2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：遇到圓怎么作輔助線

遇到圓怎么作輔助線

11.1垂徑定理

知識儲備

1.垂徑定理的相關(guān)知識

(1)垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧.數(shù)學(xué)語言表述如下：

①CD是直徑，可推得②CD_LAB,③AM=BM,⑤AD=BD.@Ac=Bc

(2)垂徑定理的推論：平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.數(shù)學(xué)語言表述如下：

CD±AB,

舊CD是直徑,

x如圖，

AM=BM

[AD=BD.

(3)垂徑定理及相關(guān)命題如下表所示：

條件結(jié)論命題

①②③④⑤垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧

①③②④⑤推論：平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧

①④②③⑤

平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧

①⑤②③④

②③①④⑤弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分這條弦所對的兩條弧

②④①③⑤垂直于弦并且平分弦所對的一條弧的直線經(jīng)過圓心，并且平分弦和它所對

②⑤①③④的另一條弧

③④①②⑤平分弦并且平分弦所對的一條弧的直線經(jīng)過圓心，垂直于弦，并且平分弦

③⑤①②④所對的另一條弧

④⑤①②③平分弦所對的兩條弧的直線經(jīng)過圓心，并具垂直平分弦F

2.垂徑定理的應(yīng)用思路

構(gòu)造直角三角形」求線段的長

勾股定理

例題詳析

例：點P是圓外一點，點M,N分別是弧油，麗的中點，求證："EF為等腰三角形.

思I維I路咯

專題十一I遇到圓怎么作輔助線

【解析】連接OMQN,分別交AB,CD于點G,H.

：M,N分別為弧腦，麗的中點，

???0M1AB,ON1CD,即乙MGE=乙NHF=90°.

又’OM=ON,ZM=AN,?-?Z.MEG=乙NFH.

乙MEG=乙PEF,4NFH=乙PFE,,

???Z-PEF=Z-PFE,??.PE=PF,

.'.APEF為等腰三角形.

跟蹤訓(xùn)練

1.半圓形紙片的半徑為1cm,用如圖所示的方法將紙片對折，使對折后半圓弧的中點M與圓心O重合，則折痕CD

的長為cm.

M

2.如圖所示，已知AB是OO的弦，C是屈的中點，AB=8,AC=2低求。O的半徑.

3.如圖,。O是.△4BC的外接圓，圓心O在這個三角形的高AD上，AB=10,BC=12,求0O的半徑.

中I考I實戰(zhàn)

4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點。為坐標(biāo)原點，點P在第一象限,。P與x軸交于0,A兩點，點A的坐標(biāo)為(6,0),G>P

的半徑為則點P的坐標(biāo)為.

Ax

5.如圖，在△ABC中，已知UCB=130°,Z.BAC=20°,BC=2,以點C為圓心，CB長為半徑的圓交AB于點D,則BD

的長為—.

6.如圖所示,AB是。O的直徑,AE是弦,C是劣弧AE的中點過C作(CD1AB于點D,CD交AE于點F,過點C作

CG||4E,交BA的延長線于點G.

(1)求證:CG是。。的切線.

(2)求證:AF=CF.

(3)若Z.EAB=30°,CF=2,,求GA的長.

1L2無切點，證切線

L直線與圓的位置關(guān)系

直線與圓的位置關(guān)系可以用圓心到直線的距離d和圓的半徑r的大小關(guān)系來判別.

直線和圓相交—dvr

直線和圓相切-d=r

直線和圓相離一d>r

⑴定義：直線和圓只有一個公共點，這時說這條直線和圓相切.

(2)當(dāng)圓心到直線的距離等于圓的半徑時，直線和圓相切.

基本圖形

一

0B^0B

已知條件已知直線AB和圓0

輔助線作法過點0作OC垂直AB,交AB于點C

可用結(jié)論當(dāng)OC的長等于圓0的半徑時，AB是圓0的切線

理論依據(jù)當(dāng)圓心到直線的距離等于圓的半徑時，直線和圓相切

例題詳析

例:如圖，在AABC中,.NC=90。,,點O,D分別為AB,BC的中點，作。O與AC相切于點E,在AC邊上取一點F，使

DF=DO.

⑴求證:DF是。。的切線.

⑵若sinB=亨,CF=2,求。。的半徑.

A

思I維路I徑

【解析】(1)作OGLDF于點G,連接0E.

:點0,D分別為AB,BC的中點,

BD=DC,BO=OA,OD//AC,ZODG=ZDFC.

ZOGD=ZDCF=90°,OD=DF,

AOGD^ADCF(AAS),OG=CD.

AC是。O的切線,OE_LAC,ZAEO=ZC=90°,.\OE〃BC.

又VOD//CE,...四邊形CDOE是矢巨開么

CD=OE,OG=OE,.\DF是。O的切線.

⑵設(shè)OE=x,貝?。軧D=DC=OE=x.

???sinB=立,NB=60",

2

???在RtAOBD中,(OD=BD-tan60°=V3x,:.DF=V3x.

??,在RtADCF中,DF2=CF2+DC2,??.(V3x)2=22+解得x=OO的半徑為V2.

對I點鞏I固

1.如圖，AB是半圓O的直徑，射線.AC128于點A,點P是射線AC上一動點，連接BP,將△2BP沿BP翻折，點A

落在點,4處，過點4作直線

⑴當(dāng)Z.ABP=15。時,求證：EF是半圓。的切線.

(2)點P在射線AC上繼續(xù)向上運(yùn)動，直線EF是否會再次與半圓O相切，若相切，求出.NABP的度數(shù)；若不相切，

請說明理由.

C

EA'F

l

AOB

2.如圖在△ABC中，。為AC上一點，以點0為圓心，0C長為半徑作圓，該圓與BC相切于點C,過點A作AD1

B0,,交BO的延長線于點D,且AAOD=/.BAD.

(1)求證:AB為。。的切線.

⑵若BC=6,tanzXBC=*求。。的半徑和AD的長.

3.如圖，已知△04B中,。2=0B=10,sinB=*以點O為圓心，12為直徑的。O交線段OA于點C,交直線OB于

點E,D,連接CD,EC.

⑴求證:AB為OO的切線.

⑵在⑴的結(jié)論下,連接點E和切點，交OA于點F,求CF的長.

中I考I實戰(zhàn)

4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以點O為圓心的圓分別交x軸的正半軸于點M,交y軸的正半軸于點N.劣弧MN

的長為聲，直線y=-疑+4與x軸、y軸分別交于點A,B.

⑴求證:直線AB與。O相切.

(2)求圖中所示的陰影部分的面積(結(jié)果用兀表示).

11.3有切點，證切線

切線判定的相關(guān)知識

(1)切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.

(2)應(yīng)用判定定理時的注意事項：

①切線必須滿足兩個條件：一是經(jīng)過半徑的外端；二是垂直于這條半徑.

②切線的判定定理實際上是從“圓心到直線的距離等于半徑時，直線和圓相切”這個結(jié)論直接得出來的.

③在判定一條直線為圓的切線時，當(dāng)已知條件中未明確指出直線和圓是否有公共點時，常過圓心作該直線的

垂線段，證明該線段的長等于半徑，可簡單地說成“無交點，作垂線，證半徑”；當(dāng)已知條件中明確指出直線與圓

有公共點時，常連接過該公共點的半徑，證明該半徑垂直于這條直線，可簡單地說成“有交點，作半徑，證垂直”.

基本圖形

已知條件直線AB與圓0有公共點B,求證AB為圓0的切線

輔助線作法連接OB

方法歸納證NOBA=90。廁當(dāng)/OBA=90。時,AB為圓0的切線

例題詳析

例：如圖所示，是△ABD的外接圓，點C在直徑AB的延長線上，^CAD=乙BDC.

(1)求證:CD是。。的切線.

⑵若CD=3,BC=2,.求。O的半徑.

思I維I路徑

【解析】⑴連接OD.

OD=OB,.\ZDBA=ZBDO.

VAB是。0的直徑,，ZADB=90°,

ZDAB+ZDBA=90°.

VZCAD=ZBDC,

，ZBDC+ZBDO=90°,BPODXCD.

：D為。O上的一點，

.??直線CD是。。的切線.

(2)VZC=ZC,ZCAD=ZBDC,

.?.△BDC-^ADAC,

CD_BC3_2

??AC一C。'r2+AB~3'

解得AB的半徑為J.

Z4

對I點鞏I固

1.如圖，在A4BC中.NC=90°,BD平分乙4BC”點O是邊AB上一點，以點O為圓心，以O(shè)B長為半徑作圓，。0恰好經(jīng)

過點D.

⑴求證:直線AC是OO的切線.

⑵若乙4=30°,OO的半徑是2,求線段CD的長.

2.如圖,AB是。O的直徑，點C是。O上一點.連接AC,BC,過點C作乙BCP=ZBXC,CP交AB的延長線于點P,弦CD平

分.”CB,,且交AB于點E,連接AD,BD.

⑴求證:PC為。O的切線.

(2)若0C=5,0E=1,求PC的長.

中I考I實戰(zhàn)

3.如圖,。O與△A8C的AC邊相切于點C,與AB,BC邊分別交于點D,E,DE\\OA,CE是。O的直徑.

⑴求證:AB是。。的切線.

⑵若BD=4,EC=6,求AC的長.

4.如圖,AB是。O的弦，過點O作(0C1OA,OC交AB于點P,且PC=CB.

(1)求證:BC是。。的切線.

⑵已知^BAO=25。,點Q是瘋S上的一點.

①求乙4QB的度數(shù)；

②若=18,求弧而B的長.

11.4有切線，弦切角

1.圓的切線

⑴切線的性質(zhì).

①圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑.

②經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點.

③經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心.

(2)切線的性質(zhì)可總結(jié)如下.

如果一條直線符合下列三個條件中的任意兩個，那么它一定滿足第三個條件，這三個條件是：①直線過圓心；

②直線過切點；③直線與圓的切線垂直.

⑶切線性質(zhì)的運(yùn)用.

由切線的判定定理可知，若出現(xiàn)圓的切線，必連過切點的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系.簡記作：見切

點，連半徑，證垂直.

2.弦切角的相關(guān)知識(拓展內(nèi)容)

⑴弦切角：頂點在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角.

(2)弦切角定理：弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧所對的圓心角的度數(shù)的一半.

如圖所示，直線PT切圓O于點C,BC,AC為圓O的弦，則有NPC4=NPBC(NPC4為弦切角).

超級模型

基本圖形

1.匚

pJP

已知條件已知AP是0O的切線,AB是弦,PB交。O于點C

輔助線作法連接AC,連接A0并延長交。0于點D,連接BD

可用結(jié)論NACB=NPAB

AP是。O的切線，,ZOAP=ZOAB+NPAB=90。.又；AD是。O的直徑,ZABD=90°,Z

理論依據(jù)OAB+ZODB=90°,.\NPAB=NODB（同角的余角相等）.又：NACB=NODB（同弧所對的圓周角相

等）,.?.NACB=NPAB

弦切角定理證明比較簡單，所以不作為教材必備內(nèi)容，故在解答題中使用時要書寫證明過程,

而在非解答題中可以直接應(yīng)用

例題詳析

例：如圖，半徑為1的。M經(jīng)過平面直角坐標(biāo)系的原點O,且與x軸、y軸分別交于點A,B，點A的坐標(biāo)為

（（V3>0）,OM的切線OC與直線AB交于點C.則.乙4。。=度.

思I維I路I徑、斗

已知：半徑為1的。M

點”的坐標(biāo)為（方,0）

□中各角度數(shù)、

乙BOC=/-BAO）

【解析】AB=2,0A=V3,.-.cosNB力。=籌=y,-^OAB=30。，二^OBA=60°

VOC是0M的切線,；.乙BOC=4BAO=30°,

AACO=AOBA-Z.BOC=30。.故答案為30.

對I點鞏I固

1.如圖，直線AD與△ABC的外接圓相切于點A,若NB=60。,,則《人口等于（）

A.30°B.60°C.90°D.1200

A

E-

（第1題圖）（第2題圖）

2.如圖,AB是。。的直徑,DB,DE分別切。。于點B,C,若NACE=25。,,則ND的度數(shù)是（）

A.50°B.55°C.60°D,65°

3.如圖,AB是圓O的直徑，圓O交BC于點D,且D是BC的中點,DELAC于點E,連接AD,有下列結(jié)論:

①AD_LBC;②/EDA=/B;③OA=|AC;(@DE是。O的切線.

G

其中，正確結(jié)論的個數(shù)是

A.lB.2C.3D.4

中I考I實戰(zhàn)

4.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于。O,AB是。0的直徑CE切。0于點C,AE1CE且交。0于點D.

求證:⑴DC=BC;

(2)SC2=AB-DE.

1L5直角、直徑的互化

圓周角定理

⑴定義：頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角.

注意：圓周角必須滿足兩個條件：①頂點在圓上，②角的兩條邊都與圓相交，二者缺一不可.

(2)定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.

⑶推論1:同弧或等弧所對的圓周角相等.

(4)推論2：半圓(或直徑)所對的圓周角是直角，90。的圓周角所對的弦是直徑.

⑸在解圓的有關(guān)問題時，常常需要添加輔助線，構(gòu)成直徑所對的圓周角，這種基本技巧一定要掌握.

超級模型

基本圖形

已知條件AB為0O的直徑

輔助線作法連接AD或AC

可用結(jié)論/ADB=/ACB=90°

在圓中，見直徑，可得直角；反之，若直角三角形為圓的內(nèi)接三角形，則直角所對斜邊為圓的直

徑(輔助圓中詳細(xì)講解)

例題詳析

例:如圖，在AABC中,AB=AC以AB為直徑的。O分別交AC于點D,交BC于點E,連接ED.求證:ED=EC.

思I維I路I徑

已知：以48為直徑的OO

作輔助線:連接力E

圓周角

定理

Z-AEB=9Q°

【解析】連接AE,

AB是0O的直徑，,ZAEB=90°.

?/AB=AC,.\BE=CE,ZBAE=ZCAE,

???-BE=-DE,

???BE=ED,???ED=EC.

對I點鞏I固

1.如圖,AB為(DO的直徑,點C在。O上,ADLCD于點D,且AC平分/DAB.

(1)求直線DC與。O的交點個數(shù)；

⑵已知。O的半徑長為3,AC=2愿，求AD的長.

11.6圓中的相交弦

相交弦定理（拓展內(nèi)容）

（1）定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，各弦被交點分成的兩條線段長的積相等（或經(jīng)過圓內(nèi)一點引兩條弦，各弦被這

點所分成的兩線段的積相等）.

幾何語言:在中，若弦AB,CD交于點P,則PA.PB=PCPD（相交弦定理）.

（2）推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項.

幾何語言:在。0中若AB是。O的直徑,CDJ_AB于點P,則.PC2=P4PB（相交弦定理的推論）.

基本圖形③一③

CC

已知條件?0中的兩條弦AB,CD相父于一點E

輔助線作法連接AC,BD

可用結(jié)論AAEC^ADEB;AEBE=DECE

如圖.連接AC,BD,；.ND=NA,NB=/C（同弧所對的圓周角相等），

AAECs4DEB（兩角對應(yīng)相等的三角形相似），

理論依據(jù)

CE

.?.器=gB,；.AE-BE=DE-

相交弦定理同弦切角定理一樣，非解答題可以直接應(yīng)用，解答題中要證明其正確性，即將上

應(yīng)用說明

面的理論依據(jù)重現(xiàn)即可

例題詳析

例：如圖，?O的半徑為5,弦AB的長為8,過AB的中點E有一動弦CD（點C只在油上運(yùn)動，且不與點A,B

重合），設(shè)EC=x,ED=y,下列能夠表示y與x之間函數(shù)關(guān)系的圖象是)

c

思I維潞I徑

【解析】如圖，連接AD,BC,貝［|/ADC=/ABC,/AED=NBEC,所以AADEs^CBE,所以AE-BE=DE-CE.^__^

因為弦AB的長為8,E為弦AB的中點，彳E

所以AE=BE=4,所以xy=16,即y=y.\\/

當(dāng)CD為。0直徑時，由。O的半徑為5知CE+DE=10,連接OB,OE,由垂徑定理及勾股定理可得OE=3,則

CE=2,DE=8,所以2<x<4.

故選C.

對I點鞏I固

L如圖，點P為弦AB上一點，連接0P,過點P作PC±OP,PC交0O于點C,若AP=4,PB=2,則PC=.

（第1題圖）（第2題圖）

2.如圖，C,D是以AB為直徑的半圓上的兩個點（不與點A,B重合）,連接DC,AC,DB,AC與BD交于點P,若/

APD=a，則.=一.

3.如圖，⑴已知：P為半徑為5的。O內(nèi)一點，過P點最短的弦長為8,則0P=

（2）在⑴的條件下，若。O內(nèi)有一異于P點的Q點，過Q點的最短弦長為6,且這兩條弦平行，求PQ的長.

（3）在（1）的條件下，過P點任作弦MN,AB,試比較PM-PN與PA?PB的大小關(guān)系，且寫出比較過程.

⑷在⑴的條件下，過P點的弦CD=g,求PC.PD的長.

中I考I實戰(zhàn)

4.如圖，已知AB為。0的直徑,C為。0上一點,（CD1AB于點D,AD=9,BD=4以C為圓心,CD長為半徑的圓與。0相交

于P,Q兩點弦PQ交CD于點E,則PEEQ的值是（）

pL-C\

A.24B.9C.6D.27

ODB

11.7切割線定理

1.切線長定理

⑴切線長：經(jīng)過圓外一點的圓的切線上，這點和切點之間線段的長，叫做這點到圓的切線長.

（2）切線長定理：從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線

的夾角.

2.切割線相關(guān)知識（拓展內(nèi)容）

⑴割線定義：直線與圓有兩個公共點時，這條直線叫做圓的割線.

⑵切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項.

幾何語言：

：PC切。0于點C,PBA是OO的割線（A,B是割線PBA與。0的交點），

??.PC2=PA-PB（切害!）線定理）.

（3）切割線定理的推論：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等.

幾何語言：

\-PBA,PDC是OO的割線（A,B是割線PBA與。0的交點,C,D是割線PDC與。0的交點），

PD.PC=PA-PB徹割線定理的推論）（割線定理）.

基本圖形

專題十一|遇到圓怎么作輔助線

續(xù)表

已知條件CP為圓0的切線,AB為圓0的割線,CP,AB交于點P

輔助線作法連接AC,BC,CO,并延長CO交圓0于點M,連接AM

可用結(jié)論△ACPsACBP,APBP=CP2

連接AC,BC,CO,并延長CO交圓0于點M,連接AM.

VPC是圓O的切線,；.OC_LPC,；.ZACP+ZACM=90°,

理論依據(jù)又；CM是圓O的直徑,，ZM+ZACM=90°,.\ZACP=ZM.

ZM=ZCBP,.\ZACP=ZCBP,

義：NAPC=NCPB（公共角）,.?.△ACPs/\CBP,；.AP:CP=CP:BP,/.APBP