2024年中考數(shù)學專項復習：一次函數(shù)中的倍、半角問題（解析版）

—

專題一次函教中

的倍、半角問題

需例題精講

【例1].如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)y=-2x+4的圖象與x軸、y軸分別交于點

A和點2,過點8的直線BC：交無軸于點C(-8,0).

(1)%的值為-

一2一

(2)點M為直線BC上一點，若則點M的坐標是⑵5)或(-

解：(1)在y=-2x+4中,令尤=0得y=4,

：.B(0,4),

把8(0,4),C(-8,0)代入y=kx+b得:

b=4

-8k+b=0

kJ

解得4

b=4

人的值為』,

2

故答案為：1

2

(2)如圖:

y

由(1)知，直線5cy=」x+4,

2

設小，lm+4),則{1^+擊+4-4)'=華防I，

在y=-2x+4中，令y=0得x=2,

AA(2,0),

,:B(0,4),C(-8,0),

：.AB2=(2-0)2+(0-4)2=20,AC2=(2+8)2+(0+0)2=100,BC2=(0+8)2+

(4-0)2=80,

：.AB2+BC2=AC2,AB=2近,

：.ZABC=90°=ZAOB,

II

.BM=AB印2皿_2遙

"0A而’24

解得m—2或m--2,

：.M(2,5)或(-2,3),

故答案為：(2,5)或(-2,3).

A變式訓練

【變17].如圖，直線y=-尤-4交無軸和y軸于點A和點C,點8(0,2)在y軸上，連

接AB,點產(chǎn)為直線上一動點.

(1)直線AB的解析式為y=京x+2；

(2)SAAPC=SAAOC,求點尸的坐標；

(3)當N5CP=NA4O時，求直線C尸的解析式及。尸的長.

解：(1):直線y=r-4交無軸和y軸于點A和點C,

.,.點A(-4,0),點C(0,-4),

設直線AB的解析式為y—kx+b,

由題意可得：。=2,

I0=-4k+b

解得：［2,

b=2

直線AB的解析式為尸/尤+2,

故答案為：y=—x+2；

-2

(2);點A(-4,0),點C(0,-4),點8(0,2),

.\OA=OC=4,OB=2,

:.BC=6,

設點p(m,工〃?+2),

2

當點尸在線段A2上時，

?S叢APC^S/\AOC，

S^ABC-SAPBC=AX4X4,

2

,\AX6X4-AX6X(-m)=8,

22

?.?_m=--4，

3

.?.點p(-A,1)；

33

當點尸在BA的延長線上時，

?S/\APC-SAAOC,

S^PBC-SABC=—X4X4,

A2

.\AX6X(-m)-2X6X4=8,

22

.?.點p(-"-1),

33

綜上所述：點尸坐標為(-&,4)或(-歿，-A)；

3333

(3)如圖，當點尸在線段48上時，設CP與AO交于點H,

在△AOB和△C。8中，

，ZA0B=ZC0H

(AO=CO,

ZBA0=ZPCB

...AAOB^ACOHCASA),

：.OH=OB=2,

...點H坐標為(-2,0),

設直線PC解析式y(tǒng)—ax+c,

由題意可得(c=-4,

I0=-2a+c

解得："-2,

1c=-4

二直線PC解析式為y=-2x-4,

y=-2x-4

聯(lián)立方程組得：.i,

2+2

'_12

x"~

解得：“，

ly=54

點尸(一絲■,A),

55

：.CP卜0)2+冬4)2=畔

DDD

當點P在AB延長線上時，設CP與x軸交于點H,

同理可求直線PC解析式為y=2x-4,

聯(lián)立方程組fx=4,

1y=4

點尸(4,4),

CP=Q(4-0)2+(4+4)2=4通,

綜上所述：CP的解析式為：y=-2X-4或y=2x-4；CP的長為.通或4泥.

5

[變1-2].如圖，在平面直角坐標系中，直線AD：y=-x+4交y軸于點A,交了軸于點D.直

線交x軸于點8(-3,0),點P為直線上的動點.

(1)求直線的關系式；

(2)連接P。，當線段尸時，直線上有一點動M,x軸上有一動點N,直接寫

出周長的最小值；

(3)若直接寫出點尸的縱坐標.

2

"(0,4),

設直線的關系式為y=kt+4,把8(-3,0)代入得:

-3計4=0,

解得k=*,

3

直線AB的關系式為尸等+4；

(2)設尸(m,—ZM+4),

3

"：PD±AB,

:.BP2+PD2=BD2,

■:B(-3,0),D(4,0),

(m+3)2+(—m+4)2+(m-4)2+(生w+4)2=49,

33

解得m=-3(與8重合，舍去)或m=-―,

25

：.P(-衛(wèi)，甦)，

2525

作尸關于X軸的對稱點S,連接PS交X軸于R,延長RP交直線AO于K,過K作K7U

RK,取KT=KP,如圖：

???<k?J(\----1-2，_--8-47，>,

2525

:NDKR=NDAO=45°,KT±RK,

:./DKR=45°=NDKT,

'：KT=KP,

：.P,T關于直線A。對稱，

連接燈交AD于M,交x軸于N,則此時△2J河周長的最小，最小值即為TS的長，

在y=-x+4中，令尤=-王■得y=I1？，

25'25

；.K「烏軍)，

2525

:.PK=KT=注,

25

?112,84_196

?AJ-----十----------,

252525

re=VKT2+KS2

：.4PMN周長的最小值為型巨；

5

(3)當P在y軸左側(cè)時，過P作「〃，》軸于“，在“下方取“W=HA,連接PW,若

此時PW=OW,則/PW4=NR4O=2NPOA,如圖：

：。8=3,0A=4,

.PH=2=PH

"AH1而'

設尸8=3f,則A8=HW=4t,

.'.PW=5t=OW,

0W+HW+AH=0A=4,

.'.5t+4t+4t=4,解得

13

：.OH=9t=返,

13

二.p的縱坐標為毆；

13

當尸在y軸右側(cè)時，過P作尸TUy軸于尸，如圖:

'：ZBA0^2ZP0A,

：.ZPOA+ZAPO=2ZPOA,

：.ZAPO^ZPOA,

：.AO=AP=4,

..PF=0B=3

.?.AF=JA,

5

：.OF=^-,

5

的縱坐標為毀，

5

【例2].如圖，直線>=息+6與直線y=-尤+4相交于點A(2,2),與y軸交于點2(0,

-2).

(1)求直線>=丘+6的函數(shù)表達式；

(2)若直線y=-尤+4與y軸交于點D,點P在直線y=-x+4上，當ZABO=ZPOD時,

直接寫出點尸的坐標.

解：(1)：直線y=fcc+b與直線y=-了+4相交于點4(2,2),與y軸交于點8(0,-2).

.f2k+b=2(k=2

*lb=-2'lb=-2，

直線y=kx+b的函數(shù)表達式為y=2x-2；

(2)①點尸在y軸右側(cè)時，

ZABO=ZPOD,

J.OP//AB,

直線AB的函數(shù)表達式為y=2x-2,

...直線。尸為y=2x.

聯(lián)立y=-x+4得：＜

ly=2x

解得尤=4,

3

②點尸在y軸左側(cè)時，過點A作AM,尤軸于M,減。尸于N,設交x軸于點C,

VA(2,2),

：.M(0,2),

'：B(0,-2),

：.OM=BO=2,

ZABO=ZPOD,

:.“BO”AMON,

:.MN=OC,

?.,直線AB的函數(shù)表達式為y=2x-2,

.?.點C(1,0),

OC=1,

:.MN=1,

：.N(-1,2),

設直線ON的函數(shù)表達式為y=nvc,

-x=2,解得無=-2,

直線ON的函數(shù)表達式為＞=-2x,

聯(lián)立產(chǎn)7+4得：卜=-x+4,

ly=-2x

解得尤=-4,

：.P(-4,8).

綜上所述：點尸坐標為(4，旦)或(-4,8).

33

A變式訓練

【變2-1].如圖，在平面直角坐標系中，直線/的解析式為y=-&尤+b,它與坐標軸分別

-3

交于A、8兩點，已知點8的縱坐標為4.

(1)求出A點的坐標.

(2)在第一象限的角平分線上是否存在點。使得/。&1=90°?若存在，求點Q的坐

標；若不存在，請說明理由.

(3)點尸為y軸上一點，連結AP,若NAP0=2NAB。，求點P的坐標.

解：⑴會的縱坐標為4.直線/尸-尹6,與坐標軸分別交于A、8兩點,

.?.點B(0,4),

將點3(0,4)代入直線/的解析式y(tǒng)=-士什6得：》=4,

3

.??直線/的解析式為：y=-芻x+4,

3

令y=0得：x=3,

AA(3,0)；

(2)存在,

VA(3,0),B(0,4),

；?AB=V0A2X)B2=V32+42=5'

在第一象限的角平分線上，

設Q(x,x),

根據(jù)勾股定理：

QB2+B^=QA2,

x2+(x-4)2+52=X2+(x-3)2

解得了=16,

故。(16,16)；

①當點尸為y軸正半軸上一點時，

?.*ZAPO=2ZABO,ZAPO=ZABO+ZPAB,

：.ZABO=ZPABf

：.PA=PB,

設尸（0,p）,

22

：.R\=PBf

.*.32+p2=（4-p）2,

,_7

??p,

8

：.P（0,工）；

8

②當點P為y軸負半軸上一點時，

ZAP'P=ZAPO=2ZABO,

：.AP=AP',

?:AOLPP',

AOP'=OP=—,

8

：.P'（0,-工）.

8

綜上所述：點尸的坐標為（0,工）或尸（0,-—）.

88

【變2-2].如圖1,已知函數(shù)y=±x+3與x軸交于點A,與y軸交于點2,點C與點A關

于y軸對稱.

(1)求直線8C的函數(shù)解析式；

(2)設點M是x軸上的一個動點，過點M作y軸的平行線，交直線A3于點P,交直線

BC于點Q.

①若△PQB的面積為千，求點。的坐標；

解：(1)對于y=*x+3,

由x=0得：y=3,

：.B(0,3).

由y=0得：-i-x+3=0,解得x=-6,

AA(-6,0),

??,點。與點A關于y軸對稱.

：.C(6,0)

設直線BC的函數(shù)解析式為y=kx^b,

(1

.*=3,解得卜=節(jié)，

I6k+b=0b=3

直線BC的函數(shù)解析式為丫=-lx+3；

(2)①設點Af(m,0),則點尸(m,1〃?+3),點。(m,-Am+3),

22

過點3作2。，尸。與點。,

則△PQB的面積=”Q?BO=/〃2=V，解得相=土行

故點Q的坐標為（4，3-零）或（-4，3+與）；

②如圖2,當點M在y軸的左側(cè)時，

..?點C與點A關于y軸對稱，

：.AB=BC,

：.ZBAC=ZBCA,

■:NBMP=/BAC,

：.ZBMP=ZBCA,

VZBMP+ZBMC^90°,

：.ZBMC+ZBCA=9Q°

：.ZMBC=1800-CZBMC+ZBCA）=90°,

:.BM2+BC2^MC2,

設M（x,0）,則P（尤，工x+3）,

2

BM2=OM2+OB2=?+9,MC2=（6-x）2,BC2=OC2+OB2=62+32=45,

.'.X2+9+45=（6-x）解得x=-3,

2

：.P（-S,且），

24

如圖2,當點M在y軸的右側(cè)時，

同理可得尸（旦，正），

24

綜上，點P的坐標為（-3,9）或（3,

2424

而白實戰(zhàn)演練

1.如圖，平面直角坐標系中，直線與x軸、y軸分別交于點A(4,0)、點3(0,2).

(1)求直線AB的表達式；

(2)設點C為線段AB上一點，過點C分別作CDL軸、CEXytt，垂足分別為。、E,

當0c平分NAOB時，求點C的坐標.

解：(1)設直線42的表達式為：y=kx+b,

把A(4,0)、B(0,2)代入y=fcc+b得：f4k+b=0,

lb=2

fk」

解得：2,

b=2

?,.直線AB的表達式為：y=—^-x+2；

(2)設點。的坐標為(a,3a+2).

???CZ)_Lx軸、CE_Ly軸，OC平分NA08,

,;CD=CE,

?*,a=-^-a+2-解得a］，

點c的坐標為任，A).

2.如圖，在平面直角坐標系中，直線A8與x軸交于點A(8,0),與y軸交于8(0,8),

點。為OA延長線上一動點，以80為直角邊在其上方作等腰三角形8DE,連接E4.

(1)求證/EAO=NOAB；

(2)求直線EA與y軸交點廠的坐標.

(1)證明：過點E作軸，如圖1所示,

AZEGD=ZDOB=ZEDB=90°,ED=DB,

.".Zl+Z2=90°,Z2+Z3=90°,

???N1=N3,

在△EGO和△003中，

'NEGD:NDOB

<Z1=Z3,

ED=DB

：./\EGD^ADOB(AAS),

:,EG=DO,GD=OB,

VA(8,0),B(0,8),

???O3=OA=8,

：.GD=OA,

：.DO=DAWA=DA+DG=AGf

：.EG=AG,

：.ZEAG=ZGEA=45°,

又04=05=8,

：.ZOAB=ZOBA=45°,

：.ZEAD=ZOAB；

(2)解：如圖2,

?.?/胡。=45°,ZAOF=90°,

：.ZOAF=ZOFA=45°,

：.OA=OF=S,

???點/的坐標為(O-8).

3.如圖1,直線y=-x+b分別交x,y軸于A,8兩點，點C(0,2),若S“BC=2SAAC。.

(1)求6的值；

(2)若點P是射線上的一點，S^PAC=SAPCO,求點P的坐標；

(3)如圖2,過點C的直線交直線A8于點E,已知。(-1,0),ZBEC=ZCDO,求

直線CE的解析式.

圖1圖2

解：(1):直線y=-x+6分另I］交x,y軸于A,2兩點，

.,.點A(b,0),點、B(0,b),

：.S^ABC^yXBCX0A=-^X(b-2)Xb，SMCO=-^ocXQA=yX2Xb-

?S/\ABC=2,S/^ACOJ

—(b-2)Xb-1x2bX2,

解得。=6；

(2)由(1)知/?=6,直線A5表達式為y=-x+6,

點坐標(6,0),5點坐標(0,6),

設直線AC的表達式為y=fct+b,將點A、。代入得，

(1

儼+b=0,解得k=w

1b=2b=2

直線AC的解析式為y=-AX+2,

①當點尸在第一象限時，過點P作P。8軸，交AC于點。，設。(x,--lx+2),則點

=(-—x+2)=-—v+4,

??PQ~x+6~33x

SAPAC=S^PCQ+SAPAQ

=/PQ?X+￡XPQX(6-X)

=12-2x,

S#co=^QOx

=Xy

VS/\PAC=S^pcOy即12-2x=x,解得：x=4,則尸點坐標(4,2)；

方法二：VS/\PAC=S/\BCA-SABCP,

?1△MC/BCXOA-加r

=yX4X6-yX4-x

=12-2x,

.；SMCO=A?x=/X2?x=x，

S△以c=S△尸co,

12-2x=x,

解得x=4,

：.P(4,2)；

②當P點在第二象限時，設點尸(x,-x+6),

SMPAC=SAPBC+S叢ABC

=yBC-(-x)+yBC-0A

=12-2x,

S*co=/oo(-x)

=~Xf

VS^PAC=S^PCO9即12-2x=-x,解得：x=12,

???第二象限x<0,x=12不符合題意舍去，

???尸點坐標(4,2)；

(3)過點。作"UA3于點方，

,JCFLAB,直線AB解析式為y=-x+6,且點C(0,2),

.?.可得直線CF的解析式為y=x+2,

聯(lián)立得(y~~X+6,解得('=2,即交點尸坐標(2,4),

iy=x+2Iy=4

CF=V(2-0)2+(4-2)2=2&>

設點E(x,-x+6),

??EF=J(x-2)2+(-X+6-4)2=^2(%—2),

/BEC=NCDO,ZCOD=ZCFE=90°,

AACDO^ACEF,

?0C—0D日口2_1

■,CF-EF'礪'—a(X-2)，

解得：x=3,

???點七坐標(3,3),點C(0,2),

設直線CE解析式為將點E、C代入得

(1

(3a+b=3,解得k=y,

1b=2b=2

直線CE的解析式為產(chǎn)工x+2-

3

解法二：如圖，過點。作。尸，CZ）交EC于點E過點尸作于H,設EC交X

軸于點G.

圖2

/BEC=NCDO,

：.ZBAO+ZEGA=ZEGA+ZDCG,

：.ZDCG=ZAO=45°,

：.CD=DF,

ZFDH^ZCDO=90°,ZCDO+ZDCO=90°,

???ZDCO=/FDH,

?:/FHD=/D0C=9U°,

：./\FHD^/\DOC(A4S),

：.FH=OD=1,DH=0C=2,

：.F(-3,1),

直線CE的解析式為y=[x+2?

3

4.在平面直角坐標系％Oy中，正比例函數(shù)(小W0)的圖象經(jīng)過點A(2,4),過點A

的直線(%>0)與x軸、y軸分別交于5,。兩點.

(1)求正比例函數(shù)的表達式；

(2)若△AOB的面積為△20C的面積的仔倍，求直線y=fcv+6的表達式；

(3)在(2)的條件下，若一條平行于的直線。E與直線2C在第二象限內(nèi)相交于點

D,與y軸相交于點E,連接OQ,當OC平分/AO。時，求點。的坐標.

解：(1)把點A(2,4)代入正比例函數(shù)(m^O),

2m=4,解得m=2,

正比例函數(shù)的表達式為：y=2x；

(2)當點B在無軸負半軸時，根據(jù)題意可畫出圖形，如下所示，過點A作x軸和y軸的

垂線，垂足分別為N和

則4M=2,AN=4,

設△BOC的面積為3S,則△AOB的面積為4S,

AAOC的面積為S,即△AOB的面積=4Z\AOC的面積,

AAOC的面積=工。小OC,

2

△AOB的面積=」O8?AN=2OB,

2

：.2OB=4OC,即OB=2OC,

令尤=0,則y=b,

：.C(0,b),

：.OC=b,

：.OB=2b,即2(-2b,0),

將8(-2b,0),A(2,4)代入函數(shù)解析式，可得，

(1

12b?k+b=O,解得吃，

12k+b=4|b=3

直線A2的解析式為：y^—x+3,

'2

當點2在無軸正半軸時，如圖所示,

設△BOC的面積為3S,則△AOB的面積為4S,

AAOC的面積為7S,即7ZXAOB的面積=4Z\AOC的面積,

,?△AOC的面積=』OC?AM=OC,

2

△AOB的面積=1OB?AN=2OB,

2

A14OB=4OC,即OB=Zoc,

7

令x=0,貝Uy=。，

：.C(0,b),

：.OC=b,

：.0B=2b,即2(-Zb,0),

77

將2(-Zb,0),A(2,4)代入函數(shù)解析式，可得，

7

‘2(7

-,Vb,k+b=0.歸k^TT

<7,解得彳2,

2k+b=4lb=-3

直線AB的解析式為：j=lx-3；

-2

綜上，直線A8的解析式為：y=』x+3或y=1x-3；

-2-2

(3)如圖，作點A關于y軸的對稱點4',連接。V,

由對稱可知，ZAOC=ZA'0C,即0C平分NAOA',

線段OA'與直線AB的交點即為點D.

由對稱可知，A'（-2,4）,

直線OA'的解析式為：y=-2x,

令-2x=—x+3,解得尤=-—,

25

；.y=-

.5

：.D（-2，&）.

55

5.綜合與探究

如圖1,直線AB與坐標軸交于A,B兩點，已知點A的坐標為（0,3）,點2的坐標為

（4,0）,點C是線段AB上一點.

知識初探：如圖1,求直線的解析式.

探究計算：如圖2,若點C是線段AB的中點，則點C的坐標為（2,3）

2-

拓展探究：如圖3,若點C是線段AB的中點，過點C作線段48的垂線，交了軸于點

求點M的坐標.

類比探究：如圖4,過點C作線段的垂線，交x軸于點N,連接AN,當NOAN=N

CAN時，則點N的坐標為（",0）

解：知識初探：設直線A3的解析式為y=fcc+b,

將A,8兩點坐標代入，得，"TD-U,

lb=3

解得'4,

b=3

直線AB的解析式為y=--|x+3；

探究計算：:.點C為線段AB的中點,點A的坐標為（0,3）,點8的坐標為（4,0）,

...由中點公式得，點C（2,3）,

2

故答案為：2,3；

2

拓展探究：連接AM,

k0\/MB\x

設0）,貝!JOAf=m,BM=4-m,

???點C是線段AB的中點，

.\AM=BM=4-m,

在RtZiAOM中，AM1=OM1WA1,

（4-m）2=m2+32,

,_7

??m——,

8

：.M（工，0）；

8

類比探究：'：NC±AB,NOLOA,

.?.當NOAN=/CAN時，即AN平分/OAB時，NO=NC,

在Rt/\OAN和RtZXACN中，

[AN=AN,

lN0=NC，

...RtZ\OAN0RtZ\ACN（HL）,

：.AC=AO=3,

在RtZWOB中，由勾股定理得A2={AC）2+BC）2=5,

：.BC=AB-AC=2,

設點N的坐標為（〃，0）,則。N=%則CN="，BN=4-n,

在RtZ\2CN中，由勾股定理得（4-”）2-層=22,

解得〃=3,

2

.?.點MN的坐標為（2，0）.

2

故答案為：—,0.

2

6.平面直角坐標系中，已知A的坐標為（-2,0）,8在y軸正半軸上，且tan/ABO」，

3

將線段A3繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)45°,交y軸于點C

(1)求直線AC的解析式；

(2)點。是直線AC上的一點，且滿足NAQ3=NA3C,求點。坐標.

解：（1）如圖：過點B作BM_LAC于

0B=-------=6，

OA=2,3tanZAOB°

在RtAABO中，根據(jù)勾股定理得：gWA02+B02=2VT5,

VZBAC=45°,CM±AB,

在RtZxABA/中，由勾股定理得：AB2=AM2+BM"，

解得：AM2=BI=2V5'

?.*/ACO=ZBCM,NAOC=/BMC,

：.△AC0S4BCM,

設。c=x,AC=y,則BC=6-X，CM=2A/5-y,

...以w望，即：=丫/，

OACMBC2V5-y6-xv

2v5-y

b-x

x=l

解得:

y=V5

：.C(0,1).

設直線AC的函數(shù)表達式為>=依+6"/0),

將點A(-2,0),C(0,1)代入得，

f~2k+b=0

lb=l，

解得：.2,

b=l

直線AC的函數(shù)表達式為yVx+1.

(2)設點。的坐標為：(a,]a+l)，

YOB=6,

：.B(0,6),

BD=^a2+(ya-5)，

VZADB=ZABC,ZAOB=ZBMD=90a,

LABOS^BDM,

.BMBDpn275W+(』a-5)

AOAB22^10

整理得：1/《2+(%5)2,

兩邊同時平方：200=a2+(ya-5)2'

解得：(71=14,<22=-10,

當0=14時，ya+l=8，

當a=-10時，—A+1=-4,

2

.?.點。的坐標為：(14,8)或(-10,-4).

7.如圖1,已知函數(shù)y=/x+3與x軸交于點A,與y軸交于點8,點C與點A關于y軸對

稱.

(1)請寫出點A坐標(-6,0),點3坐標(0,3),直線5。的函數(shù)解析

式y(tǒng)=--x+3；；

-2

(2)設點M是x軸上的一個動點，過點M作y軸的平行線，交直線A3于點尸，交直線

BC于點、Q.

①若△尸。8的面積為工，求點。的坐標；

2

②點M在線段AC上，連接如圖2,若NBMP=NBAC,直接寫出尸的坐標.

解：(1)對于y=￡x+3,

由尤=0得：y=3,

：.B(0,3).

由y=0得：—x+3=0,解得尤=-6,

2

(-6,0),

..?點C與點A關于y軸對稱.

：.C(6,0)

設直線BC的函數(shù)解析式為y^kx+b,

.?Jb=3，解得.尸方，

I6k+b=0b=3

直線BC的函數(shù)解析式為丫=--1x+3；

故答案為：A(-6,0),B(0,3),y=-￡x+3；

(2)①設點M(m,0),則點尸Cm,工團+3),點。Cm,-工團+3),

22

過點8作與點Q,

則△PQB的面積=_lpQ?8O=』m2=1,解得機=土正，

222

故點。的坐標為（J7，3-與）或（-4，3+與）；

②如圖2,當點M在y軸的左側(cè)時，

?..點C與點A關于y軸對稱，

J.AB^BC,

：.ZBAC^ZBCA,

"：ZBMP=ZBAC,

：.ZBMP=ZBCA,

ZBMP+ZBMC=90°,

：.ZBMC+ZBCA=90°,

：.ZMBC=180°-（ZBMC+ZBCA）=90°,

:.BM2+BC2=MC2,

設M（無，0）,則P（無，AX+3）,

2

BM2=OM2+OB2=^+9,MC2=（6-x）2,BC2=OC2+OB2=62+32=45,

；./+9+45=（6-x）2,解得x=-3,

2

：.p(-旦,9),

24

如圖2,當點M在y軸的右側(cè)時，

同理可得P(3,至)，

24

綜上，點P的坐標為(-旦，且)或(3,生).

2424

8.已知在平面直角坐標系xOy中，直線/：y=-^Ix+lZ與x軸交于點4將/向下平移16

個單位后交y軸于點B.

(1)求/。射的余切值；

(2)點C在平移后的直線上，其縱坐標為6,聯(lián)結CA、CB,其中CA與y軸交于點E,

求SACBE：SAABE的值；

(3)點M在直線x=3上且位于第一象限，聯(lián)結MA、MB,當時，求點

M的坐標.

解:(1)由題意可知，直線/：y=-—x+12,令x=0,則y=12,令y=0,則x=8,

2

，直線/：尸->12與x軸交于點A(8,0),與y軸交于點A'(0,12),

.?.向下平移16個單位后的表達式為尸-Ar+12-16=--|.r-4,

???平移后的直線交y軸于點5(0,-4),

???05=4,

cotXOBA=強=g=_1

0A8-7

(2):直線/平移后新的直線方程為y=4,且點C的縱坐標是6,

--X-4=6,解得x=-①

23

C（趣,6）,

過點C作CN，y軸于N,

c-^BE-CNip_

...、ACBE=2______=CN3=1

,△ABE—BE-OAOA86

設AB與直線x=3交于點尸，

VA(8,0),B(0,-4),

■.AB所在的直線方程為丫=/工一%

：.F(3,-5),

2

;直線M尸為尤=3,

：.MF//y^.

：.ZMBO=ZBMF,

ZBMA^ZOBA,

：.ZABM=ZAMF,

'：ZMAB=ZFAM,

?.?-A-M-二AB‘，

AFAM

：.AM2=AF-AB,

2

????”"+82=4病，AF=^(8-3)2+(1)=^§_.

：.AM2=AF-AB=5Q,

設M(3,/?),

AAM=V(8-3)2+h2=5如,

解得：丸=5或-5(舍去)，

：.D(3,5).

9.如圖1,已知函數(shù)y=/x+3與x軸交于點A,與y軸交于點8,點C與點A關于y軸對

稱.

(1)求直線8c的函數(shù)解析式；

(2)設點〃是無軸上的一個動點，過點M作y軸的平行線，交直線A3于點尸，交直線

BC于點Q.

①若△PQB的面積為且，求點M的坐標；

(1)解：對于丫得*+3

由x=0得：y=3,

：.B(0,3)

由y=0得：yx+3=0,解得x=-6,

/.A(-6,0),

.點C與點A關于y軸對稱

：.C(6,0)

設直線BC的函數(shù)解析式為y=kx+b,

.(b=3,

16k+b=0'

f,1

解得2

b=3

直線BC的函數(shù)解析式為y=-^x+3，

(2)解：設M(.m,0),

則尸(m,?^■JQ+3)、Q(m，4m+3)

如圖1,過點2作尸。于點D

，PQ=|(卷m+3)-gm+3)I=Im卜

BD—\m\,

sPQBI)=m2=，

APQB4''2'4

解得m=±乎，

：.M(司"0)或加(_^叵，0)；

22

(3)解：如圖3,當點M在y軸的左側(cè)時，

:點C與點A關于y軸對稱

：.AB=BC,

：.ZBAC=ZBCA

'：ZBMP=ZBAC,

：.ZBMP^ZBCA

?；NBMP+/BMC=90°,

：.ZBMC+ZBCA=90°

：.ZMBC=180°-(NBMC+NBCA)=90°

:.BM2+BC1=MC1

設M(x,0),則P(x,^x+3)

BM2=ONfi+OB1=^+9,MC2=(6-尤)2,BC2=OC2+OB2=62+32=45

/.X2+9+45=(6-x)2,解得工=工

24

如圖2,當點M在y軸的右側(cè)時，

同理可得尸（旦，至），

24

綜上，點P的坐標為（旦，9）或（旦，至）,

2424

解法二：如圖3,當點M在y軸的左側(cè)時，

1/點C與點A關于y軸對稱

：.AB=BC,

：.ZBAC=ZBCA

,：ZBMP=ZBAC,

：.ZBMP=ZBCA

VZBMP+ZBMC^90°,

：.ZBMC+ZBCA=9Q°

：.ZMBC=180°-（.ZBMC+ZBCA）=90°

設直線BM的解析式為y=hx+Z?i,

則有kiX（2）=-1，

左1=2

?,?直線BM的解析式為y=2x+bi,

將點3（0,3）代入得，加=3,

???直線BM的解析式為y=2x+3,

由y=0得％=V，

將元=V代入y^x+3得y號，

:.p（國，旦）,

24

如圖2,當點M在y軸的右側(cè)時，

同理可得p（3,至），

24

綜上，點p的坐標為（-旦，9）或（旦，至）.

2424

圖3

10.如圖，直線y=3尤+3交x軸于點8,交y軸于點A,點C為x軸正半軸上一點，且AC

=BC.

（1）求直線AC的解析式；

（2）點P從點。出發(fā)沿y軸的正方向運動，速度為1個單位/秒，運動時間為f秒，過

點尸作x軸的平行線，分別交直線AB,AC于點。、E,若設DE=d,求d與f的函數(shù)解

析式，并直接寫出/的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，當點尸在OA的延長線上時，連接BE,若2/BED=3NBCE,

求點E的坐標.

AA(0,3),B(-1,0),

設C(m，0),m>0,則AC=Jm2+9，BC=m+l,

*：AC=BC,

?Win2+9=m+\,解得"2=4,

：.C(4,0),

設直線AC解析式為〉=匕+3,則0=4k+3,

：.k=-工，

4

直線AC解析式為、=-Sx+3；

：.D(主-1,/),

3

在>=--|-x+3,令y=t得x=-3+4,

.,.E(-—t+4,t),

3

333

d—-—t+5,

3

當f>3時，如圖:

333

."=2-5,

3

?"t+5(04t43)

綜上所述，d^'；

石t-5(t>3)

,o

(3)過2作BN_LEC于N,過E作磯LLA￡>于M,如圖:

：.2(/BEC+/DEC)=3/BCE,

：OE〃x軸，

：.ZDEC=ZBCE,

A2CZBEC+ZBCE)=3NBCE,

：.ZDEC=ZBCE=2ZBEC,

；AC=BC,。石〃x軸，

ZCAB=ZCBA=ZEAD=ZEDA,

:.ED=EA,

'：EM±AD,

：.ZDEC=2ZDEM,DM=—AD,

2

/.ZDEM=ZBEC,

：.smZDEM=sinZBEC,即?■=網(wǎng)，

EDBE

:.DM-BE=ED?BN,

由(2)知：當t>3時，ED=—?-5,

3

'：^BC-OA=^AC'BN,AC=BC,

22

:.BN=0A=3,

:.DM?BE=(At-5)X3=5(?-3),

3

由(2)知：。(主-1,f),E(--f+4,f),

33

而A(0,3),B(-1,0),

"DM=jAD=j心1產(chǎn)+(53)2=1L號t+10=1

科(t2-6t+9)=唔G-3),

BE=(-1-t-5)2+t2=^^-t2^-t+25'

11.平面直角坐標系中，直線y=2尤+4與x軸、y軸分別交于點8、A.

(1)直接寫出直線AB關于x軸對稱的直線BC的解析式y(tǒng)=-2x-4；

(2)在(1)條件下，如圖1,直線BC與直線y=-x交于E點，點P為y軸上一點，

PE=PB,求尸點坐標；

(3)在(1)(2)條件下，如圖2,點P為y軸上一點，ZOEB=ZPEA,直線EP與直

線AB交于點M，求M點的坐標.

解：(1):直線y=2尤+4與x軸、y軸分別交于點8、A.

AA(0,4),B(-2,0),

直線AB與直線BC關于x軸對稱，

：.C(0,-4),

設直線BC的解析式為y=kx+b,

.f-2k+b=0

"lb=-4

解得，4=-2；

lb=-4

直線BC的解析式為y=-2x-4；

故答案為：-2x-4；

⑵：已，

ly=-2x-4

.fx=-4

jy=4,

：.E(-4,4),

：.AE.LAO,

設OP=a,AP=4-a,

在RtABOP和RtAEAP中，

BP2=4+a2,PE2=16+(4-a)2,

；PE=PB,

/.4+a2=16+(4-a)

解得a=3.5.

：.P(0,3.5).

(3)①如圖，當點尸在點A的下方，

'：ZOEB=ZPEA,ZA