2024年高考數學一輪復習基礎講義-導數的應用導數與函數的單調性（解析版）

第14講導數與函數的單調性

1.函數的單調性與導數的關系

函數y=/(%)在區(qū)間(“力)內可導，

⑴若/'(%)>。,則/(x)在區(qū)間(“力)內是單調遞增函數；

⑵若/'。)<0,則/(x)在區(qū)間(a,b)內是單調遞減函數；

⑶若恒有/'(%)=。，則/(%)在區(qū)間(“力)內是常數函數.

注意：討論函數的單調性或求函數的單調區(qū)間的實質是解不等式，求解時，要堅持"定義域優(yōu)先"原則

2.求函數單調區(qū)間的步驟

(1)確定函數的定義域

(2)求導數/'(%)

(3)解不等式/'(尤)>0,/'(x)<0

(4)結合定義域下結論。

3.已知函數單調性求參數范圍

(1)已知可導函數/(%)在區(qū)間。上單調遞增，則在區(qū)間〃上f\x)>0恒成立；

⑵已知可導函數/(%)在區(qū)間。上單調遞減，則在區(qū)間2上f\x)<0恒成立；

⑶已知可導函數于(x)在區(qū)間。上存在增區(qū)間，則f\x)>0在區(qū)間，上有解；

⑷已知可導函數/(%)在區(qū)間。上存在減區(qū)間，則/'(%)<0在區(qū)間2上有解.

考點一：求函數的單調區(qū)間(不含參)

1.(江蘇儀征?)函數y=/-d-x-l的單調遞增區(qū)間為()

A-if

D.1一8,一￡|,(1,+<?)

c.

【答案】D

【詳解】

由題得y'=3Y-2x-l,令y'>0得：x>l或，故單調遞增區(qū)間為：1鞏-10+⑹，

故選：D.

2.(東臺市第一中學高二月考)函數/■(x)=xlnx的單調遞減區(qū)間是(

10,1

A.—,+00B.—co,—C.(e,+oo)D.

【答案】D

【詳解】

解：/(x)=xlnx,XG(O,+00)

則/'(x)Tnx+l,

1

由廣⑺vO得0<%<一,

e

故選：D.

3.（中寧縣中寧中學（理））函數/（%）=-lnx+2/的遞增區(qū)間是（）

《。和"1

A.B.5,+00

2-i°

1

C.0D.—,+oo

-I-2

【答案】D

【詳解】

由f(x)=-1nx+2x2,+4x=———-(x>0)

xx

令/'(x)>0,即4尤2—1>0,解得x>g

所以函數/（x）=-Inx+2x?的遞增區(qū)間是

故選：D

4.（安徽金安?六安一中高二月考（理））函數〃x）=x+ln（2-力的單調遞增區(qū)間為（

A.(-oo,3)B.(f1)C.(L+00)D.(1,2)

【答案】B

【詳解】

對于函數/(x)=x+ln(2—x),有2—x>0,可得xv2,

1x~l

所以，函數4無）的定義域為（F,2）,r（x）=i+

x—2x—2

由/（%）>。，因為x<2,角軍得xvL

因此，函數/（x）=x+ln（2-x）的單調遞增區(qū)間為（—」）.

故選：B.

5.（清遠市清新區(qū)鳳霞中學高二期中）函數/（x）=f-21nx的單調遞減區(qū)間是（

A.(0,1]B.

C.(-co,-l]D.[-1,0）（0,1]

【答案】A

【詳解】

由題意知/'(x)=2x—2=——(x>0),由/'(x)w。，得0<x41.

故選：A

6.(安徽鏡湖?蕪湖一中高二期中(理))已知函數/(x)=/-i2x,若Ax)在區(qū)間(2加,根+1)上單調遞減,

則實數機的取值范圍是()

A.[-1,1]B.(-1,1]C.(-L1)D.[-1,1)

【答案】D

【詳解】

詳解:因為/'(x)=3f-12=3(X+2)(X-2),

令/'(x)V0可得-2WxW2,所以要使函數f(x)在區(qū)間(2"〃+1)上單調遞減，

則區(qū)間(2必，加1)是區(qū)間[-2,2]的子區(qū)間，

2m>-2m>-\

所以m+l<2,求解不等式組可得：m<l,

m+1>2m[m<1

解得-1W水1,所以實數力的取值范圍是[-U).

故選：D

7.(黑龍江甘南?高二期中(理))若函數=-91nx在區(qū)間上單調遞減，則實數。的取

值范圍是()

A.1<(7<3B.a>4

C.-2<a<3D.l<a<4

【答案】A

【詳解】

函數/(x)=；/-91n無，(x>0).

因為〃x)在區(qū)間[”1,上單調遞減，

則/(x)<0在區(qū)間[a-1,a]上恒成立，即尤2一940,

所以?！淳?lt;3在區(qū)間-1,上恒成立，

[61—1>0

所以《,嗔，解得lv〃？3,

[a<3

故選：A.

8.（山東蘭陵四中）若函數/（x）=gx2-161nx在區(qū)間

上單調遞減,則實數。的取值范圍是（)

37j_7

A.B.+GOC.D.

°4r22292

【答案】D

【詳解】

16_(x+4)(x-4)

=x---,(x>0),

xx

當/'(x)40,解得:0<x<4,

11

由條件可知a--,a+-之(0,4],

1八

a—>0

217

所以,解得:—<a<—.

1,22

?+—<4

2

故選：D

考點二：己知函數的單調區(qū)間求參數的取值范圍

1.（陜西省洛南中學高二月考（理））若函數/（幻=履-In尤在區(qū)間（1,內）單調遞增，則左的取值范圍是（）

A.[1,+co）B.（―oo,-1]

C.（1,+8）D.（-00,-2]

【答案】A

【詳解】

由題意得，〃尤）的定義域為（。，+8）,f'^=k--,

X

因為/⑴在（1，+哈上單調遞增，

所以fXx）20在（1,+8）上恒成立，

即42,，又函數>=,在。，+◎上單調遞減，

X%

所以妒1.

故選：A

2.（渭南市尚德中學高二月考（理））已知〃力=爪3-/+3履-16在尺上是增加的，則上的取值范圍是

()

A.k>lB.左3ic.左>1或左<-LD.k31或左V—l

【答案】B

【詳解】

由題意得函數的導數大于等于0,可得/(尤)=3爪2-2x+g左20在R上恒成立，

k>0,

「.<k^>k>l,

△=4—4x3左x(—)W0,

故選：B

3.(黑龍江佳木斯一中(理))如果函數/(x)=2f-alnx在］,+，|上單調遞增，則。的取值范圍是()

A.a<\B.a>\C.a>\D.a<\

【答案】D

【詳解】

因為函數/(力=2工2-alnx,所以y'(x)=4x-—,

因為函數/(1)=2/-alnx在［；,+■?］上單調遞增，

所以/'(x)=4x-2上。對恒成立，即2a對xe］；,+<?］恒成立，

所以

故選:D

4.(全國)若函數/(尤)=(/-"+a)e'在區(qū)間(-1,0)內單調遞減，則實數”的取值范圍是()

A.(—8,3］B.［3,+00)C.［1,+oo)D.(—00,1］

【答案】D

【詳解】

由/(%)=(——+得了'(%)=+(2—.)%］=xex(x+2—,

由于函數“X)=(爐一依+a)e工在區(qū)間(一1,0)內單調遞減，

即/'(力40在(-1,0)上恒成立，即x+2-/0,

即得aVx+2在(TO)恒成立，所以aWl,

故選：D.

5.(陜西長安一中高二期末(理))若函數/(x)=/-〃21nx在(0,1］上為減函數，則實數加的取值范圍是

A.[2,+oo)B.(2,+oo)C.(一8,2]D.(-oo,2)

【答案】A

【詳解】

由題意得，1(x)=2x-'40在xe(0,l]上恒成立,所以加系2一在xe(0,l]上恒成立,因為2王在Q1]的最

尤

大值為2,所以〃欄2.

故選：A.

6.(全國高二單元測試)己知函數/(元)=履-21nx在區(qū)間(1,+◎上單調遞增，則上的取值范圍是()

A.(2,+00)B.(1,+℃)C.[2,+oo)D.[1，+oo)

【答案】C

【詳解】

因為/(元)在區(qū)間+8)上單調遞增，

故尸(X)=左-;20在區(qū)間(1,E)上恒成立.

即上士彳在區(qū)間(1,討)恒成立.

故％22.

故選：C.

考點三：存在單調區(qū)間問題

1.(江西南昌十中(文))函數〃x)=lnx+依2-2在區(qū)間內存在單調遞增區(qū)間，則實數”的取值范

圍是()

A.—2)B.

C.(-8,+8)D.(-2,+8)

【答案】C

【詳解】

由題意得，/'(%)=—\-1ax,

x

因為函數/(x)=lnx+ax2-2在區(qū)間內存在單調遞增區(qū)間，

所以存在使得《(司=[+2加＞0成立，即"'Jj=-8.

故選:C

2.(廣州市天河外國語學校高二期中)已知函數〃x)=e*，-bx)SeR)在區(qū)間；，2上存在單調遞增區(qū)

間，則實數6的取值范圍是()

o53sR

A.(-00,-)B.(-co,—)C.D.(-,+oo)

3o2o3

【答案】A

【詳解】

???函數”X)在區(qū)間；，2上存在單調增區(qū)間，

函數f(x)在區(qū)間g,2上存在子區(qū)間使得不等式尸(x)>0成立，

f\x)=ex［x!-+(2-b)x-b］,

設0(%)=x2+(2—匕)%—匕,

貝lJ/z(2)>0或/z(g)>0,

即4+2(2—人)一6>0或;+；(2-6)-b>0,

得V或b<?,

36

Q

則6<§；

故選：A.

3.(廣東高三月考)若函數/2(x)=lnx-:"2_2x在［1,4］上存在單調遞減區(qū)間，則實數。的取值范圍為()

A.B.(-l,+oo)C.［-1,+co)D.

【答案】B

【詳解】

112

因為以幻在口,4］上存在單調遞減區(qū)間，所以〃(%)=——女—2<0在［1,4］上有解，所以當1且1,4］時=-一

XXX

有解，而當彳《1,4］時，3二=七一1)2一1,-2］=-1(此時尤=1),所以°>—1,所以”的取值范

圍是(-1,+°°).

故選：B.

考點四：不單調問題

1.（全國）若函數〃力=三-12x在區(qū)間+上不是單調函數，則實數上的取值范圍是（）

A.（―℃,—3][—1,1][3,+<?）B.（―3,-1）u（1,3）

C.（-2,2）D.不存在這樣的實數上

【答案】B

【詳解】

由題意得，/'（"=3/—12=0在區(qū)間（左-1,左+1）上至少有一個實數根，

而?。?3k-12=0的根為x=@區(qū)間1-1,左+1）的長度為2,

故區(qū)間（"1次+1）內必含有2或-2.

左―1<2<%+1或左—1<—2<%+1,

1<化<3或一3（人<一1,

故選：B.

2.（奉新縣第一中學高二月考（文））若函數/（》）=尤3+（2-°）尤2+：|%+1在其定義域上不單調，則實數“

的取值范圍為（）

A.或a>4B.a<l^a>4C.l<a<4D.1<6?<4

【答案】A

【詳解】

由題意，函數/（%）=丁+（2-a）%。+1%+1,可得+（4-+§,

因為函數/。）=尤3+（2-辦2+f+l在其定義域上不單調，

即/'（x）=3Y+（4—2。）x+]=0有變號零點，

結合二次函數的性質，可得A=（4-2a）2-4a>。，

即Q?_5々+4>0,解得。<1或。>4,

所以實數，的取值范圍為（-8,l）D（4,+8）.

故選：A.

3.（山西運城-（理））已知函數/（%）=依+lnx+3在區(qū)間（1,2）上不單調，則實數。的取值范圍為（）

A。GW）B-加C/T,TD.1-|，一3

【答案】C

【詳解】

由廣（力=。+^=竺9，①當。20時函數“X）單調遞增，不合題意；②當"<。時，函數“X）的極值點為

尤=」，若函數在區(qū)間（L2）不單調，必有解得

故選：C.

4.（天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學高二期中）函數〃尤）=；/一/+6一5在區(qū)間[-1,2]上不單調，則實數

。的取值范圍是（）

A.（-8,-3]B.（-3,1）

C.[1,+°°）D.（-8,-3]U[1,+8）

【答案】B

【詳解】

f（%）——2%+Q=（x—1）2+d—1,

如果函數/（?=；尤3一/+依-5在區(qū)間[-1,2]上單調，

[f（-l）<0fl+2+a<0

那么-川或。（2）vo,叫4.4+―0,解得心1或忘-3,

所以當函