2024年中考數(shù)學(xué)提高復(fù)習(xí)講義：四邊形與多邊形

中考專題復(fù)習(xí)之四邊形與多邊形

知識梳理

1.四邊形的內(nèi)角和與外角和定理

(1)四邊形的內(nèi)角和等于360°.

(2)四邊形的外角和等于360°.

2.多邊形的內(nèi)角和與外角和定理

(l)n邊形的內(nèi)角和等于((n-2)x180°.

⑵任意多邊形的外角和等于360。.

3.平行四邊形的性質(zhì)

(1)兩組對邊分別平行；

(2)兩組對邊分別相等；

四邊形是平行四邊形=(3)兩組對角分別相等；

(4)對角線互相平分；

(5)鄰角互補.

4.平行四邊形的判定

(1)兩組對邊分別平行；

(2)兩組對邊分別相等；

(3)兩組對角分別相等；該四邊形是平行四邊形.

(4)一組對邊平行且相等；

(5)對角線互相平分；

5矩形的性質(zhì)

(1)具有平行四邊形的所有通性；

四邊形為矩形=(2)四個角都是直角；

(3)對角線相等.

6.矩形的判定

(D平行四邊形+一??直角；

(2)有三個角是直角；該四邊形是矩形.

⑶對角線相等的平行四邊形；

7.菱形的性質(zhì)

⑴具有平行四邊形的所有通性；

四邊形是菱形土2)四條邊都相等；

(3)對角線垂直且平分對角.

8.菱形的判定

(1)平行四邊形+一組鄰邊相等；

(2)四條邊都相等；該四邊形是菱形.

(3)對角線互相垂直的平行四邊形；

9.正方形的性質(zhì)

(1)具有平行四邊形的所有通性；

四邊形是正方形四條邊都相等，四個角都是直角;

.(3)對角線相等、垂直且平分對角.

10.正方形的判定

(1)平行四邊形+一組鄰邊相等+一個直角；

(2)菱形+一個直角；一該四邊形是正方形.

⑶矩形+一組鄰邊相等；

典型例題

例1

如圖所示，P為平行四邊形ABCD邊AD上一點，E,F分別為PB,PC的中點,△PEF,APDC,APAB的面積分

別為S,SSiS,若S=2,則Si+S2=.

解析本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)和圖形的相似的性質(zhì).

過P作PH平行DC交BC于H.

因為四邊形ABCD為平行四邊形，且有PH〃DC,

所以PH〃DC〃AB,

所以四邊形DCHP和四邊形PHBA為平行四邊形，

所以有△PDC^ACHP,APAB^ABHP,

所以SpDC=ScHP，Sp4B=SBHP>

所以S]+S2=SpBu

又因為E,F分別為PB,PC的中點，

所以△PEF^APBC,

所以SpEF=~SpBC>

所以Si+52=4SpEF=8.

例2

如圖所示,正方形ABCD的對角線交于點。，以AD為邊向外作RtAADE,/AED=90。,連接OE,DE=6,OE=8

魚,則另一直角邊AE的長為.

解析如圖所示，過。作OM,AE于M,ON±ED的延長線于N.

因為四邊形ABCD為正方形，

所以AO±BD且有AO=OD.

又因為NAED=90o,AO_LBD,

所以A,E,D,0四點共圓.

又因為AO=OD,ZAED=90°,

所以/AEO=NOED=45。.

因為OM_LAE,ON_LED,/AED=90°,ZAEO=ZOED=45°,

所以四邊形MENO為正方形,

所以O(shè)M=ON.

在RtAAMO與RtADNO中，

因為AO=ON,AO=DO,

例2圖

所以△AMO^ADNO,

所以AM=DN,

所以AE=ME+AM=ME+DN=EN-ED+EN=2EN-ED.

因為OE=8V2,

所以EN=8,

所以AE=10.

例3

如圖⑴所示，菱形ABCD和菱形EFGC的邊長分別為2和3,若NA=120。,則圖中陰影部分的面積是.

解析如圖(2)所示，設(shè)BF,CE相交于點M.

因為菱形ABCD和菱形ECGF的邊長分別為2和3,

所以△BCM^ABGF,

例3圖(1)

所以稱=黑，

即?=

32+3

解得CM=1.2.

所以DM=2-1.2=0.8,

因為NA=120°,

所以A4BC=180°-120°=60°,

所以菱形ABCD邊CD上的高為2sin600=2xy=V3,

菱形ECGF邊CE上的高為3sin60°=3X'=子，

所以陰影部分面積—^BDM+SDFM

=—x0.8xV3H—x0.8x——

222

=V3.

例4

如圖⑴所示，平行四邊形ABCD中過A作.4M1BC于M,交BD于E,過C作CN±AD于

AND

點N,交BD于F,連接AF,CE.

(1)求證:四邊形AECF為平行四邊形.

(2)當(dāng)AECF為菱形,M點為BC的中點時，求AB:AE的值.解析⑴證明一個四邊形為平行四B

邊形有四種方法：兩組對邊平行，兩組對邊相等，一組對邊平行且相等，兩組對角分別相等，例4圖⑴

對角線互相平分.本題也可以采用對角線互相平分來證明.

連接AC交BD于G,如圖⑵所示

因為四邊形ABCD為平行四邊形，

所以/ABC=/CDA,AB〃CD,AB=CD,BG=DG,AG=CG,

所以NABD=NBDC.例4圖(2)

因為4M1BC,CN1AD

所以/BAM=NNCD.

因為AB=CD,NABD=NBDC,/BAM=/NCD,

所以△ABE四△CDF,

所以BE=DF.

因為BG=DG,BE=DF,

所以FG=EG.

因為FG=EG,AG=CG,

所以四邊形AECF為平行四邊形.

(2)因為四邊形AECF為菱形，

所以AC與EF垂直且平分，即EG=FG.

由⑴得BE=DF,且EG=FG,

所以AC與BD垂直且平分，

所以四邊形ABCD為菱形，即AB=BC.

又因為AMJ_BC,且M點為BC的中點,AB=BC,

所以△ABC為等邊三角形.

因為在等腰三角形AEB中，AABE=ABAM=30。,,設(shè)AE=1,

所以AB=V3,

所以=V3.

雙基訓(xùn)練

1.已知四邊形ABCD中,NA與ND互補,/B=l10。,則/C的度數(shù)為（）.

A.70°B.90°C.110°D.140°

2在四邊形ABCD中，且/A-NC=/D-/BJ5L|().

A.ZA=ZBB.ZA+ZD=180°

C.ZA+ZC=180°D.AD〃BC

3.一個多邊形截去一個角后形成另一個多邊形，其內(nèi)角和為720°,那么原多邊形的邊數(shù)為（）.

A.5B.5或6

C.5或7D.5或6或7

4.如圖所示，平行四邊形ABCD的對角線交于O,且AD=4,△OAD的周長為14,則平行四邊形ABCD的對

第4題圖

A.4cm<OC<10cmB.4cm<OC<20cm

C.8cm<OC<10cmD.8cm<OC<20cm

6.下列圖形中既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形的是（）.

7.如圖所示,在平行四邊形ABCD中,E,F分別為AD,BC中點,AC分別交BE.DF于點M,N,下列結(jié)論錯誤的是

A.AABM^ACDN

1

B.AM=-AC

3

C.DN=2NF

第7題圖

D.AAME^ADNC

8.如圖所示,將平行四邊形ABCD的一邊BC延長至E,若NA=45。則NDCE=

AD

AD

O

BCEBEC

第8題圖第9題圖

9.平行四邊形ABCD的對角線相交于O,且ZBWZD,,過點O作OELBD交BC于點E,若△CDE的周長為1

0,則平行四邊形ABCD的周長為—.

10.如圖所示，在△中,E,D,F為AB,BC,CA的中點,.AB=3,AC=2,,則四邊形AEDF的周長為.

11.如圖所示，在△ABC中,AB=BC=6,NABC=8(r,BD是NABC的平分線,DE〃BC,貝!]DE=

12如圖所示,△ABC中,AAB=AC=13,BC=10,AD為BC邊上中點,四邊形ADBE為平行四邊形，則

S=

四邊形ADBE-.

13.如圖所示，順次延長正方形ABCD各邊AB,BC,CD,DA至E,F,G,H且使BE=CF=DG=AH=AB=1,,則

四邊形EFGH的面積為.

14.如圖所示,四邊形ABCD為正方形，延長AB到E,使AE=AC,則/BCE的度數(shù)為

15.如圖所示,在平行四邊形ABCD中,AD=4AB,CE平分/BCD交AD于點E,且AE=6,則AB=.

第15題圖第16題圖

16.如圖所示，在四邊形ABCD中，對角線4C1BD,垂足為O,點E,F,G,H分別為邊AD,AB,CB,CD中點，且有

AC±BD,AC=12,BD=6,則四邊形EFGH的面積為.

17.如圖所示,在平行四邊形ABCD中,E為BC邊上一點，延長BC到F,使得.BE=CR若/BAE=30。,則/CDF=_

第17題圖第18題圖

18.如圖所示,在平行四邊形ABCD中,/BAD=120o,E,F分別在CD.BC的延長線上,AE〃BD,EF，BC,DF=10j^

EF=.

19.如圖所示,在平行四邊形ABCD中,BC上有一點E,連接AE,ED在ED上取一點F使得NAFE=NB,若NB=6

第19題圖第20題圖

20.在平行四邊形ABCD中,對角線AC,BD相交于點O,點E在邊AD上，且AE:DE=1:3,連接BE,BE與AC相

交于點M,若.AC=隹則MO的長為

能力提升

21.如圖所示，平行四邊形ABCD中,F為BC邊的中點，連接DF并延長交AB的延長線于點E,則下列結(jié)論中正

確的個數(shù)有().

(1)ZA=ZC;(2)BF=FC;(3)DF=EF;(4)AB=BE;(5)SAADE=SnABCD

A.2B.3C.4D.5

22.如圖所示,在平行四邊形ABCD中,對角線AC與BD相交于點O,M,N為對角線AC上兩點，且AM=CN,則

下列結(jié)論中正確的個數(shù)為().

①ZABM=NCDN;②MO=NO;③BM〃DN;④BM=DC

A.①②B.②③C.①②③D.①②③④

23.一個多邊形的內(nèi)角和是外角和的2倍，則這個多邊形的邊數(shù)為一.

24.如圖所示,D為△ABC內(nèi)一點,BD，CD,AD=6,BD=4,CD=3,E,F,G,H分別為AB,AC,CD,BD中點，則四邊形EF

GH的周長是.

第24題圖

25.如圖所示,正方形ABCD的對角線AC上取一點E使CD=CE,過E作EF±AC交AD于點F,若AE=x，則FC=

26.如圖所示在菱形ABCD中邊長為10,乙4=60。,順次連接菱形ABCD各邊中點，可得四邊形4道?。1；；

順次連接四邊形4B1C1D1各邊中點，可得四邊形4B2C2D2；順次連接四邊形2c各邊中點，可得四邊形

力3B3c3。3；按此規(guī)律繼續(xù)下去，則四邊形AzB2c2。2的周長是—；四邊形.（。謂⑶2013c2。13。2。13的周長是一

27.如圖所示，在正方形ABCD中.E是AB上一點,BE=2,AE=3BE,P是AC上一動點，則PB+PE的最小值為

28.如圖所示在直角梯形ABCD中,AB〃DC且,AD1DC,AB=4,,將BC以B為中心，逆時針旋轉(zhuǎn)90。至BE,連

接AE,EC,AABE面積為8,則DC=

第29題圖

29.如圖所示，在等腰梯形ABCD中，已知AB〃CD,AD=BC,AB=3,DC=6,延長DC至I」F,使AB=CF若ACLBD,則

等腰梯形ABCD的高BE=.

30.在平行四邊形ABCD中,AB=2,NB,NC的平分線分別交AD于點E,F,且EF=1,則BC的長為.

拓展資源

3L如圖所示,M為AABC的邊BC的中點,AN平分/BAC,BN_LAN于點N,已知AB=8,BC=10,MN=5廁△ABC

的周長為

第31題圖

32.如圖所示，菱形ABCD中,AB=2,NA=120。,點P,Q,K分別為線段BC,CD,BD上任意一點，則PK+QK的最小值

為（）.

A.lB.V3C.2D.V3+1

第32題圖

33.如圖所示,AB=AC,AD=AE,DE=BC,且NBAD=NCAE,則下列結(jié)論中正確的個數(shù)有（）.

①/AED=NADE;②4AEB之△ADC;③NABC=60。;④四邊形BCDE為矩形

A.lB.2C,3D.4

34.如圖所示，在△2BC中,AB=延長BC至點口,使（CD=BC,,點E在邊AC上以CE,CD為鄰邊作平行

四邊形CDEF,過點C作交EF于點G,連接BG,DE.

（DZACB與NGCD有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請說明理由.

（2）求證：△BCG=ADCE.

34.已知平行四邊形ABCD中,AE18C,垂足為E,CE=CD,,點F為CE的中點，點G為CD上一點，連接D

F、EG、AG,N1=N2.

(1)若CF=2,4E=3,求BE的長.

⑵求證:/-CEG=^AGE.

B

第35題圖

1-5ADDBA6-7DD

8.135°9.2010.511.3cm12.6013.5

14.22.5°15.216.1817.30°18,5V319.120020.噂

21.D22.C23.624.1125.J4+2缶

26.20,5+5V327.1028.829.|

30.3或531.36

32.B提示:因為四邊形ABCD為菱形，

所以AD^BC.

因為/A=120°,

所以乙B=180°-N4=60°.

作點P關(guān)于BD的對稱點P,連接PQPC,則P'Q的長即為PK+QK的最小值，由圖可知，當(dāng)