2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：圓知識(shí)點(diǎn)歸納及練習(xí)

圓知識(shí)點(diǎn)歸納及練習(xí)

垂徑定理

知識(shí)提煉

名稱文字語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言圖示

CD是直徑

垂徑定垂直于弦的直徑平分弦，并

CD±AB于點(diǎn)MJ

理且平分弦所對(duì)的兩條弧

TAC=BC

AM=BM

垂徑定平分弦（不是直徑）的直徑垂直CD是直徑

理的推于弦，并且平分弦所對(duì)的兩CD交AB于點(diǎn)M

論條弧(AB不是直徑)r

RAC-BC)c

CD是直徑

平分弦所對(duì)的一條弧的直徑垂

^CDMAAB

直平分弦，并且平分弦所對(duì)

CD交AB于點(diǎn)M

的另一條弧

AC=BCAD=BDI2

z)

拓展

弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心，

并且平分弦所對(duì)的兩條弧

對(duì)于一個(gè)圓和一條直線，如果具備下列五個(gè)條件中的任意兩個(gè)，那么一定具備其他a三個(gè)（知二推

歸納

三）：①過(guò)圓心；②垂直于弦；③平分弦（非直徑）；④平分弦所對(duì)的劣?。虎萜椒窒宜鶎?duì)的優(yōu)弧.

注意：“垂徑定理”中的“徑"并不需要一定是直徑，有時(shí)候是“半徑”、有時(shí)候是“弦心距"還可以是其它

可以經(jīng)過(guò)圓心的線段（或直線），總之：“過(guò)圓心”是其特征。

基本圖1基本圖2

垂徑基本圖1：“雙垂徑”，多用于已知圓內(nèi)有“垂直弦”，并且求其中的一條弦長(zhǎng)或和弦長(zhǎng)相關(guān)聯(lián)的其他線

段長(zhǎng)。方法：作2條垂徑，用2次勾股，矩形“導(dǎo)邊”。

垂徑基本圖2:“過(guò)圓內(nèi)定點(diǎn)（N）的弦”，根據(jù)垂徑+勾股定理得：AB=2尸二7落又hWd,故當(dāng)h=d時(shí)，弦

長(zhǎng)AB有最小值，此時(shí)ON為AB的垂徑。當(dāng)弦AB過(guò)圓心（變直徑）時(shí)，弦長(zhǎng)有最大值。

弧、弦、圓心角的關(guān)系定理

知識(shí)提煉

圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角.

①在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等；②在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，

那么它們所對(duì)的圓心角相等，所對(duì)的弦也相等；③在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對(duì)的圓

心角相等，所對(duì)的優(yōu)弧或劣弧也相等.

弧、弦、圓心角之間的關(guān)系

名稱文字語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言圖示

在同圓或等圓中，相等

定理的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)NAOB=NCODo{AB=CD

的弦也相等

在同圓或等圓中，如果

兩條弧相等，那么他們所對(duì)的AB=CD=[NAB=二NCOD

圓心角相等，所對(duì)的弦相等

重要結(jié)

論在同圓或等圓中，如果

兩條弦相等，那么他們所對(duì)的

AB=CD=>{ZAB=ZCOD

圓心角相等，所對(duì)的優(yōu)弧、劣

弧相等

不能忽略“在同圓或等圓中”這個(gè)前提條件，如果丟掉了這個(gè)前

提條件，即使圓心角相等，所對(duì)的弧、弦也不一定相等。如右圖所

注意

示，兩個(gè)圓的圓心相同，AB與AE對(duì)應(yīng)同一個(gè)圓心角.但ABWAE,

AB^A'B'

規(guī)律總在同圓或等圓中，兩條弧（一般同為劣弧或優(yōu)?。?、兩條弦、兩個(gè)二圓心角中，中只要有一組量

結(jié)相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量也分別相等

模型快練

1.如圖,AB為。O的直徑,C,D分別是OA,OB的中點(diǎn),（CF1AB,ED14B,點(diǎn)E,F都在。O上.求證:⑴

CF=DE(2)AF=EF=BE(3)AE=2CF

圓周角、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)

知識(shí)提煉

圓內(nèi)接多邊形：

如果一個(gè)多邊形的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，這個(gè)多邊形叫做圓內(nèi)接多邊形，這個(gè)圓叫做這個(gè)多邊形

的外接圓.

圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì):

圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)；圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)對(duì)角.

圓周角：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角.

圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半.

圓周角定理的推論：

①在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓周角相等，它們所對(duì)的弧一定相等；

②半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90。的圓周角所對(duì)的弦是直徑.

模型快練

1.（2017武漢元調(diào)）如圖,OA,OB,OC都是。O的半徑,ZAOB=2ZBOC.

⑴求證：ZACB=2ZBAC;

⑵若AC平分/OAB,求/AOC的度數(shù)

B

垂直弦的平行弦解決方案

知識(shí)提煉

平行弦的性質(zhì)：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。

M

證明方法：1.過(guò)0作垂徑，利用垂徑定理證明；

2.連AD,相等的圓周角所對(duì)的弧相等。

模型快練

1.（2020?武鋼實(shí)驗(yàn)）如圖,在△4BC中"tan^BACxtan^ABC=1,?O經(jīng)過(guò)A,B兩點(diǎn)分別交AC,BC于D,E

兩點(diǎn)若.DE=10MB=24,則。O的半徑為.

cEB

2如圖,四邊形ABCD是。O的內(nèi)接四邊形,.AC1BD于點(diǎn)P,半徑T=6,BC=8,則tern/。。!=,

定弦定角

知識(shí)提煉

【基本方法】圓周角定理的逆運(yùn)用，用于解決，隱圓問(wèn)題”，“軌跡”、“動(dòng)點(diǎn)等。

模型快練

1.如圖,M,N是正方形ABCD的邊CD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足AM=BN,連接AC交BN于點(diǎn)E,連接DE交AM

于點(diǎn)F,連接CF.若正方形的邊長(zhǎng)為2,則線段CF的最小值是_____.

2.如圖,在邊長(zhǎng)為2的等邊△ABC中,D,E分別是BC,AC上的兩點(diǎn)，且BD=CE,AD與BE相交于點(diǎn)M.當(dāng)點(diǎn)D

從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C的過(guò)程中，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為

A

E

c

BD

圓的折疊

知識(shí)提煉

本質(zhì)：軸對(duì)稱、兩個(gè)等圓的相交問(wèn)題（圖2）

補(bǔ)充概念：

如圖2,OCT為兩圓的連心線，AB為兩圓的公共弦，對(duì)于等圓，連心線和公共弦互相垂直平分，即:四邊

形AOBO為菱形。

高頻考點(diǎn)：

如圖3，根據(jù)“在同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧相等”，可知：AC=AD,從而得到AC=AD（作

等弦是這類題型常見(jiàn)的輔助線），根據(jù)等腰三角形性質(zhì)，有三線合一，關(guān)聯(lián)垂徑定理、勾股定理，一般會(huì)考

查到“方程思想工

模型快練

1.如圖,AB是0O的直徑.BC是。O的弦,先將BC沿BC翻折交AB于點(diǎn)D.再將BD沿AB翻折交BC于點(diǎn)

E.若BE=DE,設(shè)/ABC=a,貝!Ja所在的范圍是（）

A.21.9°<a<22.3°8.22.3°<a<22.7°

C.22,7°<a<23.1°0.23.1°<a<23.5°

A

阿基米德折弦定理

知識(shí)提煉

AB、BC是圓0的兩條弦,M是弧ABC的中點(diǎn)，MD1BC于D,則AB+BD=CD

模型快練

1.試證明阿基米德折弦定理和推論一、二

2.已知,△ABC內(nèi)接于。O,AC為。O的直徑，點(diǎn)D為優(yōu)弧BC的中點(diǎn).

⑴如圖1,連接OD,求證:AB\\OD-,

⑵如圖2,過(guò)點(diǎn)D作,DE14C,垂足為E.若.AE=3,BC=8,求。0的半徑.

3.如圖，。。是△力的外接圓,AC為直徑，弦BD=BA,BE1DC交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

⑴求證:N1=乙BCE;

⑵求證:BE是。。的切線；

(3)若EC=1,CD=3,求cos乙DBA.

D

定弦張角最大模型

知識(shí)提煉

如圖，A為定長(zhǎng)線段BD上的定點(diǎn)，C在過(guò)D點(diǎn)且與BD垂直的直線上運(yùn)動(dòng)，試通過(guò)作圖的方法找出.

【核心解讀】米勒角問(wèn)題，最終都可以轉(zhuǎn)化為“切割線問(wèn)題”，當(dāng)切割互垂的時(shí)候，可以用勾股定理、垂徑

定理求解；推廣到一般情形，切割線的夾角不是90。時(shí)，用“切割線定理”（子母形相似）比較簡(jiǎn)單。

模型快練

1.已知,C在x軸正半軸上運(yùn)動(dòng),A（0,2）,B（4,6）,當(dāng)乙4cB最大時(shí)，求C點(diǎn)坐標(biāo)。

內(nèi)心圖（任意角+直角）

圖解模型

【基本結(jié)論】MB=MC=MI

左圖：等腰圖基本結(jié)論（中位線、雙勾）；對(duì)角互補(bǔ)（任意角）

右圖：對(duì)角互補(bǔ)(雙直角)

模型快練

1.如圖，OO的直徑AB_1_弦CD于點(diǎn)E,F是弧AD的中點(diǎn),CF交AB于點(diǎn)I,連接BD,AC,AD.

(1)求證:BI=BD-,

⑵若01=1,0E=2,求。0的半徑.

切線長(zhǎng)定理

圖解模型

基本結(jié)論&方法：

切線長(zhǎng)定理：PA=PB、AAPO=乙BPO、、PO垂直平分AB

雙等腰=射影定理、面積法

點(diǎn)I為AP4B的內(nèi)心

模型快練

L如圖,四邊形ABCD,乙4DC=90°,AB=6,AD=8,,00切AB、CD于B、C兩點(diǎn)，切AD于點(diǎn)E,求BC的

長(zhǎng)

B

三角形內(nèi)切圓半徑

知識(shí)提煉

1.直徑三角形內(nèi)切圓半徑（拓展到旁切圓半徑）

基本結(jié)論&方法：

左圖（內(nèi)心）r=a+b~C-,r=

右圖（旁心）r=手;r=

2.任意三角形內(nèi)切圓半徑

a+b+c

模型快練

《教書九章》是我國(guó)南宋時(shí)期杰出數(shù)學(xué)家秦九韶的著作，書中提出了已知三角形三邊a,b,c求面積的公

式S=J；|c2a2-仔*節(jié)若三角形的三邊%4。分別為7,6,3,則這個(gè)三角形內(nèi)切圓的半徑是（）

VsnVs「Viop.Vio

正多邊形和圓的計(jì)算

知識(shí)提煉

名稱公式說(shuō)明

中心角a=360°a為中心角，n為邊數(shù)

R2=r2+

邊心距、邊長(zhǎng)、半徑間的關(guān)系式Rn為半徑,rn為邊心距,an為邊長(zhǎng)

a2

周長(zhǎng)公式Pn=n.anPn為正多邊形周長(zhǎng)，an為邊長(zhǎng)

面積公式sn=Prr,Pn為正多邊形的周長(zhǎng)，rn為邊心距

模型快練

1.如圖，正五邊形ABCDE和正三角形AMN都是。O的內(nèi)接多邊形，則乙BOM=.

2.如圖為一個(gè)邊長(zhǎng)相等的正方形EFGH和正六邊形ABCDEF組成的平面模具.已知A,E兩點(diǎn)的距離為2遍,現(xiàn)

用一個(gè)圓形紙片覆蓋這個(gè)模具，則該紙片的最小面積為.

3.如圖,已知AB是。O的直徑,AB=26，點(diǎn)C,D,H是。O上的點(diǎn),四邊形CDEF和EGHI都是正方形,其中點(diǎn)

G,E,F在AB上,則正方形EGHI的邊長(zhǎng)為

弧長(zhǎng)和扇形面積

知識(shí)提煉

弧長(zhǎng)的計(jì)算

弧長(zhǎng)公式：：鬻

loU

扇形面積的計(jì)算

扇形面積公式：S淺=喏="/?

球3602

弓形面積的計(jì)算

圖1圖2

如圖

如圖2,S可逆=S圓腳^+S40B

圓錐的計(jì)算

基本概念：連接圓錐頂點(diǎn)和底面圓周上任意一點(diǎn)的線段叫做圓錐的母線，連接圓錐頂點(diǎn)與底面圓心的線段叫

做圓錐的高.

圓錐的側(cè)面積和全面積

側(cè)面積公式：s側(cè)=nlr

全面積公式：S.=nlr+nr2

全

展開圖扇形圓心角度數(shù)="耍+4在9?360。，即:ri=>360。

圓錐側(cè)1

模型快練

1.一個(gè)圓錐的底面半徑r=10,高h(yuǎn)=20，則這個(gè)圓錐的側(cè)面積是（）

X.100V3TTB.200V3TTC.100V57T0.200V5TT

2.如圖，用半徑為3cm,圓心角為120。的扇形圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面，則這個(gè)圓錐的高為（）

A.2正B.V2C.V10D.|

3.如圖,半徑為10的扇形AOB中，乙4。8=90°,C為AB上一點(diǎn),CD1OA,CE1。5垂足分別為D,E.若

乙CDE=36。,則圖中陰影部分的面積為（）

A.10兀B.9KC.8KD.6兀

4.如圖,?O的半徑為2,AB,CD是互相垂直的兩條直徑，點(diǎn)P是。O上任意一點(diǎn)（P與A,B,C,D不重合）,經(jīng)過(guò)

P作PM1AB于點(diǎn)M,PNXCD于點(diǎn)N,點(diǎn)Q是MN的中點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)P沿著圓周轉(zhuǎn)過(guò)45。時(shí)，點(diǎn)Q走過(guò)的路徑長(zhǎng)

為（）

A.-B.-C.-D.-

4263

B

等腰三角形內(nèi)接于圓

圖解模型

條件：△4BC內(nèi)接于。O,AB=AC

結(jié)論：

1.垂徑.中位線A0_LBC;CG=BG;/0AC=/0AB;0G〃BC、0G=1B'C

2.角平分.全等.NME4=NBE4（可以反推等腰AB=4C）;AAMC=AANB;

3.雙勾股CG2=OC2-OG2=AC2-AG2

4.相似△B'CP△△04P（X形）;△B'CPA4PB（蝶形）;APAOAPB力（子母）；

5.角相等NCOG=NCAB=NCBB（常用于三角函數(shù)導(dǎo)角）

模型快練

1.如圖PA、PB分別與。。相切于A、B兩點(diǎn)AC是OO的直任"=4P,連接0P交AB于點(diǎn)D,連接

PC交。。于點(diǎn)E,連接DE了田女耍.1-

⑴求證:AABC^APDA;

（2）求承勺值；//

DE//\

B

2.如圖,在四邊形ABCD中,AD\\BC,AD1CD,AC=AB,QO為AABC的外接圓

⑴如圖1,求證:AD是。0的切線

⑵如圖2,CD交。0于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)A作.AG1BE,垂足為F,交BC于點(diǎn)G

①求證:AG=BG

①若4。=2,CD=3,求FG的長(zhǎng)

3.如圖,△ABC內(nèi)接于。O,AB=AC,,BD為。0直徑,連接A0,CD.

⑴求證:A0\\CD;

(2)若=8,48=4小.求