2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)基礎(chǔ)講義-超幾何分布與二項(xiàng)分布（解析版）

第46講超幾何分布與二項(xiàng)分布

1-二項(xiàng)分布

在?次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率是P，此時(shí)稱

隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記作XB",p）,并稱尸為成功概率

在〃次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件4恰好發(fā)生上次的概率2*=左）=。力（1-4\左=0,1,2n）

2.超幾何分布：

在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取九件，其中恰有X件次品，則事件{X=k}發(fā)生的概率

p（x=k[=Mg-Mk=。,12m即

X01m

1f~\mf\n-m

P

5C'N

其中wi=min{M,〃},且,M<N,n,M,NGN*

如果隨機(jī)變量X的分布列具有上表的形式，則稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布.

題型一：超幾何分布

1.（全國高二課時(shí)練習(xí)）一個(gè)袋中有6個(gè)同樣大小的黑球，編號(hào)為123,4,5,6,還有4個(gè)同樣大小的白球，

編號(hào)為7,8,9,10.現(xiàn)從中任取4個(gè)球，有如下幾種變量：

①X表示取出的最大號(hào)碼；

②X表示取出的最小號(hào)碼；

③取出一個(gè)黑球記2分，取出一個(gè)白球記1分，X表示取出的4個(gè)球的總得分；

④X表示取出的黑球個(gè)數(shù).

這四種變量中服從超幾何分布的是（）

A.①②B.③④C.①②④D.①②③④

【答案】B

【詳解】

對(duì)于①，當(dāng)X表示最大號(hào)碼，比如X=6表示從黑球編號(hào)為1,2,3,4,5中取3個(gè)黑球,

而X=8表示從6個(gè)黑球和編號(hào)為7的白球共7個(gè)球中取3個(gè)球,

故該隨機(jī)變量不服從超幾何分布，同理②中的隨機(jī)變量不服從超幾何分布.

對(duì)于③，X的可能取值為4,5,6,7,8,

X=4表示取出4個(gè)白球；

X=5表示取出3個(gè)白球1個(gè)黑球;

X=6表示取出2個(gè)白球2個(gè)黑球;

X=7表示取出1個(gè)白球3個(gè)黑球;

X=8表示取出4個(gè)黑球；

因此X服從超幾何分布.

由超幾何分布的概念知④符合,

故選：B.

3

2.（全國高二課時(shí)練習(xí)）盒中有10個(gè)螺絲釘，其中3個(gè)是壞的.現(xiàn)從盒中隨機(jī)抽取4個(gè)，則概率是1G的事

件為（）

A.恰有1個(gè)是壞的B.4個(gè)全是好的

C.恰有2個(gè)是好的D.至多有2個(gè)是壞的

【答案】C

【詳解】

CY1

對(duì)于A,事件的概率為片;

do2

身」.

對(duì)于B,事件的概率為

C：。6’

C2C23

對(duì)于c,事件的概率為

do

29

對(duì)于D,事件的概率為

30

故選C.

3.（全國高二課時(shí)練習(xí)）下列隨機(jī)事件中的隨機(jī)變量X服從超幾何分布的是（）

A.將一枚硬幣連拋3次，記正面向上的次數(shù)為X

B.從7男3女共10名學(xué)生干部中隨機(jī)選出5名學(xué)生干部，記選出女生的人數(shù)為X

C.某射手的射擊命中率為0.8,現(xiàn)對(duì)目標(biāo)射擊1次，記命中的次數(shù)為X

D.盒中有4個(gè)白球和3個(gè)黑球，每次從中摸出1個(gè)球且不放回，記第一次摸出黑球時(shí)摸取的次數(shù)為X

【答案】B

【詳解】

解：由超幾何分布的定義可判斷，只有B中的隨機(jī)變量X服從超幾何分布.

故選：B.

4.（全國高二課時(shí)練習(xí)）袋中有除顏色外完全相同的3個(gè)白球和2個(gè)紅球，從中任取2個(gè)，那么下列事件

7

中發(fā)生的概率為歷的是（）

A.都不是白球

B.恰有1個(gè)白球

C.至少有1個(gè)白球

D.至多有1個(gè)白球

【答案】D

【詳解】

尸（都不是白球）=言=］，尸（恰有1個(gè)白球）=?，尸（至少有1個(gè)白球）=0。:0、="，尸（至多

.入-4+c'c'7

有1個(gè)白球)=2c2

10

故選：D.

5.（全國高二單元測(cè)試）在15個(gè)村莊中有7個(gè)村莊交通不方便，現(xiàn)從中任意選10個(gè)村莊，用X表示這10

個(gè)村莊中交通不方便的村莊數(shù),則下列概率中等于寫算的是（

)

A.P(X=2)B.P(X<2)

C.P(X=4)D.P(X<4)

【答案】c

【詳解】

X服從超幾何分布,P（x=k）=，故&=4,

故選：C.

6.（全國）一個(gè)班級(jí)共有30名學(xué)生，其中有10名女生，現(xiàn)從中任選三人代表班級(jí)參加學(xué)校開展的某項(xiàng)活

動(dòng)，假設(shè)選出的3名代表中的女生人數(shù)為變量X，男生的人數(shù)為變量Y，則P（X=2）+尸任=2）等于

ARGo+C；。

A.「3B.―-5—

C30C30

「+do（c*+c；。）.（c'o+cf0）

--區(qū)--&

【答案】C

【詳解】

由題得尸（X=2）=工滬，尸（Y=2）=,

。30。30

所以尸（X=2）+P（Y=2）=?；?。：CoGo.

。30

故選：C.

7.（全國高二單元測(cè)試）某社區(qū)為積極配合消防宣傳工作，準(zhǔn)備成立由4名業(yè)主組成的志愿者招募宣傳隊(duì)，

現(xiàn)初步選定5男4女共9名業(yè)主為候選人，每名候選人被選為志愿者招募宣傳隊(duì)隊(duì)員的機(jī)會(huì)是相同的.記X

為女業(yè)主當(dāng)選人數(shù)，求X的分布列.

【答案】分布列見解析.

【詳解】

由題意知，X的取值為0,1,2,,3,4的超幾何分布,

因此P(X=O)，=*,尸(x=D=詈琮

C912oC963

22（）曾

唳=2)=百cc$PX=3=10

63，

C=_L

P(X=4)=

^"126'

故X的分布列為：

X01234

52010101

P

126632163126

8.（全國高二單元測(cè)試）某校高二年級(jí)某班的物理課外活動(dòng)小組有5名男生，4名女生，從中選出3人參

加物理競(jìng)賽考試，用X表示其中男生的人數(shù).

（1）請(qǐng)列出X的分布列；

（2）求選出的3人中至少有2名男生的概率.

25

【答案】（1）分布列見解析；（2）

【詳解】

（1）依題意，得隨機(jī)變量X服從參數(shù)為9,3,5的超幾何分布，即X~"（9,3,5）,

1「（2sc2cxio03ro弓

因此P（x=o）=*=L,p（x=i）=*=2,p（x=2）=q=U,P（X=3）=#=2.

j'Cl21'v'Cl14'v'Cl21'v'Cl42

所以X的分布列為：

（2）由（1）中分布歹I」可知P（XN2）=P（X=2）+P（X=3）=/+K=||,

25

故選出的3人中至少有2名男生的概率是五.

9.（全國高二課時(shí)練習(xí)）從某批產(chǎn)品中，有放回地抽取產(chǎn)品二次，每次隨機(jī)抽取1件，假設(shè)事件A“取出的

2件產(chǎn)品都是二等品”的概率P（A）=0.04.

（1）求從該批產(chǎn)品中任取1件是二等品的概率；

（2）若該批產(chǎn)品共10件，從中任意抽取2件，X表示取出的2件產(chǎn)品中二等品的件數(shù)，求X的分布列.

【答案】（1）02;（2）分布列見解析.

【詳解】

（1）設(shè)任取一件產(chǎn)品是二等品的概率為。，依題意有尸（A）=p2=Q04,

解得0=0.2或〃=一0.2（舍），

故從該批產(chǎn)品中任取1件是二等品的概率為02；

（2）若該批產(chǎn)品共10件，由（1）知其二等品有10x0.2=2（件），故X的可能取值為0、1、2,

尸(x=o)=3=||,*=1)窄M*X=2)咯1

Mo4,5owJo45

所以，隨機(jī)變量X的分布列如下表所示：

X012

28161

P

454545

題型二：二項(xiàng)分布

1.（全國）如果x3（15,：）,則使P（X=Q最大的左值（）

A.3B.4

C.4或5D.3或4

【答案】D

【詳解】

「上+1,1、女+1，3、14人一

V_15-k1

解.P(X=k)￡*.(5,(2產(chǎn)一"+13」守心

所以當(dāng)晨3時(shí)，P(X=k+V)..P(X=k),

當(dāng)左>4時(shí)，P(X=Z:+1)<P(X=6,

其中％=3時(shí),P(X=k+l)=P(X=k),

從而％=3或4時(shí)，尸（X=A）取得最大值，

故選：D

B(4,g),則尸(X=2)=()

2.（全國高二單元測(cè)試）已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布X

A1BcD-11

-2-1-i

【答案】C

【詳解】

P(X=2)=C：(1}2{1-1}2=1-

故選：C

3.(全國)已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布8(3,手，當(dāng)丘｛0,123｝時(shí)，P(X=k)的最大值是(

)

41

BcD.—

?-?27

【答案】B

【詳解】

解：因?yàn)殡S機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布8(3，!，

所以P(X=%)=《.(9彳產(chǎn)，丘｛0/23｝

所以P(X=())=《.①守得,

1o4

P(X=l)=C^(-)1-(-)2=-,

p(x=2)=ci(y.(|y=|,

尸—3)=《*(|)。=：,

4

???尸(X=6max=RX=l)=§,

故選：B.

4.(福建上杭一中)《乘風(fēng)破浪的姐姐》是一檔深受觀眾喜爰的電視節(jié)目，節(jié)目采用組團(tuán)比賽的方式進(jìn)行，

參賽選手需要全部參加完五場(chǎng)公開比賽，其中五場(chǎng)中有四場(chǎng)獲勝，就能取得參加決賽的資格.若某參賽選手

2

每場(chǎng)比賽獲勝的概率是§,則這名選手能參加決賽的概率是()

A%B也C受D這

'243'243'243'243

【答案】D

【詳解】

由題意可知五場(chǎng)中獲勝的場(chǎng)次X815,|],

所求選手能參加決賽的概率尸=c.mf+c；

故選：D

4

5.（福清西山學(xué)校高二期中）某籃球運(yùn)動(dòng)員每次投籃投中的概率是二,每次投籃的結(jié)果相互獨(dú)立，那么在

他10次投籃中，記最有可能投中的次數(shù)為加,則機(jī)的值為（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】D

【詳解】

記投籃命中的次數(shù)為隨機(jī)變量X,

由題意，X《10,：）,

則投籃命中加次的概率為P（X=〃2）=Ck（g）—）=c%

mm+l

'rm.A!71C^+i4加+IAA1〉4（10-m）

Jo什Ao>4Ao

Am-小+1

510510m+1

由＜,1得<,，即<

/.4根4機(jī)一]4（10-m+l）>]

10Am.

-5、AnAn-1、m

解得二4加4彳,又加eN,

因此加=8時(shí)，尸（X=加）=釜「機(jī)匚.4取陽最大值

即該運(yùn)動(dòng)員1。次投籃中，最有可能投中的次數(shù)為8次.

故選：D.

6.（全國高二專題練習(xí)）下列說法正確的個(gè)數(shù)是

①某同學(xué)投籃的命中率為0.6，他10次投籃中命中的次數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量，且X3（10,0.6）;

②某福彩中獎(jiǎng)概率為〃，某人一次買了8張，中獎(jiǎng)張數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量，且X8（8,p）;

③從裝有5個(gè)紅球、5個(gè)白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球?yàn)橹?，則摸球次數(shù)X是隨機(jī)變量，且

XB[n，2

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

【答案】C

【詳解】

①某同學(xué)投籃的命中率為0.6,該同學(xué)投籃10次，是一個(gè)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，所以他10次投籃中命中的次數(shù)X

是一個(gè)隨機(jī)變量，且X8（10,0.6）,所以該命題正確；

②某福彩中獎(jiǎng)概率為P,某人一次買了8張，相當(dāng)于買了8次，每次中獎(jiǎng)的概率都為P,相當(dāng)于做了8次獨(dú)

立重復(fù)試驗(yàn)，中獎(jiǎng)張數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量，且X8（8,p）,所以該命題正確；

③從裝有5個(gè)紅球、5個(gè)白球的袋中，由于它是有放回地摸球，直到摸出白球?yàn)橹?，所以它不是一個(gè)獨(dú)立

重復(fù)性試驗(yàn)，因?yàn)楫?dāng)X=1時(shí)，概率為9,當(dāng)X=2時(shí)，概率為,當(dāng)X=3時(shí)，概率為:=：,

乙2Z4222o

依次類推，即每次試驗(yàn)摸到白球的概率不相等，所以它不是獨(dú)立重復(fù)性試驗(yàn)，所以X不服從8卜］］所以

該命題錯(cuò)誤.

故選：C

7.（全國高二課時(shí)練習(xí)）若X5（6,1）,則使P（X=k）最大的k的值是（）

A.2B.3C.2或3D.4

【答案】B

【詳解】

解：p(x=k)=c>

尸(X=k+l)_CE'(/)6

則,得匕,2.5,

P(X=k)c：.(g)6

所以當(dāng)左=2時(shí)，尸（X=2）=2，

04

70

當(dāng)％=3時(shí)，尸（X=3）=x，

從而X=3時(shí)，P（X=k）取得最大值.

故選：B.

8.（全國（文））將一個(gè)半徑適當(dāng)?shù)男∏蚍湃肴鐖D所示的容器最上方的入口處，小球?qū)⒆杂上侣?小球在

下落的過程中，將3次遇到黑色障礙物，最后落入A袋或B袋中.已知小球每次遇到黑色障礙物時(shí)，向左、

右兩邊下落的概率都是g，則小球落入A袋中的概率為（）

【答案】C

【詳解】

由于小球每次遇到黑色障礙物時(shí)，有一次向左和兩次向右或兩次向左和一次向右下落時(shí)，小球?qū)⒙淙階袋,

所以P（A）=C；］劭臼+咱=|-

故選：C.

9.（北京延慶?高二期中）甲、乙兩個(gè)籃球運(yùn)動(dòng)員互不影響地在同一位置投球，命中率分別為:與P,且乙

投球2次均命中的概率為白.

16

（1）求甲投球2次，命中1次的概率；

（2）若乙投球3次，設(shè)命中的次數(shù)為X,求X的分布列.

4

【答案】（1）§；（2）答案見解析.

【詳解】

解：（1）設(shè)“甲投球一次命中”為事件A,

則尸⑷=§,P（A）=-

故甲投球2次命中1次的概率為

P=P（A-A）+P（A）P（A）=|x|+|x1=^

（2）設(shè)“乙投球一次命中”為事件B.

11

由題意得P(a3)=P,P=”，解得P=：,

lo4

所以P(3)=；,P(B)=|

由題意得X服從80,；］,則

o

13

尸(X=0)=C；IX

4

1

尸(X=l)=c；&27

IX

64

P(X=3)=C；5,({I*

X0123

272791

P

64646464

10.(浙江麗水?高二課時(shí)練習(xí))某單位舉辦2020年杭州亞運(yùn)會(huì)知識(shí)宣傳活動(dòng)，進(jìn)行現(xiàn)場(chǎng)抽獎(jiǎng)，盒中裝有9

張大小相同的精美卡片，卡片上分別印有“亞運(yùn)會(huì)會(huì)徽”或“五環(huán)”圖案；抽獎(jiǎng)規(guī)則是：參加者從盒中抽取卡片

兩張，若抽到兩張都是“五環(huán)”卡即可獲獎(jiǎng)，否則，均為不獲獎(jiǎng).卡片用后放回盒子，下一位參加者繼續(xù)重復(fù)

進(jìn)行.

(I)活動(dòng)開始后，一位參加者問：盒中有幾張“五環(huán)”卡？主持人答：我只知道，從盒中抽取兩張都是“會(huì)

徽”卡的概率是工，求抽獎(jiǎng)?wù)攉@獎(jiǎng)的概率；

lo

(II)現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四人依次抽獎(jiǎng)，用&表示獲獎(jiǎng)的人數(shù)，求4的分布列及的值.

【答案】(I)J；(II)見解析

O

【詳解】

5C25

(I)設(shè)“會(huì)徽”卡有”張，因?yàn)閺暮兄谐槿蓮埗际恰皶?huì)徽”卡的概率是6