2024年中考數(shù)學試題分類匯編：圓的相關(guān)性質(zhì)（34題）含答案及解析

專題22圓的相關(guān)性質(zhì)（34題）

一、單選題

1.（2024?湖南?中考真題）如圖，AB,AC為。。的兩條弦，連接OC,若ZA=45。，則ZBOC的度

數(shù)為（）

C.90°D.135°

2.（2024?甘肅臨夏?中考真題）如圖,A8是。。的直徑，ZE=35°,則（

C.120°D.110°

3.（2024?江蘇連云港?中考真題）如圖，將一根木棒的一端固定在。點，另一端綁一重物.將此重物拉到A

點后放開，讓此重物由A點擺動到B點.則此重物移動路徑的形狀為（）

B.拋物線C.圓弧D.水平直線

4.（2024.四川涼山.中考真題）數(shù)學活動課上，同學們要測一個如圖所示的殘缺圓形工件的半徑，小明的解

決方案是：在工件圓弧上任取兩點A3,連接48,作A5的垂直平分線交AB于點。，交A8于點C,

測出A5=40cm,CD=10cm,則圓形工件的半徑為（）

A.50cmB.35cmC.25cmD.20cm

5.（2024?內(nèi)蒙古赤峰?中考真題）如圖，AD是。。的直徑，A3是。。的弦，半徑OC_LAB,連接8,交OB

于點E,ZBOC=42°,則NOED的度數(shù)是（）

A.61°B.63°C.65°D.67°

6.（2024?湖北?中考真題）48為半圓0的直徑，點C為半圓上一點，且NC4B=50。.①以點B為圓心，適

當長為半徑作弧，交AB,BC于D,E；②分別以DE為圓心，大于為半徑作弧，兩弧交于點尸；③作射

線BP,則（）

A.40°B.25°C.20°D.15°

7.（2024.四川宜賓.中考真題）如圖,A3是。。的直徑，若NCZ）_B=60。，則/ABC的度數(shù)等于（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

8.（2024?四川廣元?中考真題）如圖,已知四邊形ABCD是OO的內(nèi)接四邊形，E為AO延長線上一點,

ZAOC=128°,則NCDE等于（）

C.54°D.52°

9.（2024?云南?中考真題）如圖，CD是。。的直徑，點A、B在。。上.若AC=BC，NAOC=36。，則NO=

()

A.9°B.18°C.36°D.45°

10.（2024?黑龍江綏化?中考真題）下列敘述正確的是（）

A.順次連接平行四邊形各邊中點一定能得到一個矩形

B.平分弦的直徑垂直于弦

C.物體在燈泡發(fā)出的光照射下形成的影子是中心投影

D.相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦心距也相等

11.（2024.廣東廣州?中考真題）如圖，。。中，弦A8的長為4?，點C在。。上，OC±AB,ZABC=3O°.GO

所在的平面內(nèi)有一點尸，若OP=5,則點尸與。。的位置關(guān)系是（）

A.點尸在O。上B.點P在OO內(nèi)C.點P在。O外D.無法確定

12.（2024?黑龍江牡丹江.中考真題）如圖，四邊形A8CD是的內(nèi)接四邊形，43是的直徑，若

NBEC=20°,則一ADC的度數(shù)為（）

E

A.100°B.110°C.120°D.130°

13.（2024?湖北武漢?中考真題）如圖，四邊形ABC。內(nèi)接于ZABC=60°,ZBAC=ZCAD=45°,

「V3

D.叵

22

二、填空題

14.（2024?四川南充?中考真題）如圖，A3是。。的直徑，位于兩側(cè)的點C,。均在。0上，ZBOC=30°,

則NADC=度.

15.（2024?北京?中考真題）如圖，的直徑A8平分弦8（不是直徑）.若"=35。，則/C=

16.（2024.江蘇蘇州.中考真題）如圖，及4BC是G）O的內(nèi)接三角形，若/O3C=28。，則NA=

17.（2024?黑龍江大興安嶺地.中考真題）如圖，"1BC內(nèi)接于。。，AD是直徑，若N3=25。，則NCW

18.（2024.四川眉ill.中考真題）如圖，“LBC內(nèi)接于OO,點。在AB上，4￡）平分/BAC交于。，連

接BD.若AB=10,BD=2^/5,則BC的長為.

19.（2024?陜西?中考真題）如圖，8C是OO的弦，連接OB,OC,NA是8c所對的圓周角，則2A與N03C

20.（2024?黑龍江牡丹江.中考真題）如圖，在。。中，直徑ABLCD于點E,CD=6,BE=1,則弦AC的

長為.

21.（2024?江西?中考真題）如圖，A3是。。的直徑，45=2,點C在線段AB上運動，過點C的弦

將。8E沿OE翻折交直線A8于點R當OE的長為正整數(shù)時，線段FB的長為.

22.（2024?河南?中考真題）如圖，在Rt^ABC中，ZACB=9O°,CA=CB=3,線段8繞點C在平面內(nèi)旋

轉(zhuǎn)，過點2作AO的垂線，交射線AD于點E.若CE>=1,則AE的最大值為,最小值為.

三、解答題

23.（2024?四川甘孜?中考真題）如圖，為。。的弦，C為AB的中點，過點C作CD〃AB,交02的延

長線于點D連接3,OC.

（1）求證：CZ）是。。的切線；

（2）若Q4=3,BD=2,求AOCD的面積.

24.（2024?內(nèi)蒙古包頭.中考真題）如圖，是。。的直徑，BCb。是。。的兩條弦，點C與點。在43的

兩側(cè)，E是。8上一點（OE>BE）,連接OC,CE,且NBOC=2NBCE.

(1)如圖1,若BE=1,CE=s[5,求。O的半徑;

（2）如圖2,若BD=2OE,求證：BD//OC.（請用兩種證法解答）

25.（2024?安徽?中考真題）如圖，。。是AABC的外接圓，。是直徑48上一點，ZACD的平分線交A8于

點、E,交。。于另一點RFA=FE.

⑴求證：CDA.AB-,

（2）設(shè)垂足為M,若OM=OE=1,求AC的長.

26.（2024?四川眉山?中考真題）如圖，砥是。。的直徑，點A在。。上，點C在8E的延長線上,

Z￡AC=ZABC,AD平分154￡1交。。于點。，連結(jié)。E.

⑴求證：C4是。。的切線；

（2）當4C=8,CE=4時，求的長.

27.（2024?江蘇揚州.中考真題）如圖，已知NPAQ及AP邊上一點C.

（1）用無刻度直尺和圓規(guī)在射線AQ上求作點。，使得NCOQ=2NG4Q；（保留作圖痕跡，不寫作法）

⑵在（1）的條件下，以點。為圓心，以O(shè)A為半徑的圓交射線AQ于點B,用無刻度直尺和圓規(guī)在射線CP

上求作點M,使點/到點C的距離與點/到射線AQ的距離相等；（保留作圖痕跡，不寫作法）

3

⑶在（1）、（2）的條件下，若sinA=1，CM=12,求5W的長.

28.（2024?河南?中考真題）如圖1,塑像A3在底座3C上，點D是人眼所在的位置.當點B高于人的水平

視線DE時，由遠及近看塑像，會在某處感覺看到的塑像最大，此時視角最大.數(shù)學家研究發(fā)現(xiàn)：當經(jīng)過A,

2兩點的圓與水平視線工電相切時（如圖2）,在切點P處感覺看到的塑像最大，此時NAPB為最大視角.

圖2

⑴請僅就圖2的情形證明NAP3>NADB.

⑵經(jīng)測量，最大視角4Ps為30。，在點P處看塑像頂部點A的仰角/4PE為60。，點尸到塑像的水平距離

PH為61n.求塑像A8的高（結(jié)果精確到0.1m.參考數(shù)據(jù)：6x1.73）.

29.（2024.江西?中考真題）如圖，AB是半圓。的直徑，點力是弦AC延長線上一點，連接3D,BC,

（2）當3C=3時，求AC的長.

30.（2024.廣東深圳.中考真題）如圖，在△ABZ）中，AB=BD,。。為△ABD的外接圓，8E為。。的切線,

AC為O。的直徑，連接OC并延長交班于點E

（1）求證：DE1.BE；

（2）若AB=5而，BE=5,求的半徑.

31.（2024?四川廣元?中考真題）如圖，在中，AC=BC,ZACB=9Q°,經(jīng)過A、C兩點，交AB

于點。，CO的延長線交A8于點凡DE〃CF交BC于點、E.

c

A

⑴求證：DE為。。的切線;

(2)若AC=4,tan/CFD=2,求。。的半徑.

32.（2024?內(nèi)蒙古呼倫貝爾?中考真題）如圖，在AA6C中，以48為直徑的交8c于點AC,垂

足為E.。。的兩條弦FB,F￡>相交于點=

⑴求證：。也是。。的切線;

（2）若NC=30O,C￡>=26，求扇形08。的面積.

33.（2024?江蘇揚州?中考真題）在綜合實踐活動中，“特殊到一般”是一種常用方法，我們可以先研究特殊情

況，猜想結(jié)論，然后再研究一般情況，證明結(jié)論.

如圖，已知AASC,CA=CB,OO是"1BC的外接圓，點。在。。上（連接AD、BD、CD.

【特殊化感知】

（1）如圖1,若/ACB=60。，點。在A0延長線上，則AD-3D與C。的數(shù)量關(guān)系為；

【一般化探究】

（2）如圖2,若NACB=60。，點C、。在同側(cè)，判斷AD-8。與C。的數(shù)量關(guān)系并說明理由；

【拓展性延伸】

（3）若ZACB=a,直接寫出A￡>、BD、C￡）滿足的數(shù)量關(guān)系.（用含。的式子表示）

34.（2024?浙江?中考真題）如圖，在圓內(nèi)接四邊形45CD中，AD<AC,ZADC<ZBAD,延長AO至點E,

使AE=AC,延長朋至點孔連結(jié)所，使ZAFE=ZADC.

⑴若/AFE=60。，CD為直徑，求的度數(shù).

⑵求證：①EF〃BC；②EF=BD.

專題22圓的相關(guān)性質(zhì)（34題）

一、單選題

1.（2024?湖南?中考真題）如圖，AB,AC為。。的兩條弦，連接OC,若ZA=45。，則ZBOC的度

數(shù)為（）

【答案】C

【分析】本題考查了圓周角定理，熟知在同圓或等圓中，一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半

是解題的關(guān)鍵.根據(jù)圓周角定理可知/A=g/80C,即可得到答案.

【詳解】根據(jù)題意，圓周角NA和圓心角NBOC同對著8C，

ZA--ZBOC,

2

-,-ZA=45°,

:.ZBOC=2ZA=2x45°=90°.

故選：C.

2.（2024.甘肅臨夏?中考真題）如圖，48是。。的直徑，ZE=35°,則（）

【答案】D

【分析】本題考查圓周角定理，關(guān)鍵是由圓周角定理推出NAOD=2/E.

由圓周角定理得到ZAOD=2ZE=70°,由鄰補角的性質(zhì)求出ZBOD=180°-70°=110°.

【詳解】解：?.?/￡=35。，

.?.ZAOD=2Z￡=70°,

:./BOD=180。-70°=110。.

故選：D.

3.（2024.江蘇連云港?中考真題）如圖，將一根木棒的一端固定在。點，另一端綁一重物.將此重物拉到A

點后放開，讓此重物由A點擺動到8點.則此重物移動路徑的形狀為（）

A.傾斜直線B.拋物線C.圓弧D.水平直線

【答案】C

【分析】本題考查動點的移動軌跡，根據(jù)題意，易得重物移動的路徑為一段圓弧.

【詳解】解：在移動的過程中木棒的長度始終不變，故點A的運動軌跡是以。為圓心，Q4為半徑的一段圓

弧，

故選：C.

4.（2024.四川涼山.中考真題）數(shù)學活動課上，同學們要測一個如圖所示的殘缺圓形工件的半徑，小明的解

決方案是：在工件圓弧上任取兩點A，8,連接A3,作48的垂直平分線CD交AB于點。，交入臺于點C,

測出A5=40cm,CD=10cm,則圓形工件的半徑為（）

A.50cmB.35cmC.25cmD.20cm

【答案】C

【分析】本題考查垂徑定理，勾股定理等知識.由垂徑定理，可得出3。的長；設(shè)圓心為。，連接。3,在

為△03。中，可用半徑。2表示出OD的長，進而可根據(jù)勾股定理求出得出輪子的半徑，即可得出輪子的直

徑長.

【詳解】解：：8是線段A8的垂直平分線，

直線CD經(jīng)過圓心，設(shè)圓心為。，連接。B.

RtzXOBD中，BD=-AB=20cm,

2

根據(jù)勾股定理得:

OD2+BD2=OB2,即:

(OB-10)2+202=OB2,

解得：08=25；

故輪子的半徑為25cm,

故選：C.

5.（2024?內(nèi)蒙古赤峰?中考真題）如圖，AD是。。的直徑，AB是。。的弦，半徑OC_LAB,連接8,交08

于點E,ZBOC=42°,則NOED的度數(shù)是（）

A.61°B.63°C.65°D.67°

【答案】B

【分析】本題考查了垂徑定理，圓周角定理以及三角形的外角性質(zhì).先根據(jù)垂徑定理，求得

ZAOC=ZBOC=42°,利用圓周角定理求得ND=；NAOC=21。，再利用三角形的外角性質(zhì)即可求解.

【詳解】解：???半徑

AC=BC^

：.ZAOC=ZBOC=42°,ZAOB=84°,

，：AC=AC9

：.ZD=-ZAOC=21°,

2

???ZOED=ZAOB-ZD=63°,

故選：B.

6.（2024?湖北?中考真題）AB為半圓0的直徑，點。為半圓上一點，且NC4B=50。.①以點3為圓心，適

當長為半徑作弧，交AB,BC于D,E；②分別以O(shè)E為圓心，大于為半徑作弧，兩弧交于點P；③作射

線3尸，則（）

A.40°B.25°C.20°D.15°

【答案】C

【分析】本題主要考查圓周角定理以及角平分線定義，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可求出/ABC=40。,

根據(jù)作圖可得NA3尸=1A3C=20。，故可得答案

【詳解】解：為半圓。的直徑，

ZACB^90°,

,：ZCAB=50°,

：.ZABC=40°,

由作圖知，AP是/ABC的角平分線，

ZABP=~ABC=2.0°,

2

故選：C

7.（2024.四川宜賓.中考真題）如圖，48是。。的直徑，若NCDB=60。，則/ASC的度數(shù)等于（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】A

【分析】本題考查了直徑所對的圓周角為直角，同弧或等弧所對的圓周角相等.根據(jù)直徑所對的圓周角為

直角得到NACB=90。，同弧或等弧所對的圓周角相等得到/CD3=NA=60。，進一步計算即可解答.

【詳解】解：?.?9是O。的直徑，

:.ZACB=90°,

ZCDB=60°,

:.ZA=ZCDB=60°,

ZABC=90°-ZA=30°,

故選：A.

8.（2024?四川廣元?中考真題）如圖，已知四邊形ABCD是O。的內(nèi)接四邊形，E為AD延長線上一點,

ZAOC=128°,則NCDE■等于（）

A.64°B.60°C.54°D.52°

【答案】A

【分析】本題考查了圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，熟練掌握以上知識點是解題的關(guān)鍵.根據(jù)同弧所

對的圓心角等于圓周角的2倍可求得NABC的度數(shù),再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補,可推出ZCDE=ZABC,

即可得到答案.

【詳解】解：?.?NASC是圓周角，與圓心角NAOC對相同的弧，且NAOC=128。，

ZABC=-ZAOC=-xl28°=64°,

22

又丁四邊形ABC。是。。的內(nèi)接四邊形，

/.ZABC+ZADC=180°,

又-/NCDE+ZADC=180°,

:.ZCDE=ZABC=M0,

故選：A.

9.（2024?云南?中考真題）如圖，CO是。O的直徑，點A、B在。。上.若AC=8C，NAOC=36。，則N￡>=

A.9°B.18°C.36°D.45°

【答案】B

【分析】本題考查了弧弦圓心角的關(guān)系，圓周角定理，連接。3,由AC=BC可得40c=/4OC=36。,

進而由圓周角定理即可求解，掌握圓的有關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：連接。8,

AC=BC>

：.NBOC=ZAOC=36。,

ZD=-ZBOC=18°,

2

故選：B.

10.（2024.黑龍江綏化?中考真題）下列敘述正確的是（）

A.順次連接平行四邊形各邊中點一定能得到一個矩形

B.平分弦的直徑垂直于弦

C.物體在燈泡發(fā)出的光照射下形成的影子是中心投影

D.相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦心距也相等

【答案】C

【分析】本題考查了矩形的判定，垂徑定理，中心投影，弧、弦與圓心角的關(guān)系，根據(jù)相關(guān)定理逐項分析

判斷，即可求解.

【詳解】A.順次連接平行四邊形各邊中點不一定能得到一個矩形，故該選項不正確，不符合題意；

B.平分弦（非直徑）的直徑垂直于弦，故該選項不正確，不符合題意；

C.物體在燈泡發(fā)出的光照射下形成的影子是中心投影，故該選項正確，符合題意；

D.在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦心距也相等，故該選項不正

確，不符合題意；

故選：C.

11.（2024?廣東廣州?中考真題）如圖，。。中，弦48的長為4班，點C在。。上，OC±AB,ZABC=30°.QO

所在的平面內(nèi)有一點P,若OP=5,則點尸與的位置關(guān)系是（）

A.點尸在。。上B.點尸在。。內(nèi)C.點尸在外D.無法確定

【答案】C

【分析】本題考查了垂徑定理，圓周角定理，點與圓的位置關(guān)系，銳角三角函數(shù)，掌握圓的相關(guān)性質(zhì)是解

題關(guān)鍵.由垂徑定理可得4）=24，由圓周角定理可得NAOC=60。，再結(jié)合特殊角的正弦值，求出OO的

半徑，即可得到答案.

【詳解】解：如圖，令0C與48的交點為。，

?.?0C為半徑，A3為弦，且OC_LAB,

:.AD=-AB=2y/3,

2

ZASC=30°

:.ZAOC=2ZABC=60°,

在AAOO中，ZAT)O=90°,ZAOD=60°,AD=20

Ar)

?「sinZAOD=——

OA

AD_2A/3_

?/旃=近=,即。。的半徑為4,

~2

?.?OP=5>4,

，點尸在O。外,

12.（2024?黑龍江牡丹江?中考真題）如圖，四邊形ABCD是OO的內(nèi)接四邊形，是。。的直徑，若

ZBEC=20°,則—WC的度數(shù)為（）

E

D

A.100°B.110°C.120°D.130°

【答案】B

【分析】此題考查了圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，連接AC,由A8是的直徑得到/ACB=90。,

根據(jù)圓周角定理得到NC4B=N5￡C=20。，得到NABC=90。-NR4C=70。，再由圓內(nèi)接四邊形對角互補得

到答案.

【詳解】解：如圖，連接AC,

*/AB是。。的直徑,

???ZACB=90°,

NBEC=20。，

：.ZCAB=ZBEC=20°

：.ZABC=90°-ABAC=70°

,/四邊形ABCD是。。的內(nèi)接四邊形，

???ZADC=180?！猌ABC=110。，

故選：B

13.（2024?湖北武漢?中考真題）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于OO,ZABC=60°,ABAC=ZCAD=45°,

A/3

AV6R2V2RnV2

3322

【答案】A

【分析】延長A3至點E,使班=4),連接30,連接CO并延長交。。于點R連接AF,即可證得

△AZ)C^A￡BC(SAS),進而可求得AC=COS45O-AE=V5,再利用圓周角定理得到NAFC=60。，結(jié)合三角

函數(shù)即可求解.

【詳解】解：延長A5至點E,使BE=AD,連接30,連接CO并延長交O。于點R連接

???四邊形ABCD內(nèi)接于。。，

,ZADC+ZABC=ZABC-^-ZCBE=180°

???ZADC=ZCBE

,：ZBAC=ZCAD=45°

：.ZCBD=ZCDB=45°,ZDAB=9Q°

是。。的直徑，

???/DCB=90。

???△OC3是等腰直角三角形，

???DC=BC

?/BE=AD

：.AAZ）C^A￡BC（SAS）

AZACD=ZECBfAC=CE,

,/AB+AD=2

AB+BE=AE=2

XVZDCB=90°

.??ZACE=90°

???"CE是等腰直角三角形

AC=cos45°AE=V2

ZABC=60°

：.ZAFC=60°

,/ZFAC=90°

.”AC246

sin6003

???OF=OC=-CF=—

23

故選：A.

【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，圓周角定理，銳角三角函數(shù)、等腰三角形的性質(zhì)與判定等

知識點，熟練掌握圓周角定理以及全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

二、填空題

14.（2024?四川南充?中考真題）如圖，42是。。的直徑，位于42兩側(cè)的點C,。均在上，ZBOC=30°,

則度.

【答案】75

【分析】本題考查圓周角定理，補角求出/AOC,根據(jù)同弧所對的圓周角是圓心角的一半，進行求解即可.

【詳解】解：：是。。的直徑，位于48兩側(cè)的點C,。均在上，ZBOC=30°,

ZAOC=180°-ZBOC=150°,

ZADC=-ZAOC=75°；

2

故答案為：75.

15.（2024?北京?中考真題）如圖，。。的直徑A8平分弦8（不是直徑）.若"=35。，則/C=

【答案】55

【分析】本題考查了垂徑定理的推論，圓周角定理，直角三角形的性質(zhì),熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵.

先由垂徑定理得到AB，8,由BC=BC得到4==35。，故/。=90。-35。=55。.

【詳解】解：:?直徑平分弦CD,

：.AB±CD,

'?*BC=BC，

：.ZA=ZD=35°,

：.NC=90°—35°=55°,

故答案為：55.

16.（2024.江蘇蘇州?中考真題）如圖，AASC是。O的內(nèi)接三角形，若/O3C=28。，則NA=

【分析】本題考查了圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，連接OC,利用等腰三角形的性

質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理求出N3OC的度數(shù)，然后利用圓周角定理求解即可.

【詳解】解：連接OC,

'：OB=OC,ZOBC=28°,

：.NOCB=NO3C=28°,

ZBOC=180°-Z.OCB-ZOBC=124。，

/.ZA」/80C=62。，

2

故答案為：62°.

17.（2024.黑龍江大興安嶺地?中考真題）如圖，AABC內(nèi)接于。O,AD是直徑，若N3=25。，則/C4D

B

【答案】65

【分析】本題考查了圓周角定理，直角三角形的兩個銳角互余，連接C。，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角得

出NACD=90。，根據(jù)同弧所對的圓周角相等得出/。=/8=25。，進而根據(jù)直角三角形的兩個銳角互余，

即可求解.

【詳解】解：如圖所示，連接

B

：AABC內(nèi)接于。。，是直徑，

ZACD=9Q°,

：AC=A"=25。，

ND=NB=25。

：.ACAD=90°-25°=65°,

故答案為：65.

18.（2024.四川眉山?中考真題）如圖，AABC內(nèi)接于。。，點。在上，AO平分N3AC交。。于。，連

接若AB=10,BD=2^/5,則8c的長為.

【答案】8

【分析】本題考查了圓周角定理，角平分線的定義全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判

定和性質(zhì)，延長AC,BD交于E,由圓周角定理可得N/4D3=NADE=90。，ZACB=ZBCE=90°,進而可

證明注AA￡D（ASA）,得到2。=。石=2石，即得BE=4石，利用勾股定理得A。=4有，再證明

△ABDSABCE,得到空=毀,據(jù)此即可求解，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

ABAD

【詳解】解：延長AC,BD交于E,

?「AB是O。的直徑,

ZADB=ZADE=90°,ZACB=ZBCE=90°,

?.?A￡>平分/3AC,

:.ZBAD=ZDAE,

又：AD=AD,

：.^ABD^AED(ASA),

BD=DE=2>/5,

:.BE=4yj5,

??-AB=10,BD=275,

AD=J10?一(2肩=4y/5,

ZDAC=ZCBD,

又：ZBAD=ZDAE,

：.NBAD=NCBD,

-,?ZADB=ZBCE=90°,

..AABD^ABEC,

,BE_BC

,AB-AD，

4A/5BC

:.BC=8,

故答案為：8.

19.（2024.陜西中考真題）如圖，2C是。。的弦，連接03,OC,2A是BC所對的圓周角，則2A與N03C

的和的度數(shù)是.

【答案】90。/90度

【分析】本題考查了圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握圓周角定理是解題的

關(guān)鍵.根據(jù)圓周角定理可得/3OC=2/4,結(jié)合三角形內(nèi)角和定理，可證明2NA+/O3C+/OCB=180。,

再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可知/OBC=/OCB,由此即得答案.

【詳解】「NA是BC所對的圓周角，-30C是8c所對的圓心角，

:.ZBOC=2ZA,

ZBOC+ZOBC+ZOCB=180°,

2ZA+ZOBC+ZOCB=180°,

?：OB=OC,

:.ZOBC=ZOCB,

2ZA+ZOBC+ZOBC=180°,

.-.2ZA+2ZOBC=180°,

ZA+ZOBC=90°.

故答案為：90°.

20.（2024?黑龍江牡丹江?中考真題）如圖，在。。中，直徑ABLCD于點E,CD=6,BE=l,則弦AC的

長為.

【答案】3M

【分析】本題考查了垂徑定理和勾股定理等知識，熟練掌握垂徑定理，由勾股定理得出方程是解題的關(guān)鍵.

由垂徑定理得CE=ED=gcO=3,設(shè)。。的半徑為,，則OE=03—EB=廠-1,在RMOED中,由勾股定

理得出方程，求出r=5,即可得出A￡=9,在R^AEC中，由勾股定理即可求解.

【詳解】解：??,AB，CD,CD=6,

:.CE=ED=-CD=3,

2

設(shè)。。的半徑為r,則OE=O3-￡B=r—l,

在R/AOED中,由勾股定理得：OE。+DE?=OD。,即（―1了+3?=/，

解得：r=5,

/.OA—5,OE—4,

:.AE=OA+OE=9,

在RMAEC中，由勾股定理得：AC=SICE2+AE2==3710.

故答案為：3A/10.

21.（2024.江西?中考真題）如圖，是。。的直徑，AB=2,點C在線段上運動，過點C的弦

將。BE沿OE翻折交直線A5于點E當OE的長為正整數(shù)時，線段￡8的長為.

【答案】2-括或2+g或2

【分析】本題考查了垂徑定理，勾股定理，折疊的性質(zhì)，根據(jù)可得DE=1或2,利用勾股定理進

行解答即可，進行分類討論是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：為直徑，DE為弦,

DE<AB,

???當DE的長為正整數(shù)時，DE=1或2,

當DE=2時，即DE為直徑，

■■DE-LAB

二將OBE沿翻折交直線于點F,此時廠與點A重合，

故FB=2；

當DE=1時，且在點C在線段02之間，

如圖，連接OO,

此時=

2

?DE工AB

22

OC=^OD--DC2=—,

2

：.BC=OB-OC=2~^,

2

BF=2BC=2-A/3；

當￡>E=1時，且點C在線段之間，連接

:.BF=2BC=2+y/3,

綜上，可得線段FB的長為2-6或2+代或2,

故答案為：2-6或2+6或2.

22.（2024?河南?中考真題）如圖，在RtaABC中，ZACB=90。，C4=CB=3,線段CO繞點C在平面內(nèi)旋

轉(zhuǎn)，過點2作AD的垂線，交射線AO于點E.若CD=1,則AE的最大值為,最小值為.

【答案】2及+1/1+2忘2V2-1/-1+2V2

【分析】根據(jù)題意得出點。在以點C為圓心，1為半徑的圓上，點E在以A3為直徑的圓上，根據(jù)

AEAB-cosZBAE,得出當cos/BAE最大時，AE最大，cos/BAE最小時，AE最小，根據(jù)當AE與G）C相

切于點。，且點。在AABC內(nèi)部時，NBAE最小，AE最大，當鉆與0。相切于點。，且點。在AABC外

部時，NBAE最大,AE最小，分別畫出圖形，求出結(jié)果即可.

【詳解】解：：/ACB=90。，CA=CB=3,

：.ABAC=ZABC=-x90°=45°,

2

;線段CD繞點C在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，CD=1,

...點。在以點C為圓心，1為半徑的圓上，

,/BE±AE,

：.ZAEB=90°,

...點E在以A3為直徑的圓上，

在RtZWE中，AE=AB-cosNBAE,

：AB為定值，

???當cosZBAE最大時，AE最大，cos/BAE最小時，AE最小，

???當A石與。。相切于點。，且點。在AABC內(nèi)部時，一歷山最小，AE最大，連接8,CE,如圖所示:

則CDLAE,

：?ZADC=/CDE=90°,

AD=VAC2-co2=舊-f=2V2，

AC=AC'

ZCED=ZABC=45°,

ZCDE=90°,

/.ACDE為等腰直角三角形，

，DE=CD=1,

AE=AD+DE=2V2+1，

即AE的最大值為2應+1;

當AE與OC相切于點，且點。在AABC外部時，/BAE最大,AE最小，連接CD,CE,如圖所示:

則CDLAE,

：.NCDE=90°,

AD=VAC2-CD2=732-i2=2V2，

?..四邊形ABCE為圓內(nèi)接四邊形，

ZCEA=180°-ZABC=135°,

ZCED=180°-ZCEA=45°,

NCDE=90°,

ACDE為等腰直角三角形，

DE=CD=1,

AE=AD-DE=2A/2-b

即AE的最小值為2忘-1;

故答案為：2a+1;272-1.

【點睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì),

解直角三角形的相關(guān)計算，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)，找出AE取最大值和最小值時,

點。的位置.

三、解答題

23.（2024?四川甘孜?中考真題）如圖，AB為。。的弦，C為A8的中點，過點C作C"〃AB，交QB的延

長線于點D.連接OA,OC.

(1)求證：CD是。。的切線；

(2)若。4=3,BD=2,求AOCD的面積.

【答案】(1)見解析

⑵6

【分析】本題考查了圓的切線的判定、勾股定理、垂徑定理的推論等知識點，熟記相關(guān)結(jié)論是解題關(guān)鍵.

(1)由垂徑定理的推論可知據(jù)此即可求證；

(2)利用勾股定理求出8即可求解；

【詳解】(1)證明：為。O的弦，C為AB的中點，

由垂徑定理的推論可知：OC±AB,

CD//AB,

：.OCLCD,

OC為。。的半徑，

是。。的切線；

(2)解：,：OB=OA=OC=3,BD=2,

：.OD=OB+BD=5,

CD=ylOD2-OC2=4，

SNOCD=；xOCxCD=6.

24.(2024?內(nèi)蒙古包頭.中考真題)如圖，AB是的直徑，3C,3D是。。的兩條弦，點C與點。在48的

兩側(cè)，E是。8上一點(OE>BE),連接。C,CE,且NBOC=2NBCE.

(1)如圖1,若BE=1,CE=^5,求G>O的半徑；

(2汝口圖2,若BD=2OE,求證：BD//OC.(請用兩種證法解答)

【答案】⑴3

(2)見解析

【分析】(1)利用等邊對等角、三角形內(nèi)角和定理求出NQBC=NOCB=；(180O-N8OC),結(jié)合

ZBOC=2ZBCE,可得出NO3C+/BCE=90。，在RjOCE中，利用勾股定理求解即可；

(2)法一：過。作于死利用垂徑定理等可得出=然后利用HL定理證明

2

RSCEO絲RMOEB,得出NCOE=NOB外然后利用平行線的判定即可得證；

法二：連接AD,證明ACE8AAD3,得出/COE=/ABD,然后利用平行線的判定即可得證

【詳解】(1)解：：OC=O3,

ZOBC=ZOCB=1(180°-ZBOC),

?；NBOC=2NBCE,

：.ZOBC=1(180°-2ZBCE)=90°-ZBCE,即ZOBC+NBCE=90°,

ZOEC=90°,

OC2=OE-+CE2,

：.OC2=(OC-1)2+(A/5)\

解得OC=3,

即。。的半徑為3；

(2)證明：法一：過。作0小，3。于R

D

：.BF=-BD,

2

BD=2OE

：.OE=BF,

又OC=OB,NOEC=NBFO=90°,

/.^i^CEO^PX^OFB（HL）,

NCOE=NOBF,

：.BD//OC-,

法二：連接AD,

AB是直徑，

，ZADB=90°,

/.AD=《AB?-BD。=J（2OC）2-（2OE）2=2doe2-OE?=2CE,

.PCCEOE_1

'*AB-AB-BD-2,

:.ACEOS^ADB,

：.ZCOE=ZABD,

：.BD//OC.

【點睛】本題考查了垂徑定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，全

等三角形的判定與性質(zhì)等知識，明確題意，靈活運用所學知識解題是解題的關(guān)鍵.

25.（2024.安徽?中考真題）如圖，。。是AABC的外接圓，。是直徑AB上一點，NACD的平分線交48于

⑴求證：CD1AB；

（2）設(shè)垂足為M,若OM=OE=1,求AC的長.

【答案】（1）見詳解

（2）472.

【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理等知識，掌握這些性質(zhì)以及定理是解

題的關(guān)鍵.

(1)由等邊對等角得出㈤E=NA跖，由同弧所對的圓周角相等得出NE4E=/BCE,由對頂角相等得

出ZAEF=NCEB,等量代換得出/CEB=/3CE,由角平分線的定義可得出NACE=/DCE,由直徑所對

的圓周角等于90?？傻贸鯪ACF=90。，即可得出NCEB+〃CE=/3CE+/ACE=/ACS=90。，即

ZCDE=90°.

(2)由(1)知，NCEB=NBCE,根據(jù)等邊對等角得出3E=3C,根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得出

MA,AE的值，進一步求出04,BE,再利用勾股定理即可求出AC.

【詳解】(1)證明：：E4=FE,

，ZFAE=ZAEF,

又44E與/BCE都是8歹所對的圓周角，

，NFAE=NBCE,

'：ZAEF=/CEB,

：.ZCEB=ZBCE,

CE平分/ACD,

ZACE=ZDCE,

：AB是直徑，

ZACB=90°,

/.Z.CEB+ZDCE=NBCE+ZACE=ZACB=90°,

故/CDE=90°,

即CD_LAB.

(2)由(1)知，NCEB=NBCE,

：.BE=BC,

又FA=FE,FM±AB,

：.MA=ME=MO+OE=2,AE=4,

六圓的半徑。4=OB=A￡—OE=3,

BE=BC=OB-OE=2,

在"IBC中.

AB=2(M=6,BC=2

AC=y/AB2-BC2=762-22=40

即AC的長為40.

26.(2024?四川眉山?中考真題)如圖，8E是。O的直徑，點A在。。上，點C在8E的延長線上，

ZEAC=ZABC,AD平分NB4E交。。于點￡),連結(jié)DE.

⑴求證：C4是。。的切線；

(2)當4。=8,。石=4時，求。E的長.

【答案】(1)見解析

⑵6&

【分析】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，圓周角定理，熟練掌握切線的判

定是解題的關(guān)鍵.

(1)連接Q4,根據(jù)圓周角定理得到NB4E=90。，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到=求得

Z(MC=90°，根據(jù)切線的判定定理得到結(jié)論;

(2)根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)定理得到BC=16,BE=BC-CE=12,連接8D,根據(jù)角平分線的

定義得到=求得BD=DE，得到班＞=DE，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【詳解】(1)證明：連接。4,

BE是＜30的直徑,

:.ZBAE=90°,

ZBAO+ZOAE=90°,

.OA=OB,

:.ZABC=ZBAO,

-.-ZEAC^ZABC,

:.ZCAE=ZBAO,

:.ZCAE+ZOAE=90°,

：.ZOAC=90°,

??,CW是。。的半徑,

.?.C4是。。的切線；

(2)解：-,-ZEAC=ZABC,ZC=ZC,

:.AABC^AEAC,

.ACCE

,BC-AC?

.8_4

??~=一,

BC8

，BC=16,

:.BE=BC-CE=12,

連接30,

?.AD平分NBAE,

\?BAD?EAD,

,,BD-DE，

BD=DE，

是。。的直徑，

:.ZBDE=90°,

27.（2024?江蘇揚州?中考真題）如圖，已知NPA2及AP邊上一點C.

（1）用無刻度直尺和圓規(guī)在射線AQ上求作點。，使得NCOQ=2NC4Q；（保留作圖痕跡，不寫作法）

（2）在（1）的條件下，以點。為圓心，以。4為半徑的圓交射線AQ于點8,用無刻度直尺和圓規(guī)在射線CP

上求作點使點/到點C的距離與點/到射線AQ的距離相等；（保留作圖痕跡，不寫作法）

3

⑶在（1）、（2）的條件下，若sinA=g,CM=12,求的長.

【答案】（1）作圖見詳解

(2)作圖見詳解

(3)BM=6下

【分析】(1)根據(jù)尺規(guī)作角等于已知角的方法即可求解;

(2)根據(jù)尺規(guī)作圓，作垂線的方法即可求解;

(3)根據(jù)作圖可得CM=WM=12,A8是直徑，結(jié)合銳角三角函數(shù)的定義可得4〃的值，根據(jù)

勾股定理可求出AC的值，在直角BCM中運用勾股定理即可求解.

【詳解】(1)解：如圖所示,

/.ZCOQ=2.ZCAQ.

點。即為所求

(2)解:如圖所示,

連接3C,以點8為圓心，以BC為半徑畫弧交AQ于點4，以點片為圓心，以任意長為半徑畫弧交AQ于

點G，2,分別以點G，2為圓心，以大于為半徑畫弧，交于點工,連接與耳并延長交AP于點

：AB是直徑,

AZACB=90°,SPBC1AP,

根據(jù)作圖可得B￡=與％,CM=A片,

MB,±AQ,即NMB1B=90。，加用是點/到AQ的距離,

,,,BC=BB],

：.Rt^BCM^Rt^M(HL),

CM=B[M,

點M即為所求點的位置;

（3）解:如圖所示，

A

根據(jù)作圖可得，ZCOQ=2ZCAQ,MC=MW=n,MWYAQ,連接BC,

WM3

,?在Rt^AMW中，sinA=---——,

AM5

.5WM5x12“

\AM=----=--------=20,

33

\==20-12=8,

；AB是直徑,

ZACS=90。，

AB5

設(shè)BC=3x,貝ijAB=5x,

在Rt^ABC中，（5x）2=（302+82,

解得，x=2（負值舍去）,

BC=3x=6,

在Rt^BCM中,BM=-JCM2+BC2=A/122+62=645-

【點睛】本題主要考查尺規(guī)作角等于已知角，尺規(guī)作垂線，勾股定理，銳角三角函數(shù)的定義等知識的綜合，

掌握以上知識的綜合運用是解題的關(guān)鍵.

28.（2024.河南?中考真題）如圖1,塑像A3在底座BC上，點。是人眼所在的位置.當點8高于人的水平

視線DE時，由遠及近看塑像，會在某處感覺看到的塑像最大，此時視角最大.數(shù)學家研究發(fā)現(xiàn)：當經(jīng)過4

8兩點的圓與水平視線。E