2024年中考數(shù)學(xué)提高復(fù)習(xí)講義：相似三角形及其判定

相似三角形及其判定

知識(shí)梳理

相似三角形的判定方法如下：

(1)兩角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形相似.

(2)兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似.

(3)三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似.

(4)如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩

個(gè)直角形相似.

(5)平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似.

(6)直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形和原三角形相似.

典型例題

例1

如圖所示,D為AABC的AB上一點(diǎn)，過D作DE〃AC于點(diǎn)E,已知DB:AB=2:3,AC=12cm,求DE的長(zhǎng).

解析因?yàn)镈E〃AC,

所以△BDE^>ABAC,

所以DB=DE=2

尸"人ABAC3,

所以DE=8cm.

例2

如圖所示，在等邊三角形ABC中，D為BC邊上一點(diǎn)，E為AC邊上一點(diǎn)，且^ADE=60。,BD=4,CE=

泅△4BC的面積為（）.

48百B.15

C.9V3D.12V3

解析因?yàn)槿切蜛BC為等邊三角形，

所以.NB=NC=60。,48=BC=AC.

因?yàn)樵凇鰽BD和.ADCE中,NB=NC=60°,

所以/B+ZBAD+ZADB=180°,ZC+ZCDE+ZDEC=180°,例2圖

所以/BAD+/ADB=12（T,/CDE+/DEC=120。.

又因?yàn)?ADE=60。，

所以/ADB+NCDE=120。，

所以/BAD=ZCDE,ZADB=ZDEC,

所以△ABDS/XDCE,

所以"?=AB

CEDCAB-BD

代入數(shù)據(jù)得:AB=6

由等邊三角形的面積S=呷AB?=9V3.

故選c.

例3

如圖所示，在正方形ABCD中，P為BC上的一點(diǎn)，且BP=3P&Q是CD的中點(diǎn)，求證:△ADQ^AQCP.

解析解決此題的關(guān)鍵是認(rèn)真分析圖形，找出切入口，利用所學(xué)的知識(shí)解決，靈活應(yīng)用定理.

在正方形ABCD中，

因?yàn)镼是CD的中點(diǎn)，

所以黑=2.

又因?yàn)轭?3,所以藪=4.

又因?yàn)锽C=2DQ,

所以筆=2.

在AADQ和AQCP中，黃=震4=功=90°.

所以△ADQs/XQCP.

例4

若在矩形中較短邊與較長(zhǎng)邊的比例正好為黃金比例，則稱此矩形為黃金矩形.現(xiàn)已知矩形ABCD為黃金矩形，其

中一邊長(zhǎng)為AD=4cm,且E,F分別是BC,DC邊的黃金分割點(diǎn)(CE>BE,CF>DF),試判斷△AEF的形狀，并求出它的面積.

解析因?yàn)榫匦蜛BCD為黃金矩形，且AD=4cm,

所以^0=^^已知AD=4cm,

所以4B=2（V5—l）cm.

又因?yàn)锳BCD為矩形，

所以（）

4B=CD=2V5-lcmMD=BC=4cm.例4圖

因?yàn)镋,F分別是BC,DC邊的黃金分割點(diǎn)（CE>BE,CF>DF）

gr-piCE_V5-1CF_V5-1

所人CB-2'CD~2，

所以CE=2（V5-l）cm,CF=2（V5-l）cmx笞=（6-2V5）cm

BE=BC-CE=（6-2V5）cm.

在4ABEECF中,NB=NC=90°,AB=CE=2（V5-l）cm,

BE=CF=（6-2V5）cm,

所以△ABE^AECF,

所以AE=EF,ZBAE=ZCEF,ZAEB=ZEFC,

所以NBAE+NEFC=90。，

所以△AEF為等腰直角三角形.

在RtAAEF中,由勾股定理得

2222

SAEF=|4ExFF=jx/IE=IX{AB+BE）=（20-8V5）cm.

雙基訓(xùn)練

1.下列命題正確的是().

A.所有直角三角形都相似B.所有等腰三角形均相似

C.所有等邊三角形的相似比均為1D.所有等腰直角三角形均相似

2.已知AABCs/XAEC,若/次=45。,/。=100。,則/8=().

A.25°B.35°C.45°D.100°

3.已知△ABCs^ABC,AB=3,AB=1.5,則△ABC與公ABC的相似比為（）.

A.2:lB.l:2

C.2:3D.3:2

4.如圖所示,△ABCs^ADE,則下列命題中正確的是（）.

A.ZAED=ZABCB.ZADE=ZACB

AEAD「EDAD

C.—=—L）.—=—第4題圖

EBDCBCAB

5.如圖所示,△ABC中,D,E分別為AB,AC的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）.

A.—=—B.BC=2DE

AEAC

-1

JSADE=2^ABCDAADE0°△ABC

6.如圖所示，在等邊^(qū)ABC中,D,E分別為BC,AC上一點(diǎn),△DCE-AABD,^ZADE=（）.

A.60°B.90°C.120°D.150°

7.如圖所示，ABCD為菱形，A為BE的中點(diǎn),則圖中相似三角形個(gè)數(shù)為（）.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

8.在正三角形ABC中,D,E分別在邊AB,AC上，且AD=/&則有（）.

4D

A.AAED^ABEDB.AAED^>ACBD

C.AAED^AABDD.ABAD^ABCD

9.如圖所示,在平行四邊形ABCD中,E,F分別為AD,CD邊上的點(diǎn)，連接BE,AF,分別相交于點(diǎn)G,延長(zhǎng)BE

交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,則圖中相似三角形有（）

A.2對(duì)B.3又寸

C.4對(duì)D.5對(duì)

第9題圖

10.將△ABC各邊全部擴(kuò)大為原來(lái)3倍得到△A'B'C,則下面結(jié)論中正確的是（）.

A.AABC與△A'BC一定不相似

B.AABC與AABC的相似比為1:3

C.AABC與4ABC的周長(zhǎng)比為1:9

D.AABC-^AAEC的面積之比為9:1

11.如圖所示，小正方形邊長(zhǎng)均為1,則下列選項(xiàng)中的三角形（陰影部分）與4ABC相似的是（）.

12.如圖所示，D為RtAABC內(nèi)任意一點(diǎn)，過D作直線截得三角形與△ABC相似，則這樣的直線共有（）.

A.2條B.3條

C.4條D.6條

第12題圖

13.如果一個(gè)直角三角形的兩條邊長(zhǎng)分別為5,12,另一個(gè)相似直角三角形邊長(zhǎng)分別為2.5,6和x,則x的值（）.

A.只有一個(gè)B.可以有兩個(gè)

C.有兩個(gè)以上，但有限D(zhuǎn).有無(wú)數(shù)個(gè)

14.如圖所示,在等邊三角形ABC中，點(diǎn)D,E分別在AB,AC上，且△ADEs/\ABC,已知DE=2,AD:AB=l:4,g^A

ABC的周長(zhǎng)為

15.如圖所示,N4BC=AADB=90°,AC=10,BD=9，如果△ABC^ABDA,!J!]BC=.

16.將三角形紙片口ABC），按如圖所示的方式折疊，使點(diǎn)B落在邊AC上記為點(diǎn)B',折痕為EF.已知AB=AC

=6,BC=8若以點(diǎn)B',F,C為定點(diǎn)的三角形與△ABC相似，那么BF的長(zhǎng)度是—.

17.已知△ABC與△4隹心相似，目相似比為：,4/心與△A2B2C22的相似比為？,貝必ABC與/△A2B2C2

47

的相似比為一.

18.如圖所示,四邊形DECF為平行四邊形,AD=2,BD=4,BF=5,貝!]DE=.

19.如圖所示，已知A(6,0),B(0,8),C(8,4),作CD_Lx軸,D為垂足，連接AB.BC,AC.求證:△ACD^AABC.

20.如圖所示,在矩形ABCD中點(diǎn)E為BC邊上的一動(dòng)點(diǎn)DF，AE于點(diǎn)F.連接DE,求證:△ABE-ADFA.

第20題圖

能力提升

2L如圖所示,AB，BC,CD，BC,且△ECDs△ABE,則下列命題中正確的個(gè)數(shù)有（

(1)ZAEB=ZDEC;

(2)ZBAE=ZDEC;

⑶器差

(4)ZAED=90°

A.lB.2第21題圖

C.3D.4

22如圖所示公ABC與小ADE都是等腰直角三角形,NBAC=NDEA=90。,四邊形ACDE是平行四邊形，連接CE

交AD于點(diǎn)F,連接BD交CE于點(diǎn)G,連接BE,下列結(jié)論中:①OE=BD;②4ADC是等腰直角三角形;③/ADB=/AE

B;④CD-AE=EF-CG廁下列結(jié)論中一定正確的有（）.

A.1個(gè)B.2個(gè)

C.3個(gè)D.4個(gè)

第22題圖

23.如圖所示,在矩形ABCD中,AB=m,BC=n,E為BC中點(diǎn)，作DF±AE于F,則DF=().

/mnBmn。2mn02mn

-V4m2+n2'Vm2+4n2*Vm2+4n2'V4m2+n2

24.如圖所示,正方形ABCD中,E為AB中點(diǎn),AFLDE于O,則需=().

2

ABC.-

-l13D當(dāng)

第23題圖第24題圖第25題圖

25.如圖所示,P為線段BC上一點(diǎn),AD與BC交于E,ZCPD=ZA=ZB,BC交PD于F,AD交PC于G,則圖中相

似三角形有().

A.1對(duì)B.2對(duì)C.3對(duì)D.4對(duì)

26.如圖所示，梯形ABCD的對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,G為BD中點(diǎn)若AD=3,BC=9,則GO:BG=().

A.l:2B.l:3C.2:3D.11:20

27.如圖所示，等邊三角形ABC中,D,E分別為AB,BC邊上一點(diǎn)AD=BE,AE與CD交于點(diǎn)F,AG±CD于點(diǎn)G,則

AG

~AF~-

第26題圖第28題圖

28.如圖所示，在RtAABC中,NC=9(T,D,E,F分別為AC,AB,BC邊上的點(diǎn),四邊形DEFC為正方形,AF與DE交于

G,AC=3,BC=2廁GE=.

29.如圖所示M為正方形ABCD邊AB上一點(diǎn),BP_LCM于點(diǎn)P,PN±PD交BC于N,求證:△PBN^APCD.

第29題圖

30.如圖所示，四邊形ABCD為矩形，直線1垂直平分線段AC,垂足為O,直線1分別與直線AD,CB的延長(zhǎng)

線交于E,F.

⑴求證:AABC△FOA.

⑵試判斷四邊形AFCE的形狀.

拓展資源

31.如圖所示，在△ABC中,AB=AC,E,D是4ABC內(nèi)兩點(diǎn),AD平分NBAC,NEBC=NE=60。,若BE=6cm,DE=2cm,

則BC=

第31題圖

32.如圖所示，已知AB=AC,ZA=36°,AB的中垂線MN交AC于點(diǎn)D,交AB于點(diǎn)M,下面的四個(gè)結(jié)論:①射線BD

是4ABC的角平分線;②ABCD是等腰三角形;③△ABCs/\BCD;④ZXAMD取ABCD.

⑴判斷其中正確的結(jié)論是哪幾個(gè).

⑵選擇一個(gè)你認(rèn)為是正確的結(jié)論加以證明.

第32題圖

33.已知矩形ABCD,對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)O,P為一動(dòng)點(diǎn),PE14C于E,PF1BD于F,AB=6,BC=8,當(dāng)P在AD

上移動(dòng)時(shí)（不與AD中點(diǎn)重合），則.PE+PF的值是否發(fā)生變化?若發(fā)生變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不變化，請(qǐng)加以說(shuō)明.

第33題圖

34.已知四邊形ABCD中,E,F分別是AB,AD邊上點(diǎn),DE與DF交于點(diǎn)G.

(1)如圖⑴所示，若四邊形ABCD是矩彩且DE1CF,求證：差=*

CFCD

(2)如圖(2)所示,若四邊形ABCD是平行四邊形，試探究：當(dāng)乙B與NEGC滿足什么關(guān)系時(shí)，使得票=告成

立?并證明你的結(jié)論.

⑶如圖⑶所示，若BA=BC=6,DA=DC=8,NBAD=9(r,DE，CF,請(qǐng)直接寫出差的值.

35.矩形ABCD中,AB=4cm,BC=8cm,AC的垂直平分線EF分別交AD.BC于點(diǎn)E,F,垂足為0.

⑴如圖⑴所示，連接AF,CE.求證:四邊形AFCE是菱形，并求AF的長(zhǎng).

(2)如圖(2)所示，動(dòng)點(diǎn)P,Q分別從A,C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿△AFB和^CDE各邊勻速運(yùn)動(dòng)一周，即點(diǎn)P自A—F—B

->A停止，點(diǎn)Q自C—>D—>E—>C停止，在貶動(dòng)過程中：

①已知點(diǎn)P的速度為每秒5cm,點(diǎn)Q的速度為每秒4cm,運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)以A,C,P,Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的

四邊形是平行四邊形時(shí)，求t的值；

②若點(diǎn)P,Q的運(yùn)動(dòng)路程分別為％坂單位:(^用屏0),已知A,C,P,Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求a與b滿足

的數(shù)量關(guān)系.

(1)

第35題圖

1-5DBADC6-10ACBCB11-13DCB

14.2415.816.4或上17-18:

772

19.因?yàn)锳(6,0),B(0,8)

所以O(shè)A=6,OB=8

所以BA=10

又因?yàn)镃(8,4),A(6,0)

所以AC=2V5,CD=4,AD=2

又因?yàn)锽(0,8),C(8,4)

所以BC=4V5

-4—.—工mA.AC4QCDV5

在^ACD和^ABC中,—=—=—=—

所以△ACD^AABC

20.因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形

所以AD〃BC,/B=90。

所以/DAE=/AEB

又因?yàn)镈FLAE

所以NDFA=90。

在小ABE和仆DFA中,/B=/DFA=9(T,NDAE=/AEB

所以△ABE^ADFA

21-26CDDACA27.a28.—

25

29.因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形

所以NABC=9(F,AB〃DC

因?yàn)锽P±CM,PN±PD

所以NBPM=ZBPC=90°,ZDPN=90°

0^JZABC=ZABP+ZPBC=9O°,ZBPM=ZABP+ZBMP=9O°

所以NPBC=/BMP

又因?yàn)锳B〃DC

所以NBMP=NPCD

所以NPBC=NPCD

因?yàn)镹BPC=90°,/DPN=90°

所以/BPN+/NPC=9(r,/NPC+/CPD=90。

所以NBPN=/CPD

在仆PBN和小PCD中,/PBC=NBMP,/BPN=/CPD,則有/PNB=NPDC

所以△PBN^APCD

30.(1)因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形

所以AD〃BC,NABC=90°

所以NEAC=NACF

因?yàn)橹本€1垂直平分線段AC垂足為O

所以AO=OC,ZFOA=ZFOC=90°HFO=FO

所以△AFO^ACFO

所以AF=FC

所以/FAC=/FCA

又因?yàn)镹EAC=/ACF

所以/FCA=NACF

又因?yàn)镹ABC=9(F,NFOA=90。,且/FCA=NACF

所以△ABC與^FOA相似

(2)因?yàn)樵凇鱁AO^AFCO中,NEAC=NACF,AO=OC,/AOE=NFOC=90。所以△EAO^AFCO

所以AE=FC

又因?yàn)锳E〃FC,AE=FC

所以四邊形AFCE是平行四邊形

又因?yàn)锳F=FC

所以四邊形AFCE是菱形

31.如圖所示，過E作EMLBC,分別延長(zhǎng)AD,ED交BC于點(diǎn)F,H,由題意得DF〃EM(EBH為等邊三角形，因此

BE=BH=EH=3cm,HM=3cm,且—=型，則有HF=2cm,MF=lcm,所以BF=4cm,所以BC=8cm.

HMHF

32.(1)①②③。)證明過程略

33.提示:設(shè)PE=x，則PD=8-|居利用三角形相似，得到PE+PF為定值4.8.

34.(1)證明:因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形，

所以/A=ZADC=90。,所以ZADE+ZCDE=90°,

所以/ADE=/DCF,

所以△ADE^ADCF,

r-r-I\IDEAD

所以方=而.

⑵當(dāng)/B+NEGC=180。時(shí),=談成立，證明如下：

CFDC

在AD的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)M,使CF=CM,則NCMF=NCFM.

因?yàn)锳B〃CD,

所以/A=NCDM.

因?yàn)锳D〃BC,

所以/CFM=/FCB.

因?yàn)?B+/EGC=180。，

所以/FCB+NGEB=180。.

又因?yàn)镹AED+/GEB=180。，

所以/AED=/FCB,所以NCMF=/AED,

所以△ADE^ADCM,

所以變=也即匹="

1CMDCCFDC

空=生

I'C尸24

35.(1)證明:①因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形，

所以AD〃:BC,

所以NCAD=NACB,/AEF=ZCFE.

因?yàn)镋F垂直平分AC.垂足為O,

所以O(shè)A=OC,

第35題答圖（1）

所以△AOE^AC