2024年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)提高講義：相交線與平行線的判定

相交線與平行線的判定

知識(shí)梳理

1.對(duì)頂角

(1)兩條直線相交成四個(gè)角，其中不相鄰的兩個(gè)角叫作對(duì)頂角.

(2)性質(zhì)：對(duì)頂角相等；相鄰的兩角互補(bǔ)；相鄰兩角的平分線互相垂直.

2.垂直

(1)兩直線相交所得的角中有一個(gè)角為直角時(shí)，這兩條直線互相垂直.

⑵過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直.

(3)垂線段最短.

3.平行線

(1)定義：在同一個(gè)平面中，不相交的兩條直線叫作平行線.

(2)表示方法:用符號(hào)“〃”表示.如直線AB和CD平行，記作AB〃CD(或CD〃AB),讀作“AB平行于CD”(或者CD

平行于AB).

(3)平行的傳遞性：如在同一平面內(nèi)，兩條直線分別與同一條直線平行，則這兩條直線也互相平行.

4.平行線的判定(區(qū)別平行線與相交線)

⑴由角證明：證明兩直線平行時(shí)，常通過添加輔助線，將已知圖形轉(zhuǎn)化為“三線八角”的基本圖形再利用以下

角的關(guān)系，來判斷是否平行：①同位角相等，兩直線平行；②內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；③同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直

線平行.

⑵由兩直線位置關(guān)系的確定：在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線互相平行.

典型例題

例1

如圖14-1所示，直線/1,以13交于點(diǎn)o,圖中出現(xiàn)了幾對(duì)對(duì)頂角，若n條直線相交呢?分析識(shí)別圖中的對(duì)頂角

應(yīng)從這個(gè)較復(fù)雜的圖形中分解出三個(gè)基本圖形(即定義圖形),如圖14-2所示,即直線AB,CD相交于點(diǎn)O;直線AB,E

F相交于點(diǎn)O;直線CD,EF相交于點(diǎn)O.由于兩條直線相交組成對(duì)頂角，所以上述圖中共有6對(duì)對(duì)頂角.

解如圖14-2所示.圖中共有6對(duì)對(duì)頂角，它們是:/AOC和/BOD,NAOD和NBOC,/AOF和/BOE,/AOE

和ZBOF,ZCOF和ZDOE,ZCOE和ZDOF.

因?yàn)閮蓷l直線相交于一點(diǎn)，會(huì)出現(xiàn)2x(2-1)=2對(duì)對(duì)頂角，

三條直線相交于一點(diǎn)，會(huì)出現(xiàn)3x(3-l)=6對(duì)對(duì)頂角，

四條直線相交于一點(diǎn)，會(huì)出現(xiàn)4x(4-l)=12對(duì)對(duì)頂角，

所以依此類推，n條直線相交于一點(diǎn)有nx(n-l)對(duì)對(duì)頂角.

例2

如圖14-3所示,ACLBC于點(diǎn)C,CD±AB于點(diǎn)D,DE，BC于點(diǎn)E,試比較四條線段DE,DC,AC,AB的大小.

分析分別根據(jù)垂線段最短依次進(jìn)行判斷，然后按照從小到大的順序排列即可.

解因?yàn)锳C±BC,

所以AC<AB,

因?yàn)镃DXAB,

所以DC<AC,

因?yàn)镈E_LBC,

所以DE<DC,

所以DE<DC<AC<AB.

例3

如圖14-4所示，直線AB,CD被直線EF所截，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件，使AB〃CD.

分析根據(jù)平行線的判定定理：當(dāng)滿足同位角相等或內(nèi)錯(cuò)角相等或同旁內(nèi)角互補(bǔ)的條件時(shí)兩直線平行，可得答

案，故此題答案不唯一.

解Zl=Z2;Z4=Z3;Z4+Z2=180°

圖14-4

例4

如圖14-5所示,已知:/ABE+/BED+/EDC=360。,求證:AB〃CD.

分析要證明兩條直線平行，就要尋找第三條直線與這兩條相交，如果沒有就添加輔助線.

方法一利用角的關(guān)系確定：

如圖14-6所示，連接BD.尋找/ABD與/BDC之間的關(guān)系.

方法二利用直線位置關(guān)系確定：

圖14-6圖14-7

如圖14-7所示，作EF〃AB,尋找EF與DC之間的關(guān)系.

解方法一連接BD,

由三角形內(nèi)角和可得/EBD+/BED+NEDB=180。，

因?yàn)閆ABE+ZBED+ZEDC=360°

所以NABD+/BDC=180°

所以AB//CD.

方法二作EF〃AB

由EF〃AB彳導(dǎo),NABE+NBEF=180。，

又因?yàn)?ABE+/BED+/EDC=360。，

所以NFED+/EDC=180。，

所以EF〃DC

所以DC〃AB

雙基訓(xùn)練

1.兩條直線相交所成的四個(gè)角中，下列說法正確的是（）.

A.一定有一個(gè)銳角B.一定有一個(gè)鈍角

C.一定有一個(gè)直角D.一定有一個(gè)不是鈍角

2.平面內(nèi)三條直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)可能有（）.

A.1個(gè)，或3個(gè)B.2個(gè)，或3個(gè)

C.1個(gè)或2個(gè)或3個(gè)D.0個(gè)，或1個(gè)，或2個(gè)，或3個(gè)

3.如圖14-8所示，下列判斷中錯(cuò)誤的是（）.

A.^A+/-ADC=180°=>XB||CDB.N1=N2今AD〃BC

C.ZABC+ZC=180°=>AB/7CDD.N3=/43AD〃BC

圖14-8圖14-9

4.如圖14-9所示，直線AB與直線CD相交于點(diǎn)0,點(diǎn)E是/AOD內(nèi)一點(diǎn)，已知OE，AB,/BOD=45oW/COE

的度數(shù)是（）.

A.125°B.135°C.145°D.1550

5.如圖14-10所示,NA=135o,NB=45。在下面的說法中，一定正確的是（）.

A.AD〃BCB.AB〃CD

C.ZC=135°,ZD=45°D.ZC=45°,ZD=135°

圖14-10

6.如圖14-11所示CALBE于點(diǎn)A,AD±BF于點(diǎn)D,下列說法正確的是（）.

A.a的余角只有/BB.a的鄰補(bǔ)角是/DAC

C./ACF是a的余角D.a與/ACF互補(bǔ)

7.下列說法正確的個(gè)數(shù)有（）.

①AB=BC則點(diǎn)B是線段AC的中點(diǎn)；

②過兩點(diǎn)有且只有一條直線；

③同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有一條而且僅有一條直線垂直于已知直線；

④連接兩點(diǎn)的線段叫作這兩點(diǎn)之間的距離.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

8.如圖14-12所示，點(diǎn)E是AB上一點(diǎn)，點(diǎn)F是DC上一點(diǎn)點(diǎn)G是BC延長線上一點(diǎn)若/AEF=NEFC,/A=/BC

D,則可得到的平行結(jié)論是（）.

A.AD〃EF,AB〃CD

B.AB〃CD,EF〃BG

C.AD〃EF,BC〃EF

D.AD〃BG,AB〃CD

圖

9.平面內(nèi)，如果ABL,ACL,且點(diǎn)A在直線1上.則下列結(jié)論成立的是（）.14-12

A.AC〃ABB.點(diǎn)B,C在1同側(cè)

C.點(diǎn)B,C在1兩側(cè)D.點(diǎn)B,C在同一直線上

10.如圖14-13所示點(diǎn)P在直線1外點(diǎn)A,B,C,D在直線1上,PCL于點(diǎn)C,則點(diǎn)P到直線1的距離為（）.

A.線段PA的長B.線段PB的長

C.線段PC的長D.線段PD的長

1L如圖14-14所示，直線AB,CD,EF交于點(diǎn)O.

⑴ZCOE的對(duì)頂角是____.

(2)ZAOF的對(duì)頂角是.

(3)ZBOF的鄰補(bǔ)角是.

(4)ZBOE的鄰補(bǔ)角是.

12.如圖14-15所示:

(1)如果已知/1=/E,那么可判斷AC〃理由是

⑵如果已知/2=/A,那么可判斷AB〃，理由是一

⑶如果已知/B=N3.那么可判斷—//—，理由是—

13.如圖14-16所示，已知AB,CD,EF相交于點(diǎn)O,EF，AB,OG為/COF的平分線QH為NDOG的平分線，若/A

OC:/COG=4:7廁/GOH=.

圖14-15圖14-17

14.如圖14-17所示，點(diǎn)E在直線DF上點(diǎn)B在直線AC上若NEHF=/AGB,/DBC=NDEH,則/A=/F,請(qǐng)

說明理由.

解:因?yàn)?EFH=/AGB(.

ZAGB=Z(對(duì)頂角相等)，

所以NEFH=NDGF,

所以BD//CE,

所以/DBC+/C=180。兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ).

又因?yàn)?DBC=NDEH(已知)，

所以NDEH+/=180。，

所以//—(同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行),

所以NA=NF.

15.如圖14-18所示AD〃BC,NBAD=/BCD,那么直線AB與CD平行嗎？請(qǐng)說明理由.

圖14-18

16.如圖14-19所示,/1=47。,/2=47。,/口=47。,那么BC與DE平行嗎？AB與CD呢?為什么?

圖14-19

17.如圖14-20所示,AB〃CD,NB+/D=180。廁BC與DE平行嗎？為什么?

18.如圖14-21所示,△ABC中,AB=4C,點(diǎn)D是CA延長線上的一點(diǎn)，且乙B=/DAM.求證:AM〃BC.

圖14-21

19如圖14-22所示,/1=NC,N2+ND=90°,BE±FD于點(diǎn)G.試證明:|CD

圖14-22

20.如圖14-23所示，觀察圖并回答問題：若使AD〃:BC,需添加什么條件(要求：至少找5個(gè)條件).

能力提升

21.下列說法正確的有().

(1)兩直線被第三直線所截，若同位角相等，則同旁內(nèi)角相等

⑵兩直線被第三直線所截，若內(nèi)錯(cuò)角的角平分線平行，則這兩直線平行

(3)兩直線被第三直線所截，若同旁內(nèi)角不互補(bǔ)，則內(nèi)錯(cuò)角也不相等

(4)在同一平面內(nèi)，兩直線同時(shí)垂直同一條直線，則這兩直線也互相垂直

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

22點(diǎn)P為互相垂直的直線a,b外一點(diǎn)，過點(diǎn)P分別畫直線城,使c〃a,dJ_a，那么下列判斷中正確的是().

A.c〃bB.c〃dC.bXcD.b±d

23.如圖14-24所示點(diǎn)D在AC上點(diǎn)E在AB上，且BDLCE,垂足為點(diǎn)M.下列說法:①BM的長是點(diǎn)B到CE的

距離;②CE的長是點(diǎn)C到AB的距離;③BD的長是點(diǎn)B到AC的距離；④CM的長是點(diǎn)C到BD的距離.其中正確

的是—（填序號(hào)）.

24.如圖14-25所示,NABC=13（F,AB，MN于點(diǎn)F,Na=40。..請(qǐng)你判斷直線MN與1的位置關(guān)系并證明你的結(jié)

論.直線MN與1的位置關(guān)系是—.

25.如圖14-26所示若Z1:Z2:Z3=2:3:4,zXFF=60°,ABDE=120。廁圖中平行的直線有.

26.如圖14-27所示,AB〃CD,/l=/2,/3=N4,試說明.4D||BE.

圖14-27

27.如圖14-28所示，已知zl+N2=180°,Z.B=NDEF,,求證:DE\\BC.

圖14-28

28.如圖14-29所示，已知DF\\AC,乙C=KD,判斷CE與BD的位置關(guān)系并說明理由.

圖14-29

29.如圖14-30所示AB〃CD,N1=/2,BE與CF平行嗎？為什么?

圖14-30

30.如圖14-31所示,已知點(diǎn)A,D,B在同一直線上,Nl=42,N3=NE,求證：DE〃BC.

圖14-31

拓展資源

31.如圖14-32所示，點(diǎn)D在AC上點(diǎn)F.G分別在AC,BC的延長線上,CE平分乙ACB交BD于點(diǎn)O,且乙E0D+

乙OBF=180。,NF=NG.DG;和CE平行嗎?請(qǐng)說明理由.

圖14-32

32.如圖14-33所示，在書寫藝術(shù)字時(shí)，常常運(yùn)用畫平行線段這種基本作圖方法，此圖是在書寫字母“M”：

(1)請(qǐng)從正面，上面，右側(cè)三個(gè)不同方向上各找出一組平行線段，并用字母表示出來.

(2)EF與4夕有何位置關(guān)系？CC'與DH有何位置關(guān)系？

圖14-33

33.(1)如圖14-34(a)所示，如果zS+zF+ZD=360。,,那么AB,CD有怎樣的關(guān)系?為什么?

(a)(b)

圖14-34

解:過點(diǎn)E作EF//AB①，如圖14-34(b)所示，

貝!!/ABE+/BEF=18(F,()

因?yàn)橐褹BE4-乙BED+乙EDC=360°()

所以NFED+NEDC=(等式的性質(zhì))

所以FE〃CD(2)()

由①，②得AB//CD().

⑵如圖14-35⑹所示當(dāng)滿足條件時(shí)，有AB〃CD.

⑶如圖14-35(d)所示，當(dāng)NB,NE,/F,ND滿足條件___時(shí)有AB〃CD.

圖14-35

34.四邊形ABCD中,/B=/D=9(T,AE,CF分別是/BAD和4CB的內(nèi)角平分線和外角平分線，

(1)如圖14-36(a),(b),(c)所示,請(qǐng)分別寫出各圖中的AE與CF的位置關(guān)系；

圖14-36

⑵選擇其中一個(gè)圖形，證明你得出的結(jié)論.

35.實(shí)踐與操作：在課堂上，李老師和同學(xué)們探究了與三角形面積相關(guān)的問題.如圖14-37所示，已知點(diǎn)A,B

同在直線a上，點(diǎn)G,在直線a的同一側(cè).

(1)過點(diǎn)Q畫GM128,垂足為點(diǎn)M,過點(diǎn)金畫C2N148,,垂足為點(diǎn)N;

(2)用圓規(guī)比較QM,C?N的大小；

(3)試問三角形GAB面積和三角形C2aB面積是否相等?為什么？

(4)連接C42,問AB與是否互相平行?(用直尺和三角板畫平行線的方法加以校驗(yàn))

(5)在與點(diǎn)Ci,C?的同一側(cè)，畫三角形的人民三角形C1&B,并使三角形。34艮三角形C4AB面積都與三角形

CMB面積相等；通過以上畫圖，問點(diǎn)。3,同在直線QC2上嗎？

(6)當(dāng)三角形有一個(gè)頂點(diǎn)在直線的。2上運(yùn)動(dòng)時(shí)，它和點(diǎn)A,B一起構(gòu)成的三角形面積是否有變化？

圖14-37

1.D2.D3.D4.B5.A6.D7.B8.D9.D10.C

11.ZDOF,ZBOE,ZAOF和NBOE,NAOE和NBOF.

12.（1）DE,同位角相等,兩直線平行；

（2）CD,內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；

（3）AB//CD,同位角相等.兩直線平行.

13.72.5°

14.已知條件；ZDGF；同位角相等，兩直線平行；C；DF；AC；兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等.

15.直線AB與CD平行.理曲因?yàn)锳D〃BC,所以NBAD=NEBC,因?yàn)?BAD=NBCD,所以NEBC=/BCD,所以

AB/7CD.

16.BC〃DE,AB〃CD.理曲因?yàn)镹l=47。,/2=47。,/D=47。,所以Nl=z2,z2=乙D,,所以BC〃DE,AB〃CD.

17.BC與DE能平行.理曲因?yàn)锳B〃CD,所以/B=/C（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）.

又因?yàn)镹B+/D=180。（已知），所以/C+ND=180。（等量代換），所以BC〃DE（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）.

18.因?yàn)锳B=AC,所以/B=NC,因?yàn)镹B=NDAM,所以NC=/DAM,所以AM\\BC.

19.因?yàn)锽EXFD于點(diǎn)G,所以Nl+ND=90。,因?yàn)镹1=NC,所以/C+ND=90。,因?yàn)镹2+/D=90。,所以NC=N2,

所以AB//CD.

20./ADB=/DBG,理由:內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行；

/HCB=NHDA,理由:同位角相等兩直線平行；

/DAC=/ACB,理由:內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行；

NEAD=NEBC,理由:同位角相等,兩直線平行；

NADG+NBCD=180。,理由:同旁內(nèi)角互補(bǔ).兩直線平行.

21.B22.C23.①④24.平行

25.AB〃DE,EF〃CB.

26.因?yàn)锳B〃CD,所以/1=/6,因?yàn)?1=/2,/3=/4,所以/3+/6=/4+/2,因?yàn)?4=/5,所以N3+/6=/2+

N5,因?yàn)镹2+N5+ND=180。,所以/3+N6+ND=180。,即/BCD+ND=180。,所以AD/7BE.

27.因?yàn)?2與/3是對(duì)頂角，所以N2=N3,因?yàn)?1+/2=180。,所以/1+/3=180。,所以BD〃EF,所以NB=NEFC,

因?yàn)?B=/DEF,所以NEFC=/DEF,所以DE〃BC.

28.CE〃:BD.理由:因?yàn)镈F〃AC,所以/C=/CEF,因?yàn)?C=/D,所以/D=/CEF,所以CE/7BD.

29.平行.理由:因?yàn)锳B〃CD（已知），所以/ABC=/BCD（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）:又/1=/2,所以NABC-/1=

NBCD-/2.即/EBC=NBCF,所以BE〃CF（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）.

30.因?yàn)?l=/2,/AOE=/COD（對(duì)頂角相等），所以在^AOE和小COD中,/CDO=/E（三角形內(nèi)角和定理）;因

為/3=NE,所以/CDO=/3,所以DE〃:BC（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）.

31.DG和CE平行理由:因?yàn)镹EOD=NBOC,NEOD+/OBF=180。,所以N80C+乙OBF=180。,所以EC〃BF,

所以NECD=NF.又因?yàn)镃E平分/ACB,所以NECD=NECB.又因?yàn)?F=NG,所以NG=NECB.所以DG〃CE,即DG

和CE平行.

32.⑴正面:AB〃EF;上面:A'B'〃AB;右側(cè):DD〃:HR.

(2)EF〃A，B',CC'_LDH.

33.(1)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；已知；180。；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；平行線的傳遞性.

(2)/l+N3=N2.(3)/B+/E+/F+/D=540°.

34.(1)如答圖14-l(a)所示，圖中AE//FC;

如答圖14-I(b)所示，圖中AE〃FC;

如答圖14-I(c)所示，圖中AE1FC.

答圖14-1

⑵如答圖141(a)所示:

因?yàn)镹BAD+NBCD=Nl+N2+N3+N4=360O—(NB+ND)=360O—180o=180。,又因?yàn)锳E,CF分別是/BAD和

ZDCB的內(nèi)角平分線，

所以.Nl+N3=+亞8(70=[(NBAD+NBCD)=Tx180。=90°

又因?yàn)镹B