2024年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 數(shù)列 過(guò)關(guān)檢測(cè)三（含解析）

專題過(guò)關(guān)檢測(cè)三數(shù)列

一、選擇題:本題共8小題,每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題

目要求的.

1.（2024,內(nèi)蒙古包頭一模）在數(shù)列｛a｝中，a=2,劣刊-a-24,則85%6-八%14=（）

A.180B.190C.160D.120

2.（2024?北京朝陽(yáng)期末）已知等比數(shù)列｛2｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，且a斗,則

1Og3包+1Og3a2+1Og3〃3+1Og3af1Og355=（）

A.-B.-C.10D.15

23

3.（2024?湖北荊州中學(xué)月考）設(shè)等比數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和為S,若」=則」M）

525

A.-B-C.-D.-

2334

4.（2024?北京師大附屬中學(xué)模擬）我國(guó)明代聞名樂律學(xué)家明宗室王子朱載靖在《律學(xué)新說(shuō)》中提

出十二平均律，即是現(xiàn)代在鋼琴的鍵盤上,一個(gè)八度音程從一個(gè)c鍵到下一個(gè)Q鍵的8個(gè)白鍵與5

個(gè)黑鍵（如圖），從左至右依次為：c,#c,d,e,f,#f,g,#g,a,#a,b,c\的音頻恰成一個(gè)公比為?調(diào)的等

比數(shù)列的原理,也即高音a的頻率正好是中音c的2倍.已知標(biāo)準(zhǔn)音a的頻率為440Hz,則頻率為

220V2Hz的音名是（）

A.dB.fC.eD.#d

5.（2024?四川成都二診）已知數(shù)列｛aj的前〃項(xiàng)和S4,設(shè)數(shù)列｛——｝的前〃項(xiàng)和為北,則曳的

值為（）

C.-D.-

4141

6.（2024?河南新鄉(xiāng)二模）一百零八塔位于寧夏吳忠青銅峽市,是始建于西夏時(shí)期的喇嘛式實(shí)心塔群,

是中國(guó)現(xiàn)存最大且排列最整齊的喇嘛塔群之一.一百零八塔,因塔群的塔數(shù)而得名,塔群隨山勢(shì)鑿石

分階而建，由下而上逐層增高，依山勢(shì)自上而下各層的塔數(shù)分別為1,3,3,5,5,7,…，該數(shù)列從第5項(xiàng)

起先成等差數(shù)列，則該塔群最下面三層的塔數(shù)之和為（）

A.39B.45

C.48D.51

7.（2024?陜西西安鐵一中月考）在1到100的整數(shù)中，除去全部可以表示為2"（〃GN*）的整數(shù),則其

余整數(shù)的和是（）

A.3928B.4024C.4920D.4924

（2為奇數(shù)

8.已知函數(shù)『（〃）斗：'且"（"1）,則ai+az+asi+aioo等于（）

I-2,為偶數(shù)，

A.0B.100C,-100D.10200

二、選擇題:本題共4小題,每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全

部選對(duì)的得5分,部分選對(duì)的得2分,有選錯(cuò)的得0分.

9.（2024?遼寧沈陽(yáng)三模）已知等比數(shù)列｛a｝的前〃項(xiàng)和SN"T北貝|（）

A.首項(xiàng)以不確定B.公比（7=4

C.a2=3D.力=，

4

10.（2024?山東臨沂模擬）已知等差數(shù)列｛aj的前〃項(xiàng)和為S,公差d=l.若&+3a=S,則下列結(jié)論肯

定正確的是（）

A.戊=1B.S的最小值為國(guó)

C.D.S存在最大值

11.已知數(shù)列｛aj是等差數(shù)列，其前30項(xiàng)和為390,國(guó)巧,4」，對(duì)于數(shù)列回｝,｛4｝,下列選項(xiàng)正確的

是（）

A.從o=8區(qū)B.｛/是等比數(shù)列

D3+5+7_緲

C.ai&o-lO5+

24+6193

12.（2024?廣東廣州一模）在數(shù)學(xué)課堂上，老師引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造新數(shù)列:在數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間插入

此兩項(xiàng)的和,形成新的數(shù)列,再把所得數(shù)列根據(jù)同樣的方法不斷構(gòu)造出新的數(shù)列.將數(shù)列1,2進(jìn)行構(gòu)

造,第1次得到數(shù)列1,3,2;第2次得到數(shù)列1,4,3,5,2;……第次得到數(shù)列

1,xi,X2,為，…，xk,2.記an=\+x、+x計(jì)“+xk地,數(shù)列｛aj的前n項(xiàng)和為S,則（）

A.4+1=2"B.a"i=3a“T

C.a?4（2+3）D.$彳（3+1+2-3）

三、填空題:本題共4小題,每小題5分，共20分.

2

13.（2024?山西太原檢測(cè)）在等差數(shù)列｛%｝中,若色,az儂為方程jr-10^+16=0的兩根,則a、+a\on+a2

021等于.

14.（2024?江蘇如東檢測(cè)）已知數(shù)列｛aj的前n項(xiàng)和為S,且S之a(chǎn)「2,則數(shù)列｛log2aj的前n項(xiàng)和

Tn=.

15.將數(shù)歹U（2/7-1｝與｛377-2｝的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列｛2｝,則回｝的前n項(xiàng)和

為.

16.（2024?新高考/,16）某校學(xué)生在探討民間剪紙藝術(shù)時(shí),發(fā)覺剪紙時(shí)常常會(huì)沿紙的某條對(duì)稱軸把

紙對(duì)折.規(guī)格為20dmXI2dm的長(zhǎng)方形紙，對(duì)折1次共可以得到10dmX12dm,20dmX6dm兩種

規(guī)格的圖形，它們的面積之和S之40dm；對(duì)折2次共可以得到5dmXI2dm,10dmX6dm,20

dmX3dm三種規(guī)格的圖形,它們的面積之和5=180dm2,以此類推.則對(duì)折4次共可以得到不同規(guī)格

圖形的種數(shù)為；假如對(duì)折〃次，那么Z￡=dm2.

-----------------=1-----------------

四、解答題:本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.（10分）（2024?海南海口模擬）已知正項(xiàng)等比數(shù)歹!J｛aJ,a5a7456.

16

（1）求數(shù)列｛aj的通項(xiàng)公式;

（2）求數(shù)列｛/log2a?/）的前n項(xiàng)和.

18.（12分）（2024?全國(guó)甲，理18）己知數(shù)列｛aj的各項(xiàng)均為正數(shù),記S為（a｝的前n項(xiàng)和,從下面①

②③中選取兩個(gè)作為條件,證明另外一個(gè)成立.

列｛aj是等差數(shù)列；驟列｛J—｝是等差數(shù)列；③aHia\.

19.（12分）（2024?山東濟(jì)寧二模）已知數(shù)列｛aj是正項(xiàng)等比數(shù)歹！J,滿意as是2&,3a?的等差中

項(xiàng)，34=16.

（1）求數(shù)列｛aj的通項(xiàng)公式；

⑵若60=（T）"10g2a求數(shù)列依｝的前A項(xiàng)和Tn.

20.（12分）（2024?山東臨沂一模）在。^=②aea“=QS",③2煬NS這三個(gè)條件中任選一

個(gè),補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并解答該問(wèn)題.

已知正項(xiàng)數(shù)列｛aj的前n項(xiàng)和為S,a=l,且滿意.

⑴求a”；

⑵若bKa?+。?2,求數(shù)列｛4｝的前n項(xiàng)和

21.（12分）（2024?山東泰安一中月考）為了加強(qiáng)環(huán)保建設(shè),提高社會(huì)效益和經(jīng)濟(jì)效益,某市安排用若

干年更換1萬(wàn)輛燃油型公交車,每更換一輛新車,則淘汰一輛舊車,更換的新車為電力型車和混合動(dòng)

力型車.今年年初投入了電力型公交車128輛,混合動(dòng)力型公交車400輛,安排以后電力型車每年的

投入量比上一年增加50%,混合動(dòng)力型車每年比上一年多投入a輛.

（1）求經(jīng)過(guò)n年,該市被更換的公交車總數(shù)八〃）;

（2）若該市安排用7年的時(shí)間完成全部更換,求a的最小值.

22.（12分）（2024?廣東廣州檢測(cè)）已知數(shù)列｛aj滿意a,且當(dāng)時(shí)，aa…a1T---2.

⑴求證:數(shù)列｛l二｝是等差數(shù)列，并求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式；

⑵記北和1/…4,S=1+#,?+2,求證:當(dāng)?shù)丁闚"時(shí),“希祝

專題過(guò)關(guān)檢測(cè)三數(shù)列

1.B解析因?yàn)閰^(qū)「2應(yīng)42所以數(shù)列｛&｝是首項(xiàng)為2,公差為2的等差數(shù)列.所以*2+（〃-

1）X2=2/7.

設(shè)｛a｝的前n項(xiàng)和為S,則Sn--吃；2+n.

所以a+為4?,力14二Si4—S=190.

2.C解析因?yàn)榈缺葦?shù)列｛a｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，且含當(dāng)所以

5

10g351^10g3a2^10g3a3^10g3^^10g355-10g3（ai5253a455）=10g3（g）^10g3（9）-10g3（3^）=10.

3.D解析由題意可知So-W,Si5-So成等比數(shù)列.

,?*———?:設(shè)W之女S\o二k,AW0,

52

3

??So_X$5=~k,?*?S15-510^",??515~2

3

._15_-F_2

.?二一二一『

1/ix10-4

4.D解析因?yàn)閍的音頻是數(shù)列的第10項(xiàng),440N20超X25切20位X（2記）,所以頻率為220趣Hz

是該數(shù)列的第4項(xiàng),其音名是#4

5.C解析當(dāng)〃=1時(shí)，;當(dāng)時(shí)，&=3￡-14-(〃-1)2=2刀-1.

而a=l也符合af2〃T,所以a?=^n~\.所以---=-~1=占一士7)，

所以北41-+11+…_所以加一2。=空

".2(3十35十^2-12+1J212+12+1'""2x20+141'

6.D解析設(shè)該數(shù)列為3｝,依題意，可知為鈾…成等差數(shù)列,且公差為2,與石.

設(shè)塔群共有〃層，則1+3抬巧巧(〃Y)+(”(-。乂2=108,解得n=12.

故最下面三層的塔數(shù)之和為頊。七11煬2%au=3X(5+2X6)與1.

7.D解析由2"e[1,100],“GN*,可得〃=1,2,3,4,5,6,

所以2口2,23+2"廳+26dxe=126.

1-2

又1+2+3--+100」吟四書050,

所以在1到100的整數(shù)中，除去全部可以表示為2"(〃GN*)的整數(shù),其余整數(shù)的和為5050-

126=1924.

8.B解析由已知得當(dāng)A為奇數(shù)時(shí),aj?-("1"=-2AT,當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí),@0=-A2+(7?+1)2=2〃+1.

所以以七2七3—4。。=-3拈-7-201=(-3拈)+(-7儂)^-+(-199+201)^X50=100.

1-22

9.BCD解析當(dāng)72=1時(shí)，ai=Si=l+t,當(dāng)時(shí)，a?=S?-S?-1=(.4"~+t)-(40+t)=3X4"~.

由數(shù)列3｝為等比數(shù)列,可知以必定符合a〃WX4弋

所以1+1，即t

所以數(shù)列｛2｝的通項(xiàng)公式為叢書乂4%檢超

數(shù)列｛aj的公比<7=1.故選BCD.

7yR

10.AC解析由已知得ai+3(aiMXl)=7aii"*■廠X1,解得ai=~3.

對(duì)于選項(xiàng)A,as=-3-^4X1=1,故A正確.

對(duì)于選項(xiàng)B,aN+nXnT,因?yàn)閍=-3<0,勿=-2<0,a3=-l<0,a=0,a=1為,所以S的最小值為國(guó)

或甌故B錯(cuò)誤.

對(duì)于選項(xiàng)C,&-5=22七3%4氣為6巧a,又因?yàn)閍4=O,所以&-S4),即S=&,故C正確.

對(duì)于選項(xiàng)D,因?yàn)樗許無(wú)最大值,故D錯(cuò)誤.

11.BD解析設(shè)｛aj的公差為d

由已知得30X5弋上二390,解得練.

?,/1\?16+129

??an=ai+\n-Y)d二--------------.

:bnN±i=L_J2=2+i-之;

故數(shù)列｛4｝是等比數(shù)列,B選項(xiàng)正確.

:僦心白京3,

.?.3=(2竽力叱線、.：加#8怎A選項(xiàng)錯(cuò)誤.

5

：330=a+29<7=5+16=21,.：31&0=5%221>105,6選項(xiàng)錯(cuò)誤.

??j_r-16193.,i-.162093+5+735

?34-Si^3d-5右x-=—,3,5-Si弘d-x)掰X-=—,—---------------=--亙=零,D選項(xiàng)正確.

2929'2929'2+4+6344iy-j

12.ABD解析由題意,可知第1次得到數(shù)列1,3,2,此時(shí)A=l,

第2次得到數(shù)列1,4,3,5,2,此時(shí)A=3,

第3次得到數(shù)列1,5,4,7,3,8,5,7,2,此時(shí)kW,

第4次得到數(shù)列1,6,5,9,4,11,7,10,3,11,8,13,5,12,7,9,2,此時(shí)A=15,

n

第n次得到數(shù)列1,Xi,X2,的…，Xk,2,此時(shí)kg-1,所以k+1=2f故A項(xiàng)正確.

當(dāng)n=l時(shí)，2=1+3+24，當(dāng)n=2時(shí)，/=〃1+22-3%己1-3,當(dāng)n=3時(shí)，&二段也勿-3=3/-3,...

所以2+1=3a-3,故B項(xiàng)正確.

由an+Piali,得&3,

又&q=*所以｛是首項(xiàng)為*公比為3的等比數(shù)歹山所以為q=TX3〃T上即為弋+

|故C項(xiàng)錯(cuò)誤.

$書+3++3=八3〃"M3），故D項(xiàng)正確.

13.15解析因?yàn)閮zH2024為方程fTOx+164）的兩根，

所以&f&024=10.

又｛a｝為等差數(shù)列，所以&%2024=功力2024切&011=10,即^1011^5.

所以51^1011^2024^3^1011—15.

+1）

14.\解析因?yàn)镾與a「2,所以當(dāng)時(shí)，SU之a(chǎn)〃「2,兩式相減,得a?=2a?-2a?-i,即a?=^an-x.

當(dāng)n=1時(shí),可得當(dāng)之,所以數(shù)列｛為｝是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列,所以aq.

（+1）

所以log2alm?,所以Tn~2.

15.3百-2〃解析數(shù)列｛277-1）的項(xiàng)均為奇數(shù),數(shù)列｛3/7-2）的全部奇數(shù)項(xiàng)均為奇數(shù),全部偶數(shù)項(xiàng)均為偶

數(shù),并且明顯｛3〃-2｝中的全部奇數(shù)均能在3-1｝中找到,所以｛2〃-1｝與｛3/7-2）的全部公共項(xiàng)就是

｛3〃-2｝的全部奇數(shù)項(xiàng)，這些項(xiàng)從小到大排列得到的新數(shù)列｛2｝是以1為首項(xiàng)，以6為公差的等差數(shù)列.

所以3｝的前n項(xiàng)和為S而nX\

16,5240（3-?。┙馕鰧?duì)折3次共可以得到gdmX12dm,5dmX6dm,10dmX3dm,20dmXgdm四種規(guī)

格的圖形,面積之和5^X30=120dm2;

對(duì)折4次共可以得到gdmX12dni,|dmX6dm,5dmX3dm,lOdmX|dm,20dmX；dm五種規(guī)格的圖

形，St=5X15=75dm2.

可以歸納對(duì)折n次可得n+1種規(guī)格的圖形,S=（〃燈）?|^dm2.

則2產(chǎn)=6+￡+"—￡=240（/+/+卜…號(hào)）.

記。音+提+提號(hào)，①

則孤得片+寂②

①與②式相減,得北3北方北甘+/+日一券=5—黑.

故北=3號(hào).故g產(chǎn)之40?北之40（3-薩）

17.解（1）設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列｛aj的公比為［⑦為）.

由等比數(shù)列的性質(zhì)可得%a尸1^56,因?yàn)?為,所以36=16.

所以/=^=256,即<7=16.

所以an=a^cf^=\.&

(2)由(1)可知log2a=log216"fN刀一20,

設(shè)4=/log2&/=/4〃-20/,數(shù)列伉｝的前n項(xiàng)和為Tn.

①當(dāng)〃W5,且〃GN*時(shí)，T:(16+;OT)=]8〃-2〃2;

②當(dāng)〃26,且〃GN*時(shí)，北=北+0+4一5)=18乂5-2乂5可(2〃-8)(〃-5)=2〃2T8〃180.

18-22,W5,且GN*,

綜上所述，TA

.22-18+80,26,且GN*.

18.證明若選①②n③，

設(shè)數(shù)列｛a｝的公差為d“數(shù)列｛J-｝的公差為必

「當(dāng)〃GN*時(shí)，&劉,.：dX,&X.

???S產(chǎn)但+(21寸)〃

又7=V~T+5T)&,

.：Sn=ai+—1),27~1)="+貶、~1d-22)n+g一2^/~[ck+a,

：■~~=2，31一~^~之弋j"d-22>2—2Vj"&七1R,2=~~2~f&K即&畛a、,?：

&~3，l+di—33,1.

若選①③今②，

設(shè)等差數(shù)列｛a｝的公差為a

因?yàn)?二38,所以ai+d4ai,貝！Jd=2功，

所以Sn=na、+\%=nai+n(n~V)氏=f4,所以一1~=^~~T=

所以｛J—｝是首項(xiàng)為公差為「的等差數(shù)列.

若選②③=①，

設(shè)數(shù)列｛J—｝的公差為d則「-「二&

即v_r+2_v_、=&

=

::.i—'~idy即d^\!J",

???7=V~T+（〃T）d=y]~1+5-V）\~~y

即Sn=n.31,

當(dāng)?shù)?2時(shí)，an=Sn-Sn-\=n&一(〃—1)，=(2〃-1)劭，

當(dāng)77-1時(shí)，劭符合式子為二(2刀-1)徹

??5/J-(2/7—1)3.1,,??Q,n+1~3，n~2/3，l,

即數(shù)列｛&｝是等差數(shù)列.

19.解⑴設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列｛a｝的公比為°(。刈.

因?yàn)楫?dāng)是251,3/的等差中項(xiàng),所以2&之劭+3儂即2a\d畛a\埼a、q,因?yàn)?W0,所以2/-3。-24),

解得啟或產(chǎn)](舍去).

所以a=at/4al=16,解得aN所以*2X2nX=2n.

⑵由⑴可知的,14弋

所以bn=(T)"1Og2d2"l=(T)"1OgzZ?”"=(T)"(2〃+1),

所以7L-(-1)1X3A-1)2X5A-1)3X7^-A-1)/?(2T?^1),

一北二(一1)2乂3+(—1)3乂5+(一1)4乂7-??+(-1)-1?(2〃+1),

所以2北二一3+2](—l)2+(—I)?夫??+(T)1-(-1)77+1(2/7^1)-3^-2x-1)77(2/7^1)-3^1-(-1)

i+(T)”(2"L)=-2+(2〃必(-1)”，

所以7>(力力)(—1)〃—L

20.解⑴若選①，則

當(dāng)〃=1時(shí)，2sL又S=&=1,所以

當(dāng)吐2S3-I-(/?-1)為,所以2劣弓7a+1-(〃-1)4，

即(〃+1)an=nan+i,所以一詈=——(刀22).

又寸二1,所以當(dāng)時(shí),一二1,即an=n.

又4二1符合上式,所以an=n.

若選②，則當(dāng)n=\吐251=3231,可得52=2.

當(dāng)時(shí)，2Sn-l^ndn-1)可得2劣二劣劣網(wǎng)-劣品-1.

由為為，得Q.n+l~Q-n~\.

又ai=l,ad,所以｛期｝是首項(xiàng)為2,公差為2的等差數(shù)列，｛a?。"是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)

歹U,所以a?=n.

若選③，因?yàn)?+a?^S?,

2

所以當(dāng)〃22時(shí)，2_]七"-1=2$-1,兩式相減得+an-?-a〃T=2am即(a〃+a〃T)(a「a”TT)O.

由aQO,得a「a"TT4),即an-an-i=l,所以｛aj是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列,所以a?=n.

⑵由⑴知％("1)?2",

所以7>2X2+3X2?抬X23)?2",

2Z.-2X22+3X23+lX24^-+(7?+1)?2-

兩式相減，得-7；N4+23W2"-("D.2』四；/)得〃。)?2""NY+2"