2024-2025學年四川省成都市高三上冊9月月考數(shù)學教學檢測試題（含解析）

2024-2025學年四川省成都市高三上學期9月月考數(shù)學教學檢測試題一?單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的．1．集合，集合，則（

）A． B． C． D．2．函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當時，，則（

）A． B．2 C． D．3．展開式中第6項的二項式系數(shù)是（

）A． B． C． D．4.已知函數(shù)是定義在上的增函數(shù)，則滿足的x的取值范圍是（

）A．B． C． D．5．體育課上甲、乙兩名同學進行投籃比賽（甲、乙各投籃一次），甲投中的概率為0.7，乙投中的概率為0.8，則甲、乙兩人恰好有一人投中的概率為()A．0.38B．0.24 C．0.14 D．0.56．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A．B． C． D．7．函數(shù)的圖像恒過定點，若點在直線上，其中，則的最小值為（

）A．4B．C． D．88．已知函數(shù)是R上的偶函數(shù)，對于都有成立，且，當，且時，都有．則給出下列命題：①；②函數(shù)圖象的一條對稱軸為；③函數(shù)在上為嚴格減函數(shù)；④方程在上有4個根；其中正確的命題個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4二?多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．在下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在上單調(diào)遞增的函數(shù)有（

）A．B．C．D．10．已知函數(shù)，則（

）A．在單調(diào)遞增B．有兩個零點C．的最小值為D．在點處切線為11.在2024年巴黎奧運會藝術(shù)體操項目集體全能決賽中，中國隊以69.800分的成績奪得金牌，這是中國藝術(shù)體操隊在奧運會上獲得的第一枚金牌．藝術(shù)體操的繩操和帶操可以舞出類似四角花瓣的圖案，它可看作由拋物線繞其頂點分別逆時針旋轉(zhuǎn)后所得三條曲線與圍成的（如圖陰影區(qū)域），為與其中兩條曲線的交點，若，則（

）A．開口向上的拋物線的方程為B．ABC．直線截第一象限花瓣的弦長最大值為D．陰影區(qū)域的面積大于4三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共計15分．12．.13．已知二次函數(shù)滿足，則與的大小關(guān)系是．14．在棱長為的正方體中，點分別為棱的中點.點為正方體表面上的動點，滿足.給出下列四個結(jié)論：①線段長度的最大值為；②存在點，使得；③存在點，使得；④是等腰三角形.

其中，所有正確結(jié)論的序號是．四、解答題：共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15．（本小題13分）已知數(shù)列為公差不為零的等差數(shù)列，其前n項和為，，且，，成等比數(shù)列．(1)求的通項公式；(2)若數(shù)列是公比為3的等比數(shù)列，且，求的前n項和．16．(本小題滿分15分)如圖，在四棱錐中，底面為正方形、平面分別為棱的中點(1)證明：平面;(2)若，求直線與平面所成角的正弦值.17.（本小題15分）為了調(diào)查學生喜歡跑步是否與性別有關(guān)，高三年級特選取了200名學生進行了問卷調(diào)查，得到如下的列聯(lián)表：喜歡跑步不喜歡跑步合計男生80女生20合計已知在這200名學生中隨機抽取1人抽到喜歡跑步的概率為0.6．(1)判斷：是否有90%的把握認為喜歡跑步與性別有關(guān)？(2)從上述不喜歡跑步的學生中用分層抽樣的方法抽取8名學生，再在這8人中抽取3人調(diào)查其喜歡的運動，用X表示3人中女生的人數(shù)，求X的分布及數(shù)學期望．附：，其中．18．(本小題滿分17分)已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)證明：當時，19．(本小題滿分17分)已知雙曲線的實軸長為2，頂點到漸近線的距離為．(1)求雙曲線的標準方程；(2)若直線與的右支及漸近線的交點自上而下依次為，證明：；(3)求二元二次方程的正整數(shù)解，可先找到初始解，其中為所有解中的最小值，因為，所以；因為，所以；重復上述過程，因為與的展開式中，不含的部分相等，含的部分互為相反數(shù)，故可設(shè)，所以．若方程的正整數(shù)解為，且初始解，則的面積是否為定值？若是，請求出該定值，并說明理由．數(shù)學答案一、單選題12345678CDCDABDD8．已知函數(shù)是R上的偶函數(shù)，對于都有成立，且，當，且時，都有．則給出下列命題：①；②函數(shù)圖象的一條對稱軸為；③函數(shù)在上為嚴格減函數(shù)；④方程在上有4個根；其中正確的命題個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【詳解】①：對于任意，都有成立，令，則，解得，又因為是R上的偶函數(shù)，所以f3=0所以，所以函數(shù)的周期為6，所以，又由，故；故①正確；②：由（1）知的周期為6，又因為是R上的偶函數(shù)，所以，而的周期為6，所以，，所以：，所以直線是函數(shù)y=fx的圖象的一條對稱軸．故②正確；③：當，且時，都有．所以函數(shù)y=fx在上為嚴格增函數(shù)，因為是R上的偶函數(shù)，所以函數(shù)y=fx在上為嚴格減函數(shù)，而的周期為6，所以函數(shù)y=fx在上為嚴格減函數(shù)．故③正確；④：f3=0，的周期為6，所以，又在先嚴格遞減后嚴格遞增，所以在上除端點外不存在其他零點，所以在和上各有一個零點，所以函數(shù)y=fx在上有四個零點．故④正確；故選：D．二、多選題91011BCACDABD11．在2024年巴黎奧運會藝術(shù)體操項目集體全能決賽中，中國隊以69.800分的成績奪得金牌，這是中國藝術(shù)體操隊在奧運會上獲得的第一枚金牌．藝術(shù)體操的繩操和帶操可以舞出類似四角花瓣的圖案，它可看作由拋物線繞其頂點分別逆時針旋轉(zhuǎn)后所得三條曲線與圍成的（如圖陰影區(qū)域），為與其中兩條曲線的交點，若，則（

）A．開口向上的拋物線的方程為B．ABC．直線截第一象限花瓣的弦長最大值為D．陰影區(qū)域的面積大于4【詳解】由題意，開口向右的拋物線方程為，頂點在原點，焦點為,將其逆時針旋轉(zhuǎn)后得到的拋物線開口向上，焦點為，則其方程為，即，故A正確；對于B，根據(jù)A項分析，由可解得，或，即，代入可得，由圖象對稱性，可得,故，即B正確；對于C，如圖，設(shè)直線與第一象限花瓣分別交于點,由解得，由解得，,即得,則弦長為：，由圖知，直線經(jīng)過點時取最大值4，經(jīng)過點時取最小值0，即在第一象限部分滿足，不妨設(shè)，則，且，代入得，，（）由此函數(shù)的圖象知，當時，取得最大值為，即C錯誤；對于D，根據(jù)對稱性，每個象限的花瓣形狀大小相同，故可以先求部分面積的近似值.如圖，在拋物線上取一點，使過點的切線與直線平行，由可得切點坐標為,因,則點到直線的距離為，于是,由圖知，半個花瓣的面積必大于，故原圖中的陰影部分面積必大于，故D正確.故選：ABD.三、填空題12．12.13．已知二次函數(shù)滿足，則與的大小關(guān)系是．【正確答案】14．在棱長為的正方體中，點分別為棱的中點.點為正方體表面上的動點，滿足.給出下列四個結(jié)論：①線段長度的最大值為；②存在點，使得；③存在點，使得；④是等腰三角形.

其中，所有正確結(jié)論的序號是．【正確答案】①③④【詳解】如圖，建立空間直角坐標系，

則，對①，由正方體性質(zhì)知當P在時，線段長度的最大值為，此時，，所以，即滿足，故①正確；對②，取正方形的中心M，連接，易知，所以四邊形為平行四邊形，所以，故運動到處時，，此時，，，即不滿足，綜上不存在點，使得，故②錯誤；對③，設(shè)，則，，若存在，由，可得方程組，化簡可得，解得，顯然當時滿足題意，即存在點，使得，故③正確；對④，設(shè)，若，則，化簡可得，由③知時可得，所以不妨取，此時在正方體表面上，滿足題意，故④正確.四、解答題15．（本小題13分）已知數(shù)列為公差不為零的等差數(shù)列，其前n項和為，，且，，成等比數(shù)列．(1)求的通項公式；(2)若數(shù)列是公比為3的等比數(shù)列，且，求的前n項和．【詳解】（1）因為an為等差數(shù)列，設(shè)公差為d由，得，即，…………2分由，，成等比數(shù)列得，，化簡得，因為，所以．…………5分所以．…………6分（2）由知，，…………7分又為公比是3的等比數(shù)列，，所以，即，…………8分所以，…………9分，…………10分所以…………12分.…………13分16.(本小題滿分15分)如圖，在四棱錐中，底面為正方形、平面分別為棱的中點(1)證明：平面;(2)若，求直線與平面所成角的正弦值【詳解】（1）分別為的中點為正方形…………3分平面平面平面.…………7分（2）由題知平面建立如圖所示的空間直角堅標系，，則,…………9分,,,設(shè)平面的一個法向量為n=則,令則,…………12分設(shè)直線與平面所或的角為,，所以直線與平面所成角的正弦值為.…………15分17.（本小題15分）為了調(diào)查學生喜歡跑步是否與性別有關(guān)，高三年級特選取了200名學生進行了問卷調(diào)查，得到如下的列聯(lián)表：喜歡跑步不喜歡跑步合計男生80女生20合計已知在這200名學生中隨機抽取1人抽到喜歡跑步的概率為0.6．(1)判斷：是否有90%的把握認為喜歡跑步與性別有關(guān)？(2)從上述不喜歡跑步的學生中用分層抽樣的方法抽取8名學生，再在這8人中抽取3人調(diào)查其喜歡的運動，用X表示3人中女生的人數(shù)，求X的分布及數(shù)學期望．附：，其中．【詳解】（1）由題可知，從200名學生中隨機抽取1人抽到喜歡跑步的概率為0.6，故喜歡跑步的人有（人），不喜歡跑步的人有（人）．…………3分喜歡跑步不喜歡跑步合計男生8060140女生402060合計12080200∴，，，，……5分，故無90%把握認為喜歡跑步與性別有關(guān)．…………7分（2）按分層抽樣，設(shè)女生名，男生名，，解得，，∴從不喜歡跑步的學生中抽取女生2名，男生6名，故，1，2．…………9分，，，…………12分故X的分布為：012∴．…………15分18.(本小題滿分17分)已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)證明：當時，.【詳解】（1）由題函數(shù)定義域為，，…………1分故當時，恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減；…………3分當時，在上單調(diào)遞減，令，則時，；時，，…………5分所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，綜上，當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.…………7分（2）由（1）當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故在上恒成立，…………9分故證證，…………10分即，…………13分令，…………15分則，故當時，；時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，…………16分所以在上恒成立，故，所以當時，.…………17分19．(本小題滿分17分)已知雙曲線的實軸長為2，頂點到漸近線的距離為．(1)求雙曲線的標準方程；(2)若直線與的右支及漸近線的交點自上而下依次為，證明：；(3)求二元二次方程的正整數(shù)解，可先找到初始解，其中為所有解中的最小值，因為，所以；因為，所以；重復上述過程，因為與的展開式中，不含的部分相等，含的部分互為相反數(shù)，故可設(shè)，所以．