高中數(shù)學(xué)同步講義（人教B版2019選擇性必修一）第05講 1.2.1

、.2.1空間中的點、直線與空間向量1.2.2空間中的平面與空間向量TOC\o"1-3"\h\u題型1直線的方向向量 3題型2向量法求異面直線所成的角 7◆類型1求異面直線所成的角 7◆類型2已知異面直線所成的角求其他量 13題型3平面法向量的概念辨析 21題型4平面法向量求法 24題型5平面方程的表示 30題型6利用法向量研究線面位置關(guān)系 31◆類型1空間向量與平行 32◆類型2空間向量與垂直 40題型7探索性問題 45題型8最值問題 56知識點一.平面的法向量1.平面的法線與平面垂直的直線叫作平面的法線。由于垂直于同一平面的直線是互相平行的，所以，我們可以考慮用平面的垂線的方向來刻畫平面的“方向”。2.平面的法向量：如果表示非零向量n的有向線段所在直線垂直于平面α，那么稱向量n垂直于平面α，記作n⊥α，此時，我們把向量n叫作平面α的法向量.注意：平面α的一個法向量垂直于平面α內(nèi)的所有向量.（2）一個平面的法向量有無限多個，它們相互平行.3.平面法向量的性質(zhì)（1）如果直線垂直于平面α，則直線l的任意一個方向都是平面α的一個法向量.（2）如果n是平面α的一個法向量，則對任意的實數(shù)λ≠0，空間向量λn也是平面α的一個法向量，而且平面α的任意兩個法向量都平行（3）如果n為平面α的一個法向量，A為平面α上一個已知的點，則對于平面α上任意一點B，向量AB一定與向量n垂直，即AB?n=0，從而可知平面α的位置可由n和A唯一確定.知識點二.直線與平面的位置關(guān)系如果v是直線I的一個方向向量，n是平面α的一個法向量（1）n//v（2）n知識點三.平面與平面的位置關(guān)系如果n1是平面α1的一個法向量，n2是平面α2的一個法向量：（1）n1⊥n2?α（2）n1//n2?α1//α2,或α知識點四.三垂線定理及其逆定理1.射影已知空間中的平面α以及點A，過點A作α的垂線，設(shè)I與α相交于點A，則A'就是點A在平面α內(nèi)的射影（稱為投影）．空間中，圖形F上，在平面內(nèi)的所有點，所組成的集合F'稱為圖形F在平面α內(nèi)的射影。2.三垂線定理如果在平面內(nèi)的一條直線與平面的一條斜線在該平面內(nèi)的射影垂直，則它也和這條斜線垂直。3.三垂線定理的逆定理如果平面內(nèi)的一條直線和這個平面的一條斜線垂直則它也和這條斜線在平面內(nèi)的射影垂直.知識點五.異面直線所成的角向量求法：若兩異面直線l1,l2所成角為θ，它們的方向向量分別為u1,u22.范圍：（0,π2]題型1直線的方向向量【方法總結(jié)】空間中，一個向量成為直線l的方向向量，必須具備以下兩個條件：①是非零向量；②向量所在的直線與l平行或重合.【例題1】（多選）（2021·高二課時練習(xí)）[多選題]下列命題中真命題有（

）．A．直線l的方向向量有無窮多個B．若兩條直線平行，則它們的方向向量的方向相同或相反C．若向量a是直線l的一個方向向量，則向量kaD．兩直線的方向向量平行，則兩直線平行；兩直線的方向向量垂直，則兩直線垂直【答案】AB【分析】AB選項，由直線的方向向量的定義判斷；C選項，由k=0【詳解】AB選項，由直線的方向向量的定義易知A，B正確；C選項，當(dāng)k=0D選項，兩直線的方向向量平行，則兩直線平行或重合，故D錯誤．故選：AB．【變式1-1】1．已知A1,2,?2，B3,2,1在直線l上，寫出直線l的一個方向向量：【答案】2,0,3（答案不唯一）【分析】根據(jù)直線方向向量的求法求得n.【詳解】由于A1,2,?2，B3,2,1，所以直線l的一個方向向量故答案為：2,0,3（答案不唯一）【變式1-1】2．（多選）（2023·江蘇無錫·江蘇省天一中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知平面α的一個法向量為n1=1,?2,?12，平面β的一個法向量為n2=?1,0,?2，直線A．lB．αC．l與m為相交直線或異面直線D．a(chǎn)在b向量上的投影向量為0,【答案】BC【分析】根據(jù)空間向量之間的關(guān)系逐項判斷線線、線面、面面關(guān)系即可.【詳解】因為平面α的一個法向量為n1=1,?2,?12，直線l的方向向量為a=1,0,2，則n又平面β的一個法向量為n2=?1,0,?2，所以，所以α⊥由直線m的方向向量為b=0,1,?2，所以不存在實數(shù)λ使得a=λba在b向量上的投影向量為a?故選：BC.【變式1-1】3（2022秋·全國·高二專題練習(xí)）已知直線l1的方向向量a=?1,2,m，直線l2的方向向量bA．?6 B．6 C．14 D．?14【答案】A【分析】根據(jù)題意，結(jié)合向量平行的坐標(biāo)運算，即可求解.【詳解】∵l1//l2，∴a//b，∴?12故選：A．【變式1-1】4．（2020秋·北京·高二?？茧A段練習(xí)）已知空間中兩條不同的直線m,n，其方向向量分別為a→,bA．.充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】兩條不同的直線的方向向量不共線，兩條不同的直線可能相交，可能異面；兩條直線相交，則兩條直線的方向向量一定不共線.【詳解】由?λ∈R,a→≠λb→可知，由兩條不同的直線m,n相交可知，a與b不共線，所以?λ∈R綜上所述：“?λ∈R故選：B.【點睛】本題考查了空間兩條直線的位置關(guān)系，考查了空間直線的方向向量，考查了必要不充分條件，屬于基礎(chǔ)題.【變式1-1】5．放置于空間直角坐標(biāo)系中的棱長為2的正四面體ABCD中，H是底面中心，DH⊥（1）直線BC的一個方向向量___________；（2）點OD的一個方向向量___________；（3）△DBC【答案】

?1,3,0

0,33【分析】先求出正四面體中各邊的長度，得到各個點的坐標(biāo).對于（1）（2）：直接求出方向向量；對于（3）：利用重心坐標(biāo)公式直接求得.【詳解】由題意可得：OA=OB=1,OC=3由圖示，可得：O0,0,0，A?1,0,0，B1,0,0，C0,3（1）直線BC的一個方向向量為BC=（2）點OD的一個方向向量為OD=（3）因為B1,0,0，C0,3,0，所以△DBC的重心坐標(biāo)為1故答案為：（1）?1,3,0；（2）0,33,題型2向量法求異面直線所成的角【方法總結(jié)】求異面直線所成角的方法基向量法：在一些不適合建立坐標(biāo)系的題型中，經(jīng)常采用取定基向量的方法，在兩異面直線a與b上分別取點A，B和C，D，則AB與CD可分別作為a與b的方向向量，則cosθ=|AB?CD||AB||CD（2）坐標(biāo)法：根據(jù)題目條件建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，寫出相關(guān)各點的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)法求線線角，避免了傳統(tǒng)找角或作角的步驟，使過程變得簡單．◆類型1求異面直線所成的角【例題2-1】在棱長為1的正方體ABCD?A1B1C1D1A．23 B．223 C．3【答案】B【分析】以AB、AD、AA【詳解】解：以AB、AD、AA則B1,0,0，D10,1,1，E∴BD1∴BD1=3，設(shè)異面直線EF與BD1所成角為θ，則∴異面直線EF與BD1故選：B．【變式2-1】1．在三棱柱ABC?A1B1C1中，如圖所示，側(cè)棱AA1⊥底面ABC，點D1是AA．3010 B．C．3015 D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，從而求得BD【詳解】因為在直三棱柱A1B1所以易得CA,CB,CC1兩兩垂直，則以C為原點，CA為x軸，CB為y軸，因為BC=CA=2,又點D1,E1分別是A1故BD設(shè)BD1與AE則cosθ所以BD1與AE故選：B．.【變式2-1】2．在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1(1)證明：AF//平面A(2)求直線EC與AF所成角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)5【分析】（1）推導(dǎo)出AF?平面ABCD，平面ABCD//平面A1B1（2）以D為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線EC與AF所成角的余弦值.【詳解】（1）證明：在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1∴AF?平面ABCD，平面ABCD//∴AF//面（2）解：以D為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則E(2，1，2)，C(0，2，0)，A(2，0，0)，F(xiàn)EC=(?2，1，?2)，AF=(?2，1，設(shè)直線EC與AF所成角為θ，則直線EC與AF所成角的余弦值為：cosθ【變式2-1】3．如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1棱長為2，點M、N分別是AA1、A1C1的中點，點P在棱A1B1上，且A1P=3PB1，Q為BP的中點，(1)求證：MN⊥(2)求MN與BP所成角的余弦值；(3)求NQ的長.【答案】(1)證明見解析(2)51(3)41【分析】（1）以A1點為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系，寫出所需點坐標(biāo)，證明MN?（2）求出MN=1,1,?1,（3）根據(jù)空間中兩點間的距離公式直接求解即可.【詳解】（1）如圖，以A1點為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系，由題意知：A1（0，0，0），B（0，2，2），C（2，2，2），B1（0，2，0），M（0，0，1），N（1，1，0），P0,32則MN=所以MN?故MN⊥（2）MN=設(shè)MN與BP所成角為θ，故cosθ（3）因為N（1，1，0），Q0,所以NQ=【變式2-1】4．如圖，在四棱錐P?ABCD中，四邊形ABCD為矩形，且AB=2AD=2(1)求線段PC的長度；(2)求異面直線PC與BD所成角的余弦值；(3)若E為AB的中點，證明：PA⊥【答案】(1)3(2)2(3)證明見解析【分析】（1）由已知角的三邊作為空間向量的一組基底，由基底表示PC再進行模長計算即可；（2）由基底表示PC、BD，再代入向量夾角公式計算即可；（3）由AP?【詳解】（1）因為PC=所以PC2∴|PC所以線段PC的長度為3．（2）∵PC?BD=(PA+AB+∴cos<PC故異面直線PC與BD所成角的余弦值為215（3）因為E為AB的中點，所以AD=又∵AP?DE=∴AP⊥DE，即◆類型2已知異面直線所成的角求其他量【例題2-2】如圖，在四棱錐P?ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD為矩形，PD=DC=3,AD=4,M是線段PA的中點，N是線段PC上一點（不與P,CA．12 B．13 C．14【答案】B【分析】根據(jù)線面垂直的性質(zhì)證DP，DC，DA兩兩互相垂直，構(gòu)建空間直角坐標(biāo)，PN=λPC【詳解】因為PD⊥平面ABCD，DC?平面ABCD，AD?所以PD⊥DC，因為底面ABCD為矩形，所以DC⊥所以DP，DC，DA兩兩互相垂直．以D為原點，DA、DC、DP所在直線分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系D?則D0,0,0，B(4,3,0)，P(0,0,3)，A(4,0,0)，所以PC=(0,3,?3)，BD因為PN=所以N(0,3λ,3?3設(shè)直線MN與BD所成角為θ，則cosθ=|因為1581λ化簡得99λ2+2124λ?719=0，即(3故選：B【變式2-2】1．在長方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=4,AD=2,A1A=3,MA．?25 B．?45 C．【答案】B【分析】利用向量的運算確定M的位置，再根據(jù)異面直線A1A與B1N所成角為30°可確定點N在以點B為圓心，半徑為3的圓上，即可求出MN長度的最小值為【詳解】由MA1=λAB所以點M在直線AC上.又異面直線A1A與B1N所成的角為30°，N為底面ABCD內(nèi)一點，所以點N在以點B為圓心，半徑為3的圓上，因此要使MN長度最小，則B、N、M共線，且BM⊥AC.因為AB=4，BC=2，所以AC=AB故選：B.【變式2-2】2．(多選)在三棱錐A?BCD中，平面ABD⊥平面BCD，BD⊥CD，BDA．23 B．1 C．43 【答案】AC【分析】過O作與CD平行的直線為y軸，取BD的中點O，根據(jù)條件可得AO⊥平面BCD，分別以O(shè)B,OA【詳解】由△ABD為等邊三角形，取BD的中點O，連接AO,則又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩所以AO⊥平面BCD，由過O作與CD平行的直線為y軸，分別以O(shè)B,OA為因為BD=CD=2，則B所以E?設(shè)Fa,0,3+3則1428=1+2a2故AF=13故選：AC【變式2-2】3．已知四棱錐P－ABCD的底面是邊長為2的正方形，△PAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形，AB⊥平面PAD，E是線段PD上的動點（不含端點），若線段AB上存在點F（不含端點），使得異面直線PA和EF所成的角的大小為30°，則線段AF長的取值范圍是______.【答案】0,【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法列方程，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求得AF長的取值范圍.【詳解】設(shè)O是AD的中點，則OP⊥由于AB⊥平面PAD，OP?平面PAD，所以由于AD∩AB=A,AD,由于OP?平面PAD，所以平面PAD⊥平面以D為原點建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，P1,0,1,A設(shè)F2,t,0則EF=設(shè)PA與EF所成角為θ，則θ=30°cos30°=PA整理得t2函數(shù)y=?2a2所以函數(shù)y=?2a2+4所以0<t所以AF的取值范圍是0,6故答案為：0,【變式2-2】4．ABCD?A1B1(1)求證：AP⊥(2)若異面直線AP與D1B1所成角為π【答案】(1)證明見詳解；(2)λ=1【分析】（1）連接BC1，AD1，可證明（2）建立空間直角坐標(biāo)系，得到點的坐標(biāo)，由已知可得cosAP,D1B【詳解】（1）證明：如圖，連接BC1，由已知可得，AB⊥平面BCC1B1，B又BCC1B又BC1?平面ABC1D1所以B1C⊥又動點P在對角線BD1上，所以P∈平面ABC1所以AP⊥（2）以點C為坐標(biāo)原點，分別以CD、CB、CC1所在的直線為x、y、設(shè)CD=1，則C0,0,0，D1,0,0，B0,1,0，C10,0,1，則D1B1由已知D1PD1B=λ所以x0?1=?λy0=λAP=又異面直線AP與D1B1所成角為π即cosAP,D1B整理可得λ2=1，因為0≤λ≤1，所以λ=1【變式2-2】5．已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)面AA1B1B為正方形，AB=BC=2，且AB⊥BC，E，F(xiàn)分別為AC和CC1的中點，D為棱(1)證明：BF⊥(2)在棱A1B1上是否存在一點M，使得異面直線MF與AC所成的角為30°？若存在，指出M的位置；若不存在，說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)存在；M是A1B1中點【分析】(1)以B為原點建立空間直角坐標(biāo)系，證得BF?(2)先設(shè)出M的坐標(biāo)，利用空間向量求異面直線夾角公式可以解得M的位置.【詳解】（1）證明：由直三棱柱ABC-A1B1C1可得BB1⊥平面ABC，且ABBA，BC，BB1所在的直線分別為x，y，則B(0,0,0)，F(xiàn)(0,2,1)，E(1,1,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)則D(m,0,2)，∴BF=(0,2,1)，DE=(1?m（2）可設(shè)B1M=n，且n∈[0,2]，則M由異面直線MF與AC所成的角為30°可得|cos<MF整理得n2?8n+7=0，即所以存在點M，M是A1B1中點.題型3平面法向量的概念辨析【方法總結(jié)】平面的法向量的定義及應(yīng)用平面的法向量不唯一，并且垂直于平面α的所有共面向量.（2）直線與平面垂直的判定，必須證直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，至于兩直線與已知直線是否有公共點，并不重要.【例題3】已知v為直線l的方向向量，n1、n2分別為平面α、β的法向量（α、β不重合），那么下列說法中：①n1∥n2?A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】利用兩平面平行充要條件判斷①；利用兩平面垂直充要條件判斷②；利用線面垂直充要條件判斷③；利用線面平行判定定理判斷④.【詳解】①n1②n1③v∥④v⊥n1故選：B【變式3-1】1．以下真命題共有___________個.①一個平面的單位法向量是唯一的；②一條直線的方向向量和一個平面的法向量垂直，則這條直線和這個平面平行；③若兩個平面的法向量不平行，則這兩個平面相交.【答案】1【分析】利用單位向量和平面法向量的定義否定命題①；利用直線與平面平行的判定定理否定命題②；利用兩個平面位置關(guān)系定義判斷命題③.【詳解】①一個平面的單位法向量有無窮多個.判斷錯誤；②一條直線的方向向量和一個平面的法向量垂直，則這條直線和這個平面平行或這條直線在這個平面內(nèi).判斷錯誤；③若兩個平面的法向量不平行，則這兩個平面相交.判斷正確.綜上，正確命題共有1個故答案為：1【變式3-1】2．在直三棱柱ABC?A．AB B．A1C1 C．B【答案】D【分析】作出圖像，根據(jù)直棱柱側(cè)棱垂直于底面即可求解．【詳解】如圖，∵CC1、AA1、故選：D．【變式3-1】3．在直三棱柱ABC?A1B1C1中，給出向量：①AB【答案】②③【分析】利用直棱柱的側(cè)棱與底面垂直，結(jié)合平面法向量的定義，即可得到答案．【詳解】解：由于直三棱柱的側(cè)棱與底面垂直，所以平面ABC的法向量可以為AA1，B故答案為：②③．【變式3-1】4．已知直線l的一個方向向量為d=(1,2,?1)，平面α的一個法向量n=(x,?4,2)，若【答案】10【分析】根據(jù)直線與平面平行，得到直線的方向向量與平面的法向量垂直，進而利用空間向量數(shù)量積為0列出方程，求出x的值.【詳解】因為l//α，所以直線l的方向向量與平面即n?d=(故答案為：10【變式3-1】5．已知直線l的方向向量a=1,4,2，平面α的一個法向量為e=4,xA．?5 B．?3 C．2 D．16【答案】A【分析】根據(jù)法向量的定義，轉(zhuǎn)化為兩個向量垂直，即可列式求解.【詳解】由條件可知，a?e=1×4+4故選：A【變式3-1】6．已知平面α的一個法向量為v→=1,?2,0，寫出一個以2,1,1【答案】2,1,0（答案不唯一）【分析】設(shè)終點坐標(biāo)為x,【詳解】設(shè)終點坐標(biāo)為x,y,則x?2?2y+2=0(x?2)2+(故答案為：(2,1,0)（答案不唯一）題型4平面法向量求法【方法總結(jié)】求平面法向量的步驟（1）設(shè)出平面的法向量為n=（x，y，z）.（2）找出（求出）平面中兩個不共線的向量的坐標(biāo)a=（a1，a2，a3），b=（b1，b2，b3）.（3）根據(jù)法向量的定義建立關(guān)于x，y，z的方程組na（4）解方程組，取其中的一個解作為法向量（由于一個平面的法向量有無數(shù)多個，故可在方程組的解中取一個最簡單的作為平面的法向量）.【例題4】如圖，在空間直角坐標(biāo)系中，有正方體ABCD?①直線DD'的一個方向向量為②直線BC'的一個方向向量為③平面ABB'A④平面B'CD的一個法向量為其中正確的個數(shù)為（

）．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】由直線的方向向量及平面的法向量的定義即可求解.【詳解】解：設(shè)正方體ABCD?A'B'C'D'的邊長為1，則D0,0,0，對①：因為DD'=(0,0,1)，所以直線D對②：因為BC'=?1,0,1，所以直線對③：因為OA⊥平面ABB'A'，又OA對④：因為n2=(1,1,1)，DB'=1,1,1，所以平面B'CD的一個法向量為故選：A.【變式4-1】1．如圖，在三棱錐P?ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC,ABA．?12,?12,14 【答案】D【分析】先求出BC=【詳解】依題意得，B0,1,0,設(shè)n=n?BC=x?y故選：D【變式4-1】2．（多選）已知空間中三點A(0,1,0),A．ABB．與AB共線的單位向量是(1,1,0)C．AB與AC夾角的余弦值是55D．平面ABC的一個法向量是m【答案】AD【分析】對于A，通過計算AB?【詳解】對于A，因為A(0,1,0),B(2,2,0),所以AB?AC=?2+2=0對于B，因為AB=(2,1,0)，所以與AB共線的單位向量為AB或?AB對于C，因為AB=(2,1,0),所以cosAB對于D，因為m=(1,?2,5)，AB所以m?所以m⊥AB,故選：AD.【變式4-1】3．如圖的空間直角坐標(biāo)系中，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB=2,PB與平面xDy的所成角為π4，E為PB中點，則平面ABE【答案】±(【分析】根據(jù)給定條件，借助線面角求出DP長，并求出點A，B，P的坐標(biāo)，再利用空間向量求出平面ABE的單位法向量作答.【詳解】如圖，連接BD，因PD⊥平面ABCD，則∠PBD是與平面xDy所成的角，即在正方形ABCD中，BD=2AB=22于是得A(2,0,0),B(2,2,0),P(0,0,2設(shè)平面PAB的一個法向量為n=(x,y,z)與n共線的單位向量為±1所以平面ABE的單位法向量n0故答案為：±(【變式4-1】4．如圖，在棱長為3的正方體ABCD?A1B1C1D1中，點M在棱C1C上，且CM=2MC1(1)求平面ABB(2)求平面MD【答案】(1)(1,0,0)(答案不唯一)(2)2,1,3(答案不唯一)【分析】（1）由x軸垂直于平面ABB1A（2）利用求解平面的法向量的方法進行求解.（1）因為x軸垂直于平面ABB1A1，所以（2）因為正方體ABCD?A1所以M，B，D1的坐標(biāo)分別為0，3，2，3,3,0，0,0,3因此MB=3,0,?2，設(shè)n2=(xn2⊥MB所以n2取z=3，則x=2，y=1．于是n【變式4-1】5．如圖，在長方體ABCD?A1B1C1(1)平面ABCD；(2)平面ACC(3)平面ACD【答案】(1)D(2)m(3)n【分析】以D為原點，DA,DC,（1）由于DD1⊥平面ABCD，所以D（2）設(shè)平面ACC1A1的法向量為（3）設(shè)平面ACD1的法向量為n=((1)以D為原點，DA,DC,則D(0,0,0),所以DD1=(0,0,3)，因為DD1⊥平面所以平面ABCD的一個法向量為DD(2)設(shè)平面ACC1A1的法向量為所以m?AC=?6x+2所以平面ACC1A(3)設(shè)平面ACD1的法向量為n=(所以n?AC=?6a所以平面ACD1題型5平面方程的表示【例題5】已知平面α內(nèi)有一點A(2,?1,2)，平面α的一個法向量為n=(1A．P1(1,?1,1) B．P2(1,3,32【答案】B【分析】根據(jù)題設(shè)只需PnA?【詳解】由題意，符合條件的點P應(yīng)滿足PnA：P1A=(2,?1,2)?(1,?1,1)=(1,0,1)，則PB：同理P2A=(1,?4,12C：同理P3A=(1,2,12D：同理P4A=(3,?4,72故選：B【變式5-1】（多選）在空間直角坐標(biāo)系中，已知向量u=a,b,c（其中abc≠0A．若u為直線PP0B．若u為直線PP0C．若u為平面α的法向量，面α經(jīng)過P0和P，則D．若u為平面α的法向量，面α經(jīng)過P0和P，則【答案】AD【分析】由直線的方向向量、平面法向量的概念求解判斷．【詳解】直線P0P是直線P0P的一個方向向量，P0P=(P0P在平面α內(nèi)，u為平面α的法向量，則所以u?故選：AD．題型6利用法向量研究線面位置關(guān)系◆類型1空間向量與平行【方法總結(jié)】線線平行證明兩直線的方向向量共線線面平行①證明該直線的方向向量與平面的某一法向量垂直；②證明直線的方向向量與平面內(nèi)某直線的方向向量平行面面平行①證明兩平面的法向量為共線向量；②轉(zhuǎn)化為線面平行、線線平行問題【例題6-1】已知直線l的方向向量為m，平面α的法向量為n，則“m?n=0A．充分必要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】根據(jù)線面平行的判定定理，結(jié)合充分、必要條件的概念，即可得答案.【詳解】若m?n=0，則l若l//α，則故“m?n=0故選：C【變式6-1】1．（2023·安徽合肥·合肥市第六中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知在長方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=BCA．33 B．213 C．37【答案】D【分析】以DA,DC,DD1為x,y,【詳解】解：如圖，以DA,DC,則A(1,0,0),AC=(?1,1,0)，AA1=(0,0,3則p?AC=?x+y=0又A1D=(?1,0,?3)設(shè)A1M=則MN=因為MN//平面AA1C1MN2==4=4當(dāng)μ=37時，MN2取得最小值37故選：D．

【變式6-1】2．如圖，在長方體ABCD?A1B1C1D1中，ABA．1 B．2 C．3 D．5【答案】C【分析】根據(jù)題意可知，以A點為坐標(biāo)原點，AB,AD,AA1所在直線分別為x軸，【詳解】如下圖所示：以A點為坐標(biāo)原點，AB,AD,AA1所在直線分別為x軸，則A1(0,0,1),即A1C=(2,2,?1)由A1C即x=2則D設(shè)平面BDC1的一個法向量為BC1令y1=1，則x由D1P//平面BDC1所以λ=3故選：C【例題6-2】（2022·全國·高二專題練習(xí)）如圖，在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝2，AB＝6，E、F分別為A1D1、D1C1的中點.分別以DA、DC、DD1所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系D﹣xyz.

(1)求點E、F的坐標(biāo)；(2)求證：EF∥平面ACD1.【答案】(1)E(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)的定義，可得結(jié)論；（2）求出AC、EF的坐標(biāo)，可得AC→【詳解】（1）由題意，AD＝AA1＝2，AB＝6，E、F分別為A1D1、D1C1的中點，∴E(1,0,2),（2）∵A(2,0,0),C∵E(1,0,2),F∴AC→∵EF?平面ACD1，AC?平面ACD1，∴EF∥平面ACD1．【變式6-2】1.（2023春·高二課時練習(xí)）如圖，在直四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD為等腰梯形，AB//CD，AB=4，【答案】證明見解析【分析】建立空間直角坐標(biāo)系D?xyz，利用向量法分別證明DD1//CC【詳解】因為AB＝4,BC＝CD＝2所以BF=BC=因為ABCD為等腰梯形，AB＝4,所以∠BAD取AF的中點M，連接DM，則DM⊥AB，所以以D為原點，DM,DC,DD1所在直線分別為則D0,0,0所以DD1＝0,0,2，DA=所以DD1//又DD1,所以DD1//因為CC1,CF?平面FC所以DD1//平面FCC1又DD1∩DA＝所以平面AA1【變式6-2】2．（2023春·高二課時練習(xí)）如圖所示，平面PAD⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F(xiàn)，G分別是線段PA，PD，CD的中點，求證：平面EFG∥平面PBC．【答案】證明過程見詳解【分析】根據(jù)題意得到AB，AP，AD兩兩垂直，從而以A為坐標(biāo)原點，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，并確定A，B，C，D，P，E，F(xiàn)，G的坐標(biāo)，求得PB，F(xiàn)E，F(xiàn)G，BC，從而即可確定平面EFG的法向量n1，平面PBC的法向量n【詳解】因為平面PAD⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，△PAD是直角三角形，所以AB，AP，AD兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，0，1)，F(xiàn)(0，1，1)，G(1，2，0)．所以PB=(2,0,?2)，F(xiàn)E=(0,?1,0)，F(xiàn)G=(1,1,?1)設(shè)n1則n1⊥FE，n1⊥令z1=1，則x1=1，設(shè)n2由n2⊥PB，n2⊥令z2=1，則x2=1，所以n1【變式6-2】3．如圖，三棱柱ABC?AB1C1中側(cè)棱與底面垂直，且AB=求證：PN∥平面ACC【答案】證明見解析【分析】以點A為坐標(biāo)原點，AB?AC?AA1所在直線分別為x?y?z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面【詳解】因為三棱柱ABC?所以AA1⊥因為AB,AC?所以AA因為AB⊥所以AB?AC?AA所以以點A為坐標(biāo)原點，AB?AC?AA則A10,0,4，B2,0,0，M0,2,2，取向量AB=2,0,0為平面ACC∴PN?∴PN⊥又∵PN?平面AC∴PN∥平面AC◆類型2空間向量與垂直【例題6-3】（2022秋·河南鄭州·高二?？茧A段練習(xí)）已知向量a=(4,4,5)，b=(?7,x,y)分別是直線A．x=2,y=4 B．x=4,y=3【答案】A【解析】由方向向量的數(shù)量積為0可得．【詳解】由題意a?b=?28+4x+5故選：A．【變式6-3】1.（2022·全國·高二專題練習(xí)）四棱錐P﹣ABCD的底面ABCD是平行四邊形，AB=(1)求證：PA⊥底面ABCD；(2)求PC的長.【答案】(1)證明見解析(2)94【分析】（1）根據(jù)兩個向量的數(shù)量積為0，可以判斷出AP⊥AB且AP⊥AD，進而根據(jù)線面垂直的判定定理得到PA⊥底面ABCD；（2）根據(jù)向量加法的三角形法則，可以求出向量PC的坐標(biāo)，進而代入向量模的計算公式，得到答案．【詳解】（1）∵AB=∴AP→?AB∴AP→⊥AB即AP⊥AB且AP⊥AD，又∵AB∩AD＝A，AB,∴AP⊥平面ABCD.（2）∵AB=∴AC=AB+∴|PC【變式6-3】2．（2023春·江蘇宿遷·高二校考階段練習(xí)）如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=2，AF=1，M是線段EF的中點.(1)求證：AM⊥(2)求證：AM⊥平面BDF【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）利用面面垂直性質(zhì)定理證明CE⊥平面ABCD，然后以點C（2）先求出平面BDF的法向量，然后利用直線AM的方向向量與法向量共線即可證明線面垂直.【詳解】（1）因為四邊形ACEF為矩形，則CE⊥因為平面ABCD⊥平面ACEF，平面ABCD∩平面ACEF=AC，所以CE⊥平面ABCD，又四邊形ABCD以點C為坐標(biāo)原點，CD、CB、CE所在直線分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系C?由AB=2，AF=1，得C0,0,0，A2E0,0,1，F(xiàn)2,所以AM=?2所以AM?BD=所以AM（2）由（1）知，AM=?22,?設(shè)n=x,y,z是平面所以n→?BD取y=1，得x=1，z=?因為AM=?22,?22所以AM⊥平面BDF【變式6-3】3．（2023春·高二課時練習(xí)）如圖所示，△ABC是一個正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中點．求證：平面DEA⊥平面ECA.【答案】證明見解析【分析】建系，分別求平面DEA、平面ECA的法向量，利用空間向量證明面面垂直.【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C－xyz，不妨設(shè)CA＝2，則CE＝2，BD＝1，則C0,0,0所以EA=設(shè)平面ECA的一個法向量是n1則n1取x1=1，則y1設(shè)平面DEA的一個法向量是n2則n2取x2=3，則y因為n1?n所以平面DEA⊥平面ECA.【變式6-3】4.（2023春·高二課時練習(xí)）如圖，在三棱錐P－ABC中，AB＝AC，D為BC的中點，PO⊥平面ABC，垂足O落在線段AD上．已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.(1)證明：AP⊥BC；(2)若點M是線段AP上一點，且AM＝3，試證明AM⊥平面BMC.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）建系，利用空間向量證明線性垂直；（2）利用空間向量證明線面垂直.【詳解】（1）由題意知AD⊥BC，如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點，以過O點且平行于BC的直線為x軸，OD，OP所在直線分別為y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系O－xyz.則A0,?3,0可得AB=∵AP∴AP⊥（2）由（1）可得AP=∵M是AP上一點，且AM＝3，∴AM=可得BM=設(shè)平面BMC的法向量為n=a,令b＝1，則a=0,c=顯然AM=95n，故∴AM⊥平面BMC.題型7探索性問題【例題7】（多選）如圖，在長方體ABCD?A1B1A．當(dāng)A1C=2B．當(dāng)AP⊥AC．當(dāng)A1C=3AD．當(dāng)A1C=5A【答案】ACD【分析】由題意，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)公式，求得點P的坐標(biāo)，根據(jù)空間向量公式，可得答案.【詳解】由題意，如圖建系：則D(0,0,0)，A(1,0,0)，設(shè)A1C=kA可得D1AP=對于A：當(dāng)A1C=2根據(jù)長方體性質(zhì)可得B,對于B：當(dāng)AP⊥∴AP?A1所以AP=?1則AP?因此AP⊥對于C：當(dāng)A1C=3設(shè)平面BDC1的法向量為∵DB∴n?DB=當(dāng)y=?1時，x=3，z∴n?D1又D1P?平面BDC1對于D：當(dāng)A1C=5A1設(shè)平面D1AP的法向量為則m?AP=?取a=?1，則b=3而A1C=(?1,3,?1)，∴A故選：ACD【變式7-1】1．（2023秋·高二課時練習(xí)）如圖，已知空間幾何體P?ABCD的底面ABCD是一個直角梯形，其中∠BAD=90°,AD//BC,

(1)若BC?(2)若AE垂直PD于E，證明：BE⊥(3)在（2）的條件下，PB上是否存在點F，使得EF//【答案】(1)8(2)證明見解析(3)存在Fa【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，（1）求出BC,PD，利用BC?（2）求出BE坐標(biāo)，PD?（3）由EF//BD，求出E點的豎坐標(biāo)、F點的豎坐標(biāo)，設(shè)Fx,0,3【詳解】（1）如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則A0,0,0,BBC=∴BC此時V=（2）E0,∵PD∴BE（3）由EF//BD，E點的豎坐標(biāo)為32a，∴設(shè)Fx,0,32a，由FE//BD

【變式7-1】2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，已知四棱錐P?ABCD的底面是平行四邊形，側(cè)面PAB是等邊三角形，(1)求證：平面PAB⊥平面ABCD(2)設(shè)Q為側(cè)棱PD上一點，四邊形BEQF是過B,Q兩點的截面，且AC∥平面BEQF，是否存在點Q，使得平面BEQF⊥平面PAD【答案】(1)證明見解析(2)存在，1【分析】（1）根據(jù)題意，先由線面垂直的判定定理得到AC⊥平面PAB（2）根據(jù)題意，以A為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，然后結(jié)合法向量與空間向量的坐標(biāo)運算，代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）證明：在△ABC中，因BC所以AC2+AB且PB，AB?平面PAB，所以AC⊥平面又AC?平面ABCD所以平面PAB⊥平面ABCD（2）假設(shè)存在點Q，使得平面BEQF⊥平面PAD取AB中點為H，連接PH，則PH⊥因為平面PAB⊥平面ABCD平面PAB∩平面ABCD所以PH⊥平面ABCD如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)AB=2，則A0,0,0,B2,0,0設(shè)n1=x1,y1設(shè)DQ=λDP則BQ連接EF，因AC∥平面BEQF,AC?平面PAC，平面PAC∩平面BEQF=EF，故設(shè)n2=x則n2?j由平面BEQF⊥平面PAD，知n1⊥n2故在側(cè)棱PD上存在點Q，使得平面BEQF⊥平面PAD【變式7-1】3.（2023春·廣東汕尾·高二陸豐市龍山中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，在四棱錐P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，正方形ABCD的邊長為2，E(1)求證：PC//平面BDE(2)若PA=2，線段PC上是否存在一點F，使AF⊥平面BDE？若存在，求出【答案】(1)證明見解析(2)存在，理由見解析.【分析】（1）連結(jié)AC交BD于點O，可知OE//PC.然后根據(jù)線面平行的判定定理，即可得出PC//（2）先證明CD⊥平面ADP．以點D為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各點的坐標(biāo)，設(shè)PF=λPC，求出點F的坐標(biāo)，然后得到AF.求出平面BDE的法向量n，根據(jù)【詳解】（1）如圖1，連結(jié)AC交BD于點O.因為ABCD是正方形，所以O(shè)是AC的中點，又E是PA的中點，所以O(shè)E//因為OE?平面BDE，PC?平面所以PC//平面BDE（2）存在，理由如下：因為PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，所以因為ABCD為正方形，所以CD⊥又PA∩DA=A，PA?平面ADP所以CD⊥平面ADP以點D為坐標(biāo)原點，過點D作PA的平行線為x軸，分別以DA,DC為建立空間直角坐標(biāo)系D?則A0,2,0，B0,2,2，C0,0,2，D0,0,0，所以PC=令PF=則DF=DP+λPC所以F?2λ+2,?2因為DB=0,2,2，設(shè)n=x,則n?DB=0取y=?1，則n=2,?1,1因為AF⊥平面BDE，所以n所以有2?2λ?2=?2λ因為PC=所以PF=【變式7-1】4．（2023·江西·校聯(lián)考二模）正四棱錐P?ABCD中，PA=AB=2，E為PB中點，AF=λ(1)證明：當(dāng)平面EFG⊥平面PBD時，l⊥(2)當(dāng)λ=μ=13【答案】(1)證明見詳解(2)不存在，理由見詳解【分析】（1）根據(jù)正四棱錐分析可得AC⊥平面PBD（2）建系，利用空間向量求得K即為點D，再根據(jù)空間距離分析可得m=【詳解】（1）連接AC,BD，由題意可知：設(shè)AC∩BD=O，連接PO，則AC?平面ABCD，則ACBD∩PO=O，故AC⊥平面PBD若l為直線AC，此時l?平面EFG，可得平面EFG⊥平面故l⊥平面PBD若l不為直線AC，∵平面EFG⊥平面PBD，則存在直線l1?平面EFG，使得l可得l1∥AC，且l1?平面EFG，AC故l1∥平面EFG又∵l1?平面EFG，平面EFG∩則l1∥l，可得l∥AC故l⊥平面PBD綜上所述：l⊥平面PBD（2）不存在，理由如下：如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系，則有A?可得FG=設(shè)平面EFG的法向量n=a,令b=1，則a=0,c設(shè)平面ABCD的任一點坐標(biāo)Mx,y由n?EM=0×可得交線l滿足y=?令x=0，可得交線l與y軸的交點為D0,?2,0，設(shè)四棱錐P?ABCD表面上任一點則TA2TB2可得TA2且TP故m=2=4+2x2+y2+設(shè)四棱錐P?ABCD的內(nèi)切球的半徑為∵P?ABCD的體積V=則r=可得四棱錐P?ABCD內(nèi)切球的球心坐標(biāo)為又∵OA=OB=OC=顯然0,0,2?2故不存在m，使得有且僅有5個點T滿足22題型8最值問題【例題8】如圖正方體ABCD?A1B1A．λ=13時，平面B．λ=12時，平面C．△AMDD．△AMD【答案】D【分析】以點D為坐標(biāo)原點，DA、DC、DD1所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=1，取線段AD1的中點O，求出平面AMD1【詳解】以點D為坐標(biāo)原點，DA、DC、DD1所在直線分別為x、y、設(shè)AB=1，則A1,0,0、A11,0,1、B1,1,0、B11,1,1、CA1C=?1,1,?1，AD1=?1,0,1，線段AD所以，OM=設(shè)平面AD1M則n?AD1=?對于A選項，設(shè)平面BC1D的法向量為u=x則u?DB=x1若平面AMD1//平面BC1D，則對于B選項，設(shè)平面B1CD1的法向量為v=則v?CB1=若平面AMD1⊥平面B1CD1對于CD選項，OM?AD1=因為OM=2因為λ∈0,1，當(dāng)λ=13當(dāng)λ=1時，OM取最大值，則△故選：D.【變式8-1】1．如圖，已