吉林省八校聯(lián)考2024-2025學年高二上學期1月期末考試數(shù)學試題2

吉林省八校聯(lián)考20242025學年高二上學期1月期末考試數(shù)學試題考生注意：1.本試卷滿分150分，考試時間120分鐘.2.答卷前考生務必將自己的姓名，準考證號填寫在答題卡上.3.答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后再選涂其他答案標號.答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.直線的傾斜角是（）A. B. C. D.2.如圖所示，在平行六面體中，為與的交點.若，則下列向量中與相等的向量是（）A. B. C. D.3.如圖，在正方體中，M，N分別為的中點，異面直線MN與所成角為（）A. B. C. D.4.九連環(huán)是我國從古至今廣泛流傳的一種益智游戲，它用九個圓環(huán)相連成串，以解開為勝.據(jù)明代楊慎《丹鉛總錄》記載：“兩環(huán)互相貫為一，得其關捩，解之為二，又合而為一“.在某種玩法中，用表示解下個圓環(huán)所需的移動最少次數(shù)，若.且，則解下6個環(huán)所需的最少移動次數(shù)為（）A.13 B.16 C.31 D.645.已知雙曲線與橢圓的焦點重合，則以橢圓的短軸端點為頂點，且與雙曲線具有相同漸近線的雙曲線方程為（）A. B. C. D.6.平行直線與之間的距離為，則，的可能值為（）A. B. C. D.7.如圖，在直三棱柱中，為腰長為等腰直角三角形，且，側面為正方形，為平面內一動點，則的最小值是（）A. B. C. D.8.已知點在以為左、右焦點的橢圓內，延長與橢圓交于點，滿足，若，則該橢圓離心率取值范圍是（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知橢圓上一點，、分別為左、右焦點，，的面積為，則下列選項正確的是（）A.若，則B.若，則滿足題意點有四個C.橢圓內接矩形周長的最大值為D.若為鈍角三角形，則10.如圖，一個結晶體的形狀為平行六面體，其中，以頂點為端點的三條棱長均為6，且它們彼此的夾角都是，則下列說法中正確的是（）A. B.C.向量與的夾角是 D.與AC所成角的余弦值為11.在數(shù)列中，，則以下結論正確的為（）A.數(shù)列為等差數(shù)列B.C.當取最大值時，的值為51D.當數(shù)列的前項和取得最大值時，的值為49或51三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.圓和圓的公切線條數(shù)為__________.13.已知，直線，且，則的最小值為__________.14.如圖1所示，古箏有多根弦，每根弦下有一個雁柱，雁柱用于調整音高和音質.圖2是根據(jù)圖1繪制的古箏弦及其雁柱的簡易平面圖.在圖2中，每根弦都垂直于x軸，相鄰兩根弦間的距離為1，雁柱所在曲線的方程為，第n根弦（，從左數(shù)首根弦在y軸上，稱為第0根弦）分別與雁柱曲線和直線l：交于點和，則______.（參考數(shù)據(jù)：取.）四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知的直角頂點為A在y軸上，直角邊AB所在直線的方程為，點，滿足．（1）求AC邊所在直線的方程；（2）求外接圓的方程；（3）求BC邊所在直線的方程；（4）若動圓P過點，且與外接圓外切，求動圓P的圓心的軌跡方程．16.已知為拋物線的焦點，為坐標原點，過焦點作一條直線交于A、B兩點，點在的準線上，且直線MF的斜率為的面積為1.（1）求拋物線的方程；（2）試問在上是否存在定點，使得直線NA與NB的斜率之和等于直線NF斜率的平方？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由；17.在三棱錐，底面是邊長為4的正三角形，平面平面，且．（1）若，求證：平面平面；（2）若底面，垂足為O，，求平面與平面夾角的余弦值．18已知等差數(shù)列滿足，等比數(shù)列滿足.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）令，求證：，其中.