2024年中考數(shù)學(xué)考前沖刺復(fù)習(xí)：常考的規(guī)律探究問題

專題01?？嫉囊?guī)律探究問題

模型01數(shù)與式、圖形的規(guī)律問題

數(shù)式規(guī)律和圖形規(guī)律探究問題的特點(diǎn)是：問題的結(jié)論不是直接給出，而是給出一組具有某種

特定關(guān)系的數(shù)、式、圖形，或是給出圖形有關(guān)的操作變化過程，或某一具體的問題情境等，

要求通過觀察分析推理，探究其中蘊(yùn)含的規(guī)律，進(jìn)而歸納或猜想出一般性的結(jié)論.

模型02平面直角坐標(biāo)系中的規(guī)律問題（旋轉(zhuǎn)、平移、翻滾、漸變等）

平面直角坐標(biāo)系中的規(guī)律探究問題由于問題背景的不同，這類題的解題策略是曲特例觀察、

分析、歸納一般規(guī)律，然后利用規(guī)律解決問題.具體思維過程是“特殊…一般--特殊”.這

類問題體現(xiàn)了“特殊與一般”的數(shù)學(xué)思想方法，解答時往往體現(xiàn)“探索、歸納、猜想”等思維特

點(diǎn)，對分析問題、解決問題的能力具有很高的要求.

模型構(gòu)建

模型01數(shù)與式、圖形的規(guī)律問題

考|向|預(yù)|測

數(shù)與式、圖形的規(guī)律問題該題型主要以選擇、填空形式出現(xiàn)，難度系數(shù)不大，需要學(xué)生學(xué)會

分析各式或圖形中的“變”與“不變”的規(guī)律——重點(diǎn)分析“怎樣變”，應(yīng)結(jié)合各式或圖形的序號

進(jìn)行前后對比分析.主要考查學(xué)生閱讀理解、觀察圖形的變化規(guī)律的能力，關(guān)鍵是通過歸納

與總結(jié)，得到其中的規(guī)律，利用規(guī)律解決問題.

答|題|技|巧

第一步：讀懂題意，標(biāo)序號；

根據(jù)已有規(guī)律模仿或歸納推導(dǎo)隱藏規(guī)律，析各式或圖形中的“變”與“不變”的規(guī)律

第二步：

—重點(diǎn)分析“怎樣變”；

第三步：猜想規(guī)律與“序號”之間的對應(yīng)關(guān)系，并用關(guān)于“序號”的式子表示出來；

第四步：驗(yàn)證所歸納的結(jié)論，利用所學(xué)數(shù)學(xué)知識解答

例1.（2023湖南）

1.觀察下列按順序排列的等式：a1=l-1,a2=1-pa3=1-1,a'試猜想

324334o

第n個等式（n為正整數(shù)）：an=—.

例2.（2023?安徽）

2.（規(guī)律探究）如下圖，是由若干個邊長為1的小正三角形組成的圖形，第（2）個圖比第

⑴個圖多一層，第（3）個圖比第（2）個圖多一層，依次類推.

（1）（2）（3）

⑴第（9）個圖中陰影三角形的個數(shù)為一；非陰影三角形的個數(shù)為一.

⑵第"個圖形中，陰影部分的面積與非陰影部分的面積比是441：43,求明

（3）能否將某一個圖形中的所有小三角形重新拼接成一個菱形，如果能，請指出是第幾個圖

形，如果不能說明理由.

例3.（2023?江西）

3.規(guī)律探究與猜想：

①方程f一3尤+2=0的解為％=1,巧=2；

②方程d-5x+6=0的解為占=2,x2=3-

③方程f—7x+12=0的解為占=3,%2=4；

④方程d-9x+20=0的解為占=4,x2=5;

⑴根據(jù)以上各方程及其解的特征，請解答下列問題：

①方程f-19x+90=0的解為.

②第八個方程為其解為.

⑵請用公式法解方程V-9x+20=0,驗(yàn)證猜想結(jié)論的正確性.

模型02平面直角坐標(biāo)系中的規(guī)律問題

考|向|預(yù)|測

平面直角坐標(biāo)系中的規(guī)律問題（旋轉(zhuǎn)、平移、翻滾、漸變等）該題型也主要以選擇、填空

的形式出現(xiàn)，一般較為靠后，有一定難度，該題型需要分析變化規(guī)律得到一般的規(guī)律（如點(diǎn)

變的循環(huán)規(guī)律或點(diǎn)運(yùn)動的循環(huán)規(guī)律，點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)的變化規(guī)律等）.主要考查對點(diǎn)的坐標(biāo)

變化規(guī)律，一般我們需要結(jié)合所給圖形，找到點(diǎn)或圖形的變化規(guī)律或者周期性，最后利用正

確運(yùn)用數(shù)的運(yùn)算.

答|題|技|巧

第一

觀察點(diǎn)或圖形的變化規(guī)律，根據(jù)圖形的變化規(guī)律求出已知關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)；

步：

第二分析變化規(guī)律得到一般的規(guī)律看是否具有周期性（如點(diǎn)變的循環(huán)規(guī)律或點(diǎn)運(yùn)動的循

步：環(huán)規(guī)律，點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)的變化規(guī)律等）

周期性的求最小周期看余數(shù)，不是周期性的可以羅列求解幾組以便發(fā)現(xiàn)規(guī)律，根據(jù)

第三

最后的變化次數(shù)或者運(yùn)動時間登，確定要求的點(diǎn)與哪個點(diǎn)重合或在同一象限，或與

步：

哪個關(guān)鍵點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)相等；

第四

利用有理數(shù)的運(yùn)算解題

步：

旋轉(zhuǎn)型

例1.（2023?四川）

4.如圖所示，矩形ABOC的頂點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，8C=2,對角線04在第二象限的角平分

線上.若矩形從圖示位置開始繞點(diǎn)。以每秒45。的速度順時針旋轉(zhuǎn),則第2025秒時，點(diǎn)A的

對應(yīng)坐標(biāo)為（）

平移型

例2.（2023?杭州）

5.如圖，直角坐標(biāo)平面xOy內(nèi)，動點(diǎn)P按圖中箭頭所示方向依次運(yùn)動，第1次從點(diǎn)（-1,

0）運(yùn)動到點(diǎn)（0,1）,第2次運(yùn)動到點(diǎn)（1,0）,第3次運(yùn)動到點(diǎn)（2,-2）,……，按這樣

的運(yùn)動規(guī)律，動點(diǎn)P第2018次運(yùn)動到點(diǎn)

一(0,1)(父)

(-1,0)/\(1,0)/\(5,0)

->

x

A.(2018,0)B.(2017,0)C.(2018,1)D.(2017,-2)

翻滾型

例3.(2023?安徽)

6.如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，4444,AAAA,A44,L都是等邊三角形，

其邊長依次為2,4,6,L其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2,0）,點(diǎn)4的坐標(biāo)為（I,-石），點(diǎn)4的坐標(biāo)

，按此規(guī)律排下去，則點(diǎn)Aoo的坐標(biāo)為（）

C.(2,5073)D.(2,51右)

強(qiáng)化訓(xùn)練

7.我國古代數(shù)學(xué)家楊輝發(fā)現(xiàn)了如圖所示的三角形，我們稱之為“楊輝三角”，我們把第2行

從左到右數(shù)第1個定為?（2,1），我們把第4行從左到右數(shù)第3個定為。（4,3）,由圖我們可以

知道：?（2,1）=1,?（4,3）=3,按照圖中數(shù)據(jù)規(guī)律，。（8,5）+09,6）的值為.

1

14641

15101051

1615201561

8.如圖，找出其變化的規(guī)律，則第1349個圖形中黑色正方形的數(shù)量是.

□■口.

■■■■■■■■■■■■■■

(1)(2)(3)(4)(5)

9.如圖，第1個圖用了6枚棋子擺成；第2個圖用了9枚棋子擺成；第3個圖用了12枚棋

子擺成.....；按圖中所示規(guī)律，第〃個圖需要棋子_______枚.

圖1圖2圖3

10.如圖圖形是同樣大小的小五角星按一定規(guī)律組成的，按此規(guī)律排列，則第〃個圖形中小

五角星的個數(shù)為()

☆圖表

☆☆☆

☆☆☆☆☆☆☆☆☆

☆☆☆☆☆☆☆☆

☆☆☆

1234

A.n2+1B.?_]C.2n-\D.2〃+1

11.正六邊形A5CZ)所在數(shù)軸上的位置如圖，點(diǎn)AF對應(yīng)的數(shù)分別為。和1,若正六邊形

A5CDEF繞著頂點(diǎn)順時針方向在數(shù)軸上連續(xù)翻轉(zhuǎn)，翻轉(zhuǎn)1次后，點(diǎn)E所對應(yīng)的數(shù)為2,則

連續(xù)翻轉(zhuǎn)2022次后，數(shù)軸上2022這個數(shù)所對應(yīng)的點(diǎn)是()

D

B

1/1、〃II■.

-101234

A.A點(diǎn)B.8點(diǎn)C.C點(diǎn)D.。點(diǎn)

12.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線人》=屈+6與兩坐標(biāo)軸交于A、B兩點(diǎn),以A3

為邊作等邊ABC,將等邊ABC沿射線A8方向作連續(xù)無滑動地翻滾.第一次翻滾：將等

邊三角形繞3點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)120。，使點(diǎn)C落在直線/上,第二次翻滾：將等邊三角形繞點(diǎn)C

順時針旋轉(zhuǎn)120。，使點(diǎn)A落在直線/上……當(dāng)?shù)冗吶切畏瓭L2023次后點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)

A.(2023,202373)B.(2022,20246)C.(2021,2022』)D.(2021,2024g)

13.如圖，矩形"CD的頂點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸上，其坐標(biāo)分別為(-6,0)、(0,-8),

AD=20,將矩形ABC。繞點(diǎn)。順時針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)90。，則第2022次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點(diǎn)。

A.(10,12)B.(-10,-12)C.(-12,10)D.(12,-10)

通關(guān)試練

14.規(guī)律探究題：如圖是由一些火柴棒擺成的圖案：按照這種方式擺下去，擺第2023個圖

案用幾根火柴棒（）

15.漢字文化正在走進(jìn)人們的日常消費(fèi)生活.如圖所示圖形都是由同樣大小的圓點(diǎn)和線段按

照一定的規(guī)律排列組成的篆書簡化“漢”字，其中，圖①中共有12個圓點(diǎn)，圖②中共有18個

圓點(diǎn)，圖③中共有25個圓點(diǎn)，圖④中共有33個圓點(diǎn)…依此規(guī)律則圖⑩中共有圓點(diǎn)的個數(shù)是

16.已知點(diǎn)4（-1-3）,記&關(guān)于直線m（直線7"上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)都為0）的對稱點(diǎn)為A,A

關(guān)于直線“（直線”上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)都為I）的對稱點(diǎn)為4,4關(guān)于直線P（直線。上各點(diǎn)

的橫坐標(biāo)都為-2）的對稱點(diǎn)為4,A關(guān)于直線4（直線4上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)都為3）的對稱

點(diǎn)為4,4關(guān)于直線機(jī)的對稱點(diǎn)為4,4關(guān)于直線n的對稱點(diǎn)為4,……依此規(guī)律4023的

坐標(biāo)是（）

A.（2021,-2021）B.（-2025,-2021）C.（-2021,-2017）D.（-2025,2027）

17.如圖，O尸=1,過點(diǎn)尸作出1?！盖义?1,得；再過點(diǎn)P,作,

且46=1,得優(yōu)=有；又過點(diǎn)8作且月月=1,得。呂=2…依此法繼續(xù)作下去,

C.V2021D.V2020

18.請看楊輝三角，并觀察下列等式：

1

I1

121

133

14641

(a+b)'=a+b

(a+b)--ci~+2ab+b~

(a+bf=a3+3mb+3a"+護(hù)

(a+Z?)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4

根據(jù)前面各式的規(guī)律，則(a+加6=.

19.漢字文化正在走進(jìn)人們的日常消費(fèi)生活.下列圖形都是由同樣大小的圓點(diǎn)和線段按照一

定的規(guī)律排列組成的篆書簡化“漢”字，其中，圖①中共有12個圓點(diǎn)，圖②中共有18個圓點(diǎn)，

圖③中共有25個圓點(diǎn)圖④中共有33個圓點(diǎn)...依此規(guī)律，則圖⑧中共有圓點(diǎn)的個數(shù)是____.

20.如圖，李明從A點(diǎn)出發(fā)沿直線前進(jìn)5米到達(dá)B點(diǎn)后向左旋轉(zhuǎn)的角度為a,再沿直線前

進(jìn)5米，到達(dá)點(diǎn)C后，又向左旋轉(zhuǎn)a角度，照這樣走下去，第一次回到出發(fā)地點(diǎn)時，他共

走了45米，則每次旋轉(zhuǎn)的角度a為一.

21.我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書里出現(xiàn)了如圖所示的表（圖

①），即楊輝三角.現(xiàn)在將所有的奇數(shù)記“1”，所有的偶數(shù)記為“0”，則前4行如圖②，前8

行如圖③，求前32行“1”的個數(shù)為.

22.在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=V的圖象如圖所示.已知A點(diǎn)坐標(biāo)為（1,1）,過點(diǎn)A作

胡〃x軸交拋物線于點(diǎn)$,過點(diǎn)4作交拋物線于點(diǎn)為，過點(diǎn)為作4A軸交

拋物線于點(diǎn),過點(diǎn)作A3A4。4交拋物線于點(diǎn)A,，依次進(jìn)行下去，則點(diǎn)4必的坐標(biāo)

為

1'I

23.（規(guī)律探究題）下表是按一定規(guī)律排列的一列方程，仔細(xì)觀察，大膽猜想，科學(xué)推斷,元

成練習(xí).

序號方程方程的解

1x2-2x-3=0Xl=-1,X2=3

2x2-4x-12=0XI=-2,垃=6

3/6-27=0XI=-3,X2=9

(1)這列方程中第10個方程的兩個根分別是X尸&=—.

(2)這列方程中第〃個方程為.

24.探究規(guī)律題

按照規(guī)律填上所缺的單項式并回答問題：

(1)a,-2礦,3a3,—4q4,,?

(2)試寫出第2017個和第2018個單項式；

(3)試寫出第"個單項式；

(4)試計算：當(dāng)ci--1時，。+(-2a~)+3a3+(—4a,)++99+(—1006/^^)的值.

25.探究規(guī)律，完成相關(guān)題目.

定義“*,，運(yùn)算：

(+2)*(+4)=+(22+42);(T)*(—7)=+[(T)2+(-7)2]；

(-2)*(M)=-[(-2>+(M)2]；(+5)*(-7)=-[(+5了+(-7月；

0*(一5)=(-5)*0=(-5)2;(+3)*0=0*(+3)=(+3>.

0*0=02+02=0

⑴歸納*運(yùn)算的法則：

兩數(shù)進(jìn)行*運(yùn)算時.(文字語言或符號語言均可)特別地，0和任何數(shù)進(jìn)行*運(yùn)算,

或任何數(shù)和。進(jìn)行*運(yùn)算

⑵計算:(+1)*[0*(-2)].

(3)是否存在有理數(shù)機(jī)，n,使得(〃?-1)*(〃+2)=。,若存在,求出m,"的值，若不存在,

說明理由.

26.探究規(guī)律，完成相關(guān)題目：

小明說：“我定義了一種新的運(yùn)算，叫※(加乘)運(yùn)算.”

然后他寫出了一些按照※(加乘)運(yùn)算的運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算的算式：

(+5必(+2)=+7；(-3)※(-5)=+8；

(一3)※(+4)=-7；(+5)※(一6)=-11；

(0蟀(+8)=8；(0潛(一8)=8；(—6)X(0)=6；(+6必(0)=6.

小亮看了這些算式后說：“我知道你定義的※(加乘)運(yùn)算的運(yùn)算法則了."

聰明的你也明白了嗎？

⑴觀察以上式子，類比計算：

⑵計算：(-2)派[0派(-1)]；(括號的作用與它在有理數(shù)運(yùn)算中的作用一致，寫出必要的運(yùn)算

步驟)

(3)若(l-a)※e-3)=0.計算:

1]]]1

axb(a+2)x(8+2)(a+4)x(，+4)(a4-6)x(Z?+6)(a+8)x(6+8)的值，

參考答案

nn+2

【詳解】根據(jù)題意可知，ayl-2,

?_11

??an=~?

nn+2

2.(1)100,21

(2)20

(3)不可能拼成一個菱形，理由見解析

【分析】(1)觀察圖形，根據(jù)所給圖形可得有陰影的三角形總數(shù)為：4,9,16,第9個圖形

中有陰影的三角形數(shù)為：(9+D2,故可求第(9)個圖中陰影三角形的個數(shù)；非陰影三角形

的個數(shù)為：2(〃+2)-1,故可得結(jié)論;

(2)根據(jù)題意列方程求解即可；

(3)根據(jù)菱形的特征和所給圖形是等邊三角形的特征解答即可.

【詳解】(1)第(1)(2)(3)個圖中陰影部分小三角形的個數(shù)分別是：1+3=22,1+3+5=32,

1+3+5+7=42,由此可推測第(9)個圖中陰影部分小三角形的個數(shù)是(9+l)2=lO2=ioo(個),

空白三角形的個數(shù)為2x(9+2)-l=21；

故答案為：100;21;

fn+1V441

(2)第九個圖形中陰影三角形與非陰影三角形的個數(shù)比是：J,

2(幾+2o)-143

64

解得，〃=20或〃=-了；(舍去)

經(jīng)檢驗(yàn)，〃=20符合要求，

所以，”=20;

(3)設(shè)第(優(yōu))個圖形可重新拼成一個菱形，第("2)個圖形總的三角形個數(shù)為

(in+2y=〃，+4m+4,

由于可以拼一個菱形，則是一含有60度角的菱形，即兩個等邊三角形構(gòu)成的菱形，每個等

邊三角形中含小三角形數(shù)為一,則有：2d=(〃葉2)2

角牟彳導(dǎo)im=+y[2x—2

M不是正整數(shù)，

???不可能拼成一個菱形.

【點(diǎn)撥】本題考查了圖形的變化規(guī)律，關(guān)鍵是通過歸納與總結(jié)，得到其中的規(guī)律，利用規(guī)律

解決問題.

3.⑴①％=9,馬=1。,②第?方程為f一(2"+1)》+〃2+〃=0,解為％=77+1

(2)見解析

【分析】

(1)由示例分析，得①/一19x+90=f+(-9-10)+(-9)x(-10)=(x-9)(x-10)=。,解為

%=9,X2=10;②第?!-^方程為f+[—〃一(〃+l)]x+(—〃)x[—(zi+1)]=(x——(zi+1)]=0，于

是第，卜個方程為X?—(2〃+l)X+〃2+77=。，解為司="+1.

(2)由公式法求解，得不=守=4,々=與4=5.故結(jié)論正確.

【詳解】(1)解：

方程％2_3%+2=%2+(_]_2)%+(-1)><(_2)=(%_1)(%_2)=0，解為再=1,X2=2;

方程Y—5%+6=兀2+(—2—3)+(—2)x(—3)=(x—2)(X—3)=0，解為石=2,%=3;

方程/-7》+12=/+(—3-4)+(-3"(-4)=。一3)(尤-4)=0，解為芯=3,無？=4;

①元2—19x+90=尤2+(—9-10)+(—9)x(—10)=(x—9)(尤-10)=0,

解為國=9,%=10;

②方不呈為f+[_〃一(〃+1)]x+(—")x[―(zi+1)]=(x—n)[%—(??+1)]=0

.?.第仆個方程為％2_(2〃+1)了+〃2+〃=0，解為司=〃，%="+1.

(2)解：長一9工+20=0

A=(-9)2-4xlx20=l,

._9-Vl_._9+&_<

x-

??i-§--4,x2-----5.

故結(jié)論正確.

【點(diǎn)撥】本題考查因式分解法、公式法因式分解；理解十字相乘法因式分解是解題的關(guān)鍵.

4.B

【分析】本題考查旋轉(zhuǎn)變換，矩形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)A的變化

特點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答，每秒旋轉(zhuǎn)45。，則8次一個循環(huán)，2025+8=253……1,

第2025秒時，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)4O25落在，軸正半軸上，由此可得到點(diǎn)A的坐標(biāo).

【詳解】解：四邊形ABOC是矩形，

.?.OA=BC=2,

每秒旋轉(zhuǎn)45°,8次一個循環(huán)，2025+8=253……1,

:?第2025秒時，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)4025落在V軸正半軸上，

，點(diǎn)&i25的坐標(biāo)為（。，2）.

故選：B.

5.B

【分析】觀察圖形可知，每4次運(yùn)動為一個循環(huán)組循環(huán)，并且每一個循環(huán)組向右運(yùn)動4個單

位，用2018除以4,然后根據(jù)商和余數(shù)的情況確定運(yùn)動后點(diǎn)的坐標(biāo)即可.

【詳解】解：：2018+4=504余2,

第2014次運(yùn)動為第505循環(huán)組的第2次運(yùn)動，

橫坐標(biāo)為504x4+2-1=2017,縱坐標(biāo)為。，

二點(diǎn)的坐標(biāo)為（2017,。）.

故選B.

【點(diǎn)撥】本題是對點(diǎn)的坐標(biāo)變化規(guī)律的考查,觀察出每4次運(yùn)動為一個循環(huán)組循環(huán)是解題的

關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn).

6.C

【分析】觀察所給圖形，發(fā)現(xiàn)了軸上方的點(diǎn)是4的倍數(shù)，確定點(diǎn)A。。在*軸上方，分別求出

點(diǎn)4的坐標(biāo)為R,2⑹，點(diǎn)4的坐標(biāo)為（2,4⑹，……，點(diǎn)兒的坐標(biāo)為（2,2小陰，即可求

解.

【詳解】解：觀察所給圖形，發(fā)現(xiàn)了軸上方的點(diǎn)是4的倍數(shù)，

100+4=25,

,,點(diǎn)A00在X軸上方，

A3A4二4,

??.A（4,0）,

AA=6,

???4（-2,0）,

44=8,

二點(diǎn)4的坐標(biāo)為（2,4?。?

同理可知，點(diǎn)人4”的坐標(biāo)為（2,2小回）,

二點(diǎn)4oo的坐標(biāo)為（2,50g）.

故選：C.

【點(diǎn)撥】本題考查點(diǎn)的坐標(biāo)的變化規(guī)律；能夠通過所給圖形，找到點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律，利用有理

數(shù)的運(yùn)算解題是關(guān)鍵.

7.91

【分析】根據(jù)圖中得到規(guī)律得到以8,5）=35,。（9,6）=56,即可得到答案.

【詳解】解：如圖所示,

1

11

121

1331

14641

5101051

1615201561

12135352171

18285670562881

19368412612684369

按照圖中數(shù)據(jù)規(guī)律，。（8,5）=35,。（9,6）=56,

.?.a（8,5）+a（9,6）=35+56=91,

故答案為:91

【點(diǎn)撥】本題考查了數(shù)字類規(guī)律題，找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

8.2024個

【分析】本題主要考查了圖形規(guī)律探索，仔細(xì)的觀察圖形并正確的找到規(guī)律是解題關(guān)鍵.仔

細(xì)觀察圖形并從中找到規(guī)律，然后利用找到的規(guī)律即可得到答案.

【詳解】解：根據(jù)題意，可得當(dāng)〃為偶數(shù)時，第"個圖形中黑色正方形的數(shù)量為“+萬個，

n+1

當(dāng)”為奇數(shù)時，第"個圖形中黑色正方形的數(shù)量為個，

；?〃=1349時，黑色正方形的個數(shù)為1349+不一=2024個.

故答案為：2024個.

9.3(?+1)

【分析】相鄰的兩個圖形，后一個比前一個多3枚棋子，根據(jù)規(guī)律，求出第〃個圖需要棋子

表達(dá)式即可.

【詳解】根據(jù)題意有，

第1個圖形棋子數(shù)為：3+3x1,

第2個圖形棋子數(shù)為:3+3x2,

第3個圖形棋子數(shù)為:3+3x3,

第〃個圖形棋子數(shù)為：3+3x〃=3(〃+l),

???第〃個圖需要棋子3(〃+1)枚，

故答案為：35+1).

【點(diǎn)撥】本題考查了圖形的變化，根據(jù)圖形的變化找出規(guī)律是解本題的關(guān)鍵.

10.A

【分析】先分別求出前4個圖形中的小五角星的個數(shù)，找出一般的計算方法求解.

本題考查了圖形的變化類，找到變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：則第1個圖形中小五角星的個數(shù)為：12+1=2；

則第4個圖形中小五角星的個數(shù)為：1+于=5；

則第3個圖形中小五角星的個數(shù)為：1+32=10；

則第4個圖形中小五角星的個數(shù)為：1+42=17；

則第〃個圖形中小五角星的個數(shù)為：1+*，

故選：A.

11.A

【分析】由題意可知轉(zhuǎn)一周后，&E.DC.瓦4分別對應(yīng)的點(diǎn)為123.4.5.6,可知其6次一循

環(huán)，由此可確定出數(shù)軸上2022這個數(shù)所對應(yīng)的點(diǎn).

【詳解】解：當(dāng)正六邊形在轉(zhuǎn)動第一周的過程中，&E.DCBA分別對應(yīng)的點(diǎn)為1.2.3.4.5.6,

二翻轉(zhuǎn)6次為一循環(huán)，

V20214-6=337,

數(shù)軸上2022這個數(shù)所對應(yīng)的點(diǎn)是A點(diǎn).

故選：A.

【點(diǎn)撥】本題主要考查了有理數(shù)與數(shù)軸，數(shù)字類的規(guī)律探索，確定出點(diǎn)的變化規(guī)律是解題的

關(guān)鍵.

12.D

【分析】先令x=0,尸。求得點(diǎn)A與點(diǎn)B的坐標(biāo)，從而求出。A、OB、AB的長度，然后

結(jié)合圖形的翻轉(zhuǎn)知道點(diǎn)A經(jīng)過2次旋轉(zhuǎn)后重新落在直線/：y=&+3上，第3次旋轉(zhuǎn)點(diǎn)A的

位置不變，再結(jié)合3次一循環(huán)得到翻滾2023次后點(diǎn)A的坐標(biāo).

【詳解】解：：直線/：^=&%+劣與兩坐標(biāo)軸交于人、3兩點(diǎn)，

AA（-l,0）,B（0,5/3）,

/.AB=2,OA=l,OB=6,

：.tanZBAO=—=73,

OA'

：.ZBAO=60°,

如圖，等邊ABC經(jīng)過第1次翻轉(zhuǎn)后，A（-1,2^）,

過點(diǎn)4作軸于點(diǎn)“，則"=342=6,

*/Z\AM=60°,

AM=AXjCOsZAAM=6x1=3,

AM=AAsinZAAM=6x^=3^,

等邊ABC經(jīng)過第2次翻轉(zhuǎn)后，4（3,34）,

等邊ABC經(jīng)過第3次翻轉(zhuǎn)后，點(diǎn)A仍在點(diǎn)4處，

???每經(jīng)過3次翻轉(zhuǎn),點(diǎn)A向右平移3個單位,向上平移3檔個單位，

???2023+3=674……1,第2次與第3次翻轉(zhuǎn)后點(diǎn)A處在同一個點(diǎn)，

???點(diǎn)A經(jīng)過2023次翻轉(zhuǎn)后，向右平移了3x674=2022個單位，向上平移了

373x674+2^/3=2024如個單位,

...等邊三角形翻滾2023次后點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)是（2021,2024石）,

故選：D.

【點(diǎn)撥】本題考查了圖形的翻轉(zhuǎn)，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解直角三角形，解題的關(guān)

鍵是通過實(shí)際操作理解等邊ABC經(jīng)過第2次翻轉(zhuǎn)與第3次翻轉(zhuǎn)后點(diǎn)A處在同一個點(diǎn).

13.B

【分析】本題考查了坐標(biāo)與圖形變化一旋轉(zhuǎn)的規(guī)律型，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

發(fā)現(xiàn)規(guī)律，過點(diǎn)。作軸于點(diǎn)T，先根據(jù)勾股定理求得A8，再利用相似三角形的性質(zhì)

求出點(diǎn)。的坐標(biāo)，結(jié)合繞點(diǎn)。順時針旋轉(zhuǎn)90。探究規(guī)律，利用規(guī)律解決問題即可.

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)。作“口軸于點(diǎn)T.

矩形ABC。的頂點(diǎn)A、3分別在x軸、，軸上，其坐標(biāo)分別為(-6,0)、(0,-8),

：.OA=6,OB=8,

:.AB=y/O^+OB2=10,

ZATD=ZAOB=7.BAD=90°,

:.ZDAT+ABAO=9G°,ZBAO+ZABO=90°,

：.ZDAT=ZABO,

：..ATDjBOA,

.AD_^_DT改一個=里

ABOBOA'1086'

.-.AT=16,DT=12,

:.OT=AT-OA=16-6=W,

0(10,12),

矩形ABC。繞點(diǎn)。順時針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)90。，

則第1次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點(diǎn)。的坐標(biāo)為(12,-10);

則第2次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點(diǎn)。的坐標(biāo)為(-10,-12);

則第3次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點(diǎn)。的坐標(biāo)為(-12,10);

則第4次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點(diǎn)。的坐標(biāo)為(10,12);

發(fā)現(xiàn)規(guī)律：旋轉(zhuǎn)4次一個循環(huán)，

.?.2022+4=505…2,

則第2021次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點(diǎn)。的坐標(biāo)為(-10,-12).

故選：B.

14.A

【分析】觀察圖形的變化即可得第1個圖形火柴棒的個數(shù)；擺第2個圖案要用的火柴棒；擺

第3個圖案要用的火柴棒；即可得第〃個圖形的火柴棒個數(shù)，從而可求解.

【詳解】觀察圖形的變化可知：

擺第1個圖案要用火柴棒的根數(shù)為：5;

擺第2個圖案要用火柴棒的根數(shù)為：9=5+4=5+4xl;

擺第3個圖案要用火柴棒的根數(shù)為：13=5+4+4=5+4x2;

則擺第九個圖案要用火柴棒的根數(shù)為：5+4(〃-1)=4〃+1;

故第2023個圖案要用火柴棒的根數(shù)為：4x2023+1=8093

故選：A

【點(diǎn)撥】本題主要考查規(guī)律型：圖形的變化類，找出圖形之間的聯(lián)系，得出數(shù)字之間的運(yùn)算

規(guī)律，解題的關(guān)鍵是利用規(guī)律解決問題.

15.D

【分析】本題考查了圖形的規(guī)律探究.根據(jù)題意推導(dǎo)一般性規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

由題意知，圖①中共有12個圓點(diǎn)，圖②中共有12+6=18個圓點(diǎn)，圖③中共有12+6+7=25個

圓點(diǎn)，…可知圖⑩中圓點(diǎn)個數(shù)為12+6+7+8+9+10+11+12+13+14,計算求解即可.

【詳解】解：由題意知，圖①中共有12個圓點(diǎn),

圖②中共有12+6=18個圓點(diǎn)，

圖③中共有12+6+7=25個圓點(diǎn)，

圖④中共有12+6+7+8=33個圓點(diǎn)，

.?.圖⑩中共有圓點(diǎn)12+6+7+8+9+10+11+12+13+14=102,

故選：D.

16.B

【分析】本題考查了軸對稱的性質(zhì)，點(diǎn)坐標(biāo)的規(guī)律探究.根據(jù)軸對稱的性質(zhì)寫出點(diǎn)坐標(biāo)，然

后推導(dǎo)一般性規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

由題意求得A(l，3)在第一象限；4(1，-1)在第四象限；人(-5,-1)，在第三象限；4(-5,7),

在第二象限；A(5,7),在第一象限；4(5-5),在第四象限；4(-9,-5)在第三象限；觀

察點(diǎn)坐標(biāo)可知每四個點(diǎn)坐標(biāo)所在象限為一個循環(huán)，由2023=4x505+3,可知劣期與A在同

一象限，由人(-5,-1),4(-9,-5)，可知第三象限的點(diǎn)坐標(biāo)的特征為4(-(“+2),-5-2)),

然后代入求解即可.

【詳解】解：.??直線加上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)都為0,即直線機(jī)為y軸，

4(1-3),在第一象限,

;直線”上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)都為1,即直線〃為直線y=i;

???A(l--l),在第四象限，

:直線P上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)都為-2,即直線p為直線彳=-2,

,在第三象限，

??.直線4上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)都為3,即直線q為直線N=3,

???4(-5>7),在第二象限，

；?4(5,7),在第一象限，4(5-5),在第四象限，4(-9,-5)在第三象限，

???每四個點(diǎn)坐標(biāo)所在象限為一個循環(huán)，

2023=4x505+3,

,,AO23與A在同一象限，

???3(-5,-1),A(-9--5),

可知，第三象限的點(diǎn)坐標(biāo)的特征為4(-(〃+2),-(附-2)),

4023(-2025,-2021),

故選：B.

17.B

【分析】根據(jù)勾股定理分別求出每個直角三角形斜邊長，根據(jù)結(jié)果得出規(guī)律，即可得出答案.

【詳解】解：由勾股定理得：

OPX=8產(chǎn)+0耳=衽+儼=&,

OP2=Jo邛+點(diǎn)=J(⑸+F=也，

=4OP；+喃7(后+『=2，

L,

依此類推可得：

222

OPn="(O5J+(么￡)=V(^)+l=衍，

：.OP2021=72021+1=72022,

故選：B.

【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理，注意:在直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方,

解此題的關(guān)鍵是能根據(jù)求出的結(jié)果得出規(guī)律.

18.a6+6a5b+I5a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6

【分析】通過觀察可以看出(a+b)6的展開式為6次7項式，a的次數(shù)按降幕排列，b的次

數(shù)按升幕排列，各項系數(shù)分別為1.6.15.20,15.6.1.

【詳解】解：(a+b)6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6

654233

故本題答案為：a+6ab+15ab+20a&+15c?/+6abs+甘.

【點(diǎn)撥】此題考查數(shù)字的規(guī)律，通過觀察，分析、歸納并發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，并應(yīng)用發(fā)現(xiàn)的規(guī)

律解決問題是應(yīng)該具備的基本能力.

19.75

【分析】本題主要考查學(xué)生的觀察與比較分析的能力，運(yùn)用特殊到一般的數(shù)學(xué)思想解決此類

規(guī)律題.觀察并比較每兩個相鄰的“漢字”的相同與不同之處，得出每兩個相鄰的“漢字”中后

一個“漢字”前半部分與前一個“漢字”的前半部分圓點(diǎn)數(shù)量相等,后一個“漢字”的后半部分的

圓點(diǎn)數(shù)總是前一個“漢字”后半部分頂部加上圖案序號多2個的圓點(diǎn)與底部添加兩個圓點(diǎn)，進(jìn)

而解決該題.

【詳解】解：在圖①中，圓點(diǎn)個數(shù)為%=12個.

在圖②中，圓點(diǎn)個數(shù)為%=必+2+4=18個.

在圖③中，圓點(diǎn)個數(shù)為%=%+2+5=25個.

在圖④中,圓點(diǎn)個數(shù)為乂=%+2+6=33個.

以次類推，在圖⑧中，圓點(diǎn)個數(shù)為%=%+(2+10)=%+Q+9)+12

=%+(2+8)+11+12

=%+(2+7)+10+11+12

=33+9+10+11+12

=75.

故答案為：75.

20.40°.

【分析】根據(jù)共走了45米，每次前進(jìn)5米且左轉(zhuǎn)的角度相同，則可計算出該正多邊形的邊

數(shù)，再根據(jù)外角和計算左轉(zhuǎn)的角度.

【詳解】連續(xù)左轉(zhuǎn)后形成的正多邊形邊數(shù)為：45+5=9,

則左轉(zhuǎn)的角度是360。+9=40°.

故答案是：40。.

【點(diǎn)撥】本題考查了多邊形的外角計算，正確理解多邊形的外角和是360。是關(guān)鍵.

21.##243

【分析】本題考查了數(shù)字規(guī)律探究計算，根據(jù)給出的圖②和圖③找出出現(xiàn)“1”規(guī)律是解題關(guān)

鍵.先根據(jù)給出的圖②和圖③找出出現(xiàn)“1”規(guī)律，然后根據(jù)規(guī)律即可得解.

【詳解】解：觀察圖②和圖③可知，前8行中包含3個前4行的圖形，中間三角形中的數(shù)字

均為。，

.?.前8行中“1”的個數(shù)是前4行中“1”的個數(shù)的3倍，

即前8行中“1”的個數(shù)為9x3=27（個），

同理可知前16行中“1”的個數(shù)是前8行中“1”的個數(shù)的3倍,即前16行中“1”的個數(shù)為

27x3=81（個），

前32行中“1”的個數(shù)是前16行中“1”的個數(shù)的3倍，即前32行中“「的個數(shù)為81x3=243（個）,

故答案為:243.

22.（-1012,10122）

【分析】根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可得出點(diǎn)A的坐標(biāo)，求得直線AA為丁=》+2，聯(lián)立方程

求得4的坐標(biāo)，即可求得A的坐標(biāo),同理求得A4的坐標(biāo)，即可求得A的坐標(biāo)，根

據(jù)坐標(biāo)的變化找出變化規(guī)律，即可找出點(diǎn)AO23的坐標(biāo);

【詳解】解：點(diǎn)坐標(biāo)為(U)，

,直線04為y=x，A(T』)，

“2//OA,

二直線44為y=x+2,

y=x+2x=-lx=2

解y=Y得口或

y=4，

4(2,4),

A3(-2,4),

?/A3A4〃OA,

,直線4A&為y=x+6,

Ly=x+6得x=-2x=3

解y=4或

7=9，

，4(3,9),

A(-3,9)

2

A,023(-1012,1012),

故答案為：(-1012,10122).

【點(diǎn)撥】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、一次函數(shù)的圖象以及交點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)

坐標(biāo)的變化找出變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵

23.(1)-10;30;(2)x2-2nx-3n2=0

【分析】(1)根據(jù)表格中的規(guī)律可知，第10個方程的解為無尸-10,犯=30；(2)根據(jù)表格中

的規(guī)律可知，第〃個方程的解是,x2=3n,再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可知第〃個方程就是

x2-2nx-3n2=