2024年中考數(shù)學(xué)試題分類(lèi)匯編：圓的有關(guān)位置關(guān)系（36題）（解析版）

專(zhuān)題23圓的有關(guān)位置關(guān)系（36題）

一、單選題

1.（2024?福建?中考真題）如圖，已知點(diǎn)A8在。上，ZAOB=72°,直線(xiàn)初V與。相切，切點(diǎn)為C,

且C為的中點(diǎn)，則NACW等于（）

A.18°B.30°C.36°D.72°

【答案】A

【分析】本題考查了切線(xiàn)的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和以及等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)C為嘉的中點(diǎn)，三角形內(nèi)

角和可求出/。。4=3、（180。-36。）=72。，再根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)即可求解.

【詳解】?:ZAOB=7安,C為A8的中點(diǎn)，

?*.ZAOC=36°

OA=OC

ZOCA=|x（180°-36°）=72°

,直線(xiàn)MN與-O相切，

ZOCM=9Q°,

：.ZACM=ZOCM-ZOCA=18°

故選：A.

2.（2024.上海.中考真題）在一ABC中，AC=3,BC=4,AB=5,點(diǎn)P在ABC內(nèi)，分別以A、B、尸為

圓心畫(huà)，圓A半徑為1,圓B半徑為2,圓尸半徑為3,圓A與圓尸內(nèi)切，圓尸與圓8的關(guān)系是（）

A.內(nèi)含B.相交C.外切D.相離

【答案】B

【分析】本題考查圓的位置關(guān)系，涉及勾股定理，根據(jù)題意，作出圖形，數(shù)形結(jié)合，即可得到答案，熟記

圓的位置關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

【詳解】解：；圓A半徑為1,圓p半徑為3,圓A與圓P內(nèi)切，

.?■圓A含在圓P內(nèi)，即PA=3-1=2,

.?.P在以A為圓心、2為半徑的圓與二ABC邊相交形成的弧上運(yùn)動(dòng)，如圖所示:

當(dāng)?shù)絇'位置時(shí),圓尸與圓B圓心距離尸3最大，為+不=拒，

717<3+2=5,

.■.圓P與圓8相交,

故選：B.

3.（2024河南.中考真題）如圖，。是邊長(zhǎng)為4—的等邊三角形ABC的外接圓，點(diǎn)。是8c的中點(diǎn)，連

接50,CD.以點(diǎn)。為圓心，BD的長(zhǎng)為半徑在。內(nèi)畫(huà)弧，則陰影部分的面積為（）

A

D

A.—B.4TIC.史烏D.16兀

33

【答案】C

【分析】過(guò)。作于E,利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)求出/8DC=120。，利用弧、

弦的關(guān)系證明3D=CD,利用三線(xiàn)合一性質(zhì)求出2E=LgC=26,ABDE=-ZBDC=60°,在RgBDE

22

中，利用正弦定義求出8￡>,最后利用扇形面積公式求解即可.

【詳解】解：過(guò)。作。EJL3C于E,

A

D

V。是邊長(zhǎng)為4代的等邊三角形ABC的外接圓,

BC=4A/3-ZA=60°,ZSDC+ZA=180°,

ZSDC=120°,

:點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，

；?BD=CD，

：.BD=CD,

:.BE=LBC=2框,ZBDE=-ABDC=6Q°,

22

：.BD=-BE-=^L=4,

sinNBDEsin60°

.01207rd167r

陰影=F-二亍’

故選：c.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，扇形面積公式，解直

角三角形等知識(shí)，靈活應(yīng)用以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

4.(2024.四川瀘州?中考真題)如圖,EA,ED是：O的切線(xiàn)，切點(diǎn)為A,D,點(diǎn)、B,C在二。上，若

ZBAE+ZBCD=236°,則/E=()

◎

A.56°B.60°C.68°D.70°

【答案】c

【分析】本題考查了圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì),切線(xiàn)長(zhǎng)定理，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，正確作輔助線(xiàn)是

解題關(guān)鍵.

根據(jù)圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得NBAD+ZBCD=180°,由/BAE+/3CD=236。得/E4D=56。，由切線(xiàn)長(zhǎng)

定理得E4=￡D,即可求得結(jié)果.

【詳解】解：如圖，連接AD,

&

'D

:四邊形A5CD是O的內(nèi)接四邊形，

ZBAT>+ZBCD=180°,

,?ZBAE+ZBCD^236°,

：.Z.BAE+/BCD-(/BAD+NBCD)=236°-180°,

ZBAE-ZBAD=56°,

/E4D=56°,

EA,即是<O的切線(xiàn)，根據(jù)切線(xiàn)長(zhǎng)定理得，

/.EA=ED,

：.ZEAD=ZEDA=56°,

；.NE=180°-ZEAD-ZEDA=180°—56。一56°=68°.

故選：C.

二、填空題

5.（2024?浙江?中考真題）如圖，A8是O的直徑，47與，。相切,A為切點(diǎn)，連接BC.己知NACB=50°,

則NB的度數(shù)為

【答案】40。/40度

【分析】本題考查切線(xiàn)的性質(zhì)，掌握?qǐng)A的切線(xiàn)垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：：AC與，：。相切，

?*.ABAC=90°,

又：ZACB=50°,

：.NB=90°-ZC=90°-50。=40°,

故答案為：40°.

6.（2024.內(nèi)蒙古包頭.中考真題）如圖，四邊形ABC。是CO的內(nèi)接四邊形，點(diǎn)。在四邊形ABC。內(nèi)部，過(guò)

點(diǎn)C作：。的切線(xiàn)交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)尸，連接OAOB.若NAO3=140。，4c尸=35。,則-4DC的度數(shù)

為.

【答案】105。/105度

【分析】本題考查了切線(xiàn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)等知識(shí)，連接0C,利用等邊

對(duì)等角得出NQ4B=NC?A=20。，NOCB=NOBC,利用切線(xiàn)的性質(zhì)可求出NOBC=NOCB=55。，然后利

用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求解即可.

【詳解】解：連接。C,

,：OA=OB=OC,=140°,

/.ZOAB=ZOBA=1（180°-ZAOB）=20°,ZOCB=ZOBC,

：CP是切線(xiàn)，

ZOCP=90°,即Z.OCB+ZBCP=90°,

,/ZBCP=35°,

ZOBC=ZOCB=55°,

：.ZABC=ZABO+ZOBC=75°,

?..四邊形A5CZ）是的內(nèi)接四邊形，

ZADC=180°-ZABC=105°,

故答案為：105。.

7.（2024.天津.中考真題）如圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，點(diǎn)A,F,G均在格點(diǎn)上.

(1)線(xiàn)段AG的長(zhǎng)為；

(2)點(diǎn)￡■在水平網(wǎng)格線(xiàn)上，過(guò)點(diǎn)A,E,尸作圓，經(jīng)過(guò)圓與水平網(wǎng)格線(xiàn)的交點(diǎn)作切線(xiàn)，分別與AT的

延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)3,C,ABC中，點(diǎn)M在邊3C上，點(diǎn)N在邊上，點(diǎn)尸在邊AC上.請(qǐng)用無(wú)刻度的直

尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，畫(huà)出點(diǎn)M,N,P,使&1的？的周長(zhǎng)最短，并簡(jiǎn)要說(shuō)明點(diǎn)M,N,尸的位置

是如何找到的(不要求證明).

【答案】&圖見(jiàn)解析，說(shuō)明見(jiàn)解析

【分析】此題考查了勾股定理、切線(xiàn)的性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)題意正確作圖是解題的關(guān)鍵.

(1)利用勾股定理即可求解；

(2)作點(diǎn)M關(guān)于A3、AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M|、M2,連接MM】、MtM2,分別與A3、AC相交于點(diǎn)E、P,

△肱VP的周長(zhǎng)等于的長(zhǎng)，等腰三角形的腰長(zhǎng)為AM,當(dāng)AM的值最小時(shí)，的值最小，

此時(shí)M是切點(diǎn)，由此作圖即可.

【詳解】(1)由勾股定理可知，46=爐方=血，

故答案為：A/2

(2)如圖，根據(jù)題意，切點(diǎn)為M；連接ME并延長(zhǎng)，與網(wǎng)格線(xiàn)相交于點(diǎn)Mi；取圓與網(wǎng)格線(xiàn)的交點(diǎn)。和格

點(diǎn)、H,連接DH并延長(zhǎng)，與網(wǎng)格線(xiàn)相交于點(diǎn)“2；連接加1加2,分別與A3,AC相交于點(diǎn)N,P,則點(diǎn)

8.(2024?江蘇揚(yáng)州?中考真題)如圖，已知兩條平行線(xiàn)4、3點(diǎn)A是4上的定點(diǎn)，于點(diǎn)8,點(diǎn)C、

。分別是4、4上的動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足AC=3D,連接8交線(xiàn)段AB于點(diǎn)E,BHLCD于點(diǎn)、H,則當(dāng)Na4H最

大時(shí)，sinZfi4H的值為

【分析】證明一ACE紂班氏(ASA),得出==根據(jù)3HLCZ),得出4HE=90。，說(shuō)明點(diǎn)X

在以旗為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，取線(xiàn)段3E的中點(diǎn)0,以點(diǎn)。為圓心，。3為半徑畫(huà)圓，則點(diǎn)H在」。上運(yùn)動(dòng)，

說(shuō)明當(dāng)AH與，。相切時(shí)N54H最大，得出根據(jù)AO=A￡+OE=3OE,利用

sinZBAH=|,即可求出結(jié)果.

AO3OE3

【詳解】解：：兩條平行線(xiàn)4、4,點(diǎn)A是4上的定點(diǎn)，AB，/?于點(diǎn)2,

點(diǎn)B為定點(diǎn)，AB的長(zhǎng)度為定值，

：.ZACE=NBDE,NCAE=NDBE,

"?AC=BD,

.ACE^BDE(ASA),

：.BE=AE^-AB,

2

,：BHLCD,

：.NBHE=90°,

...點(diǎn)H在以BE為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，

如圖，取線(xiàn)段BE的中點(diǎn)。，以點(diǎn)。為圓心，。3為半徑畫(huà)圓，

,當(dāng)與I。相切時(shí)N54H最大,

OHLAH,

"：AE=OB=2OE,

AO=AE+OE=3OE,

'：OH=OE,

.?.sin4A//="=絲」,

AO3OE3

故答案為：g

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，全等三角形的性質(zhì)和判定，平行線(xiàn)的性質(zhì)，切線(xiàn)的性質(zhì)，解直角三

角形等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是確定點(diǎn)H的運(yùn)動(dòng)軌跡.

9.（2024?四川涼山?中考真題）如圖，M的圓心為M（4,0）,半徑為2,尸是直線(xiàn)y=x+4上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),

過(guò)點(diǎn)P作的切線(xiàn)，切點(diǎn)為。，則PQ的最小值為

【答案】2幣

【分析】記直線(xiàn)^=尤+4與x,y軸分別交于點(diǎn)A,K,連接PM,KM;由直線(xiàn)解析式可求得點(diǎn)A、K

的坐標(biāo)，從而得△OAK,△OKM均是等腰直角三角形，由相切及勾股定理得：PQ^^PM2-QM2,由

QM=2,則當(dāng)PM最小時(shí)，PQ最小，點(diǎn)尸與點(diǎn)K重合，此時(shí)最小值為KM,由勾股定理求得的

最小值，從而求得結(jié)果.

【詳解】解：記直線(xiàn)＞=x+4與尤，y軸分別交于點(diǎn)A,K,連接PM,KM,

解得：％=-4,

即K(0,4),A(T,0)；

而M(4,0),

：.OA=OK=OM=4,

「?△OAK,△OKM均是等腰直角三角形,

：.ZAKO=ZMKO=45°,

：.ZAKM=90°,

???QP與V相切，

ZPQM=90°,

??PQ=yjPM2-QM2,

?：QM=2f

當(dāng)pQ最小時(shí)即PM最小，

.,.當(dāng)PM_LAK時(shí)，取得最小值，

即點(diǎn)P與點(diǎn)K重合，此時(shí)最小值為KM,

在Rt中，由勾股定理得：KM=yJoM2+OK2=472-

PQ=J32-4=2>/7,

；.PQ最小值為24.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓的切線(xiàn)的性質(zhì)，勾股定理，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問(wèn)題，垂線(xiàn)段最短，正確添加

輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵.

10.（2024.山東煙臺(tái).中考真題）如圖，在YABC。中，NC=120。，AB=8,BC=10.E為邊CD的中點(diǎn)，

尸為邊AD上的一動(dòng)點(diǎn)，將。砂沿E尸翻折得.D'E/，連接AD'，BD',則△ABD面積的最小值為.

【答案】20若-16/-16+206

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到CD=AS=8,AB//CD,ZABC=60°,由折疊性質(zhì)得到=。￡=4,

進(jìn)而得到點(diǎn)"在以E為圓心，4為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，如圖，過(guò)E作石交A8延長(zhǎng)線(xiàn)于M,交圓E

于此時(shí)0c到邊的距離最短，最小值為的長(zhǎng)，即此時(shí)△ABD面積的最小，過(guò)C作CN_LAB于

M根據(jù)平行線(xiàn)間的距離處處相等得到EM=CV,故只需利用銳角三角函數(shù)求得CN=54即可求解.

【詳解】解:「在YABCD中，ZSCZ）=120°,AB=8,

CD=AB=8,AB//CD,則^/15。=180。一/300=60。，

為邊CD的中點(diǎn)，

DE=CE=-CD=4,

2

DEF沿E尸翻折得.D,EF，

/.ED'=DE=4,

...點(diǎn)以在以E為圓心，4為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，如圖，過(guò)E作交A3延長(zhǎng)線(xiàn)于交圓E于次,

此時(shí)到邊A8的距離最短，最小值為L(zhǎng)W的長(zhǎng)，即△鉆。面積的最小，

過(guò)C作CN_LAB于N,

AB//CD,

：.EM=CN,

在RtBCN中,3C=10,ZCBN=60°,

：.CN=BC.sin60°=10x3=5若，

2

/.DM=ME-ED=56-4,

???△相〃面積的最小值為3><8*（5百-4）=20石-16,

故答案為：2073-16.

【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、折疊性質(zhì)、圓的有關(guān)性質(zhì)以及直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系、銳角三角函數(shù)

等知識(shí)，綜合性強(qiáng)的填空壓軸題，得到點(diǎn)。，的運(yùn)動(dòng)路線(xiàn)是解答的關(guān)鍵.

三、解答題

11.（2024?廣東?中考真題）如圖，在ABC中，ZC=90°.

（1）實(shí)踐與操作：用尺規(guī)作圖法作一A的平分線(xiàn)AD交3c于點(diǎn)。；（保留作圖痕跡，不要求寫(xiě)作法）

⑵應(yīng)用與證明：在（1）的條件下，以點(diǎn)。為圓心，DC長(zhǎng)為半徑作，D.求證：與相切.

【答案】（1）見(jiàn)解析

（2）證明見(jiàn)解析

【分析】本題考查了尺規(guī)作角平分線(xiàn)，角平分線(xiàn)的性質(zhì)定理，切線(xiàn)的判定等知識(shí).熟練上述知識(shí)是解題的

關(guān)鍵.

（1）利用尺規(guī)作角平分線(xiàn)的方法解答即可；

（2）如圖2,作QE1工"于E,由角平分線(xiàn)的性質(zhì)定理可得DE=DC,由。E是半徑，DEJ.AB,可證

與：。相切.

【詳解】（1）解：如圖1,AD即為所作；

圖2

：是/C4D的平分線(xiàn)，DC±AC,DEJ.AB,

：.DE^DC,

「DE是半徑，DEJ.AB,

A3與D相切.

12.（2024.內(nèi)蒙古赤峰.中考真題）如圖，ABC中，ZACB=90°,AC=BC,。經(jīng)過(guò)8,C兩點(diǎn)，與斜

邊A3交于點(diǎn)E,連接CO并延長(zhǎng)交A3于點(diǎn)交O于點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)E作EF〃8,交AC于點(diǎn)R

⑴求證：斯是的切線(xiàn);

(2)若BM=4近，tanZBCD=1,求ON的長(zhǎng).

【答案】(1)見(jiàn)解析

⑵OM=也

【分析】(1)連接OE，延長(zhǎng)E。，交CO于點(diǎn)。連接PD,BD,根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角求出ZDBE=45。,

得ZDPE=45。，/DOE=90。，由跖〃CD可得NFED=NOOE=90。，從而可證明所是。的切線(xiàn);

(2)由tanZBCD=L得或=!，即竺=［，證明DBM^ACM，得型~=DMDB1廠(chǎng)

ACMAC5,由3=4五

2BC2AC2AM

得3=80，故可得筋=12應(yīng)，由勾股定理求出AC=3C=12,得。3=6,由勾股定理求出C。=60,

CO=DO=3也,根據(jù)”■=!求出。M=2A/L進(jìn)一步求出。A/=O。一DM=36一2遙=6

CM2

【詳解】(1)證明：連接0E,延長(zhǎng)E。，交一。于點(diǎn)尸，連接P2&Z如圖，

?：AB=BC,ZACB=90°,

???ABC是等腰直角三角形，

ZABC=45°,

?「CD是。的直徑，

??.ZCBD=90°,

ZDBE=ZCBD-ZABC=90°-45°=45°,

.?.NEPD=/DBE=45。,

：./DOE=2ZDPE=2x45°=90°,

?.?EF//CD,

：.ZFEO=ZDOE=90°,即OE_LEF,

?；0E是O的半徑，

E尸是。的切線(xiàn)；

(2)解：VZDBC=90°,tanZBCD=-

2

.DB

*'BC-2"

,/BC=AC,

.DB_1

"AC"2'

,/NDMB=ZCMA,ZA=ZDBM,

，.DBMS-ACM,

.BMDMDB_1

AM-CM-AC_2'

BM=4近，

:.AM=2BM=80

?*-AB=AM+BM=8夜+4忘=12忘，

在等腰直角三角形ABC中，AC2+8C2=AB2,

?*.AC2+AC2=AB2=（12可，

解得，AC—12,

：.AC=BC=n,

：.DB=-BC=6,

2

在戊BDC中，CD=《BC。+DB。=J12、+6?=6石,

?*.CO=DO=3非,

又也」，

XCM2

/.CM=2DM,

：.2DM+DM=CD=66

/.DM=2A/5

/.OM=OD-DM=3s/5-2y[5=45

【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線(xiàn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，切線(xiàn)的判定，圓周角定理，勾股定

理以及相似三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線(xiàn)構(gòu)造圓周角是解答本題的關(guān)鍵.

13.（2024.四川內(nèi)江?中考真題）如圖，A3是。的直徑，C是BZ）的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作AO的垂線(xiàn)，垂足為

點(diǎn)E.

(1)求證：ACEs,ABC；

⑵求證：CE是。的切線(xiàn)；

(3)若AD=2CE,OA=42,求陰影部分的面積.

【答案】(1)見(jiàn)解析

(2)見(jiàn)解析

(3)g無(wú)T

【分析】+(1)分別證明ZACB=ZA￡C,ZBAC=/EAC,從而可得結(jié)論；

(2)連接。C,證明/E4C=ZACO,可得OC〃AE,再進(jìn)一步可得結(jié)論；

(3)連接、0￡),證明四邊形DECF是矩形,可得DF=EC,再證明AD=￡?,可得ZDAB=ZDBA=45°,

可得Z.DOA=2NDBA=90°,利用S陰影部分=S扇形水加—5AA。口可得答案.

【詳解】(1)證明：:AB是，；。的直徑

，NACB=90°,

又：CE_LAD,

AZAEC=90°,

ZACB=ZAEC,

：C是的中點(diǎn)，

BC=DC，

：.ZBAC=ZEAC,

?LACEsABC；

(2)證明：連接0c

*:OA=OC9

：.ZCAO=ZACO,

*：ZBAC=ZEAC,

：.ZEAC=ZACO,

：.OC//AEf

VCE1AD,

???CE±OC,

???0C是。的半徑，

；.CE是。的切線(xiàn)；

(3)解：連接05、0D

TAB是O的直徑，

??.ZADB=90°,

ZAEC=ZECO=90°,

J四邊形。反下是矩形，

DF=EC,

??,0C是半徑，C是50的中點(diǎn)，

：.DF=FB,OCLDB,

即DB=2DF=2EC,

AD=2CE,

:?AD=DB,

ZDAB^ZDBA^45°,

：.ZDOA=2NDBA=90°,

...90°7TX(72)2II

..S陰影部分=S扇形AOD_sAOD=盤(pán)?！猉A/2XA/2=—7t-l

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理、切線(xiàn)的判定及扇形的面積公式，熟練地掌握相似三角形的判定和切

線(xiàn)的判定是解決本題的關(guān)鍵。

14.(2024?江蘇鹽城?中考真題)如圖，點(diǎn)C在以A8為直徑的。上，過(guò)點(diǎn)C作；。的切線(xiàn)/，過(guò)點(diǎn)A作,

垂足為。，連接AC、BC.

⑴求證：△ABCS/\ACD；

(2)若AC=5,CD=4,求。的半徑.

【答案】(1)見(jiàn)解析

【分析】題目主要考查切線(xiàn)的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)及勾股定理解三角形，作出輔助線(xiàn)，綜合運(yùn)

用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵.

(1)連接。C,根據(jù)題意得，OCD=，OC4+NACD=90。，ZACB=ZACO+ZOCB=90°,利用等量

代換確定ZACD=NABC,再由相似三角形的判定即可證明；

(2)先由勾股定理確定AD=3,然后利用相似三角形的性質(zhì)求解即可.

【詳解】(1)證明：連接OC,如圖所示：

??,CO是。的切線(xiàn)，點(diǎn)。在以為直徑的：。上，

AZOCD=ZOCA+ZACD=9G°,ZACB=ZACO+ZOCB=90°,

：?NACD=NOCB,

OC=OB,

：?NOBC=NOCB,

：.ZACD=ZABC,

VAD1Z,

：.ZADC=90°,

：.ZADC=ZACB,

：.AABC^AACD；

(2)VAC=5,8=4,

???4/)=152-42=3,

由(1)得△ABCs/XACD,

,ABACAB5

..---=----即Rn----=—,

ACAD53

。的半徑為二:2=▼.

15.(2024.四川涼山?中考真題)如圖，AB是。的直徑，點(diǎn)C在O上，AD平分/54C交(O于點(diǎn)D,

過(guò)點(diǎn)。的直線(xiàn)DE1AC,交AC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E,交48的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)尸.

N

⑴求證：EF是［。的切線(xiàn)；

(2)連接E。并延長(zhǎng)，分別交。于兩點(diǎn)，交AD于點(diǎn)G,若。的半徑為2,一尸=30,求G/VTGN的

值.

【答案】(1)見(jiàn)詳解

72

(2)—

25

【分析】(1)連接OD,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及角平分線(xiàn)得到OD//AC,根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)得ZODF=90°,

即可證明；

(2)連接A?,⑷V,先解RtAODP,求得。尸=4,￡>/=2括，貝UA尸=6,AE=3,可證明4。=￡>尸=2百，

由DGOsAGE,得段=空=巳i^DG=-AD,AG=-AD,證明△MG〃AAGN,即可得到

AGAE355

72

GMGN=GDGA=—.

25

【詳解】(1)解：連接QD,

*：OA=OD,

：.N2=N3,

??,平分/B4C,

???N1=N2,

JZ1=Z3,

:.OD//AC,

：.ZODF=ZAED

■:DEO

：.ZAED=90°,

：.ZODF=90°,

即OD上EF,

TO□是。的半徑

E尸是。的切線(xiàn)；

(2)解：連接MD,AN,

9：NF=30。，

???在RtZkOD尸中，。產(chǎn)=28=4,

由勾股定理得：DF=J。方2=2百

???AF=2+4=6,

???在Rt_AEb中，ZF=30°,

AE=—AF=3,

2

VZF=30°,0D1EF

：.ZDOF=60°=Z2+Z3,而/2=/3,

JN2=30。，

AZ2=ZF,

JAD=DF=2石，

■:OD//AE,

DGOsAGE,

.DGOP2

**AG-AE-3'

23

???DG=-AD,AG=-AD,

，：AM=AM9

:.ZANG=ZMDG,

ZMGD=ZAGN,

???△MGDS/\AGN,

.MG_GD

-，

**AGGAF

DaZT2D

：.GMGN=GDGA=-AD-AD=—AD2=—x（2y/3\=—.

552525\’25

【點(diǎn)睛】本題考查了圓的切線(xiàn)的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，30。的直角三角形的性質(zhì)，

等腰三角形的性質(zhì)，正確添加輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵.

16.（2024?山東煙臺(tái)?中考真題）如圖，AB是。的直徑，ABC內(nèi)接于一。，點(diǎn)/為ABC的內(nèi)心，連接C/

并延長(zhǎng)交。于點(diǎn)。，E是BC上任意一點(diǎn)，連接AD，BD,BE,CE.

⑴若/ABC=25。，求NCEB的度數(shù)；

(2)找出圖中所有與D/相等的線(xiàn)段，并證明；

⑶若C7=2a,￡)/=；&,求ABC的周長(zhǎng).

【答案】(1)115。

(2)DI=AD=BD,證明見(jiàn)解析

(3)30

【分析】(1)利用圓周角定理得到NACB=90。，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求NCAB=65。，然后利用圓

內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)求解即可；

(2)連接加，由三角形的內(nèi)心性質(zhì)得到內(nèi)心，NCAI=/BAI,ZACI=NBCI,然后利用圓周角定理得

至|JNDAB=NDCB=N4C/,AD=BD,禾!!用三角形的外角性質(zhì)證得NZM/=NDM,然后利用等角對(duì)等邊

可得結(jié)論；

(3)過(guò)/分別作LAB,IF1AC,IPLBC,垂足分別為。、F、P,根據(jù)內(nèi)切圓的性質(zhì)和和切線(xiàn)長(zhǎng)定

理得到AQ=AF,CF=CP,BQ=BP,利用解直角三角形求得CF=2=CP,AB=13,進(jìn)而可求解.

【詳解】(1)解：：A5是。的直徑，

ZADB=ZACB=90°,又NABC=25°,

ZCAB=90°-25°=65°,

:四邊形ABEC是O內(nèi)接四邊形，

ZCEB+ZC4B=180°,

/.Z.CEB=180°-Z.CAB=115°；

(2)解：DI=AD=BD,

證明：連接卸,

:點(diǎn)/為“1BC的內(nèi)心，

/.ACAI=ABAI,ZAC/=NBCI=-ZACB=45°,

2

?**AD=BD，

AZDAB=ZDCB=ZACI,AD=BD,

ZDAI=ZDAB+Z.BAI,ZDIA=ZACI+NCAI,

ZDAI=ZDIA,

***DI=AD=BD；

(3)解：過(guò)/分別作/。，AB,IFLAC,IPIBC,垂足分別為。、F、P,

■:點(diǎn)I為AfiC的內(nèi)心，即為ABC的內(nèi)切圓的圓心.

二。、F、P分別為該內(nèi)切圓與，ABC三邊的切點(diǎn)，

AAQ=AF,CF=CP,BQ=BP,

VCI=2^2,ZZFC=90°,ZACI=45°,

：.CF=C7-cos45°=2=CP,

1Q

VDI=AD=BD,DI=—y/2,ZADB=9Q0,

2

：.AB=y/AD2+BD2=A/2x—A/2=13,

2

???ABC的周長(zhǎng)為AB+AC+5C

=AB+AF+CF+CP+BP

=AB+AQ+BQ+2CF

=2AB-^-2CF

=2x13+2x2

=30.

【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、三角形的內(nèi)心性質(zhì)、三角形

的外角性質(zhì)、等腰三角形的判定、切線(xiàn)長(zhǎng)定理以及解直角三角形，熟練掌握相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系與運(yùn)用是解答

的關(guān)鍵.

17.（2024.甘肅?中考真題）如圖，AB是；。的直徑，BC=5Z），點(diǎn)E在AD的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且=

⑴求證：仍是。的切線(xiàn)；

⑵當(dāng)。的半徑為2,3C=3時(shí)，求tan/AE3的值.

【答案】（1）見(jiàn)解析

（2）tanZAEB=—

3

【分析】（1）連接5。，OC,OD,證明05垂直平分8,得出NAFO=90。，證明CO〃防，得出

ZABE=ZAFD=90°f說(shuō)明即可證明結(jié)論；

（2）根據(jù)A5是。的直徑，得出NACB=90。，根據(jù)勾股定理求出AC=JAB?一以個(gè)=在—學(xué)=幣,根

據(jù)三角函數(shù)定義求出tan/ABC=AC=XZ,證明NAES=NABC,得出tanNAEB=tan/ABC=即可.

BC33

【詳解】（1）證明：連接5。，OC,OD,如圖所示：

?BC=BD，

：.BC=BD,

;OC=OD,

???點(diǎn)0、3在8的垂直平分線(xiàn)上,

???03垂直平分CD,

???NATO=90。，

ZADC=ZAEB,

CD//BE,

：.ZABE=ZAFD=90°,

：.AB.LBE,

?「AB是。的直徑，

BE是,O的切線(xiàn)；

(2)解：???O的半徑為2,

***AB=2x2=4,

TAB是。的直徑，

??.NACB=90。，

BC=3,

??AC=yjAB2—BC2=A/42—32=V7,

tan/.ABC=,

BC3

?AC=ACf

：.ZADC=ZABC,

?；ZAEB=ZADC,

：.ZAEB;ZABC,

**?tanZAEB=tanZABC=.

3

【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線(xiàn)的判定，勾股定理，求一個(gè)角的正切值，圓周角定理，垂直平分線(xiàn)的判定,

平行線(xiàn)的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線(xiàn)，熟練掌握相關(guān)的判定和性質(zhì).

18.（2024?山東威海?中考真題）如圖，已知是.O的直徑，點(diǎn)C,。在。上，且.點(diǎn)E是線(xiàn)

段AB延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，連接EC并延長(zhǎng)交射線(xiàn)AD于點(diǎn)足NFEG的平分線(xiàn)EH交射線(xiàn)AC于點(diǎn)H,ZH=45。.

（2）若跖=2,CE=4,求AF的長(zhǎng).

【答案】（1）見(jiàn)解析

(2)AF^—

【分析】本題考查切線(xiàn)的判定，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，根據(jù)角平分線(xiàn)的定義

得到/F=90。是解題的關(guān)鍵.

(1)連接OC,根據(jù)圓周角定理得到==即可得到OC〃AO,然后根據(jù)角平分線(xiàn)

的定義得到NF=ZFEG-ZFAE2ZH=2x45。=90。，然后得到ZOCE=ZF=900即可證明切線(xiàn)；

(2)設(shè)。的半徑為廣，OC2+CE2=OE2,可以求出廠(chǎng)，然后根據(jù)ECO^EFA,即可得到結(jié)果.

【詳解】(1)證明：連接OC,

則ZOAC=ZOCA,

又：BC=CD,

BC=CD，

：.ZDAC=ZCAB=-ZDAB,

2

ZDAC^ZOCA,

：.OC//AD,

：.ZOCE=ZF,

■:EH平濟(jì)NFEG,

：.NFEG=2ZHEG,

NF=NFEG-ZFAE=2NHEG-2ZCAB=2(NHEG-ZCAB)=2ZH=2x45°=90°,

：.ZOCE=ZF=90°,

又：0c是半徑，

EF是一。的切線(xiàn)；

(2)解：設(shè).。的半徑為小則OE=OB+3E=r+2,

1.,OC2+CE2=OE-,BPr2+42=(r+2)2,

解得廠(chǎng)=3,

AEA=AB+BE=2r+2=8,0E=5,

XVOCAD,

:.EC*EFA,

.EAAF口門(mén)8AF5,日.「24

..——=——，即一=——，解得Ab=——

OEOC535

19.（2024?陜西?中考真題）如圖，直線(xiàn)/與＜。相切于點(diǎn)A,48是的直徑，點(diǎn)C,。在/上，且位于

點(diǎn)A兩側(cè)，連接8C,BD,分別與O交于點(diǎn)E,F,連接EF,AF.

⑴求證：ZBAF=NCDB；

⑵若。。的半徑廠(chǎng)=6,AD=9,AC=12,求所的長(zhǎng).

【答案】（1）見(jiàn)解析

(2)跖=岑2

【分析】（1）利用切線(xiàn)和直徑的性質(zhì)求得NR4D=NBE4=90。，再利用等角的余角相等即可證明

ZBAF=ZCDB；

（2）先求得AB=12=AC,BD=15,證明ABC和jWE是等腰直角三角形，求得AE的長(zhǎng)，再證明

BEF^BDC,據(jù)此求解即可.

【詳解】（1）證明：??,直線(xiàn)/與。相切于點(diǎn)4

：.ZBAD=9Q°f

：.ZBDA+ZABD=90°,

???AB是O的直徑，

：.ZBFA=90°,

：.ZBAF+ZABD=90。,

：.ZBAF=ZCDB；

（2）解：Vr=6,

..AB=2r=12=AC,pj）—AB2+AD2=J12?+92=15，

??,直線(xiàn)/與。相切于點(diǎn)A,

：.ZBAC=90°,

??ABC是等腰直角三角形,

ZABC=ZACB=45°,

?.*AB是。的直徑，

：.ZBEA=90°,

???一/R石也是等腰直角三角形，

?**AE=BE=ABcos45°=672，

;BF=BF，

ZBEF=ZBAFf

■:/BAF=/CDB,

：.ZBEF=ZBDC,

：.BEFs乙BDC,

.BE_EF日口6及EF

??----=-----，即----=-----，

BDCD1512+9

.s4272

5

【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判定，切線(xiàn)的性質(zhì)，勾股定理等知

識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，掌握切線(xiàn)的性質(zhì)定理、相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

20.（2024?湖北?中考真題）Rt^ABC中，/ACB=90。，點(diǎn)。在AC上，以O(shè)C為半徑的圓交A3于點(diǎn)￡）,

交AC于點(diǎn)E.且出）=3（7.

⑴求證：A3是］。的切線(xiàn).

（2）連接交1O于點(diǎn)若AO=6,AE=1,求弧CP的長(zhǎng).

【答案】（1）見(jiàn)解析

⑵弧CP的長(zhǎng)為

【分析】（1）利用SSS證明△03。絲△OBC,推出NOD8=NOCB=90°,據(jù)此即可證明結(jié)論成立；

（2）設(shè)。的半徑為了,在RtAOD中，利用勾股定理列式計(jì)算求得x=l,求得ZAC?=60。，再求得

NCO尸=60。，利用弧長(zhǎng)公式求解即可.

【詳解】（1）證明：連接OO,

BD=BC

在03。和△03。中，\OB=OB,

OD=OC

：?OBD^_OBC（SSS）,

：.Z.ODB=/OCB=90°,

?：OD為。的半徑，

???A8是。的切線(xiàn)；

（2）解：VZODB=90°f

：.ZODA=90°,

設(shè)，。的半徑為x,

在RtAOD中，AO2=OD2+AD2,即（x+l『=一+（若『，

解得x=1,

OD=OC=1,OA=2,cosZ.A.OD=-----=一,

OA2

??.ZAOD=60°,

八OBD沿/XOBC,

ZBOD=ZCOF=1（180°-60°）=60°,

???弧C/的長(zhǎng)為里工=1

1803

【點(diǎn)睛】本題考查了切線(xiàn)的判定，勾股定理，三角函數(shù)的定義，弧長(zhǎng)公式.正確引出輔助線(xiàn)解決問(wèn)題是解

題的關(guān)鍵.

21.（2024.貴州?中考真題）如圖，為半圓O的直徑，點(diǎn)尸在半圓上，點(diǎn)P在A3的延長(zhǎng)線(xiàn)上，PC與半

圓相切于點(diǎn)C,與的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)。，AC與。尸相交于點(diǎn)E,DC=DE.

(1)寫(xiě)出圖中一個(gè)與/DEC相等的角：

⑵求證：OD±AB；

(3)若。4=2OE,DF=2,求P8的長(zhǎng).

【答案】(l)NDCE(答案不唯一)

猾

喈

【分析】(1)利用等邊對(duì)等角可得出〃CE=NDEC,即可求解；

(2)連接0C,利用切線(xiàn)的性質(zhì)可得出/Z)CE+/ACO=90。，利用等邊對(duì)等角和對(duì)頂角的性質(zhì)可得出

ZAOE=ZDCE,等量代換得出ZA￡O+NC4O=90。，然后利用三角形內(nèi)角和定理求出NAOE=90。，即可得

證；

(3)設(shè)OE=2,貝I］可求AO=O尸=BO=2x,EF=x,OD=2x+2.,DC=DE=2+x,在RtZ\ODC中，禾!J

用勾股定理得出(2+2X『=(X+2)2+(2X)2,求出x的值，利用tanD=^=若可求出0尸，即可求解.

【詳解】(1)解：：DC=DE,

???NDCE=NDEC,

故答案為：ZDCE(答案不唯一)；

(2)證明：連接0C,

AOCLCD,即NDCE+NACO=90。,

9：OA=OC,

：.ZOAC=ZACO,

VZDCE=ZDEC9ZAEO=/DEC,

：.ZAEO+ZCAO=90°,

???NAOE=90。，

/.ODA.AB-

(3)解：設(shè)=貝!JAO=。9=30=2%,

/.EF=OF-OE=x,OD=OF+DF=2x+2,

：.DC=DE=DF+EF=2+x,

在Rt^OOC中，OD2=CD2+OC2,

A(2+2X)2=(X+2)2+(2X)2,

解得西=4,%=0（舍去）

AOD=10,CD=6,OC=8,

?「tan。二”二竺

ODCD

.。1_8

>?=一，

106

解得。尸號(hào)40,

BP=OP-OB=—

3

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，切線(xiàn)的性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形的應(yīng)用等知識(shí)，靈活運(yùn)用

以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

22.（2024?青海?中考真題）如圖，直線(xiàn)A3經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,且OA=O3,CA=CB.

⑴求證：直線(xiàn)是，。的切線(xiàn)；

（2）若圓的半徑為4,々=30。，求陰影部分的面積.

【答案】（1）詳見(jiàn)解析

⑵S陰影=86一半

【分析】本題考查了切線(xiàn)的判定和性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)和勾股定理、扇形面積的計(jì)算等知識(shí)，解題的

關(guān)鍵是掌握切線(xiàn)的判定與性質(zhì).

（1）利用等腰三角形的性質(zhì)證得OC，AB,利用切線(xiàn)的判定定理即可得到答案;

（2）在RtAOCB中，利用直角三角形的性質(zhì)和勾股定理求得03=8,BC=46再根據(jù)

S陰影=SOCB~S扇形,計(jì)算即可求解.

【詳解】（1）證明：連接0C,

;在Q4B中，OA=OB,CA=CB,

：.OCLAB,

又；oc是。的半徑，

...直線(xiàn)A3是。的切線(xiàn)；

(2)解：由(1)知NOCB=90。，

,?ZB=30°,

NCOB=90°-30°=60°,

.60萬(wàn)?428萬(wàn)

**扇形℃。-360-"T'

在中，ZB=30°,OC=4,

03=8,

BC=yJOB2-OC2=V82-42=4-s/3，

SAOCB=1-BC-OC=-1x4>/3x4=8V3,

S陰影=S.OCB-S扇形OCD=8石—~.

23.（2024?天津.中考真題）已知“103中，ZABO=30°,AB^。的弦，直線(xiàn)MN與1。相切于點(diǎn)C.

(1)如圖①，若AB//MN,直徑CE與AB相交于點(diǎn)D,求/AOB和/BCE的大小；

(2)如圖②，若OB〃MN,CGLAB,垂足為G,CG與。8相交于點(diǎn)不。4=3,求線(xiàn)段OF的長(zhǎng).

【答案】(1)/403=120°；NBCE=30。

⑵白

【分析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，切線(xiàn)的性質(zhì)，解直角三角形，靈活運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)定理是解答本題的

關(guān)鍵.

(1)根據(jù)等邊對(duì)等角得到NA=NABO,然后利用三角形的內(nèi)角和得到NAO8=180-2NABO=120。，然

后利用平行線(xiàn)的性質(zhì)結(jié)合圓周角定理解題即可；

(2)連接。C,求出/CR9=/3FG=60。，再在RtACO尸中運(yùn)用三角函數(shù)解題即可.

【詳解】(1)鉆為I。的弦，

得NA=NABO.

中，ZA+ZAS<9+ZAOB=180°,

又ZA8O=30°,

ZAOB=180°—2ZABO=120°.

直線(xiàn)MN與。相切于點(diǎn)CCE為。的直徑,

:.CE±MN.BPZECM=90°.

又AB〃MN,

:.NCDB=/ECM=90°.

在Rfor?中，ZBOE=90°-ZABO=60°.

ZBCE=-ZBOE,

2

../SCE=30°.

（2）如圖，連接OC.

,/直線(xiàn)MN與CO相切于點(diǎn)C,

JZOCM=90°

?.,OCMN

：.ZOCM=ZCOB=90°.

CG1AB,得NFGB=90。.

??在吊尸G5中，由NABO=30。，

得ZBFG=90°-ZABO=60°.

:./CFO=/BFG=6。。.

oc

在RtACOb中，tan，CFO=—,OC=OA=3,

OF

OF=——3=\/3.

tan/CFOtan60

24.（2024.四川樂(lè)山.中考真題）如圖，。是ABC的外接圓，為直徑，過(guò)點(diǎn)。作:O的切線(xiàn)8交84

延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)。，點(diǎn)E為CB上一點(diǎn)，且AC=CE.

⑴求證：DC//AE-

⑵若E尸垂直平分。B,DA=3,求陰影部分的面積.

【答案】（1）見(jiàn)解析

（2）3TT--

4

【分析】（1）如圖1,連接OC.則NOCD=90。，即“G4+NOG4=90°.由A3為直徑，可得NACB=90。,

即/1+NOC4=90。.則=由OC=O3,可得Zl=N2.由AC=CE，可得，2=，3.貝U

ZDCA=Z3.進(jìn)而可證￡>C〃AE.

(2)如圖2,連接OE、BE.由所垂直平分。3,可得OE=BE.則?！?為等邊三角形.ZBOE=60°,

ZAOE=120°.由=可得NCME=NOE4=30。.由OC〃AE,可得/D=/(ME=30°.ZDOC=60。.證

明3Aoe為等邊三角形.則NOC4=60。，OA=OC=AC./DC4=30。.貝U

123

ZD=ZDCA.DA=AC=OA=OC=OE=3.EF=OEsm60°.S^OAE=^AO-EF.S^OAE=^",

再根據(jù)s陰影=S扇形Q4E-'△OAE，計(jì)算求解即可.

【詳解】(1)證明：如圖b連接OC.

???ZOCD=90°,即ZDCA+ZOCA=90°.

又???川為直徑，

???ZACB=90°,即N1+NOC4=90。.

：.ZDCA=Z1.

,:OC=OB,

AZ1=Z2.

,**AC=CE，

：.N2=N3.

：.ZDCA=Z3.

:.DC//AE.

：.OE=BE.

又?：OE=OB,

???OEB為等邊三角形.

/.ZBOE=60°,ZAOE=120°.

*：OA=OE,

：.ZOAE=ZOEA=30°.

DC//AE,

：.ZD=ZOAE=30°.

又丁NOCD=90。,

.\ZDOC=60°.

9：OA=OC,

???為等邊三角形.

AZOCA=60°,OA=OC=AC.

：.ZDCA=30°.

：.ZD=ZDCA.

：.DA=AC=OA=OC=OE=3.

3J3

AEF=OEsin60o=—.

2

?QJm?_9A/3

,?S^OAE=2A。EF=?

V..120Kx32

乂?3扇形—=36o=3兀,

.Q9』

**J陰影—）扇形0AE-—^兀廠(chǎng),

陰影部分的面積為3兀-蛀.

4

【點(diǎn)睛】本題考查了切線(xiàn)的性質(zhì)，直徑所對(duì)的圓周角為直角，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，平行線(xiàn)的判

定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，正弦，扇形面積等知識(shí).熟練掌握相關(guān)圖形的

性質(zhì)定理、正確添加輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵.

25.（2024?江蘇蘇州?中考真題）如圖，.ABC中，A8=40，。為AB中點(diǎn)，ABAC=ZBCD,cosZADC=—,

⑴求BC的長(zhǎng);

⑵