高中數(shù)學同步講義（人教B版2019選擇性必修一）第03講 1.1.2空間向量基本定理

.1.2空間向量基本定理TOC\o"1-3"\h\u題型1對共面向量概念的理解 2題型2向量共面的判定與證明 6題型3空間四點共面的條件 11◆類型1四點共面的判斷 11◆類型2四點共面的證明 15◆類型3含參問題 20題型4空間向量基底概念及辨析 24題型5用空間基底表示向量 29題型6空間向量基本定理及其應用 35知識點一.共面向量一般地，能平移到同一平面內(nèi)的向量叫作共面向量.知識點二.共面向量定理如果兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)組（x，y），使得p=xa+yb,即向量p可以由兩個不共線的向量a，b線性表示。知識點三.空間四點共面的條件已知OA，OB，OC不共面，若OP=xOA+yOB+zOC，且x+y+z=1，則P，A，B，C四點共面.注意：共面向量不僅包括在同一個平面內(nèi)的向量，還包括平行于同一平面的向量.（2）空間任意兩個向量是共面的，但空間任意三個向量就不一定共面了.知識點四.空間向量的基本定理空間向量基本定理如果三個向量e1，e2，e3不共面，那么對空間任一向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組（x，y，z），使p=xe1+ye2+ze3基底和基向量如果三個向量e1，e2，e3不共面，那么空間的每一個向量都可由向量e1，e2，e3線性表示，我們把{e1，e2，e3}稱為空間的一個基底，e1，e2，e3叫作基向量.題型1對共面向量概念的理解【方法總結(jié)】（1）任意兩個空間向量都是共面向量；（2）若a，b不共線且同在平面α內(nèi)，則p與a，b共面的意義是p在α內(nèi)或p//α.【例題1】（多選）（2023春·江蘇淮安·高二校聯(lián)考期中）下列命題中是真命題的為（

）A．若p與a,b共面，則存在實數(shù)xB．若存在實數(shù)x,y，使向量p=xaC．若點P,M,AD．若存在實數(shù)x,y，使MP=【答案】BD【分析】根據(jù)平面向量基本定理以及空間向量基本定理，可知B、D項正確；若a,b共線，則A結(jié)論不恒成立；若【詳解】對于A項，如果a,b共線，則xa若p與a,對于B項，根據(jù)平面向量基本定理知，若存在實數(shù)x,y，使向量p=xa對于C項，如果M,A,B三點共線，則不論x,y取何值，xMA對于D項，根據(jù)空間向量基本定理，可知若存在實數(shù)x,y，使MP=xMA故選：BD.【變式1-1】1．(多選)（2022秋·福建泉州·高二晉江市季延中學?？计谥校?多選)下列說法中正確的是（

）A．a(chǎn)?b=B．若AB，CD共線，則AB∥CDC．A，B，C三點不共線，對空間任意一點O，若OP=D．若P，A，B，C為空間四點，且有PA=λPB+μ【答案】CD【分析】根據(jù)共線向量的定義、共面和共線的性質(zhì)進行逐一判斷即可.【詳解】由a?b=a+b，可得向量a,若AB，CD共線，則AB∥CD或A，B，C，D四點共線，所以B不正確；由A，B，C三點不共線，對空間任意一點O，若OP=34若P，A，B，C為空間四點，且有PA=λPB+μPC(PB，故選：CD【變式1-1】2．（多選）（2022秋·山西運城·高二?？茧A段練習）已知空間向量a,A．若a∥b,b∥c，則aC．若|a?b|=|a|?|b|，則a與b【答案】BC【分析】對于A，舉例判斷，對于B，由共面向量定理判，對于C，根據(jù)數(shù)量積的定義判斷，對于D，舉例判斷.【詳解】對于A，若b=對于B，由三向量共面的充要條件知B正確；對于C，若|a?b|=|a|?|b|且a,b為非零向量，則cos?a,b?=1，所以對于D，若a,c都與b垂直，故選：BC.【變式1-1】3．（2022秋·福建福州·高二福建省福州第二中學統(tǒng)考階段練習）下列命題中正確的是（

）A．若A，B，C，D是空間任意四點，則有ABB．a(chǎn)?b=a+C．若AB，CD共線，則ABD．對空間任意一點O不共線的三點A，B，C，若OP=xOA+yOB+zOC（其中x，y，z【答案】A【分析】根據(jù)向量加法三角形法則可判斷A；根據(jù)向量模的定義可判斷B；根據(jù)向量共線可判斷C；通過x+y+【詳解】根據(jù)向量加法三角形法則可知A對；若a、b同向共線則不滿足a?b=若AB，CD共線，則AB//CD或重合，可知對空間任意一點P與不共線的三點A、B、C，若OP=xOA+yOB+zOC(x,y故選：A．【變式1-1】4．下列命題中錯誤的是______．（填序號）①若A、B、C、D是空間任意四點，則有AB+②a?b=a+③若AB、CD共線，則AB∥④對空間任意一點O與不共線的三點A、B、C，若OP=xOA【答案】②③④【分析】直接由向量的運算、向量的共線及向量的共面依次判斷4個命題即可.【詳解】對于①，AB+對于②，a?b=a+b或?qū)τ冖郏鬉B、CD共線，則AB∥CD或?qū)τ冖?，若OP=xOA+y故答案為：②③④.題型2向量共面的判定與證明【方法總結(jié)】利用向量法證明向量共面的策略（1）若已知點P在平面ABC內(nèi)，則有OPAP=xAB＋yAC或OP=xOA＋yOB＋zOc（x+y＋z=1），然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系數(shù)法求出參數(shù)．（2）證明三個向量共面（或四點共面），需利用共面向量定理，證明過程中要靈活進行向量的分解與合成，將其中一個向量用另外兩個向量來表示.【例題2】（2023秋·廣東深圳·高二統(tǒng)考期末）若a,A．a(chǎn)，a+b，a+c B．a(chǎn)C．a(chǎn)，a?c，a+c D．b【答案】A【分析】根據(jù)平面向量的基本定理，可得答案.【詳解】對于A，設x,y∈R，則x對于B，設x,y∈R，則x對于C，設x,y∈R，則xa+對于D，設x,y∈R，則x故選：A.【變式2-1】1.（2022秋·山東淄博·高二沂源縣第一中學?？茧A段練習）如圖，M、N分別是空間四邊形ABCD的邊AB、CD的中點，則向量MN與AD、BC______．（填“共面”或“不共面”）【答案】共面【分析】用AD、BC的線性關(guān)系表達出MN，從而得到共面關(guān)系.【詳解】由圖可知：MN=則向量MN與AD、BC共面.故答案為：共面【變式2-1】2．（2023春·高一課時練習）在長方體ABCD?A1B1C1D1中，E是棱AA1【答案】共面【分析】根據(jù)空間向量的運算法則，化簡得到EO=【詳解】根據(jù)空間向量的運算法則，可得：EO=?1又由空間向量的共面定理，可得向量EO與AC，AD共面．【變式2-1】3．（2022·高二課時練習）在正方體ABCD?(1)AB,(2)AB,(3)AB,【答案】(1)共面(2)共面(3)不共面【分析】（1）由AB//（2）由AB∩BC=B，（3）AB∩BC=B,(1)在正方體ABCD?A1所以AB//D故向量AB與D1(2)在正方體ABCD?A1BC?平面ABCD,A1D1?平面所以向量AB與BC共面，向量A1D1所以AB,(3)在正方體ABCD?A1B1C1而DD1所以向量AB,【變式2-1】4．（2022·高二課時練習）如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C1【答案】證明見解析【分析】通過證明M,N,P,Q,【詳解】依題意可知RQ//A1同理可得SM//所以M,N,P,Q,【變式2-1】5．（2022·高二課時練習）如圖所示，已知斜三棱柱ABC?A1B1C1，點M、N分別在A(1)用向量AB→和AA1(2)向量MN→是否與向量AB→，【答案】(1)MN→(2)是.【分析】（1）利用向量的線性運算得出AN→=1?kAB→+kAC→和（2）由（1）結(jié)合共面向量基本定理，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）解：∵AN→AM→∴MN→（2）解：由（1）可知，MN→∴向量MN→與向量AB→，【變式2-1】6．已知向量a,b,c不共面，并且【答案】向量p,【分析】利用空間向量基本定理得到r=3【詳解】設r=xp+yq，則?7a+18b題型3空間四點共面的條件◆類型1四點共面的判斷【例題3-1】（2023春·上海閔行·高二上海市七寶中學校考開學考試）已知A、B、C是空間中不共線的三個點，若點O滿足OA+2A．點O是唯一的，且一定與A、B．點O不唯一，但一定與A、C．點O是唯一的，但不一定與A、D．點O不唯一，也不一定與A、【答案】A【分析】由OA+2OB+3OC=0，可得OA=?2【詳解】由空間向量的知識可知a,b,c共面的充要條件為存在實數(shù)因為OA+2所以OA=?2所以OA,所以O,因為OA+2OB+3所以點O唯一.故選：A.【變式3-1】1．（河南省新鄉(xiāng)市2022-2023學年高二上學期期末數(shù)學試題）下列條件能使點M與點A,A．OMB．OMC．OMD．OM【答案】D【分析】根據(jù)空間共面向量定理以及其結(jié)論一一判斷各選項，即可得答案.【詳解】設OM=xOA+y對于A，OM=OA?對于B，OM=OA+對于C,OM=?OA?對于D，OM=?OA?OB+3故選：D.【變式3-1】2．（2023春·遼寧鞍山·高二校聯(lián)考階段練習）在下列條件中，能使M與A，B，C一定共面的是（

）A．OM=2OA?C．MA+MB+【答案】C【分析】根據(jù)四點共面的條件逐項判斷即可求得結(jié)論．【詳解】解：空間向量共面定理，OM=xOA+yOB+zOC，若A，B，C不共線，且A對于A，因為2?1?1=0≠1，所以不能得出A，B，C，M四點共面；對于B，因為15+13+12=31對于C，MA=?MB?MC，則MA，MB，MC為共面向量，所以M與A，對于D，因為OM+OA+OB+OC=0，所以OM=?OA?故選：C．【變式3-1】3．（2022秋·山東菏澤·高二?？计谀τ诳臻g一點O和不共線三點A，B，C，且有6OPA．O，A，B，C四點共面 B．P，A，B，C四點共面C．O，P，B，C四點共面 D．O，P，A，B，C五點共面【答案】B【分析】利用向量加減法，根據(jù)空間向量的加減法，可得AP,【詳解】由6OP=OA即AP=2PB+3又因為三個向量有同一公共點P，所以P,故選：B.【變式3-1】4．（2023春·高一課時練習）已知點A,B,C,D分別位于四面體的四個側(cè)面內(nèi)，點A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】A【分析】由OD=12OA+【詳解】因為OD=所以12OD所以6OD即AD=所以A,但當A,存在OD=故選：A.【變式3-1】5．下列條件中一定使點P與A，B，C共面的有（

）個①PC=②OP③OP=④OPA．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】根據(jù)向量共面的充要條件判斷即可.【詳解】①因為PC=13PA+23PB，所以PA，PA，PB為共面向量，所以點②OP=13OA+13OB+13OC?AP=對于③④顯然不滿足，故③④錯；故選：C.◆類型2四點共面的證明【例題3-2】（2023·全國·高二專題練習）如圖，已知O?A?B?C?D?E?F?G?H為空間的9個點，且OE=kOA，OF=kOB，OH=【答案】證明見解析【分析】根據(jù)題意，由空間向量共面定理分別證得AC,AD,【詳解】因為AC=AD+所以由共面向量定理可得AC,AD,因為AC,AD,AB有公共點A，所以A?B?C?D四點共面，E?F?G?H四點共面.【變式3-2】1．（2023春·高一課時練習）如圖所示，在正方體ABCD?A1B1C1D1【答案】證明見解析【分析】通過證明向量MQ、MN、MP共面來證得M,【詳解】令D1A1=a所以MN=12MQ=設MQ=λMN則12μ?則MQ=2MN+MP．所以向量MQ、所以M、N、P、Q四點共面．【變式3-2】2（2023·江蘇·高二專題練習）已知O,A,B,C,D,(1)A,(2)AC//(3)OG=【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)向量的共面定理，即可求解；（2）根據(jù)空間向量的運算法則，準確運算，即可求解；（3）根據(jù)空間向量的運算法則，準確運算，即可求解.【詳解】（1）解：因為AC=由共面向量的基本定理，可得AC,又因為AC,AD,AB有公共點（2）解：因為OE=則EG==k所以AC//（3）解：由（1）及OE=可得EG=所以OG=EG?【變式3-2】3．如圖所示，四面體O?ABC中，G，H分別是△ABC(1)試用向量a,b,(2)試用空間向量的方法證明MNGH四點共面．【答案】(1)MN=?1(2)證明見解析【分析】（1）結(jié)合空間向量的線性運算即可求出結(jié)果；（2）證得MN=（1）MN=?12OA=?12a因為OG=1（2）因為GH=OH?所以GH=13(b所以MNGH四點共面．【變式3-2】4．（2023春·高一課時練習）已知E，F(xiàn)，G，H分別是空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點．(1)用向量法證明E，F(xiàn)，G，H四點共面；(2)設M是EG和FH的交點，求證：對空間任一點O，有OM=【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）通過證明EG=EH+（2）利用空間向量運算證得結(jié)論成立.【詳解】（1）EG=EH+所以EG=EH+（2）14◆類型3含參問題【例題3-3】（2023春·四川綿陽·高二四川省綿陽南山中學?？茧A段練習）已知O為空間任意一點，A,B,C,A．-2 B．-1 C．1 D．2【答案】A【分析】由題設條件推得OP=m【詳解】因為BP=所以由BP得OP?即OP=因為O為空間任意一點，A,所以m+2+1=1，故m故選：A.【變式3-3】1．（2023春·高一課時練習）已知A,B,C三點不共線，O是平面ABC外任意一點，若A．λ=1360 B．λ=1760【答案】A【分析】根據(jù)向量共面定理，結(jié)合向量運算，整理可得系數(shù)的方程組，求得參數(shù)，可得答案.【詳解】A,B,C,M四點共面的充要條件是由OM=2λOA+2故選：A.【變式3-3】2．(多選)（2023春·江蘇鹽城·高二鹽城市大豐區(qū)南陽中學?？茧A段練習）以下能判定空間四點P、M、A、B共面的條件是（

）A．MP=2MA+3C．PM?AB=0 D．PM【答案】ABD【分析】根據(jù)空間向量的相關(guān)概念結(jié)合四點共面的結(jié)論逐項分析判斷.【詳解】對A：若MP=2MA+3對B：若OP=12對C：若PM?AB=0，則PM對D：若PM∥AB，可知直線PM,故選：ABD.【變式3-3】3．（2023·全國·高二專題練習）已知點D在△ABC確定的平面內(nèi)，O是平面ABC外任意一點，實數(shù)x,y滿足ODA．45 B．255 【答案】D【分析】根據(jù)共面向量的性質(zhì)，結(jié)合配方法進行求解即可.【詳解】因為OD=xOA+y所以x+y?1=1，即x所以當y=1時，x故選：D【變式3-3】4．（2023春·高二課時練習）如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，M、N分別是棱BB1、DD1的中點，P是棱A1B1上靠近A1【答案】34/【分析】設AB=a，AD=b，AA1=c，用基底a,b,c表示向量PM、【詳解】設AB=a，AD=b，NM=MQ=由題意可知，PM、NM、MQ共面，設MQ=即λb所以，34m+故答案為：34【變式3-3】5．（2022·高二課時練習）如圖，在三棱錐P?ABC中，點G為△ABC的重心，點M在PG上，且PM=3MG，過點M任意作一個平面分別交線段PA，PB，PC于點D，E，F(xiàn)，若PD→=【答案】為定值4；證明見解析；【分析】聯(lián)結(jié)AG并延長交BC于H，由題意，令PA→,PB然后根據(jù)點D，E，F(xiàn)，M共面，故存在實數(shù)λ,μ，滿足DM→【詳解】聯(lián)結(jié)AG并延長交BC于H，由題意，令PA→則PM==1聯(lián)結(jié)DM，點D，E，F(xiàn)，M共面，故存在實數(shù)λ,滿足DM→=λ因此PM→由空間向量基本定理知，(1?λ故1m題型4空間向量基底概念及辨析【方法總結(jié)】基底的判斷思路（1）判斷一組向量能否作為空間的一個基底，實質(zhì)是判斷這三個向量是否共面，若不共面，則可以作為一個基底.（2）判斷基底時，常常依托正方體、長方體、平行六面體、四面體等幾何體，用它們從同一頂點出發(fā)的三條棱對應的向量為基底，并在此基礎(chǔ)上構(gòu)造其他向量進行相關(guān)的判斷.【例題4】（浙江省杭州市2022-2023學年高二下學期期末數(shù)學試題）若a,A．b+c,b,?b?C．a(chǎn)+b，a?b，【答案】C【分析】根據(jù)空間基底的概念逐項判斷，可得出合適的選項.【詳解】對選項A：?b?c對選項B：a=12a+b+對選項C：假設c=λa對于選項D：(a+b故選：C【變式4-1】1．（2023秋·河北邯鄲·高二統(tǒng)考期末）已知SA⊥平面ABC，AB⊥AC，SAA．AB,12C．AB,12【答案】A【分析】根據(jù)正交基地的定義可知，三個向量兩兩互相垂直，且模長為1.【詳解】因為SA⊥所以SA⊥AB，因為AB⊥AC，AB=1，BC所以空間的一個單位正交基底可以為AB,故選：A【變式4-1】2．（2022秋·河南新鄉(xiāng)·高二統(tǒng)考期中）若a,A．a(chǎn)+b，a?b?c，3aC．2a+b，a?c，3a+【答案】C【分析】采用假設向量共面，則根據(jù)共面向量定理可列出方程組，根據(jù)該方程組解的情況，判斷選項A,B,D,根據(jù)2a【詳解】對于A，假設a+b，a?則存在實數(shù)x,y使得a+此方程組無解，假設不成立，a+b，a?對于B,假設a?2b，a+則存在實數(shù)m,n使得a?2此方程組無解，假設不成立，a?2b，a+對于C,因為2a故2a+b，a對于D,假設a?2b，b+則存在實數(shù)s,t使得a?2此方程組無解，假設不成立，a?2b，b+故選：C【變式4-1】3．（2023秋·河北保定·高二統(tǒng)考期末）在以下命題中：①三個非零向量a，b，c不能構(gòu)成空間的一個基底，則a，b，c共面；②若兩個非零向量a，b與任何一個向量都不能構(gòu)成空間的一個基底，則a，b共線；③對空間任意一點O和不共線的三點A，B，C，若OP=2OA?2OB?2OC，則④若a，b是兩個不共線的向量，且c=λa⑤若a,b,A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】直接利用空間基底，共面向量，共線向量的基礎(chǔ)知識的應用求出結(jié)果．【詳解】空間任意三個不共面的向量都可以作為空間的一個基底.①根據(jù)空間基底的定義，三個非零向量a，b，c不能構(gòu)成空間的一個基底，則a，b，c共面；故命題①正確．②由空間基底的定義，若兩個非零向量a，b與任何一個向量都不能構(gòu)成空間的一個基底，則a，b共線，若a，b不共線，則a，b共面，一定有向量與a，b不共面；故命題②正確．③對空間任意一點O和不共線的三點A，B，C，當OP=2OA?2OB?2OC時，若P，A，B，C四點共面，則AP=λAB+μAC，④若a，b是兩個不共線的向量，且c=λa+μb(λ,⑤利用反證法：若{a設a+b=x(b+c)+y(c+a)(x,真命題有3個.故選：D【變式4-1】4．（多選）（2022秋·廣東深圳·高二深圳外國語學校校考期末）設a,A．若a⊥b，bB．a(chǎn)+c，b+C．對空間中的任一向量p，總存在有序?qū)崝?shù)組(x,D．存在有序?qū)崝?shù)對，使得c【答案】BC【分析】根據(jù)空間向量的基本定理，對選項中的命題進行分析、判斷正誤即可．【詳解】對于A，a⊥b，b⊥c，不能得出a⊥c，也可能是對于B，假設向量a+b，b+c，c+a共面，則化簡得(x+y)c=(1?x)b對于C，根據(jù)空間向量基本定理知，對空間任一向量p，總存在有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)，使p=對于D，因為a,b,c是空間一個基底，所以a與b、故選：BC．【變式4-1】5．（多選）（2023春·廣東·高二統(tǒng)考階段練習）已知O，A，B，C為空間的四個點，則（

）A．若OA,B．若{OA,OBC．若OA與BC共線，則存在一個向量與OA,D．若OM=xOA【答案】BD【分析】結(jié)合基底的定義依次判斷各選項即可.【詳解】由OA,假設{OA+OB,OA所以OC=m+所以{OA因為OA與BC共線，對于任意非零向量a，都滿足OA,BC,由OM=xOAx+所以xMA因為x+y+不妨設x≠0，則MA若M，A，B，C四點共面，則存在唯一實數(shù)對λ,μ使得所以OM?所以OM=1?所以1?λ?μ故選：BD.題型5用空間基底表示向量【方法總結(jié)】（1）若p=xa+yb+zc，則xa+yb+zc叫做向量a，b，c的線性表達式或線性組合，或者說p可以由a，b，c線性表示.（2）對于基底{a，b，c}，除了應知道a，b，c不共面外，還應明確以下三點：①基底選定后，空間的所有向量均可由基底唯一表示，選用不同的基底，同一向量的表達式也可能不同；②由于0與任意一個非零向量共線，與任意兩個非零向量共面，所以若三個向量不共面，就說明它們都不是0；③空間的一個基底是指一個向量組，是由三個不共面的空間向量構(gòu)成的，一個基向量是指基底中的某個向量，二者是相關(guān)聯(lián)的不同概念.【例題5】（2023秋·浙江麗水·高二統(tǒng)考期末）在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，AC，BD相交于O，M為OA．14a+C．?14a【答案】C【分析】由空間向量的線性運算結(jié)合圖形計算即可.【詳解】

如圖所示，CM=故選：C【變式5-1】1．（2023春·江蘇徐州·高二統(tǒng)考期中）如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，P是CA1

A．QP=310C．QP=310【答案】C【分析】利用空間向量的線性運算即可求解.【詳解】因為P是CA所以AP=又因為點Q在CA1上，且所以AQ=1所以QP=故選：C.【變式5-1】2．（浙江省杭州市2022-2023學年高二下學期期末數(shù)學試題）如圖，在四面體ABCD中，AE=λAB，AH=λAD，

(1)求證：E、F、G、H四點共面．(2)若λ=13，設M是EG和FH的交點，O是空間任意一點，用OA、OB、OC、OD【答案】(1)證明見解析(2)OM【分析】（1）證明出EH//（2）由（1）可得出EH=12FG，可得出EH//FG，則EMMG=EHFG=12【詳解】（1）證明：因為EH=FG=所以EH=λ1?λFG，則EH//FG，因此E（2）解：當λ=13時，AE=1因為CG=23CD，即由（1）知，EH=13BD，又因為EH、FG不在同一條直線上，所以，EH//則EMMG=EHFG=所以，OM=4【變式5-1】3．（2023秋·高二課時練習）如圖，空間四邊形OABC中，G、H分別是△ABC、△OBC的重心，D為BC的中點，設OA=a，OB=b，OC=

【答案】OG【分析】由已知得AD=12AB+由OH=23【詳解】由已知得OB?OA=因為G是△ABC所以AD=12所以OG=又因為H是△OBC所以OH=GH=【變式5-1】4．（2022·高二單元測試）對于任意空間四邊形ABCD，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點．(1)試證：EF→與BC→，(2)AD→=a→，AB→=b→，AC→【答案】(1)證明見解析(2)BF→【分析】（1）連接AC，取AC的中點P，連接PE，PF，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可得AD∥平面PEF，BC∥平面PEF，從而可得向量EF與BC，AD共面；（2）直接利用向量的加減法運算得答案．【詳解】（1）

證明：如圖，連接AC，取AC的中點P，連接PE，PF．∵P，F(xiàn)分別為AC，CD的中點，∴AD∥PF．又∵PF?平面PEF，AD?平面PEF．∴AD∥平面PEF．同理可證，BC∥平面PEF．∴向量EF與BC，AD共面.（2）解：BF=1