2024年人教版高中數(shù)學(xué)必修+選修知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)

中學(xué)數(shù)學(xué)必修+選修學(xué)問(wèn)點(diǎn)歸納

新課標(biāo)人教版

引言

1.課程內(nèi)容：

必修課程由5個(gè)模塊組成：

必修1:集合、函數(shù)概念與基本初等函數(shù)（指、對(duì)、幕函數(shù)）

必修2:立體幾何初步、平面解析幾何初步。

必修3:算法初步、統(tǒng)計(jì)、概率。

必修4：基本初等函數(shù)（三角函數(shù)）、平面對(duì)量、三角恒等變換。

必修5:解三角形、數(shù)列、不等式。

以上是每一個(gè)中學(xué)學(xué)生所必需學(xué)習(xí)的。

上述內(nèi)容覆蓋了中學(xué)階段傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)學(xué)問(wèn)和基本技能的主要部分，其中包括集合、函數(shù)、

數(shù)列、不等式、解三角形、立體幾何初步、平面解析幾何初步等。不同的是在保證打好基礎(chǔ)的同時(shí),

進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)了這些學(xué)問(wèn)的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程和實(shí)際應(yīng)用，而不在技巧與難度上做過(guò)高的要求。

此外，基礎(chǔ)內(nèi)容還增加了向量、算法、概率、統(tǒng)計(jì)等內(nèi)容。

選修課程有4個(gè)系列：

系列1:由2個(gè)模塊組成。

選修1一1:常用邏輯用語(yǔ)、圓錐曲線與方程、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用。

選修1一2：統(tǒng)計(jì)案例、推理與證明、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)、框圖

系列2：由3個(gè)模塊組成。

選修2—1：常用邏輯用語(yǔ)、圓錐曲線與方程、

空間向量與立體幾何。

選修2—2:導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用，推理與證明、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)

選修2—3:計(jì)數(shù)原理、隨機(jī)變量及其分布列，統(tǒng)計(jì)案例。

系列3：由6個(gè)專題組成。

選修3—1:數(shù)學(xué)史選講。

選修3—2：信息平安與密碼。

選修3—3：球面上的幾何。

選修3—4：對(duì)稱與群。

選修3—5:歐拉公式與閉曲面分類。

選修3—6：三等分角與數(shù)域擴(kuò)充。

系列4：由10個(gè)專題組成。

選修4—1:幾何證明選講。

選修4一2：矩陣與變換。

選修4—3：數(shù)列與差分。

選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程。

選修4—5:不等式選講。

選修4一6：初等數(shù)論初步。

選修4—7：優(yōu)選法與試驗(yàn)設(shè)計(jì)初步。

選修4-8：統(tǒng)籌法與圖論初步。

選修4一9：風(fēng)險(xiǎn)與決策。

選修4一10:開(kāi)關(guān)電路與布爾代數(shù)。

o

中學(xué)數(shù)學(xué)解題基本方法

一、配方法

二、換元法

三、待定系數(shù)法

四、定義法

五、數(shù)學(xué)歸納法

六、參數(shù)法

七、反證法

八、消去法

九、分析與綜合法

十、特殊與一般法

十一、類比與歸納法

十二、視察與試驗(yàn)法

中學(xué)數(shù)學(xué)常用的數(shù)學(xué)思想

一、數(shù)形結(jié)合思想

二、類探討思想

三、函數(shù)與方程思想

四轉(zhuǎn)化(化歸)思想

2.重難點(diǎn)及考點(diǎn)：

重點(diǎn)：函數(shù)，數(shù)列，三角函數(shù)，平面對(duì)量，圓錐曲線，立體幾何，導(dǎo)數(shù)

難點(diǎn)：函數(shù)、圓錐曲線

高考相關(guān)考點(diǎn)：

⑴集合與簡(jiǎn)易邏輯：集合的概念與運(yùn)算、簡(jiǎn)易邏輯、充要條件

⑵函數(shù)：映射與函數(shù)、函數(shù)解析式與定義域、值域與最值、反函數(shù)、三大性質(zhì)、函數(shù)圖象、指數(shù)與

指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)、函數(shù)的應(yīng)用

⑶數(shù)列：數(shù)列的有關(guān)概念、等差數(shù)列、等比數(shù)列、數(shù)列求和、數(shù)列的應(yīng)用

⑷三角函數(shù)：有關(guān)概念、同角關(guān)系與誘導(dǎo)公式、和、差、倍、半公式、求值、化簡(jiǎn)、證明、三角函

數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角函數(shù)的應(yīng)用

⑸平面對(duì)量：有關(guān)概念與初等運(yùn)算、坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積及其應(yīng)用

⑹不等式：概念與性質(zhì)、均值不等式、不等式的證明、不等式的解法、確定值不等式、不等式的用

⑺直線和圓的方程：直線的方程、兩直線的位置關(guān)系、線性規(guī)劃、圓、直線與圓的位置關(guān)系

(8)圓錐曲線方程：橢圓、雙曲線、拋物線、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、軌跡問(wèn)題、圓錐曲線的用

(9)直線、平面、簡(jiǎn)潔幾何體：空間直線、直線與平面、平面與平面、棱柱、棱錐、球、空間向量

(10)排列、組合和概率：排列、組合應(yīng)用題、二項(xiàng)式定理及其應(yīng)用

(11)概率與統(tǒng)計(jì)：概率、分布列、期望、方差、抽樣、正態(tài)分布

(12)導(dǎo)數(shù)：導(dǎo)數(shù)的概念、求導(dǎo)、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

(13)復(fù)數(shù)：復(fù)數(shù)的概念與運(yùn)算

1

必修1數(shù)學(xué)學(xué)問(wèn)點(diǎn)

第一■章：集合與函數(shù)概念

§1.1.1、集合

1、把探討的對(duì)象統(tǒng)稱為元素,把一些元素組成的總體叫做梟食。集合三要素：確定性、互異性、

無(wú)序性。

2、只要構(gòu)成兩個(gè)集合的元素是一樣的，就稱這兩個(gè)集合相等。

3、常見(jiàn)集合：正整數(shù)集合:N*或N+，整數(shù)集合:Z,有理數(shù)集合:Q,實(shí)數(shù)集合:R.

4、集合的表示方法：列舉法、描述法.

§1.1.2、集合間的基本關(guān)系

1、一般地，對(duì)于兩個(gè)集合A、B,假如集合A中隨意一個(gè)元素都是集合B中的元素，則稱集合A

是集合B的壬星。記作A=3.

2、假如集合4口3,但存在元素xeB,且xeA,則稱集合A是集合B的真子集.記作:A￡B.

3、把不含任何元素的集合叫做空梟.記作：。.并規(guī)定：空集合是任何集合的子集.

4、假如集合A中含有n個(gè)元素，則集合A有2"個(gè)子集，2"-1個(gè)真子集.

§1.1.3、集合間的基本運(yùn)算

1、一般地，由全部屬于集合A或集合B的元素組成的集合，稱為集合A與B的蘢集.記作：AUS.

2、一般地，由屬于集合A且屬于集合B的全部元素組成的集合，稱為A與B的交集.記作：AAB.

3、全集、補(bǔ)集?CuA-{x\x&gU}

§1.2.1、函數(shù)的概念

1、設(shè)A、B是非空的數(shù)集，假如依據(jù)某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系),使對(duì)于集合A中的隨意一個(gè)數(shù)x,

在集合B中都有惟一確定的數(shù)/(x)和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f3為集合A到集合B的一個(gè)重

數(shù),記作:y=/(x),xeA.

2、二個(gè)函數(shù)的構(gòu)成要素為：定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系、值域.假如兩個(gè)函數(shù)的定義域相同,并且對(duì)應(yīng)關(guān)

系完全一樣，則稱這兩個(gè)函數(shù)相等.

§1.2.2、函數(shù)的表示法

1、函數(shù)的三種表示方法：解析法、圖象法、列表法.

§1.3.1、單調(diào)性與最大(小)值

1、留意函數(shù)單調(diào)性的證明方法：

(1)定義法：設(shè)再、x2G[a,b],王</那么

/(%1)-/(%2)<。。/(九)在句上是增函數(shù)；

/(%1)-/(%2)>°O/(%)在句上是減函數(shù).

步驟：取值一作差一變形一定號(hào)一推斷

格式：解：設(shè)%1，%2￡用且<%2，貝h/(%2)=…

(2)導(dǎo)數(shù)法：設(shè)函數(shù)》=/(%)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，若貝、f(x)為增函數(shù)；

若/'(%)<0,f(x)為減函數(shù).

§1.3.2.奇偶性

1、一般地，假如對(duì)于函數(shù)/(x)的定義域內(nèi)隨意一個(gè)工,都有/(-%)=/(%),那么就稱函數(shù)/⑴為

2

偶函數(shù).偶函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.

2、一般地，假如對(duì)于函數(shù)/(x)的定義域內(nèi)隨意一個(gè)x,者口有/(-x)=-/(x),那么就稱函數(shù)/(x)為

奇函數(shù).奇函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

學(xué)問(wèn)鏈接：函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

1、函數(shù)y=/(%)在點(diǎn)/處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義：

函數(shù)y=/(x)在點(diǎn)無(wú)0處的導(dǎo)數(shù)是曲線y=/(x)在P(xo，/(x()))處的切線的斜率/'(%),相應(yīng)的切線

方程是丁一%=/'(%)(%-4).

2、幾種常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

①C'=0;②(x")'=〃x"T;③(sinx)'=cosx;④(cosx)'=-sinx;

⑤(優(yōu))’=相111。；⑥(—)'=/;0(logax)=---;⑧(lnx)'=4

xlnax

3、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則

(1)(W±V)-U±V.

(2)(wv)=uv+uv.

(3)(與=巴，"0).

vv

4、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則

復(fù)合函數(shù)y=/(g(x))的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y=/(?),M=g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為y'x=yj-u；,即y對(duì)x的

導(dǎo)數(shù)等于yW〃的導(dǎo)數(shù)與"對(duì)x的導(dǎo)數(shù)的乘積.

解題步驟：分層一層層求導(dǎo)一作積還原.

5、函數(shù)的極值

(1)極值定義：

極值是在尤。旁邊全部的點(diǎn)，都有了(尤)V/(x()),則/(Xo)是函數(shù)/(x)的極大值；

極值是在X。旁邊全部的點(diǎn),都有/(無(wú))>/(Xo),則/(%)是函數(shù)/(X)的微小值.

⑵判別方法：

①假如在X。旁邊的左側(cè)/'(X)>0,右側(cè)/(X)<0,那么/(與)是極大值；

②假如在無(wú)。旁邊的左側(cè)/(x)V0,右側(cè)/(彳)>0,那么/(與)是微小值.

6、求函數(shù)的最值

(1)求y=/(x)在(a,b)內(nèi)的極值(極大或者微小值)

(2)將y=/(x)的各極值點(diǎn)與/(a),/(6)比較，其中最大的一個(gè)為最大值，最小的一個(gè)為微小值。

注：極值是在局部對(duì)函數(shù)值進(jìn)行比較(局部性質(zhì))；最值是在整體區(qū)間上對(duì)函數(shù)值進(jìn)行比較(整

體性質(zhì))。

其次章：基本初等函數(shù)(I)

§2.1.1、指數(shù)與指數(shù)器的運(yùn)算

3

1、一般她，假如X"=Q,那么無(wú)叫做a的〃次方根。其中幾>1,幾EN+.

2、當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，而=a;

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，也"=時(shí).

3、我們規(guī)定：

n__

⑴“=療

[a>0,m,nGN*,m>0;

=4r(〃〉o)；

4、運(yùn)算性質(zhì)：

⑴優(yōu)。s=a'+s(a>0,r,s￡0);

a>\0VQ<1

(2)(相)、=a(>04,seQ);

(3)(a/7)r=arbr(a>0,b>0,reQ).圖

象

§2.1.2、指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

(1)定義域：R

性(2)值域：(0,+8)

質(zhì)

(3)過(guò)定點(diǎn)(0,1),即x=0時(shí)，y=1

(4)在R上是增(4)在R上是減函數(shù)

函數(shù)

(5)x>0,ax>1;(5)x>0,0<ax<1;

2、性質(zhì):x<0,0<ax<1%<0,a>1

§2.2.1、對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算

x

1、指數(shù)與對(duì)數(shù)互化式：a=N<^>x=logaN;

2、對(duì)數(shù)恒等式:小“N=N.

3、基本性質(zhì)：log。1=0,logaa=l.

4、運(yùn)算性質(zhì)：當(dāng)a>0,aw>0,N>0時(shí):

⑴log〃(MN)=k)g“M+k)g“N;

M

⑵log”=logaM—log“N;

N

(3)log”Mn—"log”M.

4

5、換底公式：log〃/7=^e

log,a

(a>0,aw1,c>0,cw1,Z?>0).

ryj

m

6、重要公式:log?b=-logab

an

7、倒數(shù)關(guān)系：logab=--—(a>0,awl,6>0,6wl).

log7,a

§2..2.2、對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

第三章：函數(shù)的應(yīng)用

§3.1.1、方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)

1、方程/(x)=0有實(shí)根

<=>函數(shù)y=/(%)的圖象與x軸有交點(diǎn)

=函數(shù)y=/(x)有零點(diǎn).

2、零點(diǎn)存在性定理：

假如函數(shù)y=/(x)在區(qū)間［a,“上的圖象是連綿不斷的一條曲線，并且有/(a)-70)<O,那么函數(shù)

y=/(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點(diǎn)，即存在ce(a,6),使得/(c)=0,這個(gè)c也就是方程/(x)=0的根.

§3.1.2、用二分法求方程的近似解

1、駕馭二分法.

5

§3.2.1、幾類不同增長(zhǎng)的函數(shù)模型

§3.2.2、函數(shù)模型的應(yīng)用舉例

1、解決問(wèn)題的常規(guī)方法：先畫(huà)散點(diǎn)圖，再用適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)擬合，最終檢驗(yàn).

必修2數(shù)學(xué)學(xué)問(wèn)點(diǎn)

第一章：空間幾何體

1、空間幾何體的結(jié)構(gòu)

⑴常見(jiàn)的多面體有：棱柱、棱錐、棱臺(tái)；常見(jiàn)的旋轉(zhuǎn)體有：圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球。

(2)棱柱：有兩個(gè)面相互平行,其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都相互平行,

些面所圍成的多面體叫做棱柱。

(3)棱臺(tái)：用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐,底面與截面之間的部分，這樣的多面體叫做棱臺(tái)。

2、空間幾何體的三視圖和直觀圖

一把光由一點(diǎn)向外散射形成的投影叫中心投影，中心投影的投影線交于一點(diǎn)；把在一束平行光線

照耀下的投影叫平行投影，平行投影的投影線是平行的。

3、空間幾何體的表面積與體積

⑴圓柱側(cè)面積;S側(cè)面=2萬(wàn)

⑶圓臺(tái)側(cè)面積：=7i-r-l+7i-R-l

⑷體積公式：

喔體=s?力；V錐體=耳S?/?;

,體=g(s上+JS上.S下+S下)

⑸球的表面積和體積：

S球=4成2,,V球=§4成3[.

其次章：點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

1、公理1:假如一條直線上兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)。

2、公理2：過(guò)不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。

3、公理3：假如兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線。

4、公理4：平行于同一條直線的兩條直線平行.

5、定理：空間中假如兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)。

6、殯費(fèi)位置關(guān)系:平行、相交、異面。

7、線面位置關(guān)系:直線在平面內(nèi)、直線和平面平行、直線和平面相交。

8、面面位置關(guān)系:平行、相交。

9、線面平行:

⑴航廠而外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行(簡(jiǎn)稱線線平行,

6

則線面平行）。

⑵性質(zhì)：一條直線與一個(gè)平面平行，則過(guò)這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行（簡(jiǎn)

稱線面平行，則線線平行）。

10、面面平行:

⑴判至"二不平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行（簡(jiǎn)稱線面平行，則

面面平行）。

⑵性質(zhì)：假如兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行（簡(jiǎn)稱面面平行，則線

線平行）。

11、線面垂直:

⑴定義：假如一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的隨意一條直線,那么就說(shuō)這條直線和這個(gè)平面垂直。

⑵判定：一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直（簡(jiǎn)稱線線垂直,

則線面垂直）。

⑶性質(zhì)：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行。

12、面面垂直:

⑴定義：兩個(gè)平面相交,假如它們所成的二面角是直二面角，就說(shuō)這兩個(gè)平面相互垂直。

⑵判定：一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，則這兩個(gè)平面垂直（簡(jiǎn)稱線面垂直，則面面垂直）。

⑶性質(zhì)：兩個(gè)平面相互垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個(gè)平面。（簡(jiǎn)稱面面垂直,

則線面垂直）。

第三章：直線與方程

1、傾斜角與斜率：k=tancr=———

X2—X\

2、直線方程：

（1）點(diǎn)斜式：y-yQ=k（x-x0）

⑵斜截式：y=kx+b（3）兩點(diǎn)式：匕乂=上呈

X_玉x2-xr

（4）截&巨式：2+）=1（5）一般式：Ax+By+C=Q

ab

3、對(duì)于直線：

k:y=^1x+Z?1,Z2:y=k2x+%有：

k、—k)

⑴乙〃，2=<⑵人和"相交<=>勺W左2；

b件b2

YAk[—k)

⑶乙和，2重合'(4)/]±l2ok[k?——1.

氏=b2

4、對(duì)于直線：

li:Ax+gy+G=0,

有:

l2:A,x+B2y+C,=0

\B2=4月

⑴/J〃2(2"i和4相交o4約wAB；

B2cl21

BXC2W

7

%當(dāng)=

(3)/|和，2重合。<(4)/]±Z,oA4+四2=0.

B}C2—B2G

5、兩點(diǎn)間距離公式：

山舄|=J&2-MF+3f)2

6、點(diǎn)到直線距離公式：/號(hào)+叫壯

——7A2+B2

7、兩平行線間的距離公式:

_|c-CI

4:Ax+為+G=0與4：Ax+的+。2=0平行，則d=J1?

^VA2+B2

第四章：圓與方程

1、圓的方程：

⑴標(biāo)準(zhǔn)方程：(x-af+(y-b)2=r2

其中圓心為(a,。)，半徑為r.

⑵一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0.

2

其中圓心為(-2,-￡),半徑為r=,，。+后2一4廠.

222

2、直線與圓的位置關(guān)系

直線Ax+By+CuO與圓(尤―a)?+(y—6)2=戶的位置關(guān)系有三種：

d>ru>相離oA<0;d—ru>相切u>A=0;d<ro相交oA>0.

弦長(zhǎng)公式：I=2"—屋=&+左2,&_々)2_4//

3、兩圓位置關(guān)系：d=似牲|

(1)夕卜離：d>R+r;(2)外切：d=R+r;

(3)相交：R—r<d<R+r;(4)內(nèi)切：d=R—r;

(5)內(nèi)含：d<R-r.

3、空間中兩點(diǎn)間距離公式：

山閭二J(》2--I+(乃fI+3-Z]I

必修3數(shù)學(xué)學(xué)問(wèn)點(diǎn)

第一章：算法

1、算法三種語(yǔ)言：

自然語(yǔ)言、流程圖、程序語(yǔ)言；

2、流程圖中的圖框：

一起止框、輸入輸出框、處理框、推斷框、流程線等規(guī)范表示方法;

3、算法的三種基本結(jié)構(gòu)：

8

J當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)

依次結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)［直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)

⑴依次結(jié)構(gòu)示意圖：

（圖1）

⑵條件結(jié)構(gòu)示意圖：

IF-THEN-ELSE格式:②IF-THEN格式:

⑶循環(huán)結(jié)構(gòu)示意圖:

①當(dāng)型（WHILE型）循環(huán)結(jié)構(gòu)示意圖：②直到型（UNTIL型）循環(huán)結(jié)構(gòu)示意圖：

4、基本算法語(yǔ)■句：

①輸入語(yǔ)句的一般格式:INPUT“提示內(nèi)容”；變量

②輸出語(yǔ)句的一般格式:PRINT“提示內(nèi)容”；表達(dá)式

③賦值語(yǔ)句的一般格式:變量=表達(dá)式

9

（“=”有時(shí)也用“一"）.

④條件語(yǔ)句的一般格式有兩種：

IF—THEN—ELSE語(yǔ)句的一般格式為：IF—THEN語(yǔ)句的一般格式為：

IF條件THEN

IF條件THEN

語(yǔ)句1

語(yǔ)句

ELSE

ENDIF（圖3）

語(yǔ)句2

（圖2）

ENDIF

⑤循環(huán)語(yǔ)句的一般格式是兩種：

當(dāng)型循環(huán)（WHILE）語(yǔ)句的一般格式:直到型循環(huán)（UNTIL）語(yǔ)句的一般格式:

WHILE條件DO

循環(huán)體循環(huán)體

（圖4）

WENDLOOPUNTIL條件

⑹算法案例：

①輾轉(zhuǎn)相除加一結(jié)果是以相除余數(shù)為0而得到

術(shù)）］用輾轉(zhuǎn)相除法求最大公約數(shù)的步驟如下：

i）:用較大的數(shù)m除以較小的數(shù)n得到一個(gè)商So和一個(gè)余數(shù)；

ii）:若4=0,貝"n為m,n的最大公約數(shù)；若%于0,則用除數(shù)n除以余數(shù)&得到一個(gè)商5和

一個(gè)余數(shù)用;

Hi）:若凡=0,則凡為m,n的最大公約數(shù)；若與/0,則用除數(shù)%除以余數(shù)凡得到一個(gè)商邑和

一個(gè)余數(shù)耳；....

依次計(jì)算直至凡=0,此時(shí)所得到的凡一即為所求的最大公約數(shù)。

②更相減損術(shù)一結(jié)果是以減數(shù)與差相等而得到

利用更相減損術(shù)求最大公約數(shù)的步驟如下：

i）:隨意給出兩個(gè)正數(shù)；推斷它們是否都是偶數(shù)。若是，用2約簡(jiǎn)；若不是，執(zhí)行其次步。

ii）:以較大的數(shù)減去較小的數(shù)，接著把較小的數(shù)與所得的差比較，并以大數(shù)減小數(shù)。接著這個(gè)

操作，直到所得的數(shù)相等為止，則這個(gè)數(shù)（等數(shù)）就是所求的最大公約數(shù)。

③進(jìn)位制

十進(jìn)制數(shù)化為k進(jìn)制數(shù)一除k取余法

k進(jìn)制數(shù)化為十進(jìn)制數(shù)

其次章：統(tǒng)計(jì)

1、抽樣方法：

①簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣（總體個(gè)數(shù)較少）

②系統(tǒng)抽樣（總體個(gè)數(shù)較多）

③分層抽樣（總體中差異明顯）

留意：在N個(gè)個(gè)體的總體中抽取出n個(gè)個(gè)體組成樣本，每個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)（概率）均為。。

N

2、總體分布的估計(jì)：

（1）一■表二圖：

①頻率分布表——數(shù)據(jù)詳實(shí)

10

②頻率分布直方圖——分布直觀

③頻率分布折線圖——便于視察總體分布趨勢(shì)

注：總體分布的密度曲線與橫軸圍成的面積為1。

⑵莖葉圖：

①莖葉圖適用于數(shù)據(jù)較少的狀況，從中便于看出數(shù)據(jù)的分布，以及中位數(shù)、眾位數(shù)等。

②個(gè)位數(shù)為葉，十位數(shù)為莖，右側(cè)數(shù)據(jù)依據(jù)從小到大書(shū)寫(xiě)，相同的數(shù)據(jù)重復(fù)寫(xiě)。

3、總體特征數(shù)的估計(jì)：

⑴平均數(shù)：(二巧+叼+匕+…+人；

n

取值為Xl,X2,--,Xn的頻率分別為P1，P2,…,P〃，則其平均數(shù)為西Pl+X2p2+???+%/〃；

留意：頻率分布表計(jì)算平均數(shù)要取組中值。

(2)方差與標(biāo)準(zhǔn)差:一組樣本數(shù)據(jù)…，工〃

1工-2

方差：$2=一#(%-X)；

n~

標(biāo)準(zhǔn)差：s=}(看_X)

注：方差與標(biāo)準(zhǔn)差越小，說(shuō)明樣本數(shù)據(jù)越穩(wěn)定。

平均數(shù)反映數(shù)據(jù)總體水平；方差與標(biāo)準(zhǔn)差反映數(shù)據(jù)的穩(wěn)定水平。

⑶線性回來(lái)方程

①變量之間的兩類關(guān)系：函數(shù)關(guān)系與相關(guān)關(guān)系；

②制作散點(diǎn)圖，推斷線性相關(guān)關(guān)系

③線性回來(lái)方程：y=bx+a(最小二乘法)

I______

a=y-bx

留意：線性回來(lái)直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)點(diǎn)J)。

第三章：概率

1、隨機(jī)事務(wù)及其概率：

⑴事務(wù)：試驗(yàn)的每一種可能的結(jié)果,用大寫(xiě)英文字母表示；

⑵必定事務(wù)、不行能事務(wù)、隨機(jī)事務(wù)的特點(diǎn)；

⑶隨機(jī)事務(wù)A的概率：P(A)=—,O<P(A)<1.

n

2、古典概型：

⑴基本領(lǐng)件：一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的每一個(gè)基本結(jié)果；

⑵古典概型的特點(diǎn)：

①全部的基本領(lǐng)件只有有限個(gè)；

②每個(gè)基本領(lǐng)件都是等可能發(fā)生。

⑶古典概型概率計(jì)算公式：一次試驗(yàn)的等可能基本領(lǐng)件共有n個(gè)，事務(wù)A包含了其中的m個(gè)基本領(lǐng)

11

件，則事務(wù)A發(fā)生的概率P(A)=二.

n

3、幾何概型：

⑴幾何概型的特點(diǎn)：

①全部的基本領(lǐng)件是無(wú)限個(gè)；

②每個(gè)基本領(lǐng)件都是等可能發(fā)生。

⑵幾何概型概率計(jì)算公式：P(A)=嚶零；

。的測(cè)度

其中測(cè)度依據(jù)題目確定，一般為線段、角度、面積、體積等。

4、互斥事務(wù)：

⑴不行能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事務(wù)稱為互斥事務(wù);

⑵假如事務(wù)4,A2,…,4,隨意兩個(gè)都是互斥事務(wù)，則稱事務(wù)4,A2,…彼此互斥。

⑶假如事務(wù)A,B互斥，那么事務(wù)A+B發(fā)生的概率，等于事務(wù)A,B發(fā)生的概率的和,

即：P(A+8)=P(A)+P(8)

⑷假如事務(wù)4,…4彼此互斥，則有：

P(A+&+---+A?)=P(A1)+P(A2)+---+P(A?)

⑸對(duì)立事務(wù)：兩個(gè)互斥事務(wù)中必有一個(gè)要發(fā)生，則稱這兩個(gè)事務(wù)為對(duì)立事務(wù)。

①事務(wù)A的對(duì)立事務(wù)記作了

P(A)+P(A)=1,P(A)=1-P(A)

②對(duì)立事務(wù)確定是互斥事務(wù)，互斥事務(wù)未必是對(duì)立事務(wù)。

必修4數(shù)學(xué)學(xué)問(wèn)點(diǎn)

第一?章：三角函數(shù)

§1.1.1、隨意角

1、正角、負(fù)角、零角、象限角的概念.

2、與角々終邊相同的角的集合：

{0\/3=a+2k兀,kez].

§1.1.2、弧度制

1、把長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角.

2、lai=—.3、弧長(zhǎng)公式：i=n兀R=同夫.

4、扇形面積公式：S=^-=-lR.

---------------------3602

§1.2.1、隨意角的三角函數(shù)

1、設(shè)。是一個(gè)隨意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)Nx.y),那么：

sina=y,cosa=x,tantz=—

2、設(shè)點(diǎn))為角。終邊上隨意一點(diǎn)，那么：(設(shè)=G+V)T

12

yxyx

sma=—,cosa=—,tana=—,cota--

rrxy

3、sin。，cosa,tano在四個(gè)象限的符號(hào)和三角函數(shù)線的畫(huà)法.

正弦線：MP;

余弦線：0M;

1、平方關(guān)系:sin2or+cos2a=1.2、商數(shù)關(guān)系:tana-sma

coscz

3、倒數(shù)關(guān)系：tancrcota=l

§1.3、三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式

（概括為“奇變偶不變，符號(hào)看象限"keZ）

k誘導(dǎo)公式一:2、誘導(dǎo)公式二:

sin（cr+2左"）=sin/sin(4+a)=-sina,

cos（a+2左萬(wàn)）=coscif,cos(%+a)=—cosa,(其中：kGZ)

tan（a+2左乃）=tana.tan(?+a)=tana.

3、誘導(dǎo)公式三:4、誘導(dǎo)公式四:

sin(-a)=-sina,sin("一a)=sina,

cos(-cr)=cos。，cos("一二)=一cosa,

tan(-a)=—tano.tan(萬(wàn)一a)=-tana.

6、誘導(dǎo)公式六:

§1.4.1＞正弦、余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)

1、記住正弦、余弦函數(shù)圖象：

13

2、能夠比照?qǐng)D象講出正弦、余弦函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)：定義域、值域、最大最小值、對(duì)稱軸、對(duì)稱中

心、奇偶性、單調(diào)性、周期性.

3、會(huì)用五點(diǎn)法作圖.

y=sinx在xe［0,2句上的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)為：（0,0）,（%,1）,（萬(wàn),0）,（節(jié),-1）,（2萬(wàn),0）.

§1.4.3、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)

1、記住正切函數(shù)的圖象:2、記住余切函數(shù)的圖象:

3、能夠比照?qǐng)D象講出正切函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)：定義域、值域、對(duì)稱中心、奇偶性、單調(diào)性、周期性.

周期函數(shù)定義:對(duì)于函數(shù)fG）,假如存在一個(gè)非零常數(shù)T,使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí),都

4V（X+T）=/（X）,那么函數(shù)于3就叫做周期函數(shù),非零常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期.

圖表歸納：正弦、余弦、正切函數(shù)的圖像及其性質(zhì)

y=sinxy=cosxy=tanx

ii

yy

/1\7122兀

1。充/13TI

圖象(1x

T0X17JT\71

定義71

RR{x\x^—+k兀,keZ]

域

值域[-1,1][-1,1]R

兀.

x=2k7TH—,kGZ時(shí)，y=1

maxx=2k4,keZ時(shí)，yx=1

最值111a無(wú)

71.x=2k7r+7r,kE.Z時(shí),y=-1

尤=2"無(wú)eZ時(shí)，y.=-1min

周期T=2兀T=27rT=7T

性

奇偶奇偶奇

性

在［2壯-工,2丘+芻上單調(diào)遞在［2左左-兀,2k兀1上單調(diào)遞

22

單調(diào)在上單調(diào)遞

性增增22

keZ在［2甌+'2林+等上單調(diào)遞增

在Vik兀,2k兀+i］上單調(diào)遞

14

減減

對(duì)稱對(duì)稱軸方程：X=k7r+—對(duì)稱軸方程：x=k兀無(wú)對(duì)稱軸

2

性冗

對(duì)稱中心(^+―,0)對(duì)稱中心(―,0)

左wZ對(duì)稱中心(左肛0)22

§1.5、函數(shù)y=Asin(@:+0)的圖象

1、對(duì)于函數(shù)：

2兀、

y=Asin(0x+O)+3(A>O,G>O)有：振幅A,周期T=一,初相",相位6+°,頻率/=*=券.

CD

2、能夠講出函數(shù)y=sinx的圖象與

y=Asin(加+0)+3的圖象之間的平移伸縮變換關(guān)系.

①先平移后伸縮：

y=sinx平移|內(nèi)個(gè)單位y=sin(x+0)

(左加右「)

橫坐標(biāo)不變,y=Asin(x+o)

縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的A倍

縱坐標(biāo)不變>y=Asin(ox+夕)

橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍

0)

平移|8|個(gè)畀位y=Asin(ox+o)+5

(上加下減)

②先伸縮后平移：

y=sinx橫坐標(biāo)不變,y=Asinx

縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的A倍

縱坐標(biāo)不變y=Asincox

橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的」|倍

0)

平移2個(gè)單位y=Asin(<yx+0)

_________IgI,

(左加右減)

平移|8|個(gè)畀位y=Asin(<ur+o)+5

(上加下減)

3,三龜函數(shù)白勺周期，對(duì)稱軸和對(duì)稱中心

15

2%

函數(shù)y=sin(G%+0),x￡R及函數(shù)y=COS(G%+O),xER(A,CD,。為常數(shù)，且A/O）的周期T=

\a)\

jrjr

函數(shù)y=tan（G%+o）,+—,左EZ（A,3,0為常數(shù)，且A/0）的周期T=-----.

2㈤

對(duì)于y=Asin（69%+o）和y=Acos（<z>x+^）來(lái)說(shuō)，對(duì)稱中心與零點(diǎn)相聯(lián)系,對(duì)稱軸與最值點(diǎn)聯(lián)系.

JT

求函數(shù)y=Asin（公r+0）圖像的對(duì)稱軸與對(duì)稱中心，只需令西+夕二左乃+鼻伏EZ）與

①x+（p=k兀*GZ）

解出x即可.余弦函數(shù)可與正弦函數(shù)類比可得.

4、由圖像確定三角函數(shù)的解析式

利用圖像特征：A=/max-Jmin3=ymax+Xnin.

22

。要依據(jù)周期來(lái)求，夕要用圖像的關(guān)鍵點(diǎn)來(lái)求.

§1.6、三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)潔應(yīng)用

1、要求熟識(shí)課本例題.

第三章、三角恒等變換

§3.1.1、兩角差的余弦公式

記住15°的三角函數(shù)值：

asin。cosatana

7t2-V3

1244

§3.1.2、兩角和與差的正弦、余弦、正切公式

1、sin(c+力)=sinecos尸+coscrsin°2、sin(c—力)=sinccos/?-coscsin/?

3、cos(of+J3)=cosacosJ3-sinasin[34、cos(cr-/?)=coscjfcos/?+sincsin/?

tana+tan/tana—tan夕

5、tan(a+尸)6、tan(a-〃)

1-tancrtan/?1+tanatan夕

§3.1.3、二倍角的正弦、余弦、正切公式

1、sin2<7=2sincrcoscr,

變形,sinacos。==sin2a.

2、cos2a=cos2a-sin2a—2cos2a—1=1一2sin2a.

1+cos2a=2cos2a

變形如下，升幕公式:

1-cos2a=2sin2a

cos2a=1(1+cos2a)

降瓶公式:

21

sina=^-(l-cos2cr)

16

2tancr.sin2al-cos2

3Q、toan02zav=-------------.4A、tana=------------=-----------（

1一taMa1+cos2asin2a

§3.2,簡(jiǎn)潔的三角恒等變換

1、留意正切化弦、平方降次.

2、協(xié)助角公式

y-asinx+bcosx^yja2+b2sin（x+0）

A

（其中協(xié)助角e所在象限由點(diǎn)（a,。）的象限確定,tan0=一）.

a

其次章：平面對(duì)量

§2.1.1、向量的物理背景與概念

1、了解四種常見(jiàn)向量：力、位移、速度、加速度.

2、既有大小又有方向的量叫做包量.

§2.1.2、向量的幾何表示

1、帶有方向的線段叫做有向線段,有向線段包含三個(gè)要素：起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度.

2、向量的大小，也就是向量的長(zhǎng)度（或稱慢），記作?；長(zhǎng)度為零的向量叫做零向量;

長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量叫做單位向量.

3、方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共線向量）.規(guī)定:零向量與隨意向量平行.

§2.1.3、相等向量與共線向量

1、長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫做相等向量.

§2.2.1、向量加法運(yùn)算及其幾何意義

1、三角形加法法則和平行四邊形加法法則.

2、a+bWa+卜.

§2.2.2、向量減法運(yùn)算及其幾何意義

1、與a長(zhǎng)度相等方向相反的向量叫做a的相反向量.

2、三角形減法法則和平行四邊形減法法則.

§2.2.3、向量數(shù)乘運(yùn)算及其