中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)練習(xí)考向34 最值問題（“將軍飲馬”和“費(fèi)馬點(diǎn)”）（含答案詳解）

試卷第=page44頁，共=sectionpages55頁考向34最值問題（“將軍飲馬”和“費(fèi)馬點(diǎn)”）【考點(diǎn)梳理】“將軍飲馬”問題主要利用構(gòu)造對(duì)稱圖形解決求兩條線段和差、三角形周長(zhǎng)、四邊形周長(zhǎng)等一類最值問題，會(huì)與直線、角、三角形、四邊形、圓、拋物線等圖形結(jié)合，在近年的中考和競(jìng)賽中經(jīng)常出現(xiàn)，而且大多以壓軸題的形式出現(xiàn)．【抽象模型】如圖，在直線上找一點(diǎn)P使得PA+PB最?。俊灸Ｐ徒馕觥孔鼽c(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)A’，連接PA’，則PA’=PA，所以PA+PB=PA’+PB當(dāng)A’、P、B三點(diǎn)共線的時(shí)候，PA’+PB=A’B，此時(shí)為最小值（兩點(diǎn)之間線段最短）一：兩定一動(dòng)模型模型作法結(jié)論當(dāng)兩定點(diǎn)A、B在直線l異側(cè)時(shí)，在直線l上找一點(diǎn)P，使PA＋PB最?。B接AB交直線l于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求作的點(diǎn)．PA＋PB的最小值為AB當(dāng)兩定點(diǎn)A、B在直線l同側(cè)時(shí)，在直線l上找一點(diǎn)P，使得PA＋PB最小．作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B'，連接AB'交直線l于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求作的點(diǎn)．PA＋PB的最小值為AB'當(dāng)兩定點(diǎn)A、B在直線l同側(cè)時(shí)，在直線l上找一點(diǎn)P，使得最大．連接AB并延長(zhǎng)交直線l于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求作的點(diǎn)．的最大值為AB當(dāng)兩定點(diǎn)A、B在直線l異側(cè)時(shí)，在直線l上找一點(diǎn)P，使得最大．作點(diǎn)B關(guān)于直線I的對(duì)稱點(diǎn)B'，連接AB'并延長(zhǎng)交直線l于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求作的點(diǎn)．的最大值為AB'當(dāng)兩定點(diǎn)A、B在直線l同側(cè)時(shí)，在直線l上找一點(diǎn)P，使得最?。B接AB，作AB的垂直平分線交直線l于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求作的點(diǎn)．的最小值為0二：一定兩動(dòng)模型模型作法結(jié)論點(diǎn)P在∠AOB內(nèi)部，在OB邊上找點(diǎn)D，OA邊上找點(diǎn)C，使得△PCD周長(zhǎng)最?。謩e作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)P′、P″，連接P′P″，交OA、OB于點(diǎn)C、D，點(diǎn)C、D即為所求．△PCD周長(zhǎng)的最小值為P′P″點(diǎn)P在∠AOB內(nèi)部，在OB邊上找點(diǎn)D，OA邊上找點(diǎn)C，使得PD＋CD最小．作點(diǎn)P關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)P′，過P′作P′C⊥OA交OB于D，點(diǎn)C、點(diǎn)D即為所求．PD＋CD的最小值為P′C二：“費(fèi)馬點(diǎn)”指的是位于三角形內(nèi)且到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距高之和最短的點(diǎn)。主要分為兩種情況：（1）當(dāng)三角形三個(gè)內(nèi)角都小于120°的三角形，通常將某三角形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)60度，從而將“不等三爪圖”中三條線段轉(zhuǎn)化在同一條直線上，利用兩點(diǎn)之間線段最短解決問題。（2）當(dāng)三角形有一個(gè)內(nèi)角大于120°時(shí)，費(fèi)馬點(diǎn)就是此內(nèi)角的頂點(diǎn).費(fèi)馬點(diǎn)問題解題的核心技巧：旋轉(zhuǎn)60°構(gòu)造等邊三角形將“不等三爪圖”中三條線段轉(zhuǎn)化至同一直線上利用兩點(diǎn)之間線段最短求解問題模型展示：如圖，在△ABC內(nèi)部找到一點(diǎn)P，使得PA＋PB＋PC的值最小.當(dāng)點(diǎn)P滿足∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120o，則PA＋PB＋PC的值最小，P點(diǎn)稱為三角形的費(fèi)馬點(diǎn).特別地，△ABC中，最大的角要小于120o，若最大的角大于或等于120o，此時(shí)費(fèi)馬點(diǎn)就是最大角的頂點(diǎn)A（這種情況一般不考，通常三角形的最大頂角都小于120°）費(fèi)馬點(diǎn)的性質(zhì)：1．費(fèi)馬點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小。2．費(fèi)馬點(diǎn)連接三頂點(diǎn)所成的三夾角皆為120°。最值解法：以△ABC任意一邊為邊向外作等邊三角形，這條邊所對(duì)兩頂點(diǎn)的距離即為最小值。證明過程：將△APC邊以A為頂點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到AQE，連接PQ，則△APQ為等邊三角形，PA=PQ。即PA+PB+PC=PQ+PB+PC，當(dāng)B、P、Q、E四點(diǎn)共線時(shí)取得最小值BE【題型探究】題型一：將軍飲馬1．如圖1，正方形中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是對(duì)角線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，，當(dāng)點(diǎn)從向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，與的函數(shù)關(guān)系如圖2所示，其中點(diǎn)是函數(shù)圖象的最低點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．2．如圖，如圖，的半徑為2，圓心的坐標(biāo)為，點(diǎn)是上的任意一點(diǎn)，，，與x軸分別交于A，B兩點(diǎn)，若點(diǎn)A、點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，則的最小值為（

）A．3 B．4 C．5 D．63．如圖，在△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC的中點(diǎn)，直線l經(jīng)過點(diǎn)D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分別為E，F(xiàn)，則AE+BF的最大值為（）A． B．2 C．2 D．3題型二：費(fèi)馬點(diǎn)4．如圖，在中，，P是內(nèi)一點(diǎn)，求的最小值為______．5．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)P是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，作PD⊥BC于點(diǎn)D，線段AD上存在一點(diǎn)Q，當(dāng)QA+QB+QC的值取得最小值，且AQ=2時(shí)，則PD=________．6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0，2)，點(diǎn)在軸的正半軸上，，OE為△BOD的中線，過B、兩點(diǎn)的拋物線與軸相交于、兩點(diǎn)（在的左側(cè)）.（1）求拋物線的解析式；（2）等邊△的頂點(diǎn)M、N在線段AE上，求AE及的長(zhǎng)；（3）點(diǎn)為△內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，請(qǐng)直接寫出的最小值,以及取得最小值時(shí)，線段的長(zhǎng).【必刷好題】一、單選題7．如圖，中，，點(diǎn)P為AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作于點(diǎn)D，則的最小值為（

）A． B． C．5 D．8．如圖，為正方形邊上一點(diǎn)，，，為對(duì)角線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A．5 B． C． D．109．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)M在DC上，且DM=1，N是AC上一動(dòng)點(diǎn)，則DN+MN的最小值為（

）A．4 B． C． D．510．如圖，四邊形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=∠ABE=60°，G為對(duì)角線BD（不含B點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，將△ABG繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△EBF，當(dāng)AG+BG+CG取最小值時(shí)EF的長(zhǎng)（）A． B． C． D．11．如圖所示，在中，，平分，為線段上一動(dòng)點(diǎn)，為

邊上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，的度數(shù)是（

）A．118° B．125° C．136° D．124°二、填空題12．如圖，菱形草地中，沿對(duì)角線修建60米和80米兩條道路，M、N分別是草地邊、的中點(diǎn)，在線段BD上有一個(gè)流動(dòng)飲水點(diǎn)，若要使的距離最短，則最短距離是_____米．13．如圖，在等邊中，于，．點(diǎn)分別為上的兩個(gè)定點(diǎn)且，點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)，連接，則的最小值為______．14．如圖，四邊形是菱形，B=6，且∠ABC=60°，M是菱形內(nèi)任一點(diǎn)，連接AM，BM，CM，則AM+BM+CM的最小值為________．15．如圖，在中，，，點(diǎn)在直線上，，點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)，連接，．當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，的度數(shù)為__________度．16．如圖，在中，，，，垂直平分，點(diǎn)P為直線上任意一點(diǎn)，則的最小值是______．三、解答題17．如圖，正方形的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)是正方形內(nèi)部一點(diǎn)，求的最小值．18．如圖，在中，，斜邊，經(jīng)過原點(diǎn)O，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，交x軸于點(diǎn)D，且，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過A、B兩點(diǎn)．(1)求反比例函數(shù)的解析式．(2)點(diǎn)P為直線上一動(dòng)點(diǎn)，求的最小值．19．如圖，△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝6，AC＝4，P為平面內(nèi)一點(diǎn)，求最小值20．在正方形ABCD中，點(diǎn)E為對(duì)角線AC（不含點(diǎn)A）上任意一點(diǎn)，AB=；（1）如圖1，將△ADE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△DCF，連接EF；①把圖形補(bǔ)充完整（無需寫畫法）；

②求的取值范圍；(2)如圖2，求BE+AE+DE的最小值．21．在中，，為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)為線段，的垂直平分線的交點(diǎn)，連接，，．(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，則______°；(2)當(dāng)時(shí)，①如圖2，連接，判斷的形狀，并證明；②如圖3，直線與交于點(diǎn)，滿足．為直線上一動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)，用等式表示，與之間的數(shù)量關(guān)系為______，并證明．22．在棋盤中建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，其中處各有一顆棋子．(1)如圖1，依次連接A，B，C，A，得到一個(gè)等腰三角形（BC為底邊），請(qǐng)?jiān)趫D中畫出該圖形的對(duì)稱軸．(2)如圖2，現(xiàn)x軸上有兩顆棋子P，Q，且（P在Q的左邊），依次連接A，P，Q，B，使得的長(zhǎng)度最短，請(qǐng)?jiān)趫D2中標(biāo)出棋子P，Q的位置，并寫出P，Q的坐標(biāo)．參考答案：1．A【分析】根據(jù)圖像，當(dāng)P與C重合時(shí)，PB+PE=9即CB+CE=9，從而確定正方形的邊長(zhǎng)為6，根據(jù)將軍飲馬河原理，連接DE交AC于點(diǎn)G，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)G重合時(shí)，PE+PB最小，且為DE的長(zhǎng)即點(diǎn)M的縱坐標(biāo)，利用相似三角形，計(jì)算AG的長(zhǎng)即為橫坐標(biāo)．【詳解】如圖，根據(jù)圖像，當(dāng)P與C重合時(shí)，PB+PE=9即CB+CE=9，∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，∴BC=6，連接DE交AC于點(diǎn)G，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)G重合時(shí)，PE+PB最小，且為DE的長(zhǎng)即點(diǎn)M的縱坐標(biāo)，∵四邊形ABCD是正方形，AB=6，∴CE∥AD，AC=，DE=，∴△CGE∽△AGD，∴，∴，∴AG=，故點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，），故A正確．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，函數(shù)圖像信息的獲取，將軍飲馬河原理，熟練掌握正方形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用三角形相似，構(gòu)造將軍飲馬河模型求解是解題的關(guān)鍵．2．D【分析】由中知要使取得最小值，則需取得最小值，連接，交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)位于位置時(shí)，取得最小值，據(jù)此求解可得．【詳解】解：連接，，，，，若要使取得最小值，則需取得最小值，連接，交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)位于位置時(shí)，取得最小值，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則、，，又，，，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出取得最小值時(shí)點(diǎn)的位置．3．A【分析】把要求的最大值的兩條線段經(jīng)過平移后形成一條線段，然后再根據(jù)垂線段最短來進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)C作CK⊥l于點(diǎn)K，過點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H，在Rt△AHB中，∵∠ABC＝60°，AB＝2，∴BH＝1，AH＝，在Rt△AHC中，∠ACB＝45°，∴AC＝，∵點(diǎn)D為BC中點(diǎn)，∴BD＝CD，在△BFD與△CKD中，，∴△BFD≌△CKD（AAS），∴BF＝CK，延長(zhǎng)AE，過點(diǎn)C作CN⊥AE于點(diǎn)N，可得AE+BF＝AE+CK＝AE+EN＝AN，在Rt△ACN中，AN＜AC，當(dāng)直線l⊥AC時(shí)，最大值為，綜上所述，AE+BF的最大值為．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理及平移的性質(zhì)，構(gòu)建全等三角形是解答此題的關(guān)鍵．4．【分析】將△APC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得△DFC，可得PC=PF，DF=AP，將轉(zhuǎn)化為，此時(shí)當(dāng)B、P、F、D四點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，最小值為BD的長(zhǎng)；根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】解：將△APC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得△DFC，連接PF、AD、DB，過點(diǎn)D作DE⊥BA，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E；∴AP=DF，∠PCF=∠ACD=，PC=FC，AC=CD，∴△PCF、△ACD是等邊三角形，∴PC=PF，AD=AC=1，∠DAC=∴，∴當(dāng)B、P、F、D四點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，最小值為BD的長(zhǎng)；∵，∠CAD=，∴∠EAD=，∴，∴，∴，∴，∴的值最小值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查費(fèi)馬點(diǎn)問題，解題的關(guān)鍵在于將△APC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得△DFC，將三條線段的長(zhǎng)轉(zhuǎn)化到一條直線上．5．【分析】如圖1，將△BQC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△BNM，連接QN，當(dāng)點(diǎn)A，點(diǎn)Q，點(diǎn)N，點(diǎn)M共線時(shí)，QA+QB+QC值最小，此時(shí)，如圖2，連接MC，證明AM垂直平分BC，證明AD=BD，此時(shí)P與D重合，設(shè)PD=x，則DQ=x-2，構(gòu)建方程求出x可得結(jié)論．【詳解】解：如圖1，將△BQC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△BNM，連接QN，∴BQ=BN，QC=NM，∠QBN=60°，∴△BQN是等邊三角形，∴BQ=QN，∴QA+QB+QC=AQ+QN+MN，∴當(dāng)點(diǎn)A，點(diǎn)Q，點(diǎn)N，點(diǎn)M共線時(shí)，QA+QB+QC值最小，此時(shí)，如圖2，連接MC∵將△BQC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△BNM，∴BQ=BN，BC=BM，∠QBN=60°=∠CBM，∴△BQN是等邊三角形，△CBM是等邊三角形，∴∠BQN=∠BNQ=60°，BM=CM，∵BM=CM，AB=AC，∴AM垂直平分BC，∵AD⊥BC，∠BQD=60°，∴BD=QD，∵AB=AC，∠BAC=90°，AD⊥BC，∴AD=BD，此時(shí)P與D重合，設(shè)PD=x，則DQ=x-2，∴x=，∴x=3+，∴PD=3+．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確運(yùn)用等邊三角形的性質(zhì)解決問題，學(xué)會(huì)構(gòu)建方程解決問題．6．(1)

(2)；或

（3）可以取到的最小值為．當(dāng)取得最小值時(shí)，線段的長(zhǎng)為【分析】（1）已知點(diǎn)B的坐標(biāo)，可求出OB的長(zhǎng)；在Rt△OBD中，已知了∠ODB=30°，通過解直角三角形即可求得OD的長(zhǎng)，也就得到了點(diǎn)D的坐標(biāo)；由于E是線段BD的中點(diǎn)，根據(jù)B、D的坐標(biāo)即可得到E點(diǎn)的坐標(biāo)；將B、E的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，即可求得待定系數(shù)的值，由此確定拋物線的解析式；（2）過E作EG⊥x軸于G，根據(jù)A、E的坐標(biāo)，即可用勾股定理求得AE的長(zhǎng)；過O作AE的垂線，設(shè)垂足為K，易證得△AOK∽△AEG，通過相似三角形所得比例線段即可求得OK的長(zhǎng)；在Rt△OMK中，通過解直角三角形，即可求得MK的值，而AK的長(zhǎng)可在Rt△AOK中由勾股定理求得，根據(jù)AM=AK-KM或AM=AK+KM即可求得AM的長(zhǎng)；（3）由于點(diǎn)P到△ABO三頂點(diǎn)的距離和最短，那么點(diǎn)P是△ABO的費(fèi)馬點(diǎn)，即∠APO=∠OPB=∠APB=120°；易證得△OBE是等邊三角形，那么PA+PO+PB的最小值應(yīng)為AE的長(zhǎng)；求AP的長(zhǎng)時(shí)，可作△OBE的外接圓（設(shè)此圓為⊙Q），那么⊙Q與AE的交點(diǎn)即為m取最小值時(shí)P點(diǎn)的位置；設(shè)⊙Q與x軸的另一交點(diǎn)（O點(diǎn)除外）為H，易求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)，即可得到點(diǎn)H的坐標(biāo)，也就得到了AH的長(zhǎng)，相對(duì)于⊙Q來說，AE、AH都是⊙Q的割線，根據(jù)割線定理（或用三角形的相似）即可求得AP的長(zhǎng)．【詳解】（1）過E作EG⊥OD于G∵∠BOD=∠EGD=90°，∠D=∠D，∴△BOD∽△EGD，∵點(diǎn)B（0，2），∠ODB=30°，可得OB=2，OD＝2；∵E為BD中點(diǎn)，∴=∴EG=1，GD＝∴OG＝∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(，1)∵拋物線經(jīng)過、兩點(diǎn)，∴.可得.∴拋物線的解析式為.（2）∵拋物線與軸相交于、，在的左側(cè)，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為.過E作EG⊥x軸于G∴,∴在△AGE中，,.過點(diǎn)作⊥于，可得△∽△．∴．∴．∴∴.∵△是等邊三角形,∴．∴．∴,或

（3）如圖；以AB為邊做等邊三角形AO′B，以O(shè)A為邊做等邊三角形AOB′；易證OE=OB=2，∠OBE=60°，則△OBE是等邊三角形；連接OO′、BB′、AE，它們的交點(diǎn)即為m最小時(shí)，P點(diǎn)的位置（即費(fèi)馬點(diǎn)）；∵OA=OB′，∠B′OB=∠AOE=150°，OB=OE，∴△AOE≌△B′OB；∴∠B′BO=∠AEO；∵∠BOP=∠EOP′，而∠BOE=60°，∴∠POP'=60°，∴△POP′為等邊三角形，∴OP=PP′，∴PA+PB+PO=AP+OP′+P′E=AE；即m最小=AE=如圖；作正△OBE的外接圓⊙Q，根據(jù)費(fèi)馬點(diǎn)的性質(zhì)知∠BPO=120°，則∠PBO+∠BOP=60°，而∠EBO=∠EOB=60°；∴∠PBE+∠POE=180°，∠BPO+∠BEO=180°；即B、P、O、E四點(diǎn)共圓；易求得Q（，1），則H（，0）；∴AH=；由割線定理得：AP?AE=OA?AH，即：AP=OA?AH÷AE=×÷=故：可以取到的最小值為．當(dāng)取得最小值時(shí)，線段的長(zhǎng)為【點(diǎn)睛】此題是二次函數(shù)的綜合類試題，涉及到二次函數(shù)解析式的確定、等邊三角形的性質(zhì)、解直角三角形以及費(fèi)馬點(diǎn)位置的確定和性質(zhì)，能力要求極高，難度很大．7．B【分析】作點(diǎn)B關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)D，交于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求作的點(diǎn)，此時(shí)有最小值，連接，根據(jù)對(duì)稱性的性質(zhì)，可知：，，根據(jù)，即可求出的最小值．【詳解】解：如下圖，作點(diǎn)B關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)D，交于點(diǎn)P，連接，點(diǎn)P即為所求作的點(diǎn)，此時(shí)有最小值，根據(jù)對(duì)稱性的性質(zhì)，可知：，在中，，，根據(jù)對(duì)稱性的性質(zhì)，可知：，，即，，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱一最短路線問題，解題的關(guān)鍵是掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)．8．A【分析】連接交于P點(diǎn)，根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，可知的最小值即為線段的長(zhǎng)，求出的長(zhǎng)即可.【詳解】連接，交于P點(diǎn)∵四邊形為正方形∴A點(diǎn)和C點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，可知的最小值即為線段的長(zhǎng).∵，∴的最小值為5故選：A

【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)和兩點(diǎn)之間線段最短，這是一個(gè)將軍飲馬模型.熟練掌握正方形的性質(zhì)并且能夠識(shí)別出將軍飲馬模型是解題的關(guān)鍵.9．D【分析】由正方形的對(duì)稱性可知點(diǎn)B與D關(guān)于直線AC對(duì)稱，連接BM交AC于N′，N′即為所求在Rt△BCM中利用勾股定理即可求出BM的長(zhǎng)即可．【詳解】∵四邊形ABCD是正方形，∴點(diǎn)B與D關(guān)于直線AC對(duì)稱，∴DN=BN，連接BD，BM交AC于N′，連接DN′，∴當(dāng)B、N、M共線時(shí)，DN+MN有最小值，則BM的長(zhǎng)即為DN+MN的最小值，∴AC是線段BD的垂直平分線，又∵CD=4，DM=1∴CM=CD-DM=4-1=3，在Rt△BCM中，BM=故DN+MN的最小值是5．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是軸對(duì)稱-最短路線問題及正方形的性質(zhì)，先作出D關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)，由軸對(duì)稱及正方形的性質(zhì)判斷出D的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)B是解答此題的關(guān)鍵．10．D【分析】根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，當(dāng)G點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時(shí)，AG+BG+CG的值最小，即等于EC的長(zhǎng)．【詳解】解：如圖，∵將△ABG繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△EBF，∴BE=AB=BC，BF=BG，EF=AG，∴△BFG是等邊三角形．∴BF=BG=FG，．∴AG+BG+CG=FE+GF+CG．根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，∴當(dāng)G點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時(shí)，AG+BG+CG的值最小，即等于EC的長(zhǎng)，過E點(diǎn)作EF⊥BC交CB的延長(zhǎng)線于F，∴∠EBF=180°-120°=60°，∵BC=4，∴BF=2，EF=2，在Rt△EFC中，∵EF2+FC2=EC2，∴EC=4．∵∠CBE=120°，∴∠BEF=30°，∵∠EBF=∠ABG=30°，∴EF=BF=FG，∴EF=CE=，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，軸對(duì)稱最短路線問題，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．11．D【分析】先在上截取，連接，證明，得出，說明，找出當(dāng)A、P、E在同一直線上，且時(shí)，最小，即最小，過點(diǎn)A作于點(diǎn)E，交于點(diǎn)P，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得答案．【詳解】解：在上截取，連接，如圖：∵平分，，∴，∵，∴，∴，∴，∴當(dāng)A、P、E在同一直線上，且時(shí)，最小，即最小，過點(diǎn)A作于點(diǎn)E，交于點(diǎn)P，如圖：∵，，∴．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的定義，三角形全等的判定和性質(zhì)，垂線段最短，三角形內(nèi)角和定理與三角形的外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是找出使最小時(shí)點(diǎn)P的位置．12．50【分析】作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，交于，連接，當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，的值最小，根據(jù)菱形的性質(zhì)和勾股定理求出長(zhǎng)，即可得出答案．【詳解】解：作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，交于，連接，當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，的值最小，四邊形是菱形，，，即在上，，，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，四邊形是菱形，，，四邊形是平行四邊形，，設(shè)與的交點(diǎn)為點(diǎn)，四邊形是菱形，，米，米，米，的最小值是50米．故答案為：50．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱﹣?zhàn)疃搪肪€問題，平行四邊形的性質(zhì)和判定，菱形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是能根據(jù)軸對(duì)稱找出的位置．13．【分析】如圖所示，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，且點(diǎn)在上，則，當(dāng)在同一條直線上時(shí)，有最小值，證明四邊形是平行四邊形，，由此即可求解．【詳解】解：如圖所示，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，∵是等邊三角形，，∴，∴點(diǎn)在上，∴，則，當(dāng)在同一條直線上時(shí)，有最小值，∵點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，，∴，，∴，∴是等邊三角形，即，∴，且，∴四邊形是平行四邊形，∴，在中，，，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查動(dòng)點(diǎn)與等邊三角形，對(duì)稱—最短路徑，平行四邊形的判定和性質(zhì)的綜合，理解并掌握等邊三角形得性質(zhì)，對(duì)稱—最短路徑的計(jì)算方法，平行四邊形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．【分析】以BM為邊作等邊△BMN，以BC為邊作等邊△BCE，如圖，則△BCM≌△BEN，由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到CM=NE，進(jìn)而得到AM+MB+CM=AM+MN+NE．當(dāng)A、M、N、E四點(diǎn)共線時(shí)取最小值A(chǔ)E．根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)得到BH⊥AE，AH=EH，根據(jù)30°直角三角形三邊的關(guān)系即可得出結(jié)論．【詳解】以BM為邊作等邊△BMN，以BC為邊作等邊△BCE，則BM=BN=MN，BC=BE=CE，∠MBN=∠CBE=60°，∴∠MBC=∠NBE，∴△BCM≌△BEN，∴CM=NE，∴AM+MB+CM=AM+MN+NE．當(dāng)A、M、N、E四點(diǎn)共線時(shí)取最小值A(chǔ)E．∵AB=BC=BE=6，∠ABH=∠EBH=60°，∴BH⊥AE，AH=EH，∠BAH=30°，∴BH=AB=3，AH=BH=，∴AE=2AH=．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)．難度比較大．作出恰當(dāng)?shù)妮o助線是解答本題的關(guān)鍵．15．【分析】如圖，作B關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)D，連接，的值最小，則交于P，由軸對(duì)稱易證，結(jié)合證得是等邊三角形，可得，結(jié)合已知根據(jù)等腰三角形性質(zhì)可求出，即可解決問題．【詳解】如圖，作B關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)D，連接，的值最小，則交于P，由軸對(duì)稱可知：，，，，，是等邊三角形，，，，，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形判定和性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)、最短路徑問題、等腰三角形的性質(zhì)；熟練掌握相關(guān)性質(zhì)的聯(lián)系與運(yùn)用，會(huì)利用最短路徑解決最值問題是解答的關(guān)鍵．16．4【分析】由線段垂直平分線的性質(zhì)可得，可得當(dāng)點(diǎn)A，P，C在一條直線上時(shí)，有最小值，最小值為的長(zhǎng)．【詳解】解：連接．∵是的垂直平分線，∴，∴，∴當(dāng)點(diǎn)A，P，C在一條直線上時(shí)，有最小值，最小值為．故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，明確線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．17．【分析】延長(zhǎng)到，使得，則，在的內(nèi)部作射線，使得，使得，連接，，．先證明，可得，再證明，可得：，從而得到，計(jì)算出的長(zhǎng)度即可．【詳解】解：延長(zhǎng)到，使得，則，在的內(nèi)部作射線，使得，使得，連接，，．，，，，，，，，，，，，，的值最小，最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，兩點(diǎn)之間線段最短，正方形的性質(zhì)，，正確理解費(fèi)馬點(diǎn)問題，利用相似構(gòu)造與，根據(jù)系數(shù)將圖形擴(kuò)大或縮小構(gòu)建圖形是解決問題的關(guān)鍵．18．(1)(2)【分析】（1）過點(diǎn)A作軸于點(diǎn)E，根據(jù)題意可得A、B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再由直角三角形的性質(zhì)可得，再由平行線分線段成比例可得，然后根據(jù)勾股定理求出，可得到點(diǎn)A的坐標(biāo)，即可求解；（2）延長(zhǎng)至點(diǎn)F，使得，連接交直線于點(diǎn)P，連接，可得垂直平分，從而得到，再由“兩點(diǎn)間線段最短”可得的最小值為線段的長(zhǎng)，然后根據(jù)A、B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，可得，可求出點(diǎn)F的坐標(biāo)為，即可求解．【詳解】（1）解：如圖①，過點(diǎn)A作軸于點(diǎn)E，∵經(jīng)過原點(diǎn)O，∴A、B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴O為的中點(diǎn)，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為，∴，∴反比例函數(shù)的解析式為．（2）解：如圖②，延長(zhǎng)至點(diǎn)F，使得，連接交直線于點(diǎn)P，連接，∵，，∴垂直平分，∴，∴，由“兩點(diǎn)間線段最短”可得的最小值為線段的長(zhǎng)，由（1）得A、B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴，∵C為線段的中點(diǎn)，∴，，即，，解得，，∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為，∴，即的最小值為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)的幾何應(yīng)用，平行線分線段成比例，勾股定理，線段垂直平分線的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合思想解答是解題的關(guān)鍵．19．【分析】將△APC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，得到△A，將△A擴(kuò)大倍，得到△，當(dāng)點(diǎn)B、P、、在同一直線上時(shí)，=最短，利用勾股定理求出即可．【詳解】解：如圖，將△APC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，得到△A，將△A擴(kuò)大，相似比為倍，得到△，則，，，過點(diǎn)P作PE⊥A于E，∴AE=，∴E=A-AE=，∴P=，當(dāng)點(diǎn)B、P、、在同一直線上時(shí)，=最短，此時(shí)=B，∵∠BA=∠BAC+∠CA=90°，AB=6，，∴．∴=B=【點(diǎn)睛】此題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，勾股定理，正確理解費(fèi)馬點(diǎn)問題的造圖方法：利用旋轉(zhuǎn)及全等的性質(zhì)構(gòu)建等量的線段，利用三角形的三邊關(guān)系及點(diǎn)共線的知識(shí)求解，有時(shí)根據(jù)系數(shù)將圖形擴(kuò)大或縮小構(gòu)建圖形．20．（1）①補(bǔ)圖見解析；②；（2）【分析】（1）①根據(jù)要求畫出圖形即可；②首先證明∠ECF＝90°，設(shè)AE＝CF＝x，EF2＝y(tǒng)，則EC＝4?x，在Rt△ECF中，利用勾股定理即可解決問題；（2）如圖2中，將△ABE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△AFG，連接EG，DF．作FH⊥AD于H．根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得DF≤FG＋EG＋DE，BE＝FG，推出AE＋BE＋DE的最小值為線段DF的長(zhǎng)；【詳解】（1）①如圖△DCF即為所求；②∵四邊形ABCD是正方形，∴BC＝AB＝2，∠B＝90°，∠DAE＝∠ADC＝45°，∴AC＝＝AB＝4，∵△ADE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△DCF，∴∠DCF＝∠DAE＝45°，AE＝CF，∴∠ECF＝∠A