2025年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)：二次函數(shù)的面積問題 壓軸練習(xí)題（含答案）

第第頁2025年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)：二次函數(shù)的面積問題壓軸練習(xí)題一、選擇題1．已知點(diǎn)M是拋物線y=x2?2mx+m2+m?1（m為常數(shù)）的頂點(diǎn)，直線A．62 B．6 C．4 D．2．如圖，拋物線L1:y=a2+bx+c(a≠0)與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)A(2,0)A．4 B．2 C．6 D．83．已知等腰直角△ABC的斜邊AB=42，正方形DEFG的邊長為2，把△ABC和正方形DEFG如圖放置，點(diǎn)B與點(diǎn)E重合，邊AB與EF在同一條直線上，將△ABC沿AB方向以每秒2個(gè)單位的速度勻速平行移動，當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)E重合時(shí)停止移動．在移動過程中，△ABC與正方形DEFG重疊部分的面積S與移動時(shí)間tA． B．C． D．二、填空題4．如圖，已知A（1，1），B（3，9）是拋物線y＝x2上的兩點(diǎn)，在y軸上有一動點(diǎn)P，當(dāng)△PAB的周長最小時(shí)，則此時(shí)△PAB的面積為5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A8,0，點(diǎn)B0,6，點(diǎn)C為線段AB中點(diǎn)，點(diǎn)D為線段OA上一動點(diǎn)，將線段CD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段CE，連接OE，則△OED面積的最大值為三、解答題6．已知拋物線y=x2+bx?3（1）求該拋物線的表達(dá)式；（2）點(diǎn)A關(guān)于拋物線的對稱軸的對稱點(diǎn)為A'，求拋物線頂點(diǎn)P與點(diǎn)A、A7．如圖，二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于A?1,0，（1）求此二次函數(shù)的解析式．（2）求△ABD的面積．8．如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A(3，0)，與y軸的交點(diǎn)為B(0,3)（1）求拋物線的解析式；（2）判斷△ABC的形狀；（3）已知點(diǎn)M為線段AB上方拋物線上的一個(gè)動點(diǎn)，請寫出△ABM面積關(guān)系式，并求出當(dāng)△ABM面積最大時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)．9．已知二次函數(shù)y=x2+bx+ca≠0的圖象與x軸的交于A、B1,0（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式及A點(diǎn)坐標(biāo)；（2）D是二次函數(shù)圖象上位于第三象限內(nèi)的點(diǎn)，求△ACD面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）M是二次函數(shù)圖象對稱軸上的點(diǎn)，在二次函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)N．使以M、N、B、O為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若有，請求出點(diǎn)N的坐標(biāo)．10．如圖，拋物線y=a(x?1)(x?3)與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸的正半軸交于點(diǎn)C，其頂點(diǎn)為D．（1）寫出C，D兩點(diǎn)的坐標(biāo)（用含a的式子表示）；（2）設(shè)SΔ（3）當(dāng)△BCD是直角三角形時(shí)，求對應(yīng)拋物線的解析式．11．如圖，拋物線y=ax2+bx+ca≠0與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．（1）求拋物線的解析式；（2）在第二象限內(nèi)的拋物線上確定一點(diǎn)P，使△PCB的面積最大，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在（2）的結(jié)論下，點(diǎn)M為x軸上一動點(diǎn)，拋物線上是否存在一點(diǎn)Q，使點(diǎn)P，B，M，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，若存在，請求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．12．已知拋物線y=ax2+bx+ca≠0經(jīng)過點(diǎn)（1）若點(diǎn)M是拋物線y=ax（2）在（1）的條件下，若點(diǎn)P是A、C之間拋物線上一點(diǎn)，求四邊形APCN面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）若Bm,0，且1≤m≤313．在四邊形ABCD中，AD＝BC＝1，AB＝CD＝2，BD=5（1）求證：四邊形ABCD是矩形．（2）設(shè)DE＝x，求△AEF的面積S關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式．（3）在點(diǎn)E運(yùn)動過程，當(dāng)△AEF的某一個(gè)內(nèi)角等于∠BDC時(shí)，求所有滿足條件的AF的長．14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A(?1，0)，B(3，0)，與y軸交于點(diǎn)C，作直線BC，點(diǎn)P是拋物線在第四象限上一個(gè)動點(diǎn)(點(diǎn)P不與點(diǎn)B，C重合)，連結(jié)PB（1）求拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；（2）當(dāng)?CPBD有兩個(gè)頂點(diǎn)在x軸上時(shí)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為；（3）當(dāng)?CPBD是菱形時(shí)，求m的值．（4）當(dāng)m為何值時(shí)，?CPBD的面積有最大值？15．“距離”是數(shù)學(xué)研究的重要對象，如我們所熟悉的兩點(diǎn)間的距離．現(xiàn)在我們定義一種新的距離：已知P（a，b），Q（c，d）是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的兩點(diǎn)，我們將|a-c|+|b-d|稱作P，Q間的“L型距離”，記作L（P，Q），即L（P，Q）=|a-c|+|b-d|．已知二次函數(shù)y1的圖像經(jīng)過平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的A，B，C三點(diǎn)，其中A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)為A（－1，0），B（0，3），點(diǎn)C在直線x＝2上運(yùn)動，且滿足L（B，C）≤BC．（1）求L（A，B）；（2）求拋物線y1的表達(dá)式；（3）已知y2=2tx+1是該坐標(biāo)系內(nèi)的一個(gè)一次函數(shù)．①若D，E是y2=2tx+1圖像上的兩個(gè)動點(diǎn)，且DE=5，求△CDE面積的最大值；②當(dāng)t≤x≤t+3時(shí)，若函數(shù)y=y1+y2的最大值與最小值之和為8，求實(shí)數(shù)t的值．（補(bǔ)充兩點(diǎn)間距離公式：平面直角坐標(biāo)中兩點(diǎn)A（x1，y1），B(x2，y2），則AB=(x

答案解析部分1．【答案】B2．【答案】D3．【答案】C4．【答案】65．【答案】496．【答案】（1）解：∵拋物線y=x2+bx?3（b是常數(shù)）經(jīng)過點(diǎn)A2,?3解得：b=?2，∴拋物線的表達(dá)式為y=x故答案為：y=x（2）解：∵拋物線y=x∴拋物線的對稱軸為x=1，頂點(diǎn)坐標(biāo)P1,?4，

∵點(diǎn)A關(guān)于拋物線的對稱軸的對稱點(diǎn)為A'，A2,?3

∴A'0,?3∴S∴點(diǎn)P與點(diǎn)A、A'所圍成的三角形的面積為1，

7．【答案】（1）解：∵二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于A∴y=x+1∴二次函數(shù)的解析式為y=x2?2x?3．

（2）解：∵y=x∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為1，∴點(diǎn)D到AB的距離為4，∵A?1，0∴AB=4，∴S△ABD=8．【答案】（1）解：∵拋物線y=ax2+bx+c與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A(3，0)，對稱軸為直線x=1．

∴與x軸的另外一個(gè)交點(diǎn)為（-1，0）

可設(shè)y=ax+1x?3.

∵與y軸的交點(diǎn)為B(0,3)，

∴3=(-3)a，

解得：a=-1，（2）解：∵y=?x2+2x+3，

當(dāng)x=1時(shí)，y=-1+2+3=4，

∴頂點(diǎn)C(1,4)，

∵A(3，0)，B(0,3)，

∴AB=32,AC=3?12+0?42=25,BC=2，（3）解：∵過點(diǎn)A(3，0)，B(0，3)，

∴線段AB所在直線的解析式為：y=-x+3，（0<x<3）.

將直線AB向上平移a個(gè)單位，使經(jīng)過點(diǎn)M，則y=-x+3+a，

記平移后的直線為MD，點(diǎn)D為平移后的直線與x軸的交點(diǎn)，故D(3+a，0)，

過點(diǎn)A作AE⊥MD于點(diǎn)E，如圖：

則△AOB∽△DEA，

∴OBAB=AEAD

∵OA=OB=3，AB=OA2+OB2=32，AD=a

∴332=AEa，

∴AE=2a2

∴S△ABM=12×AB×AE=12×32×2a2=3a2，

聯(lián)立9．【答案】（1）解：把B1,0，C0,?3代入y=x2+bx+c得，

1+b+c=0c=?3，

解得b=2c=?3，

∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y=x2+2x?3，

當(dāng)y=0時(shí)，x2（2）解：連接AD、CD，

設(shè)直線AC的表達(dá)式為y=kx+n，把A?3,0、C0,?3代入得，

0=?3k+n?3=n，

解得k=?1n=?3，

∴直線AC的表達(dá)式為y=?x?3，

過點(diǎn)D作x軸的垂線，交AC于點(diǎn)G，

則S△ACD=S△ADG+S△CDG=12DG·OA=12DG×3=32DG，

∴當(dāng)DG取最大值時(shí)，△ACD的面積最大，

設(shè)Dm,m2+2m?3，則Gm,?m?3，

∵點(diǎn)D（3）解：∵B1,0，

∴OB=1，

由y=x2+2x?3得，拋物線的對稱軸為直線x=?1，

∵以M、N、B、O為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，

①當(dāng)OB為平行四邊形的邊時(shí)，MN=OB=1，

設(shè)點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為t，

∵M(jìn)N∥x軸，

∴t??1=1，

解得t=0或t=?2，

∵點(diǎn)N在拋物線上，

∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為?2,?3或0,?3；

②當(dāng)OB為平行四邊形的對角線時(shí)，

則?1+t2=0+12，

解得t=2，

∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為2,5；10．【答案】（1）解：令x=0，y=3a，∴C(0,3a)．

∵y=a(x?1)(x?3)=ax?22?a，

（2）解：令y=0，有a(x?1)(x?3)=0，

解得：x=1或x=3，

∴A(1,0)，B(3,0)，

∴AB=3?1=2，

∴SΔABD=12×2×a=a．

設(shè)直線CD交x軸于點(diǎn)E，如圖所示，

設(shè)直線CD解析式為y=tx+b，

把C、D的坐標(biāo)代入可得

b=3a2t+b=?a，

解得：t=?2ab=3a，

∴直線CD解析式為y=?2ax+3a，

令y=0可解得：x=32，

∴E(32,0)，

∴BE=3?（3）解：∵∠BCD＜∠BCO＜90°，

∴△BCD為直角三角形時(shí)，只能有∠CBD=90°或∠CDB=90°兩種情況．

∵B(3,0)，C(0,3a)，D(2,?a)，∴BC2=32+(3a)2=9+9a2，CD2=22+(?a?3a)2=4+16a2，BD2=(3?2)2+a2=1+a2．

①當(dāng)∠CBD=90°時(shí)，則有BC2+BD2=CD11．【答案】（1）解：∵OB=OC=3OA，AC=10，AC2=OA2+OC2，

∴102=OA2+3OA2，

∴OA=1（負(fù)值舍去），

∴OB=OC=3OA=3，

∴A1,0，B?3,0，C0,3，

設(shè)拋物線解析式為（2）解：過點(diǎn)P作PK∥y軸交BC于點(diǎn)K，如圖1所示：設(shè)直線BC解析式為y=kx+n，將B?3,0，C得：?3k+n=0n=3解得：k=1n=3∴直線BC解析式為y=x+3，設(shè)Pt,?t2∴PK=?t∴===3=?3∵?3∴當(dāng)t=?32時(shí)，△PCB的面積最大，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為故答案為：?3（3）解：存在．分兩種情況：點(diǎn)Q在x軸上方或點(diǎn)Q在x軸下方．①當(dāng)點(diǎn)Q在x軸上方時(shí)，如圖所示：

∵PQ∥BM，

∴P與Q縱坐標(biāo)相等，

∴?x2?2x+3=154，

解得：x1=?12，x2=?32（舍去），

∴Q1?12，154，

②當(dāng)點(diǎn)Q在x軸下方時(shí)，如圖所示：

∵PQ、BM為對角線，

∴PQ、BM的中點(diǎn)坐標(biāo)相同，即它們的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0，

∴P與Q縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，

∴?x2?2x+3=?154，

解得：x1=?12．【答案】（1）解：∵點(diǎn)M是拋物線y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)，

∴可設(shè)拋物線解析式為y=ax+22+92，

∵拋物線過點(diǎn)N2,?72，

∴?72=a2+22+92

解得：a=?12，

∴拋物線的解析式為y=?12x+22（2）解：設(shè)Pt,?12t2?2t+52，設(shè)直線AC的解析式為y=kx+52，

把A?5,0代入得：0=?5k+52，

解得k=12，

∴直線AC的解析式為y=12x+52，

過P點(diǎn)作PG∥y軸交AC于點(diǎn)G，如圖所示：

∴Gt,12,t+52，

∴PG=?12t2?2t+52?12t?52=?12t2?52t，

∴S△PAC=1（3）解：將M?2,92和N2,?72兩點(diǎn)代入y=ax2+bx+c，

∴4a?2b+c=924a+2b+c=?72，

解得b=?2c=12?4a，

∴y=ax2?2x+1213．【答案】（1）∵AD＝BC，AB＝CD，

∴四邊形ABCD是平行四邊形，

∵AD＝1，AB＝2，BD=5，

∴AD2+AB2＝BD2，

∴∠DAB＝90°，

∴（2）過點(diǎn)E作EJ⊥AB于點(diǎn)J，交CD于點(diǎn)K．

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠DAJ＝∠ADK＝∠AJK＝90°，

∴四邊形ADKJ是矩形，

∴AJ＝DK，AD＝JK，AD∥JK∥BC，

∴DEDB=EKCB=DKCB，

∴x5=EK1=DK2，

∴EK=55x，DK=255x，

∴EJ＝JK＝EK＝1?55x，

∵EF⊥EC，

∴∠EJF＝∠FEC＝∠EKC＝90°，

∴∠JEF+∠CEK＝90°，∠CEK+∠ECK＝90°，

∴∠JEF＝∠ECK，

∴△EJF∽△CKE，

∴EJCK=JFEK，

∴1?55x2?255（3）當(dāng)∠EAF＝∠CDB時(shí)，∵AB∥CD，∴∠CDB＝∠ABD，

∴∠EAB＝∠EBA，

∴EA＝EB，

∵∠DAE+∠EAB＝90°，∠ADE+∠ABE＝90°，

∴∠DAE＝∠ADE，

∴AE＝DE，

∴DE＝EB=52，

∴x=52，

∴AF=3510×52=34．

當(dāng)∠AEF＝∠BDC＝∠ABE時(shí)，

∵∠EAF＝∠EAB，

∴△EAF∽△BAE，

∴AE2＝AF?AB，

∴（1?55x）2+（255x）214．【答案】（1）解：∵拋物線y=x2+bx+c∴拋物線的解析式為y=(即y=（2）(2，?3)（3）解：∵拋物線的解析式為y=x2?2x∴P∵?CPBD是菱形，∴PB∴m整理得m2?m∵點(diǎn)P是拋物線在第四象限上一個(gè)動點(diǎn)，∴m∴m的值為1+（4）解：過P作PE//y軸交直線BC于點(diǎn)設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，把0=3k解得：k=1∴y設(shè)P(m，∴PE∴S∵S∴當(dāng)m=3215．【答案】（1）解：由題意得：∵A∴L（2）∵點(diǎn)C在直線x=2上運(yùn)動，∴設(shè)點(diǎn)C(2由平面上兩點(diǎn)間距離，利用勾股定理得：∴B∵L∴∵0≤L∴即2∴4又∵∴3?m=0∴m=