：等邊三角形是等腰三角形的特殊情況．在等邊三角形中，腰和底、頂角和底角是相對(duì)而言的．（2）等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，且都等于60°．等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，它有三條對(duì)稱軸；它的任意一角的平分線都垂直平分對(duì)邊，三邊的垂直平分線是對(duì)稱軸．10．等邊三角形的判定與性質(zhì)（1）等邊三角形是一個(gè)非常特殊的幾何圖形，它的角的特殊性給有關(guān)角的計(jì)算奠定了基礎(chǔ)，它的邊角性質(zhì)為證明線段、角相等提供了便利條件．同是等邊三角形又是特殊的等腰三角形，同樣具備三線合一的性質(zhì)，解題時(shí)要善于挖掘圖形中的隱含條件廣泛應(yīng)用．（2）等邊三角形的特性如：三邊相等、有三條對(duì)稱軸、一邊上的高可以把等邊三角形分成含有30°角的直角三角形、連接三邊中點(diǎn)可以把等邊三角形分成四個(gè)全等的小等邊三角形等．（3）等邊三角形判定最復(fù)雜，在應(yīng)用時(shí)要抓住已知條件的特點(diǎn)，選取恰當(dāng)?shù)呐卸ǚ椒?，一般地，若從一般三角形出發(fā)可以通過三條邊相等判定、通過三個(gè)角相等判定；若從等腰三角形出發(fā)，則想法獲取一個(gè)60°的角判定．11．勾股定理（1）勾股定理：在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方之和一定等于斜邊長(zhǎng)的平方．如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的變形有：a=c2?b2，b（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角邊．12．勾股定理的逆定理（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a2+b2＝c2，那么這個(gè)三角形就是直角三角形．說明：①勾股定理的逆定理驗(yàn)證利用了三角形的全等．②勾股定理的逆定理將數(shù)轉(zhuǎn)化為形，作用是判斷一個(gè)三角形是不是直角三角形．必須滿足較小兩邊平方的和等于最大邊的平方才能做出判斷．（