高中數(shù)學(xué)同步講義（人教B版2019必修四）第32講 專題11-4 異面直線相關(guān)問題

專題11-4異面直線相關(guān)問題TOC\o"1-3"\h\u題型1異面直線的概念及辨析 2題型2異面直線的判定 5題型3證明異面直線垂直 12題型4求異面直線的距離 17知識點一.異面直線的概念：定義：不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線.知識點二.異面直線的判定定理1.文字語言：過_____平面內(nèi)一點

_______與____平面外一點________的直線，和這個平面內(nèi)_____不過該點

_______的直線是異面直線．2.符號語言：l?α,A?知識點三.兩條異面直線互相垂直：定義：若兩條異面直線所成的角為______直角（或90°）______，則稱它們互相垂直．兩條互相垂直的異面直線a,b，記作_

題型1異面直線的概念及辨析【例題1】（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知AB∩α=B，l?α，位置關(guān)系是______.【答案】異面【分析】畫出符合要求的圖形，推出兩者的位置關(guān)系.【詳解】如圖所示，因為B?l，AB∩α=B，故AB與故AB與l的位置關(guān)系是異面.故答案為：異面【變式1-1】1．（2023·高一單元測試）若a和b是異面直線，b和c是異面直線，則a和c的位置關(guān)系是（

）A．平行 B．異面C．相交 D．平行、相交或異面【答案】D【分析】借助長方體中的棱長所在直線直接來判斷關(guān)系.【詳解】如圖，在長方體ABCD?A'已知a和b是異面直線，b和c是異面直線，則c可以是長方體ABCD?A'B'C'故a和c可以平行、相交或異面．故選：D【變式1-1】2．（2023·全國·高一專題練習(xí)）直線a與平面α不平行，則α內(nèi)與a平行的直線有（

）A．無數(shù)條 B．0條 C．1條 D．以上均不對【答案】D【分析】分為a?α以及直線a與平面【詳解】因為直線a與平面α不平行，所以直線a與平面α的關(guān)系有兩種，即a?α以及直線a與平面當(dāng)a?α?xí)r，顯然在當(dāng)直線a與平面α相交時，設(shè)a∩當(dāng)b?α，且A∈b時，此時a∩當(dāng)b?α，且A?b時，可知直線綜上所述，當(dāng)直線a與平面α相交時，α內(nèi)與a平行的直線有0條.所以，直線a與平面α不平行，則α內(nèi)與a平行的直線有無數(shù)條或0條.故選：D.【變式1-1】3．（2023·高一課時練習(xí)）兩條異面直線指的是（

）A．不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線B．在空間內(nèi)不相交的兩條直線C．分別位于兩個不同平面內(nèi)的直線D．某一個平面內(nèi)的一條直線和這個平面外的一條直線【答案】A【分析】根據(jù)異面直線的定義判斷即可.【詳解】解：兩條異面直線指的是不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線，故A正確；空間中不相交的兩條直線可以平行或異面，故B錯誤；分別位于兩個不同平面內(nèi)的兩條直線可以平行、相交或異面，故C錯誤；某一個平面內(nèi)的一條直線和這個平面外的一條直線可以平行、相交或異面，故D錯誤.故選：A【變式1-1】4．（2023·高一單元測試）以下四個圖中，表示直線a與b平行的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)兩直線的位置關(guān)系的定義結(jié)合圖形一一判斷求解.【詳解】對A，如圖，若直線a與b平行，則m,對B，根據(jù)圖示，直線a與b異面，B錯誤；對C，根據(jù)三角形的相似關(guān)系可得直線a與b平行，C正確；對D，如圖，若直線a與b平行，則l,故選:C.【變式1-1】5．（2023·高一課時練習(xí)）已知a、b是異面直線，P是a、b外一點，經(jīng)過點P且與a、b都相交的直線有（

）A．至少1條 B．最多1條C．有且只有1條 D．可能為0條也有可能多于1條【答案】B【分析】利用構(gòu)造法說明可以存在1條或0條，利用反證法說明不存在2條以上的直線符合題意，即可判斷.【詳解】解：設(shè)P與a所確定的平面為α，若α與b交于點Q，當(dāng)PQ不平行于a時，PQ與異面直線a、b都相交，當(dāng)PQ//a或b//α?xí)r，過點P與異面直線假設(shè)有過點P的兩條直線m、n都與異面直線a、b相交，相交直線m、n共面β，則直線a、b上分別有兩點在面β上，所以直線a、b在面β內(nèi)，與a、b異面矛盾.故選：B題型2異面直線的判定【例題2】（2023春·全國·高一專題練習(xí)）如圖所示，長方體ABCD?A1B1A．DD1 B．B1C C．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合長方體的結(jié)構(gòu)特征及異面直線的意義，逐項判斷作答.【詳解】在長方體ABCD?BB1//DD1，當(dāng)P是A1C1與B當(dāng)點P與C1重合時，BP?平面BCC1B當(dāng)點P與A1重合時，因為長方體ABCD?A1B因為AC?平面ABCD，B?AC,B∈平面ABCD，而P?故選：D【變式2-1】1．（多選）（2023春·全國·高一專題練習(xí)）如圖所示，在棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別為棱C1D1，C1C的中點，則下列結(jié)論正確的是（

）A．直線AM與BN是平行直線B．直線BN與MB1是異面直線C．直線MN與AC所成的角為60°D．平面BMN截正方體所得的截面面積為9【答案】BCD【分析】利用反證法說明A錯誤；由異面直線的定義判斷B；由異面直線所成角的定義可判斷C；連接A1B，知A1B//【詳解】對于A，假設(shè)直線AM與BN是平行直線，則四邊形ABNM為平面圖形，∵平面AA1B1B//平面CC1D∴AB//MN，則C對于B，∵BN?平面BB1C1C，B由異面直線的定義可得，直線BN與MB對于C，連接CD1，AD1，可得MN//CD而∠ACD1=60°，可得直線MN與對于D，連接A1B，可知A1B//∵棱長為2，∴A1B=22∴等腰梯形的高為5-(∴S故選：BCD．【變式2-1】2．（多選）（2023·高一課時練習(xí)）如圖，在正方體ABCD?A1A．直線AM與CCB．直線BN與MBC．AM與BN平行D．直線A1【答案】BD【分析】根據(jù)異面直線的定義，結(jié)合三角形中位線定理、正方體的性質(zhì)、共面的判定方法逐一進(jìn)行判斷即可【詳解】解：A選項，∵A、∴根據(jù)異面直線的定義可得直線AM與CCB選項，∵B、∴根據(jù)異面直線的定義可得直線BN與MBC選項，取DD1的中點E，連接AE、EN，則有所以四邊形ABNE是平行四邊形，所以AE//∵AM與AE交于點A，∴AM與AE不平行，則AM與BN不平行，故選項C錯誤；D選項，連接A1因為M，N分別為棱C1D1所以MN//D1所以MN//A1∴直線A1【變式2-1】3．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）如圖，在三棱臺ABC?A1【答案】3【分析】利用異面直線的判定定理判斷即可.【詳解】空間直線的位置關(guān)系有平行、相交、異面，即不平行也不相交則異面，由圖可知九條棱中A1B1，A1C1，A1A，沒有直線與A1所以與直線A1B是異面直線的共有3條，分別為B1C1故答案為：3【變式2-1】4．（2022春·上海浦東新·高一?？计谀┱襟wABCD?【答案】異面【分析】由異面直線的定義即可判斷.【詳解】正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分別是棱BC，CC1的中點，∵M(jìn)N∩平面DCC1D1∴直線MN與D1C的位置關(guān)系是異面．故答案為：異面．【變式2-1】5．（2022·高一課時練習(xí)）如圖，已知點P在四邊形ABCD所在平面外，如果把兩條異面直線看成一對，那么P與四邊形ABCD的四個頂點的連線以及此四邊形的四條邊所在的直線共8條直線中，異面直線共有______對．【答案】8【分析】由四棱錐的性質(zhì)和異面直線的定義列舉出所有的異面直線，即可得出答案.【詳解】如圖，已知點P在四邊形ABCD所在平面外，如果把兩條異面直線看成一對，那么P與四邊形ABCD的四個頂點的連線以及此四邊形的四條邊所在的直線共8條直線中，異面直線共有：PA與BC，PA與CD，PB與CD，PB與AD，PC與AB，PC與AD，PD與AC，PD與BC，共有8對.故答案為：8.【變式2-1】6．（2022·高一課時練習(xí)）從正方體的12條棱和12條面對角線中選出n條，使得其中任意兩條線段所在的直線都是異面直線，則n的最大值為______．【答案】4【分析】根據(jù)正方體的結(jié)構(gòu)特征，先確定至多可選出4條，再確定選出4條兩兩異面的線，即可得到結(jié)論．【詳解】正方體共有8個頂點，若選出的n條線兩兩異面，則不能共頂點，即至多可選出4條，又可以選出4條兩兩異面的線（如圖AC,BC故答案為：4．題型3證明異面直線垂直【例題3】（多選）（2022·全國·高一假期作業(yè)）平行四邊形ABCD中，AB>AD，將三角形ABD沿著BD翻折至三角形A'A．直線BC B．直線CD C．直線BD D．直線A【答案】AB【分析】結(jié)合特殊的平行四邊形對選項進(jìn)行分析，從而確定正確選項.【詳解】A選項，若BD⊥當(dāng)平面A'BD與平面CBD垂直時，兩個平面的交線為BD，且則BC⊥平面A'BDB選項，當(dāng)∠ABD>45°時，在翻折過程中，∠A'BA而AB//CD，即直線A'B與直線CD所成角為C選項，由于AB>AD，所以∠ABDD選項，由于AB>AD，則A'故選：AB【變式3-1】1．（多選）（2021春·廣東肇慶·高一?？茧A段練習(xí)）如圖，在正四棱柱ABCD?A．EF與A1C1平行 B．BC1與AB1所成角大小為πC．EF與BB1垂直 D．EF與BD垂直【答案】ACD【分析】連結(jié)A1B，利用中位線的性質(zhì)，即可證明【詳解】A.連結(jié)A1B，即點E是A1B與AB1的交點，點B.連結(jié)DC1，因為AB1//DC1，所以∠BC1C.因為BB1⊥平面A1B1CD.因為AC⊥BD，AC//A1C1故選：ACD【變式3-1】2．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）空間四邊形ABCD，E，F(xiàn)，G分別是BC，AD，DC的中點，F(xiàn)G=2，GE=5，EF【答案】證明見解析【分析】利用平行關(guān)系，證明AC⊥BD，轉(zhuǎn)化為證明【詳解】∵點G，E分別是CD，BC的中點，∴GE//BD，同理GF//AC.∴∠FGE或∠FGE的補角是異面直線AC與BD所成的角．在△EFG中，∵FG＝2，GE＝5，EF＝3，滿足FG2＋GE2＝EF2，∴∠FGE＝90°.即異面直線AC與BD所成的角是90°.∴AC⊥BD.【變式3-1】3．（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖，在正三棱柱ABC?A'B'【答案】證明見解析【分析】根據(jù)異面直線的夾角結(jié)合勾股定理分析證明.【詳解】如圖，取CC∵E為AC的中點，F(xiàn)為CC∴EF//AC即為異面直線BE與AC'所成角，且在正三棱柱ABC?A'B'在等邊三角形ABC中，BE=在Rt△BCF中，BF=在△BEF中，BE∴BE⊥EF，∴【變式3-1】4．（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖，已知長方體ABCD－A1B1C1D1中，A1A＝AB，E，F(xiàn)分別是BD1和AD的中點，求證：CD1⊥EF.【答案】證明見解析【分析】取CD1的中點G，連接EG，DG，由三角形中位線定理以及平行四邊形的性質(zhì)可證明EF//C1D，可得直線D1【詳解】如圖，取CD1的中點G，連接EG，DG.∵E是BD1的中點，∴EG∥BC，EG＝12∴DF∥BC，DF＝12∴EG∥DF，EG＝DF，∴四邊形EFDG是平行四邊形，∴EF∥DG，∴∠DGD1(或其補角)是異面直線CD1與EF所成的角.又∵A1A＝AB，∴四邊形ABB1A1、四邊形CDD1C1都是正方形，又G為CD1的中點，∴DG⊥CD1，∴∠D1GD＝90°，∴異面直線CD1與EF所成的角為90°.所以CD1⊥EF.題型4求異面直線的距離【例題4】（2023·高一課時練習(xí)）邊長為1的正方體ABCD?A1B1【答案】1【分析】把直線A1D和【詳解】如圖所示，連接A1因為A1B1⊥平面A1ADD又A1則直線A1D和B1C1即直線A1D和故答案為：1.【變式4-1】1．（2022·高一課時練習(xí)）正方體ABCD?A'B'C'【答案】3【分析】作輔助線，找出異面直線CD'與【詳解】取CD中點M，連接MC'，AM，AM與BD交于P，MC'與由正方體的性質(zhì)可知AC由△CMQ與△D'同理可得MPPA=12，所以所以PQ為CD'與BD間的公垂線段，所以異面直線CD'與故答案為：33【變式4-1】2．（2022·高一課時練習(xí)）空間四邊形ABCD的各邊與兩條對角線的長都為1，點P在邊AB上移動，點Q在邊CD上移動，則點P，Q的最短距離為______．【答案】2【分析】由已知條件可知幾何體為正四面體，由此可知點P，Q的最短距離即為相對棱的中點之間的距離，可求得答案.【詳解】由于空間四邊形ABCD的各邊與兩條對角線的長都為1，故該幾何體為正四面體，如圖當(dāng)P,Q分別為AB,CD的中點時，連接AQ,BQ,則AQ=BQ,所以PQ⊥即當(dāng)P,Q分別為AB,CD的中點時，PQ為異面直線AB,CD的公垂線，此時點P，Q的距離最短；因為空間四邊形ABCD的各邊與兩條對角線的長都為1，故AQ=所以PQ=故答案為：2【變式4-1】3．（2023·高一課時練習(xí)）已知S是矩形ABCD所在平面外一點，SA⊥BC，BS⊥CD，SA與CD所成角大小為π3，SD與BC所成角大小為π6，SA=1，分別求直線SA【答案】3，1【分析】根據(jù)異面直線所成的角，平行線的性質(zhì)得SA⊥AD，∠SDA=π6，【詳解】∵AD//BC,AB//CD，SA⊥BC因為SD與BC所成角大小為π6，而BC//AD因為SA與CD所成角大小為π3，而AB//CDSA=1，則SD=2，AD=又ABCD是矩形，所以線段AD是直線SA與CD的公垂線段，線段AB是SB與AD的公垂線線段，所以直線SA與CD的距離是3，SB與AD的距離是12【變式4-1】4．（2023·高一課時練習(xí)）所有棱長都為1的四面體ABCD中，找到異面直線AB和CD的公垂線，求出AB和CD的距離．【答案】取AB中點E，CD中點F，則EF為公垂線，EF【分析】取AB中點E，CD中點F，連接BF,AF,EF，證明EF是AB與【詳解】如圖，取AB中點E，CD中點F，連接BF,由已知AF