高中數(shù)學同步講義（人教B版2019必修四）第29講 專題11-1 立體幾何外接球的10種歸類

專題11-1立體幾何外接球的10種歸類TOC\o"1-3"\h\u題型1墻角模型 5◆類型1兩兩垂直型（特別是四個面都是直角三角形） 5◆類型2對棱垂直推理兩兩垂直 12◆類型3對棱相等模型 16題型2直棱柱的外接球（漢堡模型） 20◆類型1直棱柱的外接球 20◆類型2直棱錐的外接球 24題型3切瓜模型 28題型4正棱錐與普通棱錐的外接球 36題型5兩個直角三角形拼接模型 44題型6圓錐的外接球 46題型7圓柱的外接球 49題型8圓臺的外接球 52題型9棱臺的外接球 54題型10二面角型外接球 61知識點一.正方體長方體的外接球1.長方體的外接球：長方體的同一頂點的三條棱長分別為a，b，c，外接球的半徑為R，則2R＝eq\r(a2＋b2＋c2)2.正方體的外接球：正方體的棱長為a，外接球半徑為R，則2R=3.墻角模型（補成長方體）（1）若三棱錐的三條側棱兩兩互相垂直，則可將其放入某個長方體內，如圖1所示.（2）若三棱錐的四個面均是直角三角形，則此時可構造長方體，如圖2所示.（3）正四面體可以補形為正方體如圖3所示，（4）若三棱錐的對棱兩兩相等，則可將其放入某個長方體內，如圖4所示知識點二.直棱柱的外接球（漢堡模型）1.直三棱柱內接于球（同時直棱柱也內接于圓柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）

圖1圖2【例如】直三棱柱內接于一球勾股定理：OH2+2.計算公式R=知識點三.直棱錐的外接球（側棱垂直底面的三棱錐）補形成直棱柱題設：PA⊥平面ABC第一步：將平面ABC畫在小圓面上，A為小圓面直徑一端點；作小圓面的直徑AD，連接PD，則PD必過球心O；第二步：H為△4BC的外心，所以OH」平面ABC；算出小圓面的半徑HD=r，OH=12第三步、用勾股定理：R=知識點四.切瓜模型1.當棱錐的側面垂直與底面垂直時2.假設平面ABC⊥平面BCD,其中r1為平面BCD的外接圓半徑，r2為它的垂面ABC的半徑,l為兩個垂面的交線。

結論：知識點四.正棱錐和普通的棱錐外接球題設：P的投影落在△ABC的外心上第一步:確定球心O的位置，取△ABC的外心H，則P，O，H三點共線；第二步:算出小圓面半徑AH=r，算出棱錐的高PH=h；第三步:勾股定理：OH2＋AH2=OA2即：（h-R）2＋r2=R2，解出R題型1墻角模型◆類型1兩兩垂直型（特別是四個面都是直角三角形）【方法總結】方法：找三條兩兩垂直的線段，直接用公式，即，求出常見的類型：.【例題1-1】（2022春·浙江杭州·高一校聯(lián)考期中）已知三棱錐P?ABC中，AB=4，BC=5，【答案】77π【分析】以PA、PB、PC為棱構造一個長方體，三棱錐P?【詳解】三棱錐P?ABC的側棱PA，PB，PC兩兩垂直，且長度分別為AB=4，BC且P，A，B，C都在同一個球面上（如圖所示），以PA、PB、PC為棱構造一個長方體，這個球就是長方體的外接球，設正方體的相鄰三條棱長分別為x,y,z,則x2故x2設三棱錐外接球半徑為R，則(2R∴該球的表面積為S=4π故答案為：77π【變式1-1】1.（2023·高一單元測試）三棱錐A-BCD中，AD⊥平面BCD，DC⊥BDA．3π2 B．9π2 C．9π 【答案】C【分析】由題可知，可將三棱錐補成長方體，求長方體的外接球的表面積即可.【詳解】由AD⊥平面BCD，DC三棱錐的外接球即長方體的外接球，長方體的對角線是外接球的直徑，設外接球的半徑為R，則2R2=故選：C．【變式1-1】2．（2023·全國·高一專題練習）在直三棱柱ABC?A1B1C1A．4π B．8π C．16π D．24π【答案】C【分析】由條件得該直三棱柱底面為等腰直角三角形，補全為長方體求外接球半徑即可得表面積.【詳解】因為AB=BC=2，∠將直三棱柱ABC?A1則長方體的外接球即直三棱柱的外接球，因為AB=BC=2，A所以外接球半徑R=2，表面積S故選：C.【變式1-1】3．（2023·高一課時練習）《九章算術》是我國古代數(shù)學名著，它在幾何學中的研究比西方早1000多年．在《九章算術》中，將底面為矩形且一側棱垂直于底面的四棱錐稱為陽馬．如圖P?ABCD是陽馬，PA⊥平面ABCD，PA=5A．1252π3C．100π D．500π【答案】B【分析】由題目條件有PA⊥AB，【詳解】因PA⊥平面ABCD，AB?則PA⊥AB，則陽馬的外接球與以PA，又PA=5，AB=3，AD=則外接球的表面積為：S故選：B【變式1-1】4．（2022春·甘肅蘭州·高一蘭州五十一中校考期末）在三棱錐P?ABC中，【答案】80【分析】作AE//BC,CE//AB且AE,CE交于E，根據已知條件可得P?ABC的外接球即為P?ABCE的外接球，連接PE，應用勾股定理、線面垂直的判定可得AB⊥面PAE、BC⊥面PCE，再由線面垂直的性質有【詳解】由題設，△ABC為等腰直角三角形，作AE//BC,所以ABCE為邊長為4的正方形，則P?ABC的外接球即為連接PE，又AB⊥BC即而AB⊥PA，PA∩AE=A，故AB⊥所以AB⊥PE，即CE在Rt△PAB中PA2+AB所以PC⊥BC，而BC⊥EC且PC∩EC=C，故所以BC⊥PE，即AE綜上，AE,CE,PE兩兩垂直，則所以P?ABC的外接球半徑R=故答案為：80π【點睛】關鍵點點睛：作AE//BC,CE//AB且【變式1-1】5．（2021春·山西呂梁·高一統(tǒng)考期末）如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點，將△AED，△BEF，△DCF分別沿DE，EF，DF折起，使A，B，C三點重合于點AA．24π B．12π C．6π【答案】C【分析】由四面體A'?DEF【詳解】依題意，A'D⊥于是得四面體A'?DEF可以補形成以A四面體A'即2R=A所以四面體A'?DEF故選：C【變式1-1】6．（2022春·河北石家莊·高一?？计谥校┮阎L方體ABCD?A'B'C'D'中，A【答案】5【分析】作BE⊥AC，垂足為E，連接A'E，BE，證得∠BA'【詳解】作BE⊥AC，垂足為E，連接A'E，BE，因為AA'⊥平面ABC，且AA'?平面ACC'A'，所以平面ABC⊥平面ACC'又BE=3×1∴sin∠BA'故該長方體的體對角線為12+32+12∴該長方體的外接球的表面積為S=4故答案為：5π◆類型2對棱垂直推理兩兩垂直【方法總結】特別的：正四面體、正三棱錐對棱相互垂直、四個面全都是直角三角形）【例題1-2】（2022·高一課時練習）如圖在正三棱錐S?ABC中，M,N分別是棱SC,BC的中點，Q為棱AC上的一點，且AQ=A．12π B．433π C．【答案】D【分析】根據題意證明SA,SB,【詳解】因為在△SBC中，M,N所以MN//SB，因為MN⊥因為三棱錐S?ABC為正三棱錐，所以又因為MQ,AC?面SAC所以SB⊥面SAC，因為SA,SC?面在Rt△SAB中，因為三棱錐S?ABC為正三棱錐，所以△SBC所以SB=SC，所以SA2+所以SA,將此三棱錐放入正方體中，此正方體的面對角線長等于AB長，為22則該正方體棱長為2，外接球半徑R=正方體外接球體積V=此正三棱錐S?ABC的外接球體積和正方體外接球體積相同，為故選：D【變式1-2】1．（2017·遼寧沈陽·高一東北育才學校?？茧A段練習）在正三棱錐S﹣ABC中，外接球的表面積為36π，M，N分別是SC，BC的中點，且MN⊥AM，則此三棱錐側棱SA=（

）A．1 B．2 C．3 D．2【答案】D【分析】利用球的表面積公式，算出球的半徑R=3．由題意可證出MN⊥平面SAC，可得SB⊥平面SAC，從而得出∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°．因此將此三棱錐補成正方體，則它們有相同的外接球，正方體的對角線就是球的直徑，利用正方體對角線公式即可算出SA長．【詳解】取AC的中點E，連結BE、SE，∵三棱錐S﹣ABC正棱錐，∴SA=SC，BA=BC．又∵E為AC的中點，∴SE⊥AC且BE⊥AC∵SE、BE是平面SBE內的相交直線，∴AC⊥平面SBE，又SB在平面SBE內可得SB⊥AC又∵MN是△SBC的中位線，∴MN∥SB，可得MN⊥AC又∵MN⊥AM，又AM，AC是平面SAC內的相交直線，∴MN⊥平面SAC，結合MN∥SB，可得SB⊥平面SAC又∵三棱錐S﹣ABC是正三棱錐，∴∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°，因此將此三棱錐補成正方體，則它們有相同的外接球，設球的半徑為R，可得4πR∴SA2故選：D【變式1-2】2．（2022春·廣西南寧·高一校聯(lián)考期末）在正三棱錐P?ABC中，PA⊥PB，【答案】75π【分析】將正三棱錐P?【詳解】由正三棱錐的性質可得，PA⊥PB⊥則將正三棱錐P?則正三棱錐P?所以正三棱錐P?ABC外接球的半徑為所以正三棱錐P?ABC外接球的表面積為故答案為：75π【變式1-2】3．（2023·高一單元測試）正三棱錐P?ABC的側棱長為2，M為AB的中點，且PM⊥【答案】12π【分析】根據等腰三角形三線合一性質和線面垂直判定可知AB⊥平面PCM，從而得到AB⊥PC；由線面垂直判定可得PC⊥平面【詳解】∵M為AB中點，PA=PB，CA=CB又CM∩PM=M，CM,PM?∵PC?平面PCM，∴AB⊥PC，又PM⊥PC∴PC⊥平面PAB，又三棱錐P?∴三棱錐P?ABC為如圖所示的棱長為∴該正方體的外接球即為三棱錐P?∵正方體外接球半徑R=1222故答案為：12π.◆類型3對棱相等模型【方法總結】方法：三棱錐（即四面體）中，已知三組對棱分別相等，求外接球半徑（，，）第一步：畫出一個長方體，標出三組互為異面直線的對棱；第二步：設出長方體的長寬高分別為，，，，列方程組，，補充：第三步：根據墻角模型，，，，求出，.【例題1-3】（2023·全國·高一專題練習）四面體A?BCD中，AB=【答案】97【分析】將四面體放入長方體中，使得六條棱分別為長方體六個面的面對角線，則長方體的外接球即為四面體A?【詳解】將四面體A?如圖：則長方體的外接球即為四面體A?又長方體的體對角線即為外接球的直徑2R設長方體的長寬高分別為a,則有a2+b2=36所以a2所以外接球的表面積為4πR故答案為：97【變式1-3】1．在三棱錐P－ABC中，PA＝BC＝5，PB=CA=13，PC=BA=25，則三棱錐P－ABC的外接球的表面積為（A．12π B．8π C．24π【答案】D【分析】將棱錐補全為長方體，由長方體外接球直徑與棱長關系求直徑，進而求其表面積.【詳解】三棱錐P－ABC中，PA＝BC＝5，PB=CA=13，PC=AB=2構造長方體使得面對角線分別為5，25，13，則長方體體對角線長等于三棱錐外接球直徑2R設長方體棱長分別為a，b，c，則b2+c2=20則a2+b2+故選：D【變式1-3】2．如圖，在三棱錐P?ABC中，PA=BC=3，PB=AC=2，PC=AB=5，則三棱錐P?ABC外接球的體積為（

A．2π B．3π C．6π【答案】C【分析】將三棱錐P?ABC放到長方體中，設長方體的長、寬、高分別為a,b,c，求出a,b,c即得三棱錐P-ABC外接球的半徑，即得解.【詳解】解：由題意，PA=BC=3，PB=AC=2，PC=AB=5，將三棱錐P?ABC放到長方體中，可得長方體的三條對角線分別為3，2，設長方體的長、寬、高分別為a,b,c，則a2+b2=解得a=1，b=2，c=所以三棱錐P?ABC外接球的半徑R=1∴三棱錐P?ABC外接球的體積V=4故選：C【變式1-3】3．在三棱錐P?ABC中，PA=BC=4，PB=AC=5，PC=AB=11，則三棱錐P?ABC的外接球的表面積為（

A．26π B．12π C．8π【答案】A【分析】根據給定條件，構造面對角線長分別為4，5，11的長方體，求出其體對角線長即可求解作答.【詳解】三棱錐P?ABC中，PA=BC=4，PB=AC=5，PC=AB=11構造長方體，使得面上的對角線長分別為4，5，11，則長方體的對角線長等于三棱錐P?ABC外接球的直徑，如圖，設長方體的棱長分別為x，y，z，則x2+y2=16，y因此三棱錐P?ABC外接球的直徑為26，所以三棱錐P?ABC外接球的表面積為4π故選：A題型2直棱柱的外接球（漢堡模型）【方法總結】方法：存在一條棱垂直一個底面（底面是任意多邊形，實際是三角形或者四邊形（少），它的外接圓半徑是r，滿足正弦定理）◆類型1直棱柱的外接球【例題2-1】（2021春·浙江·高一校聯(lián)考期中）如圖，在直三棱柱ABC—A1B求三棱柱的外接球的表面積和體積；【答案】表面積16π，體積32【分析】先由三棱柱體積求出BB(1)易知S△ABC=12×2×2=2，三棱柱體積V=S△ABC?連接OO1交AC1于H，易知O為△ABC的外心，O1為故外接球半徑為AC12=2【變式2-1】1.直三棱柱的六個頂點都在球的球面上，若，，，則球的表面積為（）A．B．C．D．【答案】C△A1B1C1的外接求半徑為1sin30°=2r,r=1,R2=r2+(AA1【變式2-1】2.（2021·高一課時練習）在直三棱柱ABC?A1B1C1中，∠【答案】27【分析】設AB=a，BC=b，球的半徑為r，連接AC1，A1C交于點O，取AC中點D，連接BD，即【詳解】如圖，因為三棱柱ABC?A1設AB=a，BC=b，球的半徑為r，連接AC1，A1C交于點則O到三棱柱六個定點的距離相等，即O為三棱柱外接球球心，且OD=又因為三棱錐O?ABC的體積為3，即13所以r=當且僅當a=所以球O的表面積最小值為S=4故答案為：27π【點睛】思路點睛：與球有關的組合體問題，一種是內切，一種是外接．解題時要認真解析圖形，明確切點和接點的位置，確定有關元素間的數(shù)量關系，并作出合適的截面圖，如球內切于正方體，切點為正方體各個面的中心，正方體的棱長等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點均在球面上，正方體的體對角線長等于球的直徑.【變式2-1】3.一個正六棱柱的底面上正六邊形，其側棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點都在同一個球面上，且該六棱柱的體積為，底面周長為，則這個球的體積為【解析】設正六邊形邊長為，正六棱柱的高為，底面外接圓的關徑為，則，底面積為，，，，，球的體積為【變式2-1】4．若球О是直三棱柱ABC?A1B【答案】20【分析】由題意作圖，可得外接球半徑R滿足R2=(由球的表面積公式可得S外接球=(【詳解】由題意得，在底面直角三角形△ABC中，設BC=a，AC=b，∠C=90設三棱柱的外接球的半徑為R，則R2又三棱柱的高和體積都為4，所以V三棱柱=S所以三棱柱外接球的表面積為：S外接球=≥(2ab+16)π=20π(當且僅當a=b=2所以外接球的表面積的最小值為20π.故答案為：20π◆類型2直棱錐的外接球【例題2-2】（2022春·黑龍江哈爾濱·高一哈爾濱市第六中學校校考期末）四棱錐P?ABCD的外接球O的半徑為2，PA⊥A．4π B．3π C．2π D．π【答案】B【分析】根據外接球的球心到所有頂點距離相等，故可得球心O為PC的中點，即可根據截面的性質求解截面圓半徑.【詳解】由題意可知，球心O為PC的中點，因為CD⊥AD,CD⊥PA,AD∩PA=A,所以CD⊥平面PAD,故選：B【變式2-2】1．（2023春·全國·高一專題練習）已知在三棱錐A?BCD中，AB⊥平面BCD，ABA．40π3 B．15π C．52π3 【答案】C【分析】求出三棱錐A?BCD外接球O截平面BCD所得小圓圓心O1【詳解】因AB⊥平面BCD，BC,BD?平面BCD，則則BC=BD=2=CD，三棱錐A?BCD的外接球O截平面BCD所得小圓圓心連OO1，則OO1⊥平面BCD，取線段AB的中點E，則球O的球心O則四邊形BEOO1是矩形，OO1=BE=所以三棱錐A?BCD外接球的表面積故選：C【變式2-2】2．（2022春·重慶巴南·高一重慶市實驗中學?？计谀┰谌忮FP?ABC中，PB⊥A．52π B．64π3 C．112【答案】B【分析】利用勾股定理證得AB⊥AC，再根據線面垂直的判定定理可得AC⊥平面PAB，故三棱錐C?PAB的外接球在過底面△PAB外接圓圓心且垂直于底面△PAB的直線上，利用正弦定理求得△【詳解】解：由AB=2,可得BC2=又PB⊥AC,AB∩PB=所以AC⊥平面PAB故三棱錐B?PAB的外接球在過底面△PAB由正弦定理，可得△PAB外接圓的半徑為r所以三棱錐C?PAB外接球的半徑為所以三棱錐C?PAB外接球的表面積為即三棱錐P?ABC外接球的表面積為故選：B.【變式2-2】3．（2022春·河北承德·高一校聯(lián)考階段練習）如圖，三棱錐P?ABC的底面ABC的斜二測直觀圖為△A'B'C'，已知PB⊥底面ABC，PB【答案】125π6【分析】先由斜二測畫法得∠ABC=π2，再結合【詳解】由題意得O'D'∥B'C'，且O'所以三棱錐P?ABC外接球的半徑r=故答案為：125π【變式2-2】4．（2022春·重慶九龍坡·高一四川外國語大學附屬外國語學校?？茧A段練習）在三棱錐S?ABC中，底面ABC為邊長為3的正三角形，側棱SA⊥底面ABC【答案】922【分析】由球體表面積公式可得半徑R=3，由正弦定理可得底面ABC外接圓半徑r=3【詳解】令外接球半徑為R，則43πR又底面ABC外接圓半徑為r，則r=若E為底面中心，D為SA中點，又SA⊥底面ABC則球心O在過E垂直于底面的直線上，如下圖示：所以OD垂直平分SA，則SA=2所以三棱錐的體積為13故答案為：9題型3切瓜模型【方法總結】方法：面面垂直型基本圖形一般情況下，倆面是特殊三角形.垂面型，隱藏很深的線面垂直型，

.【例題3】（2022春·湖北恩施·高一校聯(lián)考期末）在三棱錐P?ABC中，平面PBC⊥平面ABC，ABA．54π B．48π C．42π D．36π【答案】B【分析】由題目條件確定出外接球的球心O是△ABC【詳解】BP⊥PC，所以△CBP的外接圓的圓心為斜邊CB的中點AB=BC=AC=6連接AN，AN⊥BC，平面PBC⊥平面ABC，平面PBC∩平面ABC=BC，AN?面ABC，AN⊥△ABC為等邊三角形，可知O為△因為AB=BC=AC=6故該三棱錐外接球的表面積為4π×2故選：B【變式3-1】1．（2022春·湖北鄂州·高一統(tǒng)考期末）在三棱錐P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC.PA=PB=AB=A．5π B．16π3 C．8π D．【答案】C【分析】由面面垂直可得線面垂直，進而可確定球心的位置在DO上，根據勾股定理即可求解.【詳解】如圖，取AB的中點E，BC的中點D，連接PE，△PAB是等邊三角形，則PE⊥AB.因為平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB，PE?平面PAB，所以PE⊥平面ABC，又ED?平面ABC，所以PE⊥ED.過D作OD⊥平面ABC，則OD∥PE.因為∠CAB=90°，所以三棱錐P-ABC的外接球的球心在DO上，設球心為O，連接OB，OP，設外接球半徑為R，由已知PE=32×故選:C.【變式3-1】2．（2022春·山西大同·高一大同市第二中學校?？计谥校┣騉為三棱錐P?ABC的外接球，△ABC和△PBC都是邊長為A．28π B．20π C．18π【答案】B【分析】取BC中點為T，以及△ABC的外心為O1，△PBC的外心為O2，依據平面PBC⊥【詳解】設BC中點為T，△ABC的外心為O1，△PBC如圖由△ABC和△PBC均為邊長為則△ABC和△PBC的外接圓半徑為又因為平面PBC⊥平面ABC，所以O2T⊥平面且O2T=O1T，過O點O即為三棱錐P?且四邊形OO1T所以外接球半徑R=則球的表面積為20π故選：B．【變式3-1】3．（2023春·全國·高一專題練習）已知四棱錐P?ABCD的每個頂點都在球O的球面上，側面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD為邊長為2的正方形，PD=5【答案】9π2##9【分析】由已知條件可證得AP⊥平面ABCD，則得四棱錐外接球的直徑是以AB，AD，AP為棱的長方體的對角線，從而可求出外接球的半徑，進而可求得四棱錐P【詳解】在△PAD中，PD=5，AP所以PD2=又側面PAD⊥底面ABCD，側面PAD∩底面ABCD=AD，所以AP⊥平面ABCD所以四棱錐外接球的直徑是以AB，AD，AP為棱的長方體的對角線，設外接球的半徑為R，體積為V，則2R=1所以V=即四棱錐P?ABCD外接球的體積為故答案為：9π【變式3-1】4．（2023·全國·高一專題練習）在三棱錐A?BCD中，平面ABC⊥平面BCD，△【答案】20【分析】取BC的中點為M,E,F分別是正三角形ABC和正三角形BCD的重心，O是該三棱錐外接球的球心，連接AM,【詳解】取BC的中點為M,E,F分別是正三角形O是該三棱錐外接球的球心，連接AM,則E,F分別在AM,DM上，OF⊥平面BCD，OE⊥平面因為平面ABC⊥平面BCD，AM⊥BC，平面ABC∩平面BCD所以AM⊥平面BCD，所以AM//OF，同理可得DM因為AM⊥BC，DM⊥BC，AM∩所以BC⊥平面ADM，又OM?平面ADM，所以因為AM⊥平面BCD，DM?平面所以AM⊥∵AM=∴EM=∴四邊形OEMF為正方形，∴OM=在直角三角形OMB中，球半徑OB∴外接球體積為43故答案為：20【變式3-1】5．（2023春·全國·高一專題練習）已知三棱錐S?ABC中，AB=AC=【答案】16【分析】取BC的中點D，連接SD，AD，根據面面垂直的性質得到AD⊥平面SBC，從而得到三棱錐S?ABC的外接球球心在直線AD上，再設出三棱錐S【詳解】取BC的中點D，連接SD，AD，如圖所示：因為SB⊥SC，所以D為又因為AB=AC=BC，D為因為平面SBC⊥平面ABC=BC，所以AD所以三棱錐S?ABC的外接球球心在直線在AD上取一點O，使得OS=OA，即O為三棱錐設OS=OA=R，SD=在RT△SDO中，所以32+3?所以三棱錐的外接球的表面積為4π故答案為：16【變式3-1】6．（2021秋·陜西西安·高一西安市遠東一中校考期末）如圖，在四棱錐P?ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD是邊長為4的等邊三角形，四邊形ABCD是等腰梯形，【答案】208π3【分析】先根據面面垂直，取△PAD的外接圓圓心G，梯形ABCD的外接圓圓心F，分別過兩點作對應平面的垂線，找到交點為外接球球心O，再通過邊長關系計算半徑，代入球的表面積公式即得結果.【詳解】如圖，取AD的中點E，BC的中點F，連EF，PE，在PE上取點G，使得PG=2由△PAD是邊長為4的等邊三角形，四邊形ABCD是等腰梯形，AB可得，AB=AF=分別過點G、F作平面PAD、平面ABCD的垂線，兩垂線相交于點O，顯然點O為四棱錐P?由題可得PE=23，則四棱錐P?ABCD外接球的半徑故四棱錐P?ABCD外接球的表面積為故答案為：208π題型4正棱錐與普通棱錐的外接球【方法總結】方法：計算公式和圖形：R2【例題4-1】（2022春·云南紅河·高一統(tǒng)考期末）已知正三棱錐P?ABC的底面邊長為3，側棱長為A．12π B．15π C．16π【答案】C【分析】過點P作PO⊥平面ABC，垂足為O，連接OC，設外接球的球心為O1，O1在PO上，球的半徑為R，由題意O【詳解】過點P作PO⊥平面ABC，垂足為O，連接OC，由已知得OCPO=3，設外接球的球心為O1，O1在PO上，球的半徑為由O1O2解得R=2，所以球的表面積為S故選：C.【變式4-1】1．已知正三棱錐P?ABC的外接球O的半徑為1，且滿足OA+A．34 B．34 C．32【答案】A【分析】根據OA+OB+OC=【詳解】由于三棱錐是正三棱錐，頂點P在底面的射影是底面中心.由OA+OB+OC=0可知，O為等邊三角形ABC的中心，由于正三棱錐P?ABC的外接球O的半徑為【點睛】本小題主要考查正三棱錐的幾何性質，考查向量加法運算，考查幾何體外接球有關問題的求解，屬于中檔題.【變式4-1】2．所有棱長均為2的正四棱錐外接球表面積為A．4π B．6π C．8π D．12π【答案】C【分析】正四棱錐外接球的球心在它的底面的中心，然后根據勾股定理解出球的半徑，最后根據球的表面積公式求解即可.【詳解】如圖，設正四棱錐的底面中心為O，則在RtΔABC中，AC=2AB=22在RtΔPAO中，PO=A所以正四棱錐的各個頂點到它的底面中心的距離都為2，所以正四棱錐外接球的球心在它的底面的中心，且球半徑為R=2所以球的表面積S=4πR故選C.【點睛】該題考查的是有關幾何體的外接球的有關問題，涉及到的知識點有正四棱錐的外接球，球的表面積公式，在解題的過程中，正確找出球心的位置是解題的關鍵.【例題4-2】（2023·全國·高一專題練習）若三棱錐S?ABC的所有頂點都在球O的球面上，△ABC是邊長為3的正三角形，SC為球O的直徑，三棱錐S?ABCA．4π3 B．16π3 C．【答案】D【分析】根據給定條件，求出△ABC【詳解】如圖，設△ABC的中心為O1，連接OO顯然CD是△ABC外接圓O1的直徑，則SD//OO因正△ABC邊長為3，則CO1=3而VS?ABC在Rt△SCD中，球O的直徑2R=所以三棱錐S?ABC的外接球的體積為故選：D【變式4-2】1．（2022春·江蘇泰州·高一江蘇省姜堰第二中學校聯(lián)考階段練習）在三棱錐P?ABC中，PA=PB=A．8π B．327π C．4【答案】B【分析】△ABC的外接圓的圓心是斜邊BC的中點D.連結PD,AD，證明PD⊥平面ABC，設球心為O,球的半徑為R,連結【詳解】解：因為AB=AC=1，BC所以△ABC的外接圓的圓心是斜邊BC的中點D.連結PD因為PA=所以△PCD?△PDA?△所以PD⊥BC,所以PD⊥平面ABC所以該三棱錐的外接球的球心在PD上，設球心為O,球的半徑為R,連結OB.由題得PD=所以R2所以該三棱錐的外接球的表面積為4π故選：B【變式4-2】2．（2022春·黑龍江哈爾濱·高一哈爾濱德強學校?？计谀┧拿骟wABCD中，AB=AC=BC=22,BD=【答案】120π11【分析】令F為DE中點，由題設易得AF⊥DE并求得EC=2、EF=22【詳解】令F為DE中點，則AF⊥面BCD，DE?面BCD，故又BD2+CD故△BCD為等腰直角三角形，則DE=EC=且四面體外接球球心在過E點垂直于面BCD的直線上，由△ABC為等邊三角形，則AE=在Rt△AEF中AF=若四面體外接球半徑為r，則r2所以r2?2=故四面體外接球的表面積為4π故答案為：120【變式4-2】3．在四面體P?ABC中，三角形ABC為等邊三角形，邊長為3，PA=3，PB=4，PC=5，則四面體P?ABC外接球表面積為（

）A．12π B．25π C．80π9 D．【答案】D【分析】先根據幾何體的棱長關系及線面關系確定出球心位置，然后解出半徑，得出外接球表面積.【詳解】如圖所示，取BC的中點為D,取PC中點為點E，連接AE,DE,AD.因為AC=AB=3,且點D為BC的中點，則AD⊥BC，又PA=3，PB=4，PC=5，則BC⊥PB，因為PB//DE,所以BC⊥DE,AD∩DE=D，所以BC⊥平面ADE，則BC⊥AE，又因為PA=AC=3,PC中點為點E,則AE⊥PCPC∩BC=C，所以AE⊥平面PBC,所以球心位于AE上.設球心位點O，半徑為R,則R2由勾股定理得：AE=3則R2=11故外接球的表面積為S=4πR故選：D.【點睛】本題考查三棱錐的外接球問題，難度一般.解答時，利用幾何條件找出球心的位置是關鍵，然后通過計算得到半徑，從而得出表面積.【變式4-2】4．（2021春·重慶巴南·高一重慶市實驗中學?？茧A段練習）三棱錐P?ABC體積為36【答案】25【分析】取BC中點D，連PD，連AD并延長至O1，使DO1=AD，連接BO1，CO1，PO1，由條件證得O1是△ABC【詳解】三棱錐P?于是得四邊形ABO1C為平行四邊形，而AB在△ABC中，BC=3，由余弦定理有cos∠則∠ABO1=60°，因PA=PB=PC，D為BC中點，則PD⊥BC，又AO1⊥BC，PD∩AO1=D，同理PO1⊥AC，而AC∩BC=C，從而得又S△ABC=12設球O的半徑為R，則OB=OP=R，OO1=|R?2|則球O的表面積為S=4所以三棱錐外接球的表面積為254故答案為：25題型5兩個直角三角形拼接模型【方法總結】方法：兩個直角三角形的斜邊為同一邊，則該邊為球的直徑題設∶∠APB=∠AQB=90°，求外接圓半徑（分析∶取斜邊AB的中點，連接OP，OQ，OP=12【例題5】（2023春·全國·高一專題練習）在三棱錐P?ABC中，PA⊥A．4000π3 B．400π C．169π D．【答案】A【分析】根據勾股定理可得PB=20，然后利用正弦定理可得sin∠PCB=1，進而可得PB的中點O【詳解】因為PA⊥所以PB=20在△PBC中，由正弦定理得PCsin∠PBC所以sin∠PCB=1，取PB的中點O，連接OA,OC，則即O為三棱錐P?ABC外接球的球心，外接球的半徑所以三棱錐P?ABC外接球的體積為故選：A.【變式5-1】1.矩形中，沿將矩形折成一個直二面角,則四面體的外接球的體積是()A.B.C.D.【答案】C【解析】由題意分析可知，四面體的外接球的球心落在的中點，此時滿足,.【變式5-1】2.已知四面體P－ABC的外接球的球心O在AB上,且PO⊥平面ABC,,若四面體P－ABC的體積為,則該球的體積為（）A．B．C．D．【解析】設該球的半徑為R，則AB=2R，2AC=3AB=23R所以AC=3R，因為AB是球的直徑，所以△ABC在大圓所在平面內，且AC⊥BC，在Rt△ABC中，BC2=AB2-AC2=R2，所以Rt△ABC面積S=12×BC×AC=32R2,因為PO⊥面ABC，且PO=R，所以VP-ABC=13×S×PO=13×R×32R2=32.解得R3=33，所以球的體積V=【變式5-1】3．已知矩形ABCD，AB=1，AD=2，E為AD的中點，現(xiàn)分別沿BE,CE將ΔABE，ΔDCE翻折，使點A,D重合，記為點P，則幾何體P?BCEA．10π B．5π C．5π2 D．【答案】C【分析】將平面矩形通過折疊得到三棱錐后找不變的量，如邊長、角度等不變的量，可以得到兩兩垂直的棱，將其補全為長方體，則其對角線為外接球直徑，從而計算出答案【詳解】由題意翻折可得幾何體P?BCE中：PB⊥PC,PB⊥PE,PC⊥PE,即三棱錐可以補成以PB,PC,PE為邊的長方體，其對角線為外接球的直徑：1故r=外接球的表面積為：4×故選C題型6圓錐的外接球【方法總結】方法：圓錐外接球，可類比正三棱錐（任意正棱錐）求解.【例題6】圓錐SD（其中S為頂點，D為底面圓心）的側面積與底面積的比是2:1，則圓錐SD與它的外接球（即頂點在球面上且底面圓周也在球面上）的體積比為__________．【答案】9【分析】設出圓錐底面半徑r和母線長l，利用側面積和底面積的比求得r與l的關系，由此求得圓錐的高，進而求得圓錐的體積.利用軸截面計算出圓錐外接球的半徑，由此求得外接球的體積，進而求得圓錐SD與它的外接球（即頂點在球面上且底面圓周也在球面上）的體積比.【詳解】設圓錐底面圓的半徑為r，圓錐母線長為l，則側面積為πrl，側面積與底面積的比為πrlπr2=lr=2，則母線l=2r，圓錐的高為?=l2?r2=3r，則圓錐的體積為13π則外接球的體積為43πR故填：9【點睛】本小題主要考查圓錐的表面積和底面積的計算，考查圓錐的體積和圓錐外接球體積的計算，考查數(shù)形結合的數(shù)學思想方法，屬于中檔題.【變式6-1】1．已知一個圓錐的底面直徑為2，其母線與底面的夾角的余弦值為13【答案】4π【解析】根據題意畫出正方體的對角截面,分析正方體的邊長再計算外接球表面積即可.【詳解】如圖所示,作出圓錐的一個軸截面,其中AB,AC為母線,BC為底面直徑,DG,EF是正方體的棱長,DE,GF是正方體的上、下底面的對角線,設正方體的棱長為x,則DG=EF=x,DE=GF=2又BC=2,12BCAC=依題意得ΔABC～ΔADE,∴???x=故正方體的體對角線,即外接球的直徑D=3故外接球表面積S=4πR故答案為：4π【點睛】本題主要考查了空間幾何體中的長度計算以及外接球的問題等.需要根據題意畫出圖像找到對應的關系列式求解計算.屬于中等題型.【變式6-1】2．圓錐SD（其中S為頂點，D為底面圓心）的側面積與底面積的比是2:1，則圓錐SD與它外接球（即頂點在球面上且底面圓周也在球面上）的體積比為A．9:32 B．8:27 C．9:22 D．9:28【答案】A【分析】根據已知條件求得圓錐母線與底面圓半徑r的關系，從而得到圓錐的高與r關系，計算圓錐體積，由截面圖得到外接球的半徑R與r間的關系，計算球的體積，作比即可得到答案.【詳解】設圓錐底面圓的半徑為r,圓錐母線長為l，則側面積為πrl，側面積與底面積的比為πrlπr2則圓錐的體積為13設外接球的球心為O,半徑為R,截面圖如圖，則OB=OS=R,OD=h-R=3r?R在直角三角形BOD中，由勾股定理得OB2=OD展開整理得R=23r,所以外接球的體積為故所求體積比為3故選A【點睛】本題考查圓錐與球的體積公式的應用，考查學生計算能力，屬于中檔題.【變式6-1】3．設一圓錐的外接球與內切球的球心位置相同，且外接球的半徑為2，則該圓錐的體積為A．π B．3π C．8π D．9π【答案】B【詳解】由題意得圓錐的軸截面為正三角形,其外接圓半徑為2,所以圓錐底面半徑為3,高為3,體積為13題型7圓柱的外接球【方法總結】方法：圓柱外接球，類比正棱柱外接球的求法求解.【例題7】已知圓柱的軸截面為正方形，其外接球為球O，球O的表面積為8π，則該圓柱的體積為（

）A．22π B．2π C．2π【答案】C【分析】設外接球的半徑為R，圓柱底面圓的半徑為r，由球O的表面積為8π，得R=2，根據軸截面為正方形列方程解得r=1【詳解】設外接球的半徑為R，圓柱底面圓的半徑為r，因為圓柱的軸截面為正方形，所以圓柱的高?=2r，由球O的表面積S=4πR2=8π，得R=2，又R=?故選：C.【變式7-1】1．已知圓柱的側面積為2π，其外接球的體積為V，則V【答案】43π【分析】設圓柱的底面半徑與高，通過圓柱的側面積求解關系式，表示出外接球的體積V，利用基本不等式即可得到V的最小值.【詳解】設圓柱的底面半徑為r，高為h，因為圓柱的側面積為2π，所以2πr?=2設圓柱外接球半徑為R，則R2=r2+?22≥2r??2故答案為：4π【變式7-1】2．如圖，棱長均相等的直三棱柱ABC?A1B1C【答案】2【分析】設三棱柱ABC?A1B1C【詳解】設三棱柱ABC?A1B所以△ABC外接圓的半徑r=2a所以圓柱OO1外接球的半徑故外接球的表面積為4π×21圓柱的側面積為2×π×2a所以圓柱OO1的側面積與其外接球的表面積之比為故答案為：2【變式7-1】3．如圖，圓柱的底面半徑為r，高為?，記圓柱的表面積為S1，圓柱外接球的表面積為S2，若S1S2A．13 B．23 C．13或1 【答案】D【分析】根據已知條件，應用圓柱體、球體的表面積公式得到S1、S2關于r、?的表達式，再由S1【詳解】∵圓柱的表面積S1=2πr∴其外接球的表面積S2∴S1S2∴(2??3r)(??r)=0，則r?=2故選：D．題型8圓臺的外接球【方法總結】【例題8】圓臺的上下底面半徑和高的比為3:4:1，母線長為2，則圓臺的外接球表面積為________．【答案】100π【分析】根據題意畫出圖形，結合圖形求出圓臺的上下底面半徑，進一步求得圓臺外接球的半徑，則答案可求．【詳解】解：設圓臺的上底半徑為3x，則下底半徑是4x，高為x，作軸截面如圖所示：又母線長為2，∴x2+∴圓臺的上底面半徑是3，下底面半徑是4，高是1，設圓臺外接球的半徑為R，則R2?3又OO1?O∴圓臺的外接球表面積為4πR故答案為：100π【變式8-1】1．已知圓臺上底半徑為1，下底半徑為3，高為2，則此圓臺的外接球的表面積為______．【答案】40π【分析】先畫出圓臺的軸截面，利用圓心到上底圓周上一點等于外接球半徑，圓心到下底圓周上一點等于外接球半徑，建立方程，解出外接球半徑，求出外接球表面積.【詳解】如圖所示，設外接球半徑為r，球心到上底的距離為h，則球心到下底的距離為|??2|則有r2=1+?2，r2=9+(2??)故答案為：40π【變式8-1】2．已知圓臺O1O2上底面圓O1的半徑為2，下底面圓O2的半徑為22，圓臺的外接球的球心為O，且球心在圓臺的軸【答案】34π【分析】根據題意可得O1O=【詳解】O1O=且O1O=3解得R2=172，球故答案為：34π【點睛】本題考查了旋轉體的外接球問題、球的表面積公式，屬于基礎題.【變式8-1】3．已知圓臺的母線長為2，母線與軸的夾角為60°，且上、下底面的面積之比為1：4，則該圓臺外接球的表面積為（

）A．56π B．100π C．112π【答案】C【分析】先求出圓臺的高及上下底面半徑，設出外接球半徑，由勾股定理解出半徑，再由表面積公式求解即可.【詳解】圓臺上、下底面的面積之比為1：4，則半徑比為1：2，設圓臺上、下底面半徑為r,2r，因母線與軸的夾角為60°，可得圓臺高為1，則r=3設圓臺外接球的半徑為R，球心到下底面的距離為x，易得圓臺兩底面在球心同側，則R2=x解得x=4,R2=28故選：C.題型9棱臺的外接球【方法總結】方法：正棱臺外接球，以棱軸截面為主.【例題9】（2022春·廣東佛山·高一統(tǒng)考期末）已知正四棱臺的上、下底面邊長分別是1和2，所有頂點都在球O的球面上，若球O的表面積為8π，則此正四棱臺的側棱長為__________．【答案】2【分析】根據題意可得球O的半徑，結合外接球的性質可得外接球心O在底面的中心，再根據幾何關系求解側棱長即可【詳解】設上下底面互相平行的兩對角線分別為DC,AB，則由球O的表面積為8π可得球O的半徑R=2，又正四棱臺的上、下底面邊長分別是1和2，故DC=2,AB=22，所以球O的球心正好在AB故答案為：2【變式9-1】1．我國古代《九章算術》中將上，下兩面為平行矩形的六面體稱為芻童，如圖的芻童ABCD?EFGH有外接球，且AB=43,AD=4,EH=46,EF=42【答案】128π【分析】由已知得，球心在上下底面中心的連線上，該連線與上下底面垂直，球心必在該垂線上，然后根據OB=OG，利用直角三角形OO1G【詳解】連接HF、EG交于點O1，連接AC、DB交于點O2，由球的幾何性質可知，芻童外接球的球心O必在線段O1由題意可知，OO2⊥平面ABCD，OO1設O2O=r，在Rt△OGO在矩形EFGH中，EG=EF2∴OG在Rt△OBO2中，在矩形ABCD中，DB=AD2∴OB設外接球半徑OG=OB=R，∴4?r2+則OB=42∴該芻童外接球的表面積為：4πR故答案為：128π.【點睛】方法點睛：空間幾何體與球接、切問題的求解方法(1)求解球與棱柱、棱錐的接、切問題時，一般過球心及接、切點作截面，把空間問題轉化為平面圖形與圓的接、切問題，再利用平面幾何知識尋找?guī)缀沃性亻g的關系求解．(2)若球面上四點P，A，B，C構成的三條線段PA,?PB,?【變式9-1】2．在正四棱臺ABCD?A1B1CA．該棱臺的體積為282，該棱臺外接球的表面積為B．該棱臺的體積為2823C．該棱臺的體積為282，該棱臺外接球的表面積為D．該棱臺的體積為2823【答案】B【分析】根據正棱臺中的直角梯形（或直角三角形）求得棱臺的高，外接球的半徑，從而計算棱臺體積、球表面積．【詳解】如圖，正四棱臺ABCD?A1B1C1DMB=22×2=在直角梯形MNB1B棱臺的體積為V=1由對稱性外接球球心O在直線MN上，設球半徑為r，連接OA,OA1，AM=2若O在線段MN上（如圖1），由OM+ON=MN得r2?2+r2因此O在MN的延長線上（如圖2），即在平面A1因此有r2?2?所以球表面積為S=4πr故選：B．圖1圖2【變式9-1】3．在正四棱臺ABCD?A1B1C1DA．16π B．20π C．30π D．40π【答案】D【分析】設所求外接球球心為O