2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：平面直角坐標(biāo)系下幾何圖形的變換與計(jì)算題

平面直角坐標(biāo)系下幾何圖形的變換與計(jì)算題

平面直角坐標(biāo)系中圖形的變換是中考的熱點(diǎn)題型之一，在選擇題、填空題中也經(jīng)常以壓軸題形式出現(xiàn)，難度大，

解答方法靈活.本節(jié)內(nèi)容主要講解平面直角坐標(biāo)系中圖形的平移、旋轉(zhuǎn)和對(duì)稱變換中點(diǎn)的坐標(biāo)的變化規(guī)律，希望能幫

助學(xué)生快速找到解答此類壓軸題的“關(guān)鍵點(diǎn)”.

此類問題有三個(gè)常見模型.

模型一坐標(biāo)系中點(diǎn)的平移

場景：如圖，點(diǎn)A（x,y）的坐標(biāo)向右平移a個(gè)單位長度，向上平移b個(gè)單位長度，得到點(diǎn)A,.

點(diǎn)A（x,y）的坐標(biāo)向右平移a個(gè)單位長度，向下平移b個(gè)單位長度，得到點(diǎn).A的坐標(biāo)為（(%+—b\,

點(diǎn)A（x,y）的坐標(biāo)向左平移a個(gè)單位長度，向上平移b個(gè)單位長度，得到點(diǎn).4的坐標(biāo)為(%—+b);

點(diǎn)A（x,y）的坐標(biāo)向左平移a個(gè)單位長度，向下平移b個(gè)單位長度,得到點(diǎn).4的坐標(biāo)為(%—a，y—b).

精選例題

例如圖Q為坐標(biāo)原點(diǎn)，A是等腰直角三角形，4OAB=90。,點(diǎn)B的坐標(biāo)為（（0-2a）.將該三角形沿x軸

向右平移得到Rt△02,9,此時(shí)點(diǎn)夕的坐標(biāo)為（（2/，2夜），,則線段OA在平移過程中掃過部分的圖形面積為—

解析

要求線段OA在平移過程中掃過部分的圖形面積，需先明確該圖形的形狀及其特征.線段OA平移過程中掃過

部分的圖形是平行四邊形，該平行四邊形的底為（。。'，，另一條邊為OA.要求其面積就要確定底OA與其對(duì)應(yīng)高.可

反向運(yùn)用模型一（平移的坐標(biāo)特征）求出（。。'的長，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到平行四邊形.2。0,4的邊00

邊上的高.

解：點(diǎn)B的坐標(biāo)為（（0,2/），，將該三角形沿x軸向右平移得到RSCTAE,此時(shí)點(diǎn)B，的坐標(biāo)為（2V2,2

V2）.

AA'=BB'=2A/2.

??,△OAB是等腰直角三角形，

點(diǎn)A的坐標(biāo)為（（V2-V2）,

???44邊上的高.V2,

線段0A在平移過程中掃過部分的圖形面積為2/X/=4.

故答案為4.

精選練習(xí)

1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中,△OAB的頂點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為（3,企）,（4,0）把4OAB沿x軸向右平移得

到4CDE,如果點(diǎn)D的坐標(biāo)為（（&&）,,則點(diǎn)E的坐標(biāo)為.

2.在平面直角坐標(biāo)系中，一個(gè)智能機(jī)器人接到的指令是，從原點(diǎn)0出發(fā)，按“向右一向上一向右一向下”的方向

依次不斷移動(dòng)，每次移動(dòng)1個(gè)單位長度，其移動(dòng)路線如圖所示，第一次移動(dòng)到點(diǎn).Alt,第二次移動(dòng)到點(diǎn)A2……第

n次移動(dòng)到點(diǎn)A3,則點(diǎn).&oi9的坐標(biāo)是().

A.(l010,0)B.(l010,1)C.(l009,0)D.(l009,1)

3.在平面直角坐標(biāo)系中，若干個(gè)邊長為1個(gè)單位長度的等邊三角形按下圖的規(guī)律擺放，點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā)，以

每秒1個(gè)單位長度的速度沿著等邊三角形的邊“。乙—A.A2-A2A3-A3A4t4力5…的路線運(yùn)動(dòng).設(shè)第n秒運(yùn)

動(dòng)到點(diǎn)P"n為正整數(shù)),則點(diǎn)P2019。的坐標(biāo)是_________.

模型二坐標(biāo)系中點(diǎn)的對(duì)稱

模型2-1關(guān)于直線對(duì)稱

場景：如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有一點(diǎn)A(x,y),直線x=a,直線y=b.

結(jié)論：點(diǎn)A關(guān)于直線x=a對(duì)稱的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為A1(2a-x,y),特別地，點(diǎn)A(x,y)關(guān)于直線x=0(即y軸，a=0)

對(duì)稱的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為A1(-x,y);

y\4,

-x={1.14

(-1.59,1.85)(-1.59,1.85)(3.87,1.85)

A9Ar--

X

0涔笳「Q

(-1.59,-3.13)

點(diǎn)A(x,y)關(guān)于直線.y=6對(duì)稱的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為-y),

特別地.點(diǎn)A(x,y)關(guān)于直線.y=0(BPxffl.6=0))對(duì)稱的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為點(diǎn)A(x,y)關(guān)于直線.y=

x(即第一、三象限的角平分線)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為.4'。，久).

模型2-2關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱沖點(diǎn)的坐標(biāo)公式)一黃金法則一

場景如圖，點(diǎn)P(a,b)是點(diǎn)4(%/，%)與點(diǎn)8(%山油))的中點(diǎn)，也可以說點(diǎn)A,B關(guān)于點(diǎn)P成中心對(duì)稱.

結(jié)論：P點(diǎn)的坐標(biāo)為((誓，制藥).

y\y\

(3.45,3.89)

?B

U>(-0.73,0*8、

P?

...............0/PX

(-4.91,-2.52)(-4.9^2.52)!

A~A

拓展:點(diǎn)A(x,y)關(guān)于點(diǎn)P(a,b)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為.A(2a-x，26-y)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，如果把點(diǎn)A繞某點(diǎn)

P旋轉(zhuǎn)180。得到點(diǎn)B,則點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn).

精選例題

例如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點(diǎn)A在第一象限，點(diǎn)B,C的坐標(biāo)分別為(2,1),(6,D,/BAC=9(F,A

B=AC,直線AB交y軸于點(diǎn)P.若△ABC與小ABC關(guān)于點(diǎn)P成中心對(duì)稱，則點(diǎn)A，的坐標(biāo)為().

A.(-4,-5)B.(-5,-4)

C.(-3,-4)D.(-4,-3)

解析

題目中△人8(2與4ABC關(guān)于點(diǎn)P成中心對(duì)稱,那么點(diǎn)A與4也關(guān)于點(diǎn)P成中心對(duì)稱，也可以理解為點(diǎn)P

是AA，的中點(diǎn).如果求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求出點(diǎn)4的坐標(biāo)，所以此題的關(guān)鍵是求出點(diǎn)A,P的

坐標(biāo).而點(diǎn)A,P同在直線AB上，故可先求出關(guān)于點(diǎn)A,P的一次函數(shù)的解析式.

解：點(diǎn)及(2的坐標(biāo)分別為(2,1),(6,1),n8a=90°,AB=AC,；.△ABC是等腰直角三角形，，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4,3).

設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b,則《二:Q解得｛:「匕

直線AB的解析式為y=x—1,

令x=0,則y=-l,.?.點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,-1).

又；點(diǎn)A與點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)P成中心對(duì)稱，，點(diǎn)P為.24的中點(diǎn)

設(shè)A，(m,n),則等=0,等=-1.

m=-4,n=-5,.?.點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-4,-5).

故選A.

精選練習(xí)

1.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(4,2)關(guān)于直線.x=l的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是______.

2.如圖，將正方形網(wǎng)格放置在平面直角坐標(biāo)系中，其中，每個(gè)小正方形的邊長均為1,點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo)分別為(0,

3),(-l,l),(3,l).AAEC是△4BC關(guān)于x軸的對(duì)稱圖形，將△4次廣繞點(diǎn)?逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180。,點(diǎn)4的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為M,

則點(diǎn)M的坐標(biāo)為.

場景：如圖，PA=PB,PA1PB,,可以理解為把PA順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到PB,或把PB逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得

到PA.

作輔助線：作CD1y軸.AC1CD,BD1CD.

結(jié)論:(CP=DB,AC=PD.(可以得到“一線三等角”全等模型，詳見“幾何小綜合篇”相關(guān)部分)

特別地.如果點(diǎn)A的坐標(biāo)為(a,b)把PA繞P(0,0)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90。得到點(diǎn)B，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為(土b,土a),其中“土”取決

于AB點(diǎn)所在的象限和旋轉(zhuǎn)方向.

應(yīng)用：在平面直角坐標(biāo)系中出現(xiàn)相等線段互相垂直或者出現(xiàn)45。角時(shí)，可以圍繞45。角構(gòu)造直角等腰三角形，

然后構(gòu)造“一線三等角”全等模型即可.

精選例題

例如圖，在平面直角坐標(biāo)中，一次函數(shù)y=-4%+4的圖象與X軸、y軸分別交于A,B兩點(diǎn).正方形ABCD

的頂點(diǎn)C,D在第一象限，頂點(diǎn)D在反比例函數(shù)丫=^也手0)的圖象上?若正方形ABCD向左平移n個(gè)單位長度

后，頂點(diǎn)C恰好落在反比例函數(shù)的圖象上,則n的值是________.v

解析

可以把AD看作AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。的結(jié)果，把BC看作AB繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。的結(jié)果，這樣

通過構(gòu)造“一線三等角”全等模型求出點(diǎn)C,D的坐標(biāo)和反比例函數(shù)的解析式，點(diǎn)C向左移動(dòng)n個(gè)單位長度后為(

(4-n>5),進(jìn)而求n的值.

解過點(diǎn)D作。E1x軸，過點(diǎn)C作CF，y軸.

???AB1AD,???乙BAO=Z-ADE

VAB=AD,ZBOA=ZDEA,

???AABO^ADAE(AAS),

.\AE=BO,DE=OA.

易求點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,4),

.??點(diǎn)D的坐標(biāo)為(5,1).

???頂點(diǎn)D在反比例函數(shù)y=

；.k=5,反比例函數(shù)的解析式為y=j.

易證△CBF^ABAO(AAS),

/.CF=4,BF=1,

.?.點(diǎn)C的坐標(biāo)為(4,5).

vc向左移動(dòng)n個(gè)單位長度后的坐標(biāo)為((4-n-5),

.*.5(4-n)=5,n=3,

故答案為3.

精選練習(xí)

1.如圖，在RtAABC中,/ABC=9(r,C(0,3),CD=3ADj^A在反比例函數(shù)y=月勺圖象上，且y軸平分/ACB,則k

2.如圖直線y=1+4與x軸、y軸分別交于A,B兩點(diǎn)，把△AOB繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。后得到△A、OxB,

則點(diǎn)Ai的坐標(biāo)是.

解題策略非90。角的旋轉(zhuǎn)

對(duì)于旋轉(zhuǎn)角度不是90。的盲況，則要充分利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：

1.對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)、旋轉(zhuǎn)中心構(gòu)成等腰三角形；

2.旋轉(zhuǎn)角相等.

其中較復(fù)雜的常運(yùn)用“一線三等角”構(gòu)造全等或相似進(jìn)行解答.

精選例題

例如圖，四邊形ABCO是平行四邊形，。/1=2,4B=6,,點(diǎn)C在x軸的負(fù)半軸上，將口ABCO繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋

轉(zhuǎn)得到平行四邊形ADEF,,AD經(jīng)過點(diǎn)O，點(diǎn)F恰好落在x軸的正半軸上.若點(diǎn)D在反比例函數(shù)y=/<0)的

圖象上，則k的值為.

解析

要求k的值，需先求出點(diǎn)D的坐標(biāo).而點(diǎn)D在直線AD上,需確定其位置.根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及平行四邊形的

性質(zhì)，得出/-BAO=AAOF=ZXFO=^OAF=60°,,這就轉(zhuǎn)化成(60。角的旋轉(zhuǎn)問題.

解如圖，過點(diǎn)D作DM1無軸于點(diǎn)M,

由題意,可得乙BAO=/.OAF.AO=AF,AB\\OC,

貝（IZBXO=ZXOF=^AFO=/.OAF,

故^AOF=60°=乙DOM.

■.OD=AD-OA=AB-OA6-2=4,

MO=2,MD=2V3,

???D（-2--2V3）,

k=-2x（—2V3）=4V3.

故答案為4V3.

精選練習(xí)

L如圖，Rt△OCB的斜邊在y軸上，(OC=百，含30。角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，直角頂點(diǎn)C在第二象限.將RtA

0cB繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。后得到.△OCB',,則點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn).的坐標(biāo)是().

X.(V3--1)B.(1--V3)C.(2,0)D.(V3-0)

2.如圖,已知點(diǎn)A(2,0),B(0,4),C(2,4),D(6,6),連接AB,CD,將線段AB繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度，使其與線段CD

重合(點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，點(diǎn)B與點(diǎn)D重合),則這個(gè)旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)為.

精選練習(xí)

模型一

1.(7,0)

2.解:已知以下點(diǎn)的坐標(biāo):A1(1,0),A2(1,1),A3(2,1),A4(2,0),AS(3,0),A6(3,1),...,

2019-4=504.......3,

所以A?oi9的坐標(biāo)為(504義2+2,1).

則A?。i9的坐標(biāo)是(1010,1),故選B.

3.解析：由圖可找到規(guī)律，每6個(gè)點(diǎn)為一個(gè)循環(huán)單位，將點(diǎn)P的坐標(biāo)分解為橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，分別求出即可.

解：由圖可知，每移動(dòng)一次，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)增加，.第2019個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為誓,，縱坐標(biāo)的規(guī)律為當(dāng)。，V3,

o,-&,o,…,2019+6=336……3,...第2019個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為V32.

故答案為(等號(hào)).

模型二

1.解:：點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4,2),

???點(diǎn)P到直線x=l的距離為4-14滴點(diǎn)P關(guān)于直線x=l的對(duì)稱點(diǎn)P到直線x=l的距離為3,

點(diǎn)P'的橫坐標(biāo)為1-3=-2,一1一J(4,2)

對(duì)稱點(diǎn)P'的坐標(biāo)為(-2,2r-------oTI---------

故答案為(22).

2.解:將△AEC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋必180。,如圖所示：

所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-2,1)故答案為(21).模型三

1.解:如圖作AELx軸于點(diǎn)E,易得△CODs^AED.

又,/CD=3AD,C(0,-3)