2024年中考數學二次函數壓軸題：面積比例問題

專題03面積比例問題

一、知識導航

除了三角形、四邊形面積計算之外，面積比例也是中考題中常見的條件或結論，對面積比例的分析，往往

比求面積要復雜得多，這也算是面積問題中最難的一類.

大部分題目的處理方法可以總結為兩種：(1)計算；(2)轉化.

本文結合19年各地中考題，簡要介紹關于比例條件的一些運用方法.

策略一：運用比例計算類

綜合與探究：如圖，拋物線y=&+/?+6經過點A(-2,0),B(4,0)兩點，與y軸交于點C,點。是拋物線

上一個動點，設點。的橫坐標為租(1＜加＜4).連接AC,BC,DB,DC.

(1)求拋物線的函數表達式；

3

(2)ABCD的面積等于AAOC的面積的一時，求加的值；

4

【分析】

(1)可重設解析式為交點式：y=〃(x+2)(x-4),展開得：y=ax2-2ax-Sa,常數項對應相等，-8〃=6,

2

解得：a=--,故拋物線解析式為：y=--x+-x+6.

442

(2)考慮△AOC和△BCD并無太多關聯，并且△AOC是確定的三角形，面積可求，故可通過面積比推導

△BCD的面積.

S2x6=6,

339

SBCD=工義SAOC=丁6=5,

此問題變?yōu)槊娣e定值問題，就不難了.

【小結】利用面積比計算出所求三角形面積，再運用處理面積定值的方法即可解決問題.

策略二：轉化面積比

如圖，B、D、C三點共線，考慮△A3。和△AC。面積之比.

轉化為底：

共高，面積之比化為底邊之比：則S鉆。：SAS=8D：C￡).

更一般地，對于共邊的兩三角形△A8D和△ACD,連接BC,與交于點E,則

SADRLD)：SArn=BM:CN=BE:CE.

A

B

7M

策略三：進階版轉化

在有些問題中，高或底邊并不容易表示,所以還需在此基礎上進一步轉化為其他線段比值，比如常見有：“A

字型線段比、“8”字型線段比.

“A”字型線段比：S^-.SACD=BD-CD=BA:AM.

"8'字型線段比：SABD:SACD=BD:CD=AB:CM.

以2019連云港中考填空壓軸為例：

[2019連云港中考】

如圖，在矩形A3CD中，AB=4,4)=3,以點C為圓心作C與直線助相切，點尸是C上一個動點,

AP

連接AP交班＞于點T,則一的最大值是.

D

AB

【分析】

AP.AT均為動線段，并不易于分析比值的最大值，故需轉化線段.

構造字型線段比：

工丁.pAPAQ

由平行得：一=—

ATAB

BC=3,BM=3x-=-,CM=3x-=—,PM=—+—=—

44444520

“1235414八）419-

MQ=——x—=——,AQ=4+--------=12,

203444

APAQ12

故最大值為——=一三=一=3.

ATAB4

思路2:構造"8"字型線段比是否可行？

4PTPTP

雖然問題是一的比值，為便于構造“8”字，可轉化為“土匚+1”，即求」二的最大值,

ATATAT

過點尸作尸0〃A3交8。延長線于。點，可得：IL=fQ；考慮到AB是定線段，故只要尸0最大即可.

ATAB

但是本題尸點在圓上運動，故很難分析出點尸在何位置，尸。取到最大值，若尸點換個軌跡路線，或許就

很容易分析了.

。一、

,、、D

AB

二、典例精析

例一、

已知拋物線y=奴？+bx+3經過點A(1,O)和點5(-3,0),與y軸交于點C,點P為第二象限內拋物線上的動

點.

(1)拋物線的解析式為,拋物線的頂點坐標為;

(2)如圖，連接OP交BC于點。，當乂。。：5ABM,=1:2時，請求出點。的坐標.

【分析】

(1)y=-x2-2x+3;頂點坐標為(-1,4).

(2)根據&迪：5兇如=1：2可得CD:BD=1:2,

故。點是線段8c靠近點C的三等分點，又8(-3,0)、C(0,3),

二。點坐標為(-1,2).

例二、

如圖，拋物線y=a、2+2x+c(a<0)與x軸交于點A和點3(點A在原點的左側，點3在原點的右側)，與y

軸交于點C,OB=OC=3.

(1)求該拋物線的函數解析式.

(2)如圖，連接3C,點。是直線3c上方拋物線上的點，連接C?,CD.OD交BC于點、F,當

S&COF:SACDF=3:2時，求點。的坐標?

【分析】

（1）解析式：y=—x2+2x+3

（2）顯然△C。尸和△口）/共高，可將面積之比化為底邊之比.

OF:DF=S,COF：S、CDF=3:2,

思路1:轉化底邊之比為"A”字型線段比

在y軸上取點E（0,5）,（為何是這個點？因此此時OC:CE=3:2）

過點E作BC的平行線交無軸于G點，

EG與拋物線交點即為所求。點，

根據平行線分線段成比例，OF:FD=OC:CE=3:2.

直線EG解析式為：y=-x+5,

與拋物線聯立方程，得：一/+2》+3=-》+5,

解得：%,=1,x2=2.

故。點坐標為（1,4）或（2,3）.

思路2:轉化底邊之比為“8”字型線段比

過點。作。G//y軸交8C邊于點G,則一=——,又0c=3,故點G滿足。G=2即可.這個問題設。點

FDDG

坐標即可求解.

也可以構造水平"8"字，過點。作。G//x軸交3c于點G,則為=器,又。2=3,...■DGMZ即可.但此

處問題在于水平線段不如豎直線段易求，方法可行但不建議.

y

其實本題分析點的位置也能解：

思路3:設點D坐標為+2m+3）,

/QOAQ、

根據。尸：DF=3:2,可得尸點坐標為一八一―m2+-m+-

[5555y

點、F在直線BC上,將點坐標代入直線3C解析式：y=-x+3,

3693。

——m2+—m+—=——m+3,

5555

解得叫=1,m2=2,

故。點坐標為（1,4）或（2,3）.

這個計算的方法要求能理解比例與點坐標之間的關系，即由。點坐標如何得到F點坐標.

三、中考真題演練

1.（2023?山東青島?中考真題）許多數學問題源于生活.雨傘是生活中的常用物品，我們用數學的眼光觀察

撐開后的雨傘（如圖①）、可以發(fā)現數學研究的對象——拋物線.在如圖②所示的直角坐標系中，傘柄在y

軸上，坐標原點。為傘骨。4,的交點.點C為拋物線的頂點，點A,8在拋物線上，OA,08關于y

軸對稱.OC=1分米，點A至晨軸的距離是0.6分米，A,8兩點之間的距離是4分米.

圖①圖②

⑴求拋物線的表達式；

（2）分別延長A。，3。交拋物線于點RE,求E,尸兩點之間的距離；

（3）以拋物線與坐標軸的三個交點為頂點的三角形面積為S-將拋物線向右平移；”（加＞0）個單位，得到一條

3

新拋物線，以新拋物線與坐標軸的三個交點為頂點的三角形面積為邑.若S2=：d，求”的值.

【答案】⑴y=-0.1Y+i；

⑵10

(3)2或4；

【分析】(1)根據題意得到CQD,42,0.6),B(-2,0.6),設拋物線的解析式為＞=。(彳-⑶?+%代入求解

即可得到答案；

(2)分別求出AO,8。所在直線的解析式，求出與拋物線的交點凡E即可得到答案；

(3)求出拋物線與坐標軸的交點得到S-表示出新拋物線找到交點得到邑，根據面積公式列方程求解即可

得到答案；

【詳解】(1)解：設拋物線的解析式為y=a(x-/z)2+A,由題意可得，

C(0,l),A(2,0.6),8(-2,0.6),

「?/?=0,k=lJ

把點A坐標代入所設解析式中得：4々+1=0.6,

解得：a=-0.1,

y=-0.lx2+1；

(2)解：設AO的解析式為：y=kxx,8。的解析式為：y=k2x,

分另1J將42,0.6),5(—2,0.6)代入〉=匕%,y=左2兀得，

2kl=0.6,—2左2—0.6,

解得：履=0.3,k2=-0.3,

???AO的解析式為：y=0.3x,50的解析式為：y=-0.3x,

聯立直線解析式與拋物線得：0.3九=-O.lf+1,

解得玉=-5,x?=2(舍去)，

同理，解—0.3%=—O.L?+i,得七=5,5=-2(舍去)，

AF(-5,-1.5),灰5,—1.5),

產兩點之間的距離為：5-(-5)=10；

(3)解：當＞=0時，-0.1x2+l=0,

解得：x=±A/10，

：.S]=?[加_（_如）卜1=而，

拋物線向右平移m（m>0）個單位，

y=-0.1（%-mf+1,

當x=0時，y=-0.1m2+1,

當>=。時，一0.1（兀一w）2+1=0,解得：x=±V10+m,

22

/.S2=|x[710+m-（-y/i0+m）]x|-0.1m+1|=Vw|-0.1m+1|,

3

**$2=S5,

；.|X師=啊一0.1療+",

解得：叫=2,”=-2（不符合題意舍去），，%=4,m4=-4（不符合題意舍去），

綜上所述：相等于2或4；

2.（2023?吉林長春?中考真題）在平面直角坐標系中，點。為坐標原點，拋物線>=-/+次+2"是常數）

經過點（2,2）.點A的坐標為（加,0）,點8在該拋物線上，橫坐標為其中〃7<0.

（1）求該拋物線對應的函數表達式及頂點坐標；

（2）當點8在x軸上時，求點A的坐標；

（3）該拋物線與x軸的左交點為尸，當拋物線在點P和點2之間的部分（包括P、8兩點）的最高點與最低點

的縱坐標之差為2-機時，求加的值.

（4）當點8在無軸上方時，過點B作軸于點C,連結AC、BO.若四邊形AQBC的邊和拋物線有兩個

交點（不包括四邊形AOBC的頂點），設這兩個交點分別為點E、點/，線段8。的中點為。.當以點C、

E、。、D（或以點C、F、。、D）為頂點的四邊形的面積是四邊形AQBC面積的一半時，直接寫出所

有滿足條件的機的值.

【答案】(l)y=-x2+2x+2；頂點坐標為(1,3)

⑵

(3)機=-1或m=—2

(4)m=—2+\/2或=2—2-J3或m=——

【分析】(1)將點(2,2)代入拋物線解析式，待定系數法即可求解；

(2)當＞=0時，-X2+2X+2=0,求得拋物線與x軸的交點坐標，根據拋物線上的點8在x軸上時，橫坐標

為1-"2.其中7"＜。，得出冽=-即可求解；

(3)①如圖所示，當1＜1一切＜1+JL即一步＜根＜0時，②當I-WJNI+JL即時，分別畫出圖

形，根據最高點與最低點的縱坐標之差為2-%，建立方程，解方程即可求解；

(4)根據8在x軸的上方，得出-6＜加＜6,根據題意分三種情況討論①當E是AC的中點，②同理當尸

為4。的中點時，③gsAoc=SsF，根據題意分別得出方程，解方程即可求解.

【詳解】(1)解：將點(2,2)代入拋物線〉=一/+云+2,得，

2=T+2"2

解得：b=2

J拋物線解析式為y=-幺+2%+2；

,**y——x2+2x+2=—(%—1)+3,

???頂點坐標為(1,3),

(2)解：由y=—X2+2x+2,

當＞=0時，-%2+2尤+2=0,

解得：*1=1-6＞,12=1+6，

???拋物線上的點5在X軸上時，橫坐標為1-相.其中"＜0.

l-m＞l

1—m=1+^3

解得：m=,

:點A的坐標為(〃?,0),

4(—指,。)；

(3)①如圖所示，當1<1一根<1+JL即一指<〃2<0時,

拋物線在點尸和點8之間的部分(包括P、8兩點)的最高點為頂點，最低點為點。

:頂點坐標為(1,3),尸(1-后0)

則縱坐標之差為3-0=3

依題意，3=2-m

解得：，"=-1；

②當1—相21+>/3，即機V-垂!時，

?：B(l-/n,-(l-w)2+2(l-/7i)+2),即80-加,—m2+3),

依題意，3-(-m2+3)=2-m,

解得：加=—2或相=1（舍去）,

綜上所述，m=-1或/=-2；

??1—y/3<1—nz<1+y/3

-y/3<m<5/3

??,以點C、E、0、。為頂點的四邊形的面積是四邊形AO5C面積的一半，線段3。的中點為。

??UBCD-°COD

???^ACOBC-—°CAOCTIuCBOC->°CBOC一—°CBCD丁c0COD

貝1JS^OBC—2SCEOD,

(2

」m—m+3

E—,------彳弋y——x2+2x+2,

(22

2

即一“2+3cmc

+2x—F2,

22

解得：m=—y/2—2（舍去）或加=一2+0;

②同理當尸為A0的中點時，如圖所示，SACF=S_CFO,sBCD=S.COD，則點C、F、0、O為頂點的四邊

解得：加=2-2百，

③如圖所示,

:以點C、E、0、。為頂點的四邊形的面積是四邊形AQBC面積的一半，線段3。的中點為。

??/S+SCDF=SFDB+SA0C

SCDF=_S—SCDF+S

即'_2+Sl-L/r2.C-ZJFA(yA(_O-C

,?5sAOC=sCDF,

：.CF=AO,

尸(-+3),

■:昆尸關于x=l對稱，

.-m+1—m

解得：m=—1,

綜上所述，加=—2+&或/"=2-2百或％=—].

【點睛】本題考查了二次函數綜合運用，二次函數的性質，面積問題，根據題意畫出圖形，分類討論，熟

練掌握二次函數的性質是解題的關鍵.

3.(2023?黑龍江?中考真題)如圖，拋物線丁="2+灰+3與.丫軸交于4(-3,0),3(1,0)兩點，交V軸于點C.

(1)求拋物線的解析式.

BC

(2)拋物線上是否存在一點P,使得S.=；5ABc，若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理

由.

【答案】(l)y=-f—2%+3

（2）存在，點尸的坐標為（-2,3）或（3,-12）

【分析】（1）采用待定系數法，將點A和點3坐標直接代入拋物線>="2+法+3,即可求得拋物線的解析

式.

（2）過線段A3的中點且與8c平行的直線上的點與點8,點C連線組成的三角形的面積都等于;S“c，

則此直線與拋物線的交點即為所求；求出此直線的解析式，與拋物線解析式聯立，即可求得答案.

【詳解】（1）解：因為拋物線>=西+法+3經過點A（-3,0）和點3（1,0）兩點，所以

儼-36+3=0

[〃+/?+3=0'

解得

Jtz=—1

[b=-2f

所以拋物線解析式為：J=-X2-2X+3.

（2）解：如圖，設線段A3的中點為。，可知點。的坐標為過點。作與BC平行的直線/,假設與

拋物線交于點月，P2（月在8的左邊），（鳥在圖中未能顯示）.

設直線8C的函數解析式為y=履+4(左w0).

因為直線8C經過點3(1,0)和C(0,3),所以

肚+4=0

］偽=3，

12=—3

解得八2,

也=3

所以，直線BC的函數解析式為：y=-3x+3.

又學V/BC,

可設直線PA的函數解析式為y=-3尤+%,

因為直線經過點。(-1,0),所以

3+a=0.

解得仇=-3.

所以，直線＜2的函數解析式為y=-3尤-3.

根據題意可知,

C—Av

°DBC-2uABC?

又P\P$BC,

所以，直線々心上任意一點尸'與點8,點C連線組成的一P'BC的面積都滿足Sp，Bc=gs.c-

所以，直線4鳥與拋物線y=-Y-2x+3的交點4即為所求，可得

—3x—3=-—2%+3,

化簡，得

%2—%—6=0,

解得玉=3,%2=-2,

所以，點《的坐標為（-2,3）,點2的坐標為（3,-12）.

故答案為：存在，點尸的坐標為（-2,3）或（3,-12）.

【點睛】本題主要考查二次函數的圖象和性質、一次函數的圖象和性質、一元二次方程、一元一次方程等,

靈活結合二次函數和一次函數圖象特點是解題的關鍵.

4.（2023?湖北十堰?中考真題）已知拋物線”加+法+8過點/4,8）和點C（8,4）,與V軸交于點A.

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖1,連接A5,BC,點。在線段AB上（與點不重合），點廠是。4的中點，連接陽，過點。作

尸。交于點E,連接政，當防面積是面積的3倍時，求點。的坐標；

【分析】（1）待定系數法求解析式即可求解;

（2）待定系數法求得直線5c的解析式為y=-尤+12,設E（m,f7+12）（4＜加＜8）,過點E作EG_L交A8

的延長線于點G,則NG=9O。，則G的坐標為（祖,8）,得出△BGE是等腰直角三角形，設。?,8）,則

AD^t,DG=m-t,證明~AFQsGDE,相似三角形的性質得出m-t=4,則DG=AF,可得AFD^GDE,

當面積是△包>產面積的3倍時，即:。產=[ADXA尸x3,即=12AD，在RtADb中,

DF2^AD2+AF2^t2+42,解方程即可求解；

【詳解】（1）解：：拋物線>=加+灰+8過點3（4,8）和點6（8,4）,

.J16Q+4Z?+8=8

??164。+80+8=4

b=-

2

解得：J

18

???拋物線解析式為丁=一1—+:龍+8；

o2

（2）?..拋物線尤+8與y軸交于點A,

82

當x=0時，y=8,

A（0,8）,則OA=8,

；3（4,8）,

AAB//x,AB=4,

:點尸是。4的中點，則尸（0,4）,

AB=AF=4,

設直線BC的解析式為y=依+"

?.?點8（4,8）和點C（8,4）,

.J8=4左+6

??14=8%+6

解得：U12

???直線BC的解析式為y=-x+12,

設_E（辦—根+12）（4<m<8）,

如圖所示，過點E作前，回交45的延長線于點6,則NG=90。，則G的坐標為（根,8）,

圖1

,GE=8—(—機+12)=機—4,BG=m-4

：.BG=GE,

???△5GE是等腰直角三角形，

設,則AD=t,DG=m-t,

*.*DE1FD,

???NFDE=90。,

,：ZFAD=ZG=ZFDE=90°f

JZAFD=90?！猌ADF=NGDE,

：.-AFDs工GDE

.AD_AF

^~GE~~DG

.％_4

??一

m-4m-t

即(一4)%=(-4)(f+4)

m>4

m=Z+4

即m-t=4,

：.DG=AF,

:.AFD—.GDE

：.DF=DE,

又DELDF,

???.DEF是等腰直角三角形，

—DEF的面積為產，

:△ADF的面積為歹

2

當跖面積是面積的3倍時

1.1

BP-DF2=-ADxAFx3

22

即2=12旬

在RtAD尸中，DF2^AD2+AF2^t2+42

AD2+AF2=12AD

八八⑵

解得：f=6-2岔或t=2百+6（舍去）

AD（6-2A/5,0）；

5.（2023?湖南永州?中考真題）如圖1,拋物線y=0^2+bx+c（。，人c為常數）經過點尸（0,5）,頂點坐

⑴求拋物線的表達式；

（2）如圖1,直線。尸:y="x交所于點G,求的最大值；

【分析】（1）根據頂點式坐標公式和待定系數法分別求出。，b,C值，即可求出拋物線解析式.

（2）利用拋物線的解析式可知道3點坐標，從而求出直線8尸的解析式，從而設G（%,T〃+5）,根據直線。P

的解析式y(tǒng)=上》可推出從而可以用玉,%表達GT長度，在觀察圖形可知沁^=等-1,將其

GT和PH長度代入，即可將面積比轉化成二次函數的形式，根據P橫坐標取值范圍以及此二次函數的圖像

性質即可求出》迄的最大值.

'△BOG

【詳解】（1）解：拋物線丁=加+法+。（Q,b,C為常數）經過點尸（0,5）,頂點坐標為（2,9）,

<b4ac-b2八

「.c=5,--=2,----------=9,

2a4。

b=-4a

?J20a-b2八，

-----=9

、4a

[b=4

，拋物線的解析式為：y=-x2+4x+5.

故答案為：y=-x2+4x+5.

（2）解：過點G作GTLx軸于點T,如圖所示,

拋物線的解析式為：y=-x2+4x+5,且與無軸交于A,3兩點,

..3(5,0),

尸（0,5）,

5左+〃=0

設直線，的解析式為：y=kx+b',則

b'=5

k=-i

b'=5

直線的解析式為：y=-x+5.

G在直線BF上，G（m,-m+5）,

G在直線O尸上，。尸的解析式為：V="x,

為

-m+5=—m,

再

5M

m---------

%+%.

GT=-m+5=--包—+5=與-

%%%+%

Q—Q—S

aBPG-QBPO°BOG，

S.BOGSB0CSBOG-x5xGTGT

2

PH=%=占+%

GT--5

尤i+%

.SBPG_PH_]=X]+%_]

"SBOG~GT-5

尸（為,—x；+4X]+5）,

.S、G_.+1].一尤；+4%+5]：]八_5?+5

■'SBOG_5一5一5T2）4'

—1<0,

.?.當x=：時，4有最大值，且最大值為：.

2SBOG5（22）44

故答案為：Y.

4

6.（