2024年中考數(shù)學(xué)提高復(fù)習(xí)講義：圖形的認(rèn)識與三角形

中考專題復(fù)習(xí)之圖形的認(rèn)識與三角形

知識梳理

1.角

⑴角的概念.

①定義一：有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫作角，這個(gè)公共端點(diǎn)叫作角的頂點(diǎn)，兩條射線分別叫作角的

邊.

②定義二：一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形叫作角.射線旋轉(zhuǎn)時(shí)經(jīng)過的平面部分是

角的內(nèi)部，射線的端點(diǎn)是角的頂點(diǎn)，射線旋轉(zhuǎn)的初始位置和終止位置分別是角的兩條邊.

(2)角的表示方法.

①用三個(gè)大寫字母來表示，注意將頂點(diǎn)字母寫在中間，如/AOB.

②用一個(gè)大寫字母來表示，注意頂點(diǎn)處只有一個(gè)角用此法，如/A.

③用一個(gè)數(shù)字或希臘字母來表示.

⑶角的分類

①小于直角的角叫作銳角；平角的一半或90。的角叫作直角；大于直角而小于平角的角叫作鈍角.

②平角：一條射線繞著端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)終止位置與起始位置成一條直線時(shí)，所成的角叫作平角，平角等于180。.

③周角：一條射線繞著端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)終止位置又回到起始位置時(shí)，所成的角叫作周角，周角等于360。.

④互為余角：如果兩個(gè)角的和是一個(gè)直角(90。),那么這兩個(gè)角叫作互為余角.

⑤互為補(bǔ)角：如果兩個(gè)角的和是一個(gè)平角(180。),那么這兩個(gè)角叫作互為補(bǔ)角.

(4)角的度量.

①度量單位：度、分、秒.

②角度單位間的換算：1°=60；r=60〃(即:1度=60分,1分=60秒).

③1平角=180。1.周角=360。/直角=90。.

(5)角的性質(zhì)：同角或等角的余角相等，同角或等角的補(bǔ)角相等.

(6)角的平分線：如果一條射線把一個(gè)角分成兩個(gè)相等的角，那么這條射線叫作這個(gè)角的平分線.

2相交線

(1)對頂角.

①定義：如果兩個(gè)角有一個(gè)公共頂點(diǎn)，而且一個(gè)角的兩邊分別是另一角兩邊的反向延長線，那么這兩個(gè)角叫

作對頂角.

②性質(zhì)：對頂角相等.

(2)鄰補(bǔ)角.

①定義：有一條公共邊，而且另一邊互為反向延長線的兩個(gè)角叫作鄰補(bǔ)角.

②性質(zhì)：鄰補(bǔ)角互補(bǔ).

⑶垂線.

①兩條直線互相垂直的定義：當(dāng)兩條直線相交所得的四個(gè)角中，有一個(gè)角是直角時(shí)，就說這兩條直線是互相

垂直的，它們的交點(diǎn)叫作垂足.垂直用符號“，”來表示

②垂線的定義：互相垂直的兩條直線中，其中的一條叫作另一條的垂線，如直線a垂直于直線b,垂足為

O,則記為a±b,垂足為O.其中a是b的垂線，b也是a的垂線.

③垂線的性質(zhì)：⑶過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直；(b)連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段

中，垂線段最短.簡單說成：垂線段最短.

④點(diǎn)到直線的距離的定義：直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長度，叫作點(diǎn)到直線的距離.

(4)同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角.

①基本概念：兩條直線(如a,b)被第三條直線(如c)所截，構(gòu)成八個(gè)角,簡稱三線八角，如右圖所示:21和/8,/

2和/7,/3和/6,/4和/5是同位角1和/6,/2和/5是內(nèi)錯(cuò)角;/1和/5,/2和/6是同旁內(nèi)角.

②特點(diǎn)：同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角都是由三條直線相交構(gòu)成的兩個(gè)角.兩個(gè)角的一條邊在同一直線(截線)

上，另一條邊分別在兩條直線(被截線)上.

3.平行線

(1)平行線的定義.在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫作平行線.平行用符號“〃”來表示，如直線a與b平行，

記作a〃b.在幾何證明中，“〃”的左、右兩邊也可能是射線或線段.

⑵平行公理及推論.

①經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行.

②平行公理推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行.即：如果b〃a,c〃&那么b

//C.

(3)性質(zhì).

①平行線永遠(yuǎn)不相交.

②兩直線平行，同位角相等.

③兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等.

④兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ).

⑤如果兩條平行線中的一條垂直于某直線，那么另一條也垂直于這條直線，可用符號表示為:若b〃c,b，aJ0U

c±a.

(4)判定方法.

①定義

②平行公理的推論.

③同位角相等，兩直線平行.

④內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行.

⑤同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行.

⑥垂直于同一條直線的兩條直線平行.

4.三角形

(1)三角形的概念.由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫作三角形.組成三角形的線段叫

作三角形的邊；相鄰兩邊的公共端點(diǎn)叫作三角形的頂點(diǎn)；相鄰兩邊所組成的角叫作三角形的內(nèi)角，簡稱三角形的

角.

(2)三角形中的主要線段.

①三角形的一個(gè)角的平分線與這個(gè)角的對邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)間的線段叫作三角形的角平分線.

②在三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)和它對邊的中點(diǎn)的線段叫作三角形的中線.

③從三角形一個(gè)頂點(diǎn)向它的對邊作垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫作三角形的高線(簡稱三角形的高).

(3)三角形的穩(wěn)定性.三角形的形狀是固定的，三角形的這個(gè)性質(zhì)叫作三角形的穩(wěn)定性.三角形的這個(gè)性質(zhì)在生產(chǎn)

生活中應(yīng)用很廣，需要穩(wěn)定的東西一般都制成三角形的形狀.

(4)三角形的特性與表示.三角形有如下三個(gè)特性：

①三角形有三條線段

②三條線段不在同一直線上一三角形是封閉圖形.

③首尾順次相接

三角形用符號“△”表示，頂點(diǎn)是A,B,C的三角形記作“△ABC”,讀作“三角形ABC”.

(5)三角形的分類.

三角形按邊的關(guān)系分類如下：

.不等邊三角形

三角形J(底和腰不相等的等腰三角形

等腰三角形

［等邊三角形

三角形按角的關(guān)系分類如下：

,直角三角形(有一個(gè)角為直角的三角形)

三角形斜三角形產(chǎn)角三角形(三個(gè)角都是銳角的三角形)

.一I鈍角三角形(有一個(gè)角為鈍角的三角形)

把邊和角聯(lián)系在一起，我們又有一種特殊的三角形：等腰直角三角形，它是兩條直角邊相等的直角三角形.

(6)三角形的三邊關(guān)系定理及推論.

①三角形三邊關(guān)系定理：三角形的兩邊之和大于第三邊.

推論：三角形的兩邊之差小于第三邊.

②三角形三邊關(guān)系定理及推論的作用：

(a)判斷三條已知線段能否組成三角形；

(b)當(dāng)已知兩邊時(shí)，可確定第三邊的范圍；

(c)證明線段不等關(guān)系.

(7)三角形的角關(guān)系.三角形的內(nèi)角和定理：三角形三個(gè)內(nèi)角和等于180。.

推論：

①直角三角形的兩個(gè)銳角互余；

②三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的另兩個(gè)內(nèi)角的和；

③三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角.

注：在同一個(gè)三角形中，等角對等邊；等邊對等角；大角對大邊；大邊對大角.等角的補(bǔ)角相等，等角的余角

相等.

(8)三角形的面積.

三角形的面積=Ix底義高

應(yīng)用：經(jīng)常利用兩個(gè)三角形面積關(guān)系求底、高的比例關(guān)系或相應(yīng)的值.

5.全等三角形

⑴三角形全等的判定定理

①邊角邊定理：有兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(可簡寫成“邊角邊”或“SAS”).

②角邊角定理：有兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(可簡寫成角邊角”或“ASA”).

③邊邊邊定理：有三邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(可簡寫成“邊邊邊”或“SSS”).

(2)直角三角形全等的判定.對于特殊的直角三角形，判定它們?nèi)葧r(shí)，還有HL定理(斜

邊、直角邊定理)：有斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等(可簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”).

(3)全等變換.只改變圖形的位置，不改變其形狀大小的圖形變換叫作全等變換.

全等變換包括以下三種.

①平移變換：把圖形沿某條直線平行移動的變換叫作平移變換.

②對稱變換：將圖形沿某直線翻折180°,這種變換叫作對稱變換.

③旋轉(zhuǎn)變換：將圖形繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度到另一個(gè)位置，這種變換叫作旋轉(zhuǎn)變換.

典型例題

例1

已知平面內(nèi)不重合的兩點(diǎn)確定一條直線，則平面上不同的4個(gè)點(diǎn)最多可以確定一條直線，n個(gè)點(diǎn)可以最多確

定一直線.

解析設(shè)不重合的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為n,可以確定的直線數(shù)為Sn.

當(dāng)n=2時(shí),5“=1=空拜

當(dāng)n=3時(shí),Sn=3=g3

當(dāng)n=4時(shí),Sn=6=蛉”

當(dāng)n個(gè)點(diǎn)時(shí)，

例2

如圖所示，在△ABC中,BD=^BC.AE=\AD,SABC=8。62,則S.E為().

A.1cm2B.2cm2

C.3cm2DAcm2

解析本題從表面上無法求解，但可以根據(jù)“三角形的中線把三角形分為面積相等的兩部分”.

因?yàn)锽D=^BCtAE=^AD,

所以S/BO=2^ABCABE=2^ABD，

所以BE~^ABC~2

S/=q2cm.

例3例2圖

如圖所示，在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，F(xiàn)是AD延長線上一點(diǎn)，且.OF=BE

(1)求證:CE=CF.

(2)若點(diǎn)G在AD上，且NGCE=45。,貝！JGE=BE+GD成立嗎?為什么？

解析(1)證明:在正方形ABCD中，因?yàn)锽C二CD,NB二NCDF,BE=DF,所以△CBE^ACDFBC

(SAS),所以CE=CF.例3圖

(2)GE=BE+GD成立.

因?yàn)橛散诺?△CBE^ACDF,

所以/BCE=/DCF,

所以ZBCE+ZECD=ZDCF+ZECD,BPZECF=ZBCD=90°.

又因?yàn)镹GCE=45。,

所以/GCF=ZGCE=45°.

因?yàn)镃E=CF,ZGCE=ZGCF,GC=GC,

所以△ECG^AFCG,

所以GE=GF,

所以GE=DF+GD=BE+GD.

例4

解析A.相交直線的對頂角相等.

B.在平行四邊形中對角相等.

C.三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，所以一定有Z2>Z1.

D.如圖所示，因?yàn)閍〃b,

所以N1=N3.

因?yàn)镹2=/3,

所以/1=/2,故選C.

雙基訓(xùn)練

1.下列說法正確的是().

A.線段AB和BA是同一條線段B.數(shù)軸是一條射線，因?yàn)樗蟹较?/p>

C.射線BA和射線AB是同一條射線D.線段可以無限延伸

2.下面說法中正確的個(gè)數(shù)是().

(1)平角是一條直線

(2)兩邊成一直線的角是平角

(3)有一個(gè)公共點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫作角

(4)有公共端點(diǎn)的兩條線段組成的圖形叫作角

⑸角是一條射線繞它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的圖像

(6)角是一條線段繞它的一個(gè)端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的圖形

A.1B.2C,3D.4

3.如圖所示，已知B是直線AC上一點(diǎn)/DCB=50。,且DC平分/BCE廁NACE=(

A.80°B.70°

C.60°D.50°

4.如圖所示，射線OB平分/AOCQC平分NBOD,則下面結(jié)論正確的是().第3題圖

(1)ZAOB=ZBOC=ZCOD

(2)ZAOC=ZBOD

(3)ZAOC=2ZCOD

(4)ZCOD=2ZAOB

A.QX2X3)BOX2X4)

C.⑴⑶(4)DOX2X3X4)

5.如果一個(gè)角等于它補(bǔ)角的p則這個(gè)角的余角為().

A.30°B.45°C.60°D.120°

6如圖所示，直線AB與直線CD相交于點(diǎn)O,E是NAOD內(nèi)一點(diǎn)，已知OE,AB,NBOD=60。貝JNCOE的度數(shù)是

A.120°B.130°

C.1400D.150°

第6題圖

7.現(xiàn)有長度分別為4cm,6cm,8cm,10cm的木棒，從中任取三根，能組成三角形的數(shù)為（）.

A.lB.2C.3D.4

8.如圖所示，在△ABC中,NB=30o,NC=70。^AD是NBAC的角平分線，則NADB為（）.

A.110°B.100°C.90°D,80°

9.如圖所示，在四邊形ABCD中,AB=AD,CD二CB若連接AC,BD相交于O,則圖中全等三角形共有（）.

10.如圖所示，直線liII12,△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別在直線li,%上，若乙1=110°,Z2=45。,則N3=（）.

A.65°B.60°C.55°D.50°

IL如圖所示,△ABE之△ACD,AB=AC,BD=CE,NB=5()o,NAEC=120。,則々DAC的度數(shù)等于().

A.120°B.70°C.60°D.50°

12.如圖所示,將平行四邊形ABCD沿BD對折,使得點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，且BE與AD交于O,若NCBD=35。,則NB

OD=().

A.100°B.105°C.110°D.115°

AD

B............................C

第12題圖

13.等腰三角形的周長為80cm,以某一邊為邊作等邊三角形，這個(gè)等邊三角形的周長為90cm,那么這個(gè)等腰

三角形的底邊長為（）.

A.30cmB.10cmC.60cm或20cmD.30cm或20cm

14如圖所示在△ABC中,AB=AC,AD是頂角的平分線,BE=CF,則下列說法錯(cuò)誤的是（）.

A.AD平分/EDFB.AEBD^AFCDC.BD=CDD.DE±DF

15.如圖所示，在△ABC中,AB=AC=10,BC=12,點(diǎn)M為BC的中點(diǎn),MNLAC于點(diǎn)N廁MN等于.

ACDB

第16題圖

16.如圖所示,C為AB上任意一點(diǎn)2DB=CB,若AB=24,AC=16廁CD=

17.如圖所示，在△ABC中,AB=AC,CD平分/ACB,NA=40。,則/CDA=

18.如圖所示，在RtAABC中,NB4C=90。,點(diǎn)D在BC邊上，且△4BD是等邊三角形，若力B=2,,貝必ABC的

周長為—.（結(jié)果保留根號）

19若△力8c三邊長分別為a,b,c滿足Va+b-25+|6—a—1|+（c-5尸=。，則△ABC是____.

能力提升

20.如圖⑴所示，M是鐵絲AD的中點(diǎn)，將該鐵絲首尾相接折成△4BC,且乙B=30。，/?=100。,如圖⑵所示則

下列說法正確的是（）.

AMD

(1)(2)

第20題圖

A.點(diǎn)M在AB上

B.點(diǎn)M在BC的中點(diǎn)處

C.點(diǎn)M在BC上，且距離點(diǎn)B較近,距離點(diǎn)C較遠(yuǎn)

D.點(diǎn)M在BC上，且距離點(diǎn)C較近,距離點(diǎn)B較遠(yuǎn)

21.學(xué)校、公園、家在平面上分別對應(yīng)平面上的點(diǎn)為A,B,C,公園在學(xué)校的正東方向，家在學(xué)校的南偏西2

5。方向.那么/CAB為（）.

A.115°B.155°C.25°D.65°

22.如圖所示在△ABC中，若點(diǎn)D,E,F分別為BC,AD,CE的中點(diǎn)，且SABC=16叫峨以BEF的面積是（）.

A.4cm2B.8cm2C.2cm2D.1cm2

第21題圖第22題圖

23.如圖所示，已知△ACE三&DBF,,則下列結(jié)論中正確的序號是（）.

(1)NABF=NECD;(2)AE=FD;(3)AB=CD;(4)BC=AE;(5)SAAEC=SADFB

A.⑴⑵⑶B.(l)⑵⑶(4)

C.(l)(2)(3)(5)D.⑴⑵⑶(4)⑸

24.一個(gè)正方形和兩個(gè)等邊三角形的位置如圖所示，若/3=50°,則/1+/2=（）.

A.90°B.100°C.130°D.180°

25.如圖所示，將書頁斜折過去，使角的頂點(diǎn)A落在A處,BC為折痕，BD為/EBA，的角平分線，則NCBD=_

第25題圖第26題圖

26.如圖所示，已知線段AB〃EC,則.乙4+NB+NC+ND+NE+NF=.

27.如圖所示,BD是/ABC的平分線,P是BD上一點(diǎn),PELAB于E,PE=4皿則點(diǎn)P到邊BC的距離為cm.

28.如圖所示，等邊三角形ABC的邊長為6,AD是BC邊上的中線,M是AD邊上的動點(diǎn),E是AC邊上一點(diǎn)，若A

E=2,則EM+CM的最小值為.

29.如圖所示，在△4BC中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，作射線AD,在線段AD及其延長線上分別取點(diǎn)E,F,連接

CE,BF.添加一個(gè)條件，使得△BDF=ACDE,,并加以證明，你添加的條件是___.（不添加輔助線）

拓展資源

30.平面上不重合的兩點(diǎn)確定一條直線，不同三點(diǎn)最多可確定3條直線，若平面上不同的n個(gè)點(diǎn)最多可確定21

條直線，則n的值為（）.

A.5B.6C.7D.8

3L如圖所示,D是AC上一點(diǎn),AD=1,DC=2,AB=4,E是AB上一點(diǎn)，且△DEC的面積等于△ABC的一半，求EB.

A

D

第31題圖

32.(1)如圖⑴所示，在△ABC中..NB4C=90°,AB=AC,,直線m經(jīng)過點(diǎn)A,BDL直線m,CEl_直線m,垂足分別

為點(diǎn)D,E.證明:DE=BD+CE.

第32題圖

⑵如圖(2)所示,將⑴中的條件改為在△4BC中,AB=AC,,D,A,E三點(diǎn)都在直線m上,并且有ABDA=AAEC

=4BAC=a,,其中a為任意銳角或鈍角.請問結(jié)論DE=BD+CE是否成立?如成立，請你給出證明；若不成立，

請說明理由.

(3)拓展與應(yīng)用:如圖(3)所示,D,E是D,A,E三點(diǎn)所在直線m上的兩動點(diǎn)(D,A,E三點(diǎn)互不重合)，點(diǎn)F為NBAC平

分線上的一點(diǎn)，且△ABF和△4CF均為等邊三角形，連接BD,CE,若ABDA=^AEC=N8",試判斷△DEF的形狀.

33.如圖所示，點(diǎn)B在線段AC上點(diǎn)D,E在AC同側(cè)，乙4=NC=90°,BD1BE,AD=BC

(1)求證:AC=AD+CE.

(2)若AD=3,CE=5,點(diǎn)P為線段AB上動點(diǎn)，連接DP作PQ1DP,,交直線BE于點(diǎn)Q.

①當(dāng)點(diǎn)P與A,B兩點(diǎn)不重合，求名的值；

②當(dāng)點(diǎn)P從A點(diǎn)運(yùn)動到AC的中點(diǎn)時(shí)，求線段DQ的中點(diǎn)所經(jīng)過的路徑(線段)長.(直接寫出結(jié)果，不必寫出解

答過程)

第33題圖

1-5ACAAA6-10DCACA11-14BCDD

15.yl6.417.105°18.6+2V319.直角三角形

20-24CAACB25.90°26.360°27.428.2V7

29.DE=DF(或CE〃BF或/ECD=NDBE或/DEC=/DFB等)

30.C

31.如圖所示，作EF±AC于F,CG±AB于G.

SDEC^DCEF_DC_2SAEC==些=些

SAEC^AC-EFAC3'S^BCAB4'

所以SDFCSAEC=2乂絲=生

SAEC'SABC3