2024年中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：逆等線最值（解析版）

一大招一逆等線最值模型

模型介紹

兩線段和的最值問題，大家首先想到的都是“將軍飲馬”問題，即要求的兩條線段有公共

端點(diǎn)，或者平移后有公共端點(diǎn).

除了將軍飲馬問題外，還有一類兩線段和的最值問題，兩個動點(diǎn)的運(yùn)動過程中，兩條動線段

始終保持著相等，我們可以在等線段處構(gòu)造全等，從而將要求的兩條線段拼接到一起，這就是今

天咱們要說的逆等線最值問題.

講逆等線模型之前我們先來一波回憶:

下圖大家應(yīng)該很熟：

一般化證明：DE+DF的和為定值

只要保證。石，"與腰的夾角相等，總會有：DE+DF的和為定值的結(jié)論!

證明思路：

作/G〃即，HD4BC易得紅藍(lán)全等,黃色平四

.,.DE+DF=AH+HG=AG（定長）

另證易得：XDEAsXDFB,二/。+8。為定值石+。尸為定值

引申：。在線段外時差為定值（證明同理）

然后將這個角一路的改變也相當(dāng)于做腰的平行線！

此圖即產(chǎn)生了逆等線，所謂逆等線，逆向也相等!

Hn

匕

GJQ例題精講

考點(diǎn)一：等腰三角形中的逆等線模型

【例1].如圖，在等腰△A8C中，AB=AC=5,BC=6,點(diǎn)、D、￡分別是AB、AC上兩動點(diǎn),

且AO=CE,連接CD、BE,CD+8E最小值為.

解：過點(diǎn)A作A8_LBC于X,作AM〃BC且AM=BC,延長CB并過點(diǎn)M作跖V_LBC

于N,

；AB=AC=5,BC=6,

:.BH=CH=LBC=3,

2

.\AH=^AC2_CH2=4,

且AM=8C,AHLBC,

四邊形4WN”是矩形，

:.NH=AM=BC=6,NC=NH+CH=6+3=9,MN=AH=4,

'：AM//BC,

：.ZMAD^ZABC,

'：AB=AC,：.ZABC=ZACB=ZMAD,

在△ADM和△CEB中，

'AM=CB

<ZMAD=ZBCE>:.AADM2ACEB(SAS),

AD=CE

...BE=MD,：.CD+BE=MD+CD^CM,

...當(dāng)C、。、M三點(diǎn)共線時，CO+8E取最小值，

CM=>\/MN2-K?N2=?故答案為：V97?

A變式訓(xùn)練

【變式1T】.如圖，在△ABC中，AB=AC=8,BC=4如,￡>為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)￡、F

分別是線段AC、AD上的動點(diǎn)，且AP=CE,則BE+C尸的最小值是.

解：過A作AG_LAB且使得47=8。=4如，連接8/、FG、BG,

?.NB=AC,點(diǎn)。為BC的中點(diǎn)，

J.ADLBC,NBAD=/CAD,：.ZBAD+ZABD^90a,

\'BA±AG,：.ZBAG=90°,

AZBAD+ZGAF=90°,：.ZGAF=ZABD,

：.ZGAF=ZBCE,

又：AF=CE,AG=CB,:AAGF/ACBE(SAS),：.GF=BE,

,:FB=FC,：.BE+CF=GF+BF,

?.?當(dāng)點(diǎn)2、F、G三點(diǎn)共線時，GF+BF最小,

GF+BF的最小值時線段BG的長，

'：ZBAG=9O°,AB=8,AG=4?,

；?BG=y/g2+（4a）2=45

即BE+CT的最小值為4小，故答案為：477-

【變式1-2].如圖，已知直線A3：>=逗_乂+^分另U交x軸、y軸于點(diǎn)8、A兩點(diǎn)，C

3

（3,0）,D、E分別為線段A。和線段AC上一動點(diǎn)，BE交y軸于點(diǎn)0且4D=CE.當(dāng)

8O+8E的值最小時，則H點(diǎn)的坐標(biāo)為（）

解：由題意A(0,V55),8(-3,0),C(3,0),：.AB=AC=S,

取點(diǎn)尸(3,8),連接CREF,BF.

'：C(3,0),J.CF//OA,：.ZECF^ZCAO,

\'AB=AC,AOLBC,：.ZCAO=ZBAD,：.ZBAD=ZECF,

：CB=A2=8,AD=EC,

:.△ECFgADAB(SAS),：.BD=EF,：.BD+BE=BE+EF,

BE+EF^BF,：.BD+BE的最小值為線段BF的長，

...當(dāng)B,E,尸共線時，BO+BE的值最小，

?..直線BF的解析式為：y=4x+4,

-3

：.H(0,4),.?.當(dāng)8O+BE的值最小時，則”點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,4),故選：A.

考點(diǎn)二:等邊三角形中的逆等線模型

【例2】.如圖，AD為等邊△A2C的高，E、尸分別為線段A。、AC上的動點(diǎn)，且AE=CR

當(dāng)BF+CE取得最小值時，ZAFB=°.

解：如圖1,作CH_LBC,且CH=BC,連接連接尸X,

「△ABC是等邊三角形，ADLBC,C.AC^BC,/ft4c=30°,C.AC^CH,

；NBCH=90°,ZACB=60°,/.ZACH=9Q°-60°=30°,

AZDAC=ZACH=30°,

"：AE=CF,:.△AEC@MFH(SAS),：.CE=FH,BF+CE=BF+FH,

當(dāng)尸為AC與8H的交點(diǎn)時，如圖2,BB+CE的值最小，

此時//2。=45°,NFCB=60°,AZAFB=105°,故答案為：105.

A變式訓(xùn)練

【變式27].如圖，AH是正三角形ABC中BC邊上的高，在點(diǎn)A,C處各有一只電子烏龜

P和。同時起步以相同的速度分別沿A”，CA向前勻速爬動.確定當(dāng)兩只電子烏龜?shù)?

點(diǎn)距離之和PB+QB最小時，ZPBQ的度數(shù)為.

：△ABC是等邊三角形，AH是BC邊上的高，

AZACB=ZABC=60°,/BAH=30°,

AZACD=30°,

ZBAH=ZACD,

在△ABP和△CDQ中，

'AB=CD

<ZBAP=ZDCQ>:.AABP咨ACDQ(SAS),：.BP=DQ,ZCQD=ZAPB,

AP=CQ

...當(dāng)8、。、。共線時，PB+QB最小，連接80交AC于。，

AZAPB=ZAQB,：.ZPBQ=ZQAH=30°,故答案為：30°.

【變式2-2].在等邊△ABC中，A8=4,點(diǎn)E在邊8C上，點(diǎn)尸在NAC8的角平分線CD

上，CE=CF,則AE+A尸的最小值為.

解：過點(diǎn)C作CGLAC,并截取CG=AC,連接EG,如圖所示：

,/△ABC為等邊三角形，

：.AB=BC=AC=4,ZABC=ZACB=ZBAC=60°,

：C￡?平分NACB./.ZACD=ZBCD=^ZACB=30°,

2

VZACG=9Q°,：,BCG=ZACG-ZACB=90°-60°=30°,

NACD=NBCG,

△GCE咨AACF(SAS),

J.AF^GE,：.AF+AE^GE+AE,

當(dāng)A、G、E三個點(diǎn)在同一直線上時，GE+AE的和最小，即AB+AE最小.

尸h4E的值最小為：7AC2-H}C2=V42+42=4^2-故答案為：472

考點(diǎn)三：直角三角形中逆等線模型

【例3].如圖，在RtZXABC中，ZACB=90°,AB=6,BC=4,D,E分別是AC,AB±.

的動點(diǎn)，且連結(jié)BZ),CE,則BD+CE的最小值為

解：過2作2尸〃AC,在平行線上取3尸=48,連接所，如上圖:

:./EBF=ZA,

,:BF=AB,BE=AD,

:.叢BEF”叢ADB(SAS),：.EF=BD,：.BD+CE=EF+CE,

當(dāng)C,E,尸共線時，EF+CE最小,即BD+CE最小，最小值即為CF的長度,

,JBF//AC,ZACB=90°,

/.ZFBC=90°,

；?CF=VBC2+BF2=^42+62=2y，

.??BD+CE最小為2A,故答案為：2后.

A變式訓(xùn)練

【變式3-1].如圖，Rt^ABC中，ZACB=90°,ZB=30°,D,E為A8邊上的兩個動

解：如圖：

構(gòu)造矩形AC8F,連接。凡EF,CP交A8于點(diǎn)。,

貝UOF=OC,OA=OB,AB=CF,

?：AD^BF,：.OD=OE,四邊形CEFD為平行四邊形,

DF=CE,，CD+CE=CD+DF^CF,

VRtAABC+,ZACB=90°,NB=30°,

：.AB=2AC=4,：.CD+CE^4,故答案為：4.

【變式3-2].如圖，在等腰直角三角形ABC中，ZBAC=90°,點(diǎn)M,N分別為BC,AC

上的動點(diǎn)，且AN=CM,AB=?當(dāng)AM+8N的值最小時，CM的長為.

解：過點(diǎn)C作CELCB,使得CE=AC,連接EM,過點(diǎn)A作于點(diǎn)D

；AB=AC=CE,NBAN=NECM=90°,AN=CM,

:ABAN"4ECM(SAS),

：.BN=EM,

：.AM+BN=AM+ME,

...當(dāng)A,M,E共線時，AM+BN的值最小，

'：AD//EC,.?②=%=&,

DMAD

:.CM=近「Xl=2-故答案為：2-近.

1W2

考點(diǎn)四：一般三角形中逆等線模型

【例4】.在△ABC中，ZABC=60°,BC=8,AC=10,點(diǎn)。、E在AB、AC邊上，且A。

=CE,則CD+3E的最小值

"JCK//AB,：.ZKCE=ZA,

'：CK=CA,CE=AD,:.ACKE咨ACAD,：.CD=KE,

VCD+BE=EK+EB^BK,

：.CD+BE的最小值為BK的長，

在Rtz^BCG中，VZG=90°,BC=8,

.-.CG=ABC=4,BG=AM，

2

在RtaKBG中，BK=VGK2+BG2=V142+(4V3)2=?故答案為2鬧.

A變式訓(xùn)練

【問題背景】（1）如圖（1）,E為乙ABC的邊A8上的一點(diǎn)，AE=BC,過點(diǎn)A作AO〃BC,

且連接。E,求證：△AOEg/sBAC；

【變式遷移】（2）如圖（2）,在△A3C中，AC=BC,8。平分/ABC,點(diǎn)E在AB上，

且AE=CQ,若點(diǎn)C分別到A8,8。的距離之比為機(jī)，求證：CE+BD.；

BC

【拓展創(chuàng)新】（3）如圖（3）,在△ABC中，ZABC=45°,BC=3j5,AC=6,D,E分

別是AC,48上的點(diǎn)，且AE=C。，直接寫出CE+8D的最小值.

(1)證明：'JAD//BC,；./DAE=NB,

在△ADE和△BAC中，

'AD=AB

-ZDAE=ZC>:.AADE/ABAC(SAS)；

AE=BC

(2)證明：如圖2,過點(diǎn)C作CG//AB交BD的延長線于G,過點(diǎn)C作CTLBG于點(diǎn)T,

SLAB于點(diǎn)H,連接GH.

'：AC^BC,AE=CD,；.ACDG絲AAEC(SAS),

：.DG=CE,CG=AC,：.CE+BD=DG+BD=BG,

'JCA^CB,:.CG=CB,

'：CG//AB,:&CGB=S&CGH,.?.▲BG?CT=2?CG?"，

22

：.BG'CT=BC'CH,.-,CEj^D=CH=W.

BCCT

(3)解：如圖3中，作CG//AB,使得CG=AC,連接DG,過點(diǎn)C作CH1AB于點(diǎn)H,

過點(diǎn)G作GTLBA交BA的延長線于點(diǎn)T,連接BG.

,:BC=3?NCBH=45°,NCHB=9Q°,

：.CH=BH=3,

,四邊形CG7W是矩形，:.GT=CH=3,CG=AC=HT=6,

222=

.,.BT=9,BG=<^Qj+gj2=^2+93(/10>

由(2)可知，ACDG冬AAEC,：.DG=EC,

：.CE+BD=DG+DBNBG=3y/~6：.CE+BD的最小值為35/10.

考點(diǎn)五：正方形中逆等線模型

【例5].如圖，正方形ABC。的邊長為6,點(diǎn)、E、尸分別在A8、BC上，且CE

解：：四邊形ABCD是正方形，:.AB=BC=CD,

；AE=BF,：.BE=CF,

'BE=CF

在ABCE和△CDE中，，ZEBC=ZFCD=90°,

BC=CD

:.△BCEWACDF(SAS),:./ECB=NFDC,

VZECB+ZECD=90°,：,ZFDC+ZECD=90°,：.ZDPC=90°,

...點(diǎn)P在以CO為直徑的圓上，

如圖，以CQ為直徑作O。，連接OP,OB,

：.OP=OC=OD=3,

在△OPB中，BP>BO-OP,

當(dāng)點(diǎn)P在OB上時，BP的最小值為BO-OP,

VBO=7BC2-K)C2=V36+9=3遙，：.BP的最小值為3遙-3.

A變式訓(xùn)練

[5-1],已知正方形ABC。的邊長為1,點(diǎn)E,尸分別是邊BC,C。上的兩個動點(diǎn)，且滿足

BE=CF,連接AE,AF,則AE+AF的最小值為.

解：連接DE,作點(diǎn)A關(guān)于BC的對稱點(diǎn)A',連接氏4'、EA',

:四邊形ABC。為正方形，

:.AD=CD=BC,NADC=NBCD=90°,

；BE=CF,

:.DF=CE,

:.ADCE咨AADF(S4S),

：.DE=AF,

：.AE+AF^AE+DE,

作點(diǎn)A關(guān)于BC的對稱點(diǎn)A',連接54,、EA',

貝|JAE=A'E,

即AE+AF=AE+DE=A'E+DE,

當(dāng)。、E、A,在同一直線時，AE+AF最小，

A4'=2AB=2,

此時，在RtZXAZM'中，由勾股定理得：DA1=遙,

故AE+AP的最小值為灰.故答案為：V5.

考點(diǎn)六：矩形中逆等線模型

【例6】.如圖，矩形ABC。中，A2=2,A￡>=3,點(diǎn)E、/分別為邊A3、C￡>上的動點(diǎn)，且

AE=CF,則8F+CE的最小值為

AD

E

B

:四邊形4BCD是矩形，，AB=CD,

'：AE=CF,：,BE=DF,

四邊形BEDF是平行四邊形，，?！?BF,

要求2尸+CE的最小值，即求。E+CE的最小值，

作。點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)。'，連接。'C交AB于E,

則。E+CE=。'E+CE=CD'的值最小，

VAB=2,AD=3,：.CD=AB=2,DD'=2AD=6,

'CD=VDDy2CD2=V62+22=)

即即+CE的最小值為2折，故答案為：2內(nèi).

A變式訓(xùn)練

[6-1]如圖，矩形A8CZ)中，AB=3,AO=4,點(diǎn)E、尸分別是邊BC和對角線8D上的動

解：如圖，作點(diǎn)。關(guān)于BC的對稱點(diǎn)G,連接BG,在BG上截取8H,使得

連接AH.作交48的延長線于M.

,四邊形A2C。是矩形，，A2=C￡>=3,BC=AD=4,AD//BC,

：./ADF=/DBC,

：DC=CG,BCLDG,:.BD=BG,:./DBC=NCBG,：.NADF=NHBE,

,:DA=BH,DF=BE,：./\ADF^/\HBE(SAS),：.AF=EH,

：.AE+AF^AE+EH^AH,

在Rt^BCZ)中，BD=y/22+^2=5'

由△8HMS/OBC,可得現(xiàn)=理.=理_,

XCDBCDB

...典=典=廷，,MH=—,/.AM=3+—=—,

3455555

在中，AH={AM+叫2=理^,

b

；.AE+A廠》通匝，，AE+A尸的最小值為返運(yùn).故答案為返運(yùn)

555

[6-2].如圖，在矩形A8CD中，AD=4,AB=4、巧，E,尸分別是8Z),8C上的一動點(diǎn),

且BF=2DE,則AF+2AE的最小值是.

解：連接。R延長AB到T,使得BT=AB,連接￡>T.

:四邊形ABCD是矩形，：.ZBAD=ZABC=90°,BC//AD,

：.tanZDBA=^-=J^-,NADE=/DBF,：.ZDBA=30Q,：.BD=2AD,

AB3

,:BF=2DE,BD=BF=2,：./\DBF^AADE,.?.史=股=2,

ADDEAEAD

DF=2AE,：.AF+2AE=AF+DF,

'：FB±AT,BA=BT,：.FA=FT,：.AF+2AE=DF+FT^DT,

^=VAT2+AD2=V（8V3）2+42=4^13）：.AF+2AE^/13,

；.AF+2AE的最小值為故答案為：4Jj百.

考點(diǎn)七：菱形中逆等線模型

【例7】.如圖，菱形ABCD中，ZABC=60°,AB=2,E、F分別是邊BC和對角線BD

解：如圖，BC的下方作NCBT=30°,在BT上截取BT,使得BT=A。，連接ET,AT.

:四邊形ABC。是菱形，ZABC=60°,

：.ZADC=ZABC=60°,ZADF=^-ZADC=30°,

2

,:AD=BT,ZADF=ZTBE=30°,DF=BE,

：./\ADF^/\TBE(SAS),

：.AF=ET,

?；NABT=/ABC+/CBT=60°+30°=90°,AB=AZ)=BT=2,

AT=VAB2+BT2=722+22=2&f

：.AE+AF=AE+ET,

'：AE+ET^AT,

，AE+AF22&,

；.AE+A尸的最小值為2&,故答案為2&.

A變式訓(xùn)練

【7-1】.如圖，在菱形ABC。中，ZBAD=120°,CD=4,M,N分別是邊AB,A。的動

點(diǎn)，滿足AM=OV,連接CM、CN,E是邊CM上的動點(diǎn)，尸是CM上靠近C的四等分

點(diǎn)，連接AE、BE、NF,當(dāng)△C&V面積最小時，工BE+AE的最小值為.

:四邊形ABCD是菱形，ZBAD=120°,

：.AB=AD=CD,ZBAC=ZDAC=ZADC=60°,

.?.△ADC和△ABC為等邊三角形，：.AC^DC,ZACD=60°,

AM=DN,：.AAMC^/^DNC(SAS),

:.CM=CN,/DCN=/ACM,

：./MCN=ZMCA+ZACN=ZDCN+ZACN=ZAC￡>=60°,

.?.△CMN為等邊三角形,

.點(diǎn)尸是CM上靠近點(diǎn)C的四等分點(diǎn)，

4

...△CAW的面積最小時，△C7W的面積也最小，

2

S&CMN=H，

4

.,.當(dāng)CN和CM長度最短時，SACMN的面積最小，即CALLAO,CAf_LAB時△C2W的面

積最小，

取BE的中點(diǎn)為點(diǎn)G,連接MG,

:△ABC為等邊三角形，...點(diǎn)M是A2的中點(diǎn)，

：.AE=BE,：.MG^—AE^—BE,：.—BE+AE^AA￡+AE=^-AE,

22222

7點(diǎn)E是CM上的動點(diǎn)，N40E=9O°,的最小值即為AM的長度，

;CD=4,：.AM=1AB=2,，（工8E+AE）最小值=3x2=3,故答案為：3.

222

【7-2】.如圖，在菱形ABC￡>中，ZBAD=120°,AB=6,連接BD

（1）求8。的長；

（2）點(diǎn)E為線段3。上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)3,。重合），點(diǎn)b在邊上，且BE=JjDF.

①當(dāng)CELAB時，求四邊形ABEF的面積；

②當(dāng)四邊形A8E尸的面積取得最小值時,?！?'舊。尸的值是否也最小？如果是，求。￡+、巧

解：（1）過點(diǎn)。作交瓦1的延長線于“，如圖:

丁四邊形ABC。是菱形，

.'.AD=AB=6,

ZBAD=120°,

/.ZDAH=60°,

在RtZXAOH中，

DH=AD-sinZDAH=6X返=373，

2

AH=AD-cosZDAH=6X^=3,

2

:?BD=VDH2+BH2=V(3V3)2+(6+3)2=6M；

(2)①設(shè)CEL42交AB于“點(diǎn)，過點(diǎn)/作尸N,AB交BA的延長線于N,如圖:

菱形ABCD中，

'：AB=BC=CD=AD=6,AD//BC,ZBAD=120°,

AZABC+ZBAD=180°,

：.ZABC=180°-ZBAD=60°,

在Rt/XBCM中，BA/=BC*cosZABC=6XA=3,

2

是菱形ABCD的對角線，

AZDBA=^2/ABC=30°,

在RtABEM中，

ME—BM?tan/DBM—3X早加，

3

BE=——粵——=-j=-=273，

cosZDBMV3

~2~

,:BE=MDF,

：.DF=2,

：.AF=AD-DF=4,

在RtAAFN中,

ZFAN=180°-ZBAD=60°,

：.FN-AF?sinZFAN~4X返二2?,

2

AN=AF-cosZFAN=4X2=2,

2

：.MN=AB+AN-BM=6+2-3=5,

S四邊形梯形EMNF一S^AFN

=(EM+FN>MN-±AN*FN

222

==XFX3+5X(V3+2V3)X5-1X2X2A/3

222

=1V3+-yV3-2V3

=7百；

②當(dāng)四邊形ABEF的面積取最小值時，CE+yf^CF的值是最小，

理由：設(shè)DF=x,則BE=MDF=MX,過點(diǎn)C作CH±AB于點(diǎn)H,過點(diǎn)/作FGLCH

于點(diǎn)G,

過點(diǎn)E作EYLCH于點(diǎn)匕作EMLAB于M點(diǎn)，過點(diǎn)F作FNLAB交BA的延長線于N,

四邊形EM“y、FNHG是矩形,

：.FN=GH,FG=NH,EY=MH,EM=YH,

由①可知：ME=LBE=?X,

22

BM=^I^BE=&X,

22

AN=^AF=^-(.AD-DF)=3-工X,

222

FN=AF=6Ax,

22

CH=?BC=3我，BH=LBC=3,

22

：.AM=AB-BM=6-

2

AH=AB-BH=3,

YH=ME=^-x,

2

GH=FN=X

2

EY=MH=BM-BH=—x-3,

2

ACY^CH-YH=3如-畢x,

FG=NH=AN+AH=6-三，CG=CH-G;/=3?-\=近彳,

222

：.MN=AB+AN-BM=6+3-L-旦x=9-2x,

22

S四邊形ABE/=S^8EW+S梯形EMNF~S^AFN

=AEWBM+A(EM+FN)-MN-FN

222

=Lx返XX&+』dlx+m-MX)92X)-1(3」)—

222222222

=近/-嵬&x+9如

42

=返(…)2+至運(yùn)，

44

?.?近＞0,

4

當(dāng)尤=3時，四邊形ABEF的面積取得最小值，

方法—：CE+VsCF=^CY2+EY2?VFG2-K?G2

=(373-^y-x)2+(yx-3)2+^3XJ(6卷x)2+(^-x7

=V3X2-18X+36+如*V36-6x+x2

=l3(x-3)2+9+43(x-3)2+81，

(x-3)22o,當(dāng)且僅當(dāng)x=3時，(x-3)2=0,

CE+43CF=V3(X-3)2+9+V3(X-3)2+81?12;

當(dāng)且僅當(dāng)x=3時，CE+MCF=12,即當(dāng)x=3時，CE+百CP的最小值為12,

.?.當(dāng)四邊形ABE尸的面積取最小值時，CE+?CF的值也最小，最小值為12.

方法二：

如圖：將△BCD繞點(diǎn)2逆時針旋轉(zhuǎn)60°至△R4G,連接CG,

vBE=BG=A/1_,ZCDF=ZGBE=60°,

DFDC1

△BEGS^DFC,

.,.絲==弛=返，即GK=ECR

CFDC1

CE+MCF=CE+GE》CG=12,

即當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C、E、G三點(diǎn)共線時，CE+?C尸的值最小，

此時點(diǎn)E為菱形對角線的交點(diǎn)，8。中點(diǎn)，BE=343,DF=3,

...當(dāng)四邊形A2EF的面積取最小值時，C￡+?CF的值也最小，最小值為12.

解法二：如圖，在8。上截取DM,使得。M=2我，在D4上取點(diǎn)尸，連接OF,使得

則有作點(diǎn)M關(guān)于AO阿德對稱點(diǎn)M',

/.CE+y/3CF=y/3FM+y/3CF=y/3（CF+FM）=73（CF+FM'）,

AC,F,M'共線時，最小，

此時。尸=3,可得CE+J^CF的值也最小，最小值為12.

CD,連接BE,AD,相交于點(diǎn)P,則"的最小值為

.'.AB^BC^AC,NABC=/a4C=N2CE=60°,

\'AE=CD

：.BD=CE,

:.AABD沿4BCE(SAS),

；./BAD=NCBE,

/APE=ZBAD+ZABE,

：.ZAPE=ZCBE+ZABE=ZABC,

：.ZAPE=60°,

.,?點(diǎn)尸的運(yùn)動軌跡是以。為圓心，。4為半徑的圓弧上運(yùn)動，如圖，

連接OC交OO于N,則0CLA2,

根據(jù)圓周角定理可得NAOB=120°,/04尸=30°,4/=工43=我,

2

yAB

：.OA=—^--------=2,

sin30°

OC=2OA=4,

當(dāng)點(diǎn)尸與N重合時，CP的值最小，最小值=OC-ON=4-2=2,故答案為：2.

2.如圖，在RtZXABC中，ZACB=90°,AC=2C=4,動點(diǎn)、D,E分別在AB,C2邊上，且

BE=?AD.連接CO,AE相交于點(diǎn)P,連接BP,則△CAOs^,8P的最小值

為.

解：如圖，過點(diǎn)E作EKLA2于K,取AE的中點(diǎn)J,連接CJ,JK,CK.

\'CA=CB,ZACB=90°,

：.ZCAB=ZCBA^45°,

?：NEKB=9Q°,

:.NKEB=NKBE=45°,

：.EK=EK,：.BE=yf2BK,:BE=^AD,：.AD=BK,

'CA=CB

在△C4。和△CBK中，，ZCAD=ZCBK,

AD=BK

:ACAD經(jīng)ACBK(SAS),：.ZACD=ZBCK,

VZACE=ZAKE=90°,AJ=JE,：,CJ=JA=JE=JK,

：.A,C,E,K四點(diǎn)共圓，ZEAK=ZECK,：.ZDAP=ZACD,

ZA￡)P=ZADC,：./\CAD^/\APD,

VZCPE=ZACP+ZCAP=ZEAB+ZCAE^45°,：.ZAPC=135°,

在AC的右左側(cè)作等腰直角三角形ACO,NAOC=90°,OA^OC,連接OP,OB,過點(diǎn)

。作。HLBC交BC的延長線于X.則點(diǎn)P在以。為圓心，04為半徑的圓上運(yùn)動，

由題意0A=0C=^~AC=2近,OH=CH=^-OC=2,BH=CH+BC=6,

22

-0B=VOH2+BH2=722+62=2，

?：OP=OA=2?,PB'OB-OP,：.BPN2丁五-2M，:.BP的最小值為2V15-26.

故答案為：APD,2A/7Q-272.

3.如圖，A。為等腰△ABC的高，AB=AC^5,BC=3,E、尸分別為線段A。、AC上的動點(diǎn)，

且A￡=CR則BF+CE的最小值為

G

解：作CG_LBC于C,取CG=AC,

；4方是高，AZADC=ZGCD^9Q°,

J.AD//CG,：.ZCAE=ZACG,

'：AE^CF,AC=CG,AAAEC^ACFG(SAS),

：.CE=FG,：.BF+CE=BF+FG,

...點(diǎn)8、F、G三點(diǎn)共線時，BF+FG的最小值為BG,

VBC=3,CG=5,

由勾股定理得，BG=V52+32=V34＞故答案為：V34.

4.如圖，ABC。是。。內(nèi)接矩形，半徑r=2,AB=2,E,F分別是AC,CD上的動點(diǎn)，且

AE=CF,則BE+8尸的最小值是（）

解：作。關(guān)于CO的對稱點(diǎn)連接。打，交CD于G,過X作直線BC的垂線，垂足為

M,連接交CD于F,連接。尸，此時2尸+。/為最小，

：.ZABC=90°,；.AC為O。的直徑，

?半徑，=2,AB=2,...OC=AB=OA=OB=2,△。42是等邊三角形，

是OO內(nèi)接矩形，：.AB//CD,：.ZOCD=ZBAO,

'：AB=2,AC=4,

由勾股定理得：BC=^42_22=2V3,

'：AE=CF,:AABE沿△COF,:.BE=OF,；.BE+BF=OF+BF,

由對稱性得：OF=FH,OG=GH,：.BE+BF=BF+FH=BH,

VOC=OD,OH±CD,：.CG=DG=^-CD=^AB=1,

22

■:NCGH=NGCM=NM=90°,四邊形GCAffi是矩形，

：.CM=GH=^BC=^X2/3=V3>HM=CG=1,

22

在RtZ\B/7Af中，由勾股定理得：BH=JHM+BM2=、F+(2=2A/'7,

即BF+BE的最小值為2J7；故選：B.

5.如圖，菱形ABC。中，ZABC=60°,AB=3,E、/分別是邊BC和對角線8。上的動點(diǎn),

且BE=DF,則AE+AF的最小值為.

解：如圖，在BC的下方作NCBT=30°,使得8T=A￡),連接ET,AT,

:四邊形4BCD是菱形，ZABC=60°,

：.ZADC^ZABC=60°,

/Am//ADC=30°，

在△AD尸與△TBE中，

'AD=BT

'ZADF=ZTBE,:.AADFmATBE(SAS),：.AF=ET,

DF=BE

VZABT=ZABC+ZCBT=600+30°=90°,

AB=AD=BT^3,=3亞，-AE+AF=AE+ET,

?：AE+ET^AT,.,.AE+AF23&,；.4￡+4尸的最小值為3&,故答案為：3&

6.如圖(1),在△ABC中，AB=AC,ZBAC=90°,邊AB上的點(diǎn)。從頂點(diǎn)A出發(fā)，向

頂點(diǎn)8運(yùn)動，同時，邊BC上的點(diǎn)E從頂點(diǎn)2出發(fā)，向頂點(diǎn)C運(yùn)動，D,￡兩點(diǎn)運(yùn)動速

度的大小相等，設(shè)尤=AD,產(chǎn)AE+CD,y關(guān)于x的函數(shù)圖象如圖(2),圖象過點(diǎn)(0,2),

則圖象最低點(diǎn)的橫坐標(biāo)是

解：...圖象過點(diǎn)（0,2）,

即當(dāng)x=AO=8E=0時，點(diǎn)。與A重合，點(diǎn)E與B重合，

止匕時y=AE+CD=AB+AC=2,

:△ABC為等腰直角三角形，

：.AB=AC=1,

過點(diǎn)A作AEL2C于點(diǎn)E過點(diǎn)B作NBLBC,并使得BN=AC,如圖所示:

"：AD=BE,ZNBE=ZCAD,

:ANBE二ACAD(SAS),

：.NE=CD,

Ji'：y=AE+CD,

：.y=AE+CD=AE+NE,

當(dāng)A、E、N三點(diǎn)共線時，y取得最小值，如圖所示，此時:

AD=BE=x,AC=BN=1,

；.AF=gsin45°=一,

2

\又,：NBEN=/FEA,ZNBE=ZAFE：./\NBE^/\AFE

.NBBE解得：x=42-1，

"AF=FE

，圖象最低點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：V2-1.故答案為：V2-1-

7.如圖，在△ABC中，AB=AC=10,8C=12,A￡?_LBC于點(diǎn)。，點(diǎn)、E、P分別是線段A3、

上的動點(diǎn)，5.BE^AF,則BB+CE的最小值為.

解：過點(diǎn)2作BGLBC,使BG=AB,連接GE,GC,

'：AD±BC：.BG//AD,：.ZGBA=ZBAD,