2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第1章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1.1.1函數(shù)的平均變化率應(yīng)用案鞏固提升新人教B版選修2-2

PAGEPAGE11.1.1函數(shù)的平均變更率[A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．在求平均變更率時(shí)，自變量的增量Δx滿意()A．Δx＞0 B．Δx＜0C．Δx＝0 D．Δx≠0答案：D2．一個(gè)做直線運(yùn)動(dòng)的物體，其位移s與時(shí)間t的關(guān)系是s＝3t－t2，則此物體在區(qū)間[0，0.001]內(nèi)的平均變更率接近()A．0 B．3C．－2 D．3－2t答案：B3．函數(shù)f(x)＝2x在x＝1旁邊(即從1到1＋Δx之間)的平均變更率是()A．2＋Δx B．2－ΔxC．2 D．(Δx)2＋2解析：選C.Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝2(1＋Δx)－2＝2Δx.所以eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(2Δx,Δx)＝2.4．某物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是s＝s(t)，則該物體在t到t＋Δt這段時(shí)間內(nèi)的平均速度是()A．eq\o(v,\s\up6(－))＝eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(s（t＋Δt）－s（t）,Δt)B．eq\o(v,\s\up6(－))＝eq\f(s（Δt）,Δt)C．eq\o(v,\s\up6(－))＝eq\f(s（t）,t)D．eq\o(v,\s\up6(－))＝eq\f(s（t＋Δt）－s（Δt）,Δt)解析：選A.由平均速度的定義可知，物體在t到t＋Δt這段時(shí)間內(nèi)的平均速度是其位移變更量與時(shí)間變更量的比．所以eq\o(v,\s\up6(－))＝eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(s（t＋Δt）－s（t）,Δt).5．若函數(shù)y＝eq\f(1,x)在區(qū)間[1，a]上的平均變更率為－eq\f(1,2)，則a＝()A．1 B．2C．3 D．4解析：選B.因?yàn)棣＝a－1，Δy＝eq\f(1,1＋Δx)－1＝eq\f(－Δx,1＋Δx)，所以eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(－1,1＋Δx)＝－eq\f(1,a)＝－eq\f(1,2)，所以a＝2.6．已知函數(shù)y＝eq\f(2,x)＋3，當(dāng)x由2變到1.5時(shí)，函數(shù)的增量Δy＝________．解析：Δy＝f(1.5)－f(2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,1.5)＋3))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,2)＋3))＝eq\f(4,3)－1＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)7．已知函數(shù)y＝x3，當(dāng)x＝1時(shí)，eq\f(Δy,Δx)＝________．解析：因?yàn)棣＝(1＋Δx)3－13＝(Δx)3＋3(Δx)2＋3Δx，所以eq\f(Δy,Δx)＝(Δx)2＋3Δx＋3.答案：(Δx)2＋3Δx＋38．如圖所示，函數(shù)y＝f(x)在[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]這幾個(gè)區(qū)間內(nèi)，平均變更率最大的一個(gè)區(qū)間是________．解析：由平均變更率的定義可知，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]上的平均變更率分別為：eq\f(f（x2）－f（x1）,x2－x1)，eq\f(f（x3）－f（x2）,x3－x2)，eq\f(f（x4）－f（x3）,x4－x3)，結(jié)合圖象可以發(fā)覺(jué)函數(shù)y＝f(x)的平均變更率最大的一個(gè)區(qū)間是[x3，x4]．答案：[x3，x4]9．求y＝eq\f(2,x2)在x0到x0＋Δx之間的平均變更率(x0≠0)．解：因?yàn)棣＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝eq\f(2,（x0＋Δx）2)－eq\f(2,xeq\o\al(2,0))＝－eq\f(4x0Δx＋2（Δx）2,（x0＋Δx）2xeq\o\al(2,0))，所以eq\f(Δy,Δx)＝－eq\f(4x0＋2Δx,（x0＋Δx）2xeq\o\al(2,0)).10．若函數(shù)y＝f(x)＝－x2＋x在[2，2＋Δx](Δx>0)上的平均變更率不大于－1，求Δx的取值范圍．解：因?yàn)楹瘮?shù)y＝f(x)在[2，2＋Δx]上的平均變更率為eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f（2＋Δx）－f（2）,Δx)＝eq\f(－（2＋Δx）2＋（2＋Δx）－（－4＋2）,Δx)＝eq\f(－4Δx＋Δx－（Δx）2,Δx)＝－3－Δx，所以由－3－Δx≤－1，得Δx≥－2.又因?yàn)棣>0，所以Δx>0，即Δx的取值范圍是(0，＋∞)．[B實(shí)力提升]11．函數(shù)y＝x2＋2在x0到x0＋Δx之間的平均變更率為k1，在x0－Δx到x0的平均變更率為k2，則()A．k1<k2 B．k1>k2C．k1＝k2 D．不確定解析：選D.k1＝eq\f(（x0＋Δx）2－xeq\o\al(2,0),Δx)＝2x0＋Δx，k2＝eq\f(xeq\o\al(2,0)－（x0－Δx）2,Δx)＝2x0－Δx.所以k1－k2＝2Δx，因?yàn)棣的正負(fù)不確定，所以k1與k2的大小關(guān)系也不確定．12．一球沿某一斜面自由滾下，測(cè)得滾下的垂直距離h(單位：m)與時(shí)間t(單位：s)之間的函數(shù)關(guān)系為h＝2t2＋2t，則：(1)前3s內(nèi)球的平均速度為_(kāi)_______m/s；(2)在t∈[2，3]這段時(shí)間內(nèi)球的平均速度為_(kāi)_______m/s.解析：(1)由題設(shè)知，Δt＝3s，Δh＝h(3)－h(huán)(0)＝24(m)，即平均速度為v＝eq\f(Δh,Δt)＝eq\f(24,3)＝8(m/s)．(2)由題設(shè)知，Δt＝3－2＝1(s)，Δh＝h(3)－h(huán)(2)＝12(m)，即平均速度為v＝eq\f(Δh,Δt)＝12(m/s)．答案：(1)8(2)1213．已知函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(1,x)，分別計(jì)算f(x)在自變量x從1變到2和從3變到5時(shí)的平均變更率，并推斷在哪個(gè)區(qū)間上函數(shù)值變更得較快．解：自變量x從1變到2時(shí)，函數(shù)f(x)的平均變更率為eq\f(f（2）－f（1）,2－1)＝eq\f(2＋\f(1,2)－（1＋1）,1)＝eq\f(1,2)；自變量x從3變到5時(shí)，函數(shù)f(x)的平均變更率為eq\f(f（5）－f（3）,5－3)＝eq\f(5＋\f(1,5)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3＋\f(1,3))),2)＝eq\f(14,15).因?yàn)閑q\f(1,2)<eq\f(14,15)，所以函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(1,x)在自變量x從3變到5時(shí)函數(shù)值變更得較快．14．(選做題)求函數(shù)y＝sinx在0到eq\f(π,6)之間和eq\f(π,3)到eq\f(π,2)之間的平均變更率，并比較它們的大?。猓涸?到eq\f(π,6)之間的平均變更率為eq\f(sin\f(π,6)－sin0,\f(π,6)－0)＝eq\f(3,π)；在eq\f(π,3)到eq\f(π,2)之間的平均變更率為eq\f(sin\f(π,2)－sin\f(π,3),\f(π,2)－\f(π,3))＝eq\f(3（2－\r(3)）,π).所以函數(shù)y＝sinx在0到e