專題03 不等式（3大易錯點分析+解題模板+舉一反三+易錯題通關(guān)）【高考數(shù)學(xué)】備戰(zhàn)2025年高考易錯題（新高考專用）含解析

【高考數(shù)學(xué)】備戰(zhàn)2025年高考易錯題（新高考專用）含解析專題03不等式易錯點一：忽略不等式變號的前提條件（等式與不等式性質(zhì)的應(yīng)用）1．比較大小基本方法關(guān)系方法做差法與0比較做商法與1比較或或2．．等式的性質(zhì)（1）基本性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容對稱性傳遞性可加性可乘性同向可加性同向同正可乘性可乘方性類型1．應(yīng)用不等式的基本性質(zhì)，不能忽視其性質(zhì)成立的條件，解題時要做到言必有據(jù)，特別提醒的是在解決有關(guān)不等式的判斷題時，有時可用特殊值驗證法，以提高解題的效率．類型2．比較數(shù)（式）的大小常用的方法有比較法、直接應(yīng)用不等式的性質(zhì)、基本不等式、利用函數(shù)的單調(diào)性．比較法又分為作差比較法和作商比較法．作差法比較大小的步驟是：（1）作差；（2）變形；（3）判斷差式與0的大??；（4）下結(jié)論．作商比較大小（一般用來比較兩個正數(shù)的大?。┑牟襟E是：（1）作商；（2）變形；（3）判斷商式與1的大小；（4）下結(jié)論．其中變形是關(guān)鍵，變形的方法主要有通分、因式分解和配方等，變形要徹底，要有利于0或1比較大?。鞑罘ㄊ潜容^兩數(shù)（式）大小最為常用的方法，如果要比較的兩數(shù)（式）均為正數(shù)，且是冪或者因式乘積的形式，也可考慮使用作商法．易錯提醒：(1)一般數(shù)學(xué)結(jié)論都有前提，不等式性質(zhì)也是如此．在運(yùn)用不等式性質(zhì)之前，一定要準(zhǔn)確把握前提條件，一定要注意不可隨意放寬其成立的前提條件．(2)不等式性質(zhì)包括“充分條件(或者是必要條件)”和“充要條件”兩種，前者一般是證明不等式的理論基礎(chǔ)，后者一般是解不等式的理論基礎(chǔ)．例．“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件變式1．已知，則下列關(guān)系式正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若且，則 D．若，則變式2．對于實數(shù)，，，下列結(jié)論中正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，，則變式3．已知均為實數(shù)，下列不等式恒成立的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則1．已知實數(shù)，，，若，則下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．2．若，則下列結(jié)論不正確的是（

）A． B．C． D．3．已知，，則下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．4．若?，則下列不等式中正確的是（

）A．?B．?C．?D．?5．若、、，且，則下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．6．下列命題中正確的是（

）A．若，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則7．設(shè)，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件8．已知，，：，：，則是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件9．下列四個選項能推出的有（

）A． B．C． D．10．已知，則（

）A． B．C． D．11．已知實數(shù)a，b滿足，則下列不等式一定正確的是（

）A． B．C． D．易錯點二：遺漏一元二次方法求解的約束條件（有關(guān)一元二次不等式求解集問題）解一元二次不等式的步驟：第一步：將二次項系數(shù)化為正數(shù)；第二步：解相應(yīng)的一元二次方程；第三步：根據(jù)一元二次方程的根，結(jié)合不等號的方向畫圖；第四步：寫出不等式的解集．容易出現(xiàn)的錯誤有：①未將二次項系數(shù)化正，對應(yīng)錯標(biāo)準(zhǔn)形式；②解方程出錯；③結(jié)果未按要求寫成集合．對含參的不等式，應(yīng)對參數(shù)進(jìn)行分類討論具體模型解題方案：1、已知關(guān)于的不等式的解集為（其中），解關(guān)于的不等式．由的解集為，得:的解集為，即關(guān)于的不等式的解集為．已知關(guān)于的不等式的解集為，解關(guān)于的不等式．由的解集為，得:的解集為即關(guān)于的不等式的解集為．2、已知關(guān)于的不等式的解集為（其中），解關(guān)于的不等式．由的解集為，得:的解集為即關(guān)于的不等式的解集為．3．已知關(guān)于的不等式的解集為，解關(guān)于的不等式．由的解集為，得:的解集為即關(guān)于的不等式的解集為，以此類推．4、已知關(guān)于的一元二次不等式的解集為，則一定滿足；5、已知關(guān)于的一元二次不等式的解集為，則一定滿足；6、已知關(guān)于的一元二次不等式的解集為，則一定滿足；7、已知關(guān)于的一元二次不等式的解集為，則一定滿足．易錯提醒：一元二次不等式一元二次不等式，其中，是方程的兩個根，且（1）當(dāng)時，二次函數(shù)圖象開口向上．（2）=1\*GB3①若，解集為．=2\*GB3②若，解集為．=3\*GB3③若，解集為．(2)當(dāng)時，二次函數(shù)圖象開口向下．=1\*GB3①若，解集為=2\*GB3②若，解集為。例．若對于任意實數(shù)x，不等式恒成立，則實數(shù)a可能是（

）A． B．0 C． D．1變式1．已知關(guān)于x的不等式的解集為，則下列選項中正確的是（

）A．B．不等式的解集是C．D．不等式的解集為變式2．已知命題：關(guān)于的不等式的解集為R，那么命題的一個必要不充分條件是（

）A． B．C． D．變式3．下列敘述不正確的是（

）A．的解是B．“”是“”的充要條件C．已知，則“”是“”的必要不充分條件D．函數(shù)的最小值是1．已知的解集是，則下列說法正確的是（

）A．不等式的解集是B．的最小值是C．若有解，則m的取值范圍是或D．當(dāng)時，，的值域是，則的取值范圍是2．已知集合，或，，則（

）A． B．C． D．3．已知集合，，則（

）A． B．C． D．4．已知函數(shù)，若不等式在上恒成立，則滿足要求的有序數(shù)對有（

）A．0個 B．1個 C．2個 D．無數(shù)個5．設(shè)集合，，且，則（

）A．6 B．4 C． D．6．若兩個正實數(shù)x，y滿足，且不等式有解，則實數(shù)m的取值范圍是（

）A． B．或C． D．或7．“不等式恒成立”的一個充分不必要條件是（

）A． B． C． D．8．已知當(dāng)時，不等式：恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．9．已知集合中恰有兩個元素，則a的取值范圍為（

）A． B． C． D．10．不等式的解集為（

）A． B．C． D．11．若不等式的解集是，函數(shù)的對稱軸是（

）A． B． C． D．易錯點三：遺漏連續(xù)使用基本不等式前提條件吻合性（基本不等式最值問題）1.幾個重要的不等式（1）（2）基本不等式：如果，則(當(dāng)且僅當(dāng)“”時取“”).特例：（同號）.（3）其他變形：①(溝通兩和與兩平方和的不等關(guān)系式)②(溝通兩積與兩平方和的不等關(guān)系式)③(溝通兩積與兩和的不等關(guān)系式)④重要不等式串：即調(diào)和平均值幾何平均值算數(shù)平均值平方平均值(注意等號成立的條件).2.均值定理已知.（1）如果(定值)，則(當(dāng)且僅當(dāng)“”時取“=”).即“和為定值，積有最大值”.（2）如果(定值)，則(當(dāng)且僅當(dāng)“”時取“=”).即積為定值，和有最小值”.3.常見求最值模型模型一：，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立；模型二：，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立；模型三：，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立；模型四：，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.易錯提醒：1.利用均值不等式求最值遵循的原則：“一正二定三等”（1）正：使用均值不等式所涉及的項必須為正數(shù)，如果有負(fù)數(shù)則考慮變形或使用其它方法（2）定：使用均值不等式求最值時，變形后的一側(cè)不能還含有核心變量.（3）等：若能利用均值不等式求得最值，則要保證等號成立，要注意以下兩點：①若求最值的過程中多次使用均值不等式，則均值不等式等號成立的條件必須能夠同時成立（彼此不沖突）②若涉及的變量有初始范圍要求，則使用均值不等式后要解出等號成立時變量的值，并驗證是否符合初始范圍.注意：形如的函數(shù)求最值時，首先考慮用基本不等式，若等號取不到，再利用該函數(shù)的單調(diào)性求解．2.通過拼湊法利用基本不等式求最值的策略拼湊法的實質(zhì)在于代數(shù)式的靈活變形，拼系數(shù)、湊常數(shù)是關(guān)鍵，利用拼湊法求解最值應(yīng)注意以下幾個方面的問題：(1)拼湊的技巧，以整式為基礎(chǔ)，注意利用系數(shù)的變化以及等式中常數(shù)的調(diào)整，做到等價變形；(2)代數(shù)式的變形以拼湊出和或積的定值為目標(biāo)；(3)拆項、添項應(yīng)注意檢驗利用基本不等式的前提．3.利用基本不等式證明不等式是綜合法證明不等式的一種情況，要從整體上把握運(yùn)用基本不等式，對不滿足使用基本不等式條件的可通過“變形”來轉(zhuǎn)換，常見的變形技巧有：拆項，并項，也可乘上一個數(shù)或加上一個數(shù)，“1”的代換法等.例．函數(shù)（且）的圖象恒過定點，若且，，則的最小值為（

）A．9 B．8 C． D．變式1．已知，則的最小值為（

）A．4 B．6 C． D．變式2．已知命題p：在中，若，則；q：若，則，則下列命題為真命題的是（

）A． B． C． D．變式3．設(shè)，，，則有（

）A．最小值3 B．最大值3C．最小值 D．最大值1．已知，點在線段上（不包括端點），向量，的最小值為（

）A． B．C． D．2．已知正數(shù)，滿足，則（

）A．的最小值為3 B．的最小值為C．的最小值為3 D．的最大值為3．已知，若，則（

）A． B．C．的最小值為8 D．的最大值為4．任取多組正數(shù)，通過大量計算得出結(jié)論：，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．若，根據(jù)上述結(jié)論判斷的值可能是（

）A． B． C．5 D．35．已知，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的最小值為16 B．的最小值為9C．的最大值為1 D．的最小值為6．已知正數(shù)a，b滿足，則（

）A． B． C． D．7．設(shè)正實數(shù)滿足，則下列說法正確的是（

）A．的最小值為6 B．的最大值為C．的最小值為2 D．的最小值為8．已知，，且，則不正確的是（

）A． B． C． D．9．若實數(shù)，，滿足，以下選項中正確的有（

）A．的最大值為 B．的最小值為C．的最小值為5 D．的最小值為10．已知，且，則下列選項正確的是（

）A． B．.C．的最大值為 D．11．設(shè)且，則的最小值是．

專題03不等式易錯點一：忽略不等式變號的前提條件（等式與不等式性質(zhì)的應(yīng)用）1．比較大小基本方法關(guān)系方法做差法與0比較做商法與1比較或或2．．等式的性質(zhì)（1）基本性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容對稱性傳遞性可加性可乘性同向可加性同向同正可乘性可乘方性類型1．應(yīng)用不等式的基本性質(zhì)，不能忽視其性質(zhì)成立的條件，解題時要做到言必有據(jù)，特別提醒的是在解決有關(guān)不等式的判斷題時，有時可用特殊值驗證法，以提高解題的效率．類型2．比較數(shù)（式）的大小常用的方法有比較法、直接應(yīng)用不等式的性質(zhì)、基本不等式、利用函數(shù)的單調(diào)性．比較法又分為作差比較法和作商比較法．作差法比較大小的步驟是：（1）作差；（2）變形；（3）判斷差式與0的大小；（4）下結(jié)論．作商比較大小（一般用來比較兩個正數(shù)的大?。┑牟襟E是：（1）作商；（2）變形；（3）判斷商式與1的大?。唬?）下結(jié)論．其中變形是關(guān)鍵，變形的方法主要有通分、因式分解和配方等，變形要徹底，要有利于0或1比較大?。鞑罘ㄊ潜容^兩數(shù)（式）大小最為常用的方法，如果要比較的兩數(shù)（式）均為正數(shù)，且是冪或者因式乘積的形式，也可考慮使用作商法．易錯提醒：(1)一般數(shù)學(xué)結(jié)論都有前提，不等式性質(zhì)也是如此．在運(yùn)用不等式性質(zhì)之前，一定要準(zhǔn)確把握前提條件，一定要注意不可隨意放寬其成立的前提條件．(2)不等式性質(zhì)包括“充分條件(或者是必要條件)”和“充要條件”兩種，前者一般是證明不等式的理論基礎(chǔ)，后者一般是解不等式的理論基礎(chǔ)．例．“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【詳解】由，則成立，充分性成立；由，若，顯然不成立，必要性不成立；所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A變式1．已知，則下列關(guān)系式正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若且，則 D．若，則【答案】A【詳解】A選項，因為，故在上單調(diào)遞增，因為，所以，A正確；B選項，因為，所以，因為，所以，B錯誤；C選項，若，則在R上單調(diào)遞減，因為，所以，C錯誤；D選項，因為，所以，因為，則，故，D錯誤.故選：A變式2．對于實數(shù)，，，下列結(jié)論中正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，，則【答案】D【詳解】解：對于A：時，不成立，A錯誤；對于B：若，則，B錯誤；對于C：令，代入不成立，C錯誤；對于D：若，，則，，則，D正確；故選：D．變式3．已知均為實數(shù)，下列不等式恒成立的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】C【詳解】A，當(dāng)時，，A錯誤；B，當(dāng)時，沒意義，B錯誤；C，由，知，所以，C正確；D，當(dāng)時，不成立，D錯誤.故選：C1．已知實數(shù)，，，若，則下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】選項A：因為，取，則，故A錯誤；選項B：因為，與已知條件矛盾，故B不正確；選項C：因為所以，故C正確；選項D：當(dāng)時，，故D不正確；故選：C.2．若，則下列結(jié)論不正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】對于A，因為，所以，所以，即，所以A正確，對于B，因為，所以，所以B正確，對于C，因為在上遞增，，所以，所以C正確，對于D，若，則，則，所以D錯誤，故選：D3．已知，，則下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】對于A，令，顯然有，，而，A錯誤；對于B，由，知，令，顯然有，而，B錯誤；對于C，由，，得，因此，C正確；對于D，若，令，有，而，D錯誤.故選：C4．若?，則下列不等式中正確的是（

）A．?B．?C．?D．?【答案】D【詳解】因為，所以，則.所以即，AB錯誤.因為，所以，則，?C錯誤.因為，所以則，?D正確.故選：D5．若、、，且，則下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因為、、，且，則，，由不等式的基本性質(zhì)可得，A錯；，B對；當(dāng)時，，C錯；，D錯.故選：B.6．下列命題中正確的是（

）A．若，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則【答案】D【詳解】A選項，當(dāng)時，，故A錯誤；B選項，當(dāng)，，，時，，，故B錯誤；C選項，當(dāng)，，，時，，故C錯誤；D選項，若，，則，即，故D正確．故選：D.7．設(shè)，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【詳解】由，可得，則是的必要不充分條件.故選：B8．已知，，：，：，則是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【詳解】解：因為，，：即，即，則，而：，所以，是的充分不必要條件，故選：.9．下列四個選項能推出的有（

）A． B．C． D．【答案】ACD【詳解】，對于A，當(dāng)時，，所以，所以A正確，對于B，當(dāng)時，，所以，所以B錯誤，對于C，當(dāng)時，，所以，所以C正確，對于D，當(dāng)時，，所以，所以D正確，故選：ACD.10．已知，則（

）A． B．C． D．【答案】BCD【詳解】因為，所以，故，故A錯誤；，故B正確；，故C正確；，故D正確.故選：BCD．11．已知實數(shù)a，b滿足，則下列不等式一定正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【詳解】選項A，由得，∴，故A正確；選項B，取，，可得，，不滿足，故B錯誤；選項C，，∵，所以，故，∴，故C正確；選項D，設(shè)函數(shù)，，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，故時，，即，故，故D錯誤.故選：AC易錯點二：遺漏一元二次方法求解的約束條件（有關(guān)一元二次不等式求解集問題）解一元二次不等式的步驟：第一步：將二次項系數(shù)化為正數(shù)；第二步：解相應(yīng)的一元二次方程；第三步：根據(jù)一元二次方程的根，結(jié)合不等號的方向畫圖；第四步：寫出不等式的解集．容易出現(xiàn)的錯誤有：①未將二次項系數(shù)化正，對應(yīng)錯標(biāo)準(zhǔn)形式；②解方程出錯；③結(jié)果未按要求寫成集合．對含參的不等式，應(yīng)對參數(shù)進(jìn)行分類討論具體模型解題方案：1、已知關(guān)于的不等式的解集為（其中），解關(guān)于的不等式．由的解集為，得:的解集為，即關(guān)于的不等式的解集為．已知關(guān)于的不等式的解集為，解關(guān)于的不等式．由的解集為，得:的解集為即關(guān)于的不等式的解集為．2、已知關(guān)于的不等式的解集為（其中），解關(guān)于的不等式．由的解集為，得:的解集為即關(guān)于的不等式的解集為．3．已知關(guān)于的不等式的解集為，解關(guān)于的不等式．由的解集為，得:的解集為即關(guān)于的不等式的解集為，以此類推．4、已知關(guān)于的一元二次不等式的解集為，則一定滿足；5、已知關(guān)于的一元二次不等式的解集為，則一定滿足；6、已知關(guān)于的一元二次不等式的解集為，則一定滿足；7、已知關(guān)于的一元二次不等式的解集為，則一定滿足．易錯提醒：一元二次不等式一元二次不等式，其中，是方程的兩個根，且（1）當(dāng)時，二次函數(shù)圖象開口向上．（2）=1\*GB3①若，解集為．=2\*GB3②若，解集為．=3\*GB3③若，解集為．(2)當(dāng)時，二次函數(shù)圖象開口向下．=1\*GB3①若，解集為=2\*GB3②若，解集為。例．若對于任意實數(shù)x，不等式恒成立，則實數(shù)a可能是（

）A． B．0 C． D．1【答案】ABD【詳解】當(dāng)時，不等式為恒成立，故滿足題意；當(dāng)時，要滿足，而，所以解得；綜上，實數(shù)a的取值范圍是；所以對比選項得，實數(shù)a可能是，0，1.故選：ABD.變式1．已知關(guān)于x的不等式的解集為，則下列選項中正確的是（

）A．B．不等式的解集是C．D．不等式的解集為【答案】BD【詳解】不等式的解集為，則是方程的根，且，則，即，A錯誤；不等式化為，解得，即不等式的解集是，B正確；，C錯誤；不等式化為，即，解得或，所以不等式的解集為，D正確.故選：BD變式2．已知命題：關(guān)于的不等式的解集為R，那么命題的一個必要不充分條件是（

）A． B．C． D．【答案】CD【詳解】命題p：關(guān)于x的不等式的解集為R，則，解得又，，故選：CD．變式3．下列敘述不正確的是（

）A．的解是B．“”是“”的充要條件C．已知，則“”是“”的必要不充分條件D．函數(shù)的最小值是【答案】AD【詳解】選項A：的解是或，故A不正確；選項B：由得，恒成立則或，解得，所以“”是“”的充要條件，故B正確；選項C：由得，解得，所以“”是“”的必要不充分條件，故C正確；選項D：由均值不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，此時無實數(shù)解，所以的最小值大于，故D不正確；故選：AD1．已知的解集是，則下列說法正確的是（

）A．不等式的解集是B．的最小值是C．若有解，則m的取值范圍是或D．當(dāng)時，，的值域是，則的取值范圍是【答案】ABD【詳解】因的解集是，則是關(guān)于x的方程的二根，且，于是得，即，對于A，不等式化為：，解得，A正確；對于B，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取“=”，B正確；對于C，，令，則在上單調(diào)遞增，即有，因有解，則，解得或，C不正確；對于D，當(dāng)時，，則，，依題意，，由得，或，因在上的最小值為-3，從而得或，因此，D正確.故選：ABD2．已知集合，或，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】由或，所以．故選：A3．已知集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】由，解得，所以，因為，得，所以，故.故選:C．4．已知函數(shù)，若不等式在上恒成立，則滿足要求的有序數(shù)對有（

）A．0個 B．1個 C．2個 D．無數(shù)個【答案】B【詳解】由題意若不等式在上恒成立，則必須滿足，即，由，兩式相加得，再由，兩式相加得，結(jié)合（4），（5）兩式可知，代入不等式組得，解得，經(jīng)檢驗，當(dāng)，時，，有，，滿足在上恒成立，綜上所述：滿足要求的有序數(shù)對為：，共一個.故選：B.5．設(shè)集合，，且，則（

）A．6 B．4 C． D．【答案】D【詳解】，，∵，∴，∴，故選：D.6．若兩個正實數(shù)x，y滿足，且不等式有解，則實數(shù)m的取值范圍是（

）A． B．或C． D．或【答案】D【詳解】根據(jù)題意，兩個正實數(shù)x，y滿足，變形可得，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，則的最小值為2，若不等式有解，則，可得或，即實數(shù)m的取值范圍是．故選：D．7．“不等式恒成立”的一個充分不必要條件是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】當(dāng)時，恒成立，當(dāng)時，則，解得，綜上所述，不等式恒成立時，，所以選項中“不等式恒成立”的一個充分不必要條件是.故選：D.8．已知當(dāng)時，不等式：恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】當(dāng)時，由得，因，故，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，因當(dāng)時，恒成立，得，故選：C9．已知集合中恰有兩個元素，則a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由集合中恰有兩個元素，得，解得．故選：B．10．不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】易知方程可化為，方程的兩根為；所以不等式的解集為.故選：B．11．若不等式的解集是，函數(shù)的對稱軸是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：∵不等式的解集是，∴和是方程的兩個根，∴，∴，∴函數(shù)的對稱軸是．故選：A．易錯點三：遺漏連續(xù)使用基本不等式前提條件吻合性（基本不等式最值問題）1.幾個重要的不等式（1）（2）基本不等式：如果，則(當(dāng)且僅當(dāng)“”時取“”).特例：（同號）.（3）其他變形：①(溝通兩和與兩平方和的不等關(guān)系式)②(溝通兩積與兩平方和的不等關(guān)系式)③(溝通兩積與兩和的不等關(guān)系式)④重要不等式串：即調(diào)和平均值幾何平均值算數(shù)平均值平方平均值(注意等號成立的條件).2.均值定理已知.（1）如果(定值)，則(當(dāng)且僅當(dāng)“”時取“=”).即“和為定值，積有最大值”.（2）如果(定值)，則(當(dāng)且僅當(dāng)“”時取“=”).即積為定值，和有最小值”.3.常見求最值模型模型一：，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立；模型二：，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立；模型三：，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立；模型四：，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.易錯提醒：1.利用均值不等式求最值遵循的原則：“一正二定三等”（1）正：使用均值不等式所涉及的項必須為正數(shù)，如果有負(fù)數(shù)則考慮變形或使用其它方法（2）定：使用均值不等式求最值時，變形后的一側(cè)不能還含有核心變量.（3）等：若能利用均值不等式求得最值，則要保證等號成立，要注意以下兩點：①若求最值的過程中多次使用均值不等式，則均值不等式等號成立的條件必須能夠同時成立（彼此不沖突）②若涉及的變量有初始范圍要求，則使用均值不等式后要解出等號成立時變量的值，并驗證是否符合初始范圍.注意：形如的函數(shù)求最值時，首先考慮用基本不等式，若等號取不到，再利用該函數(shù)的單調(diào)性求解．2.通過拼湊法利用基本不等式求最值的策略拼湊法的實質(zhì)在于代數(shù)式的靈活變形，拼系數(shù)、湊常數(shù)是關(guān)鍵，利用拼湊法求解最值應(yīng)注意以下幾個方面的問題：(1)拼湊的技巧，以整式為基礎(chǔ)，注意利用系數(shù)的變化以及等式中常數(shù)的調(diào)整，做到等價變形；(2)代數(shù)式的變形以拼湊出和或積的定值為目標(biāo)；(3)拆項、添項應(yīng)注意檢驗利用基本不等式的前提．3.利用基本不等式證明不等式是綜合法證明不等式的一種情況，要從整體上把握運(yùn)用基本不等式，對不滿足使用基本不等式條件的可通過“變形”來轉(zhuǎn)換，常見的變形技巧有：拆項，并項，也可乘上一個數(shù)或加上一個數(shù)，“1”的代換法等.例．函數(shù)（且）的圖象恒過定點，若且，，則的最小值為（

）A．9 B．8 C． D．【答案】B【詳解】函數(shù)（且）的圖象恒過定點,所以，,,當(dāng)且僅當(dāng)，即等號成立故選：B.變式1．已知，則的最小值為（

）A．4 B．6 C． D．【答案】D【詳解】由，，即，易知，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，此時，所以的最小值為.故選：D變式2．已知命題p：在中，若，則；q：若，則，則下列命題為真命題的是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】命題p：在中，若，由正弦定理得，所以，為真命題，當(dāng)，對于，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以命題q：若，則，為真命題，所以為真命題，假命題，假命題，假命題，故選：A.變式3．設(shè)，，，則有（

）A．最小值3 B．最大值3C．最小值 D．最大值【答案】B【詳解】，，故，故，當(dāng)且僅當(dāng)時成立，AD錯誤，B正確；當(dāng)時，，C錯誤.故選：B．1．已知，點在線段上（不包括端點），向量，的最小值為（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】，點在線段上（不包括端點），故存在，使得，即，即，因為向量，所以，可得，，，由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立.故選：C．2．已知正數(shù)，滿足，則（

）A．的最小值為3 B．的最小值為C．的最小值為3 D．的最大值為【答案】ABD【詳解】對于A：由，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故A正確；對于B：由得，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故B正確；對于C：因為，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故C錯誤；對于D：由，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，故D正確．故選：ABD．3．已知，若，則（

）A． B．C．的最小值為8 D．的最大值為【答案】ABC【詳解】對于A和B中，因為且，可得且，即，所以，且，，所以A、B正確；對于C中，由，當(dāng)且僅當(dāng)，且，即，時，取“”號，所以C正確；對于D中，由，即，當(dāng)且僅當(dāng)，且，即，時，取“”號，所以D錯誤．故選：ABC.4．任取多組正數(shù)，通過大量計算得出結(jié)論：，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．若，根據(jù)上述結(jié)論判斷的值可能是（

）A． B． C．5 D．3【答案】BD【詳解】根據(jù)題意可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立．故的最大值為4．從而AC不可能，BD可以?。蔬x：BD．5．已知，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的最小值為16 B．的最小值為9C．的最大值為1 D．的最小值為【答案】ABD【詳解】對于A，因為，所以（舍去），所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以的最小值為16，故A正確；對于B，因為，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以的最小值為9，故B正確；對于C，由B得，則，則，故C錯誤；對于D，，當(dāng)，即時，取得最小值，所以當(dāng)時，的最小值為，故D正確.故選：ABD.6．已知正數(shù)a，b滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】BCD【詳解】對A，由題意得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，故A錯誤，對B，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，故B正確；對C，，解得，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時等號成立，故C正確；對D，，所以，所以，因為，所以當(dāng)時，取得最小值，最小值為，當(dāng)且僅當(dāng)，時等號成立，故D正確.故選：BCD.7．設(shè)正實數(shù)滿足，則下列說法正確的是（

）A．的最小值為6 B．的最大值為C．的最小值為2 D．的最小值為【答案】BD【詳解】對于A，因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，故選項A錯誤；對于B，因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，的最大值為，故選項B正確；對于C，因為，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以的最大值為，故選項C錯誤；對于D，因為，故選項D正確，故選：BD.8．已知，，且，則不正確的是（

）A． B． C． D．【答案】ACD【詳解】對于A，因為，，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故A錯誤；對于B，，由A得，，所以，故B正確；對于C，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，因為，故C錯誤；對于D，，，設(shè)，，則，所以在上單調(diào)遞減，即，所以，故D錯誤；故選：ACD．9．若實數(shù)，，滿足，以下選項中正確的有（

）A．的最大值為 B．的最小值為C．的最小值為5 D．的最小值為【答案】AB【詳解】對于A：實數(shù)，，，整理得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即的最大值為，故A正確；對于B：，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)、時取等號，故B正確；對于C：，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即、時取等號，因為等號取不到，可知5不為最小值，故C錯誤；對于D：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，故D錯誤.故選：AB.10．已知，且，則下列選項正確的是（

）A． B．.C．的最大值為 D．【答案】ABD【詳解】由題意可得，當(dāng)且僅當(dāng)時取得等號，即A正確；，當(dāng)且僅當(dāng)時取得等號，即B正確；先證柯西不等式，設(shè)，則，所以，由柯西不等式可知：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取得等號，即D正確；若，則，此時，故C錯誤.故選：ABD11．設(shè)且，則的最小值是．【答案】【詳解】因為，所以，，所以，因為，所以由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立，綜上所述：的最小值是.故答案為：.

專題04導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用易錯點一：忽略切點所在位置及求導(dǎo)簡化形式（導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用）一、導(dǎo)數(shù)的概念和幾何性質(zhì)1．概念函數(shù)在處瞬時變化率是，我們稱它為函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，記作或．詮釋：①增量可以是正數(shù)，也可以是負(fù)，但是不可以等于0．的意義：與0之間距離要多近有多近，即可以小于給定的任意小的正數(shù)；②當(dāng)時，在變化中都趨于0，但它們的比值卻趨于一個確定的常數(shù)，即存在一個常數(shù)與無限接近；③導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)就是函數(shù)的平均變化率在某點處的極限，即瞬時變化率．如瞬時速度即是位移在這一時刻的瞬間變化率，即．2．幾何意義函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義即為函數(shù)在點處的切線的斜率．3．物理意義函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)是物體在時刻的瞬時速度，即；在點的導(dǎo)數(shù)是物體在時刻的瞬時加速度，即．二、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算1．求導(dǎo)的基本公式基本初等函數(shù)導(dǎo)函數(shù)（為常數(shù)）2．導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則（1）函數(shù)和差求導(dǎo)法則：；（2）函數(shù)積的求導(dǎo)法則：；（3）函數(shù)商的求導(dǎo)法則：，則．3．復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)，的導(dǎo)數(shù)間關(guān)系為：應(yīng)用1．在點的切線方程切線方程的計算：函數(shù)在點處的切線方程為，抓住關(guān)鍵．應(yīng)用2．過點的切線方程設(shè)切點為，則斜率，過切點的切線方程為：，又因為切線方程過點，所以然后解出的值．（有幾個值，就有幾條切線）注意：在做此類題目時要分清題目提供的點在曲線上還是在曲線外．易錯提醒：1．求函數(shù)導(dǎo)數(shù)的總原則：先化簡解析式，再求導(dǎo)．注意以下幾點：連乘形式則先展開化為多項式形式，再求導(dǎo)；三角形式，先利用三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為和或差的形式，再求導(dǎo)；分式形式，先化為整式函數(shù)或較為簡單的分式函數(shù)，再求導(dǎo)；復(fù)合函數(shù)，先確定復(fù)合關(guān)系，由外向內(nèi)逐層求導(dǎo)，必要時可換元2．利用導(dǎo)數(shù)研究曲線的切線問題，一定要熟練掌握以下三點：（1）函數(shù)在切點處的導(dǎo)數(shù)值是切線的斜率，即已知切點坐標(biāo)可求切線斜率，已知斜率可求切點坐標(biāo)．（2）切點既在曲線上，又在切線上，切線還有可能和曲線有其它的公共點．（3）曲線“在”點處的切線與“過”點的切線的區(qū)別：曲線在點處的切線是指點P為切點，若切線斜率存在，切線斜率為，是唯一的一條切線；曲線過點的切線，是指切線經(jīng)過點P，點P可以是切點，也可以不是切點，而且這樣的直線可能有多條．3．利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求參數(shù)的基本方法利用切點的坐標(biāo)、切線的斜率、切線的方程等得到關(guān)于參數(shù)的方程（組）或者參數(shù)滿足的不等式（組），進(jìn)而求出參數(shù)的值或取值范圍．4．求解與導(dǎo)數(shù)的幾何意義有關(guān)問題時應(yīng)注意的兩點（1）注意曲線上橫坐標(biāo)的取值范圍；（2）謹(jǐn)記切點既在切線上又在曲線上．例．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求曲線在處的切線方程；(2)若，都有，求的取值范圍．變式1．已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求曲線在處的切線方程；(2)若有兩個不等的實根，求實數(shù)的取值范圍.變式2．已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求過原點且與的圖象相切的直線方程；(2)若有兩個不同的零點，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.變式3．．已知函數(shù)．(1)求曲線在處的切線方程；(2)若對，恒成立．求實數(shù)的取值范圍．1．已知函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對稱，直線與的圖象均相切，則的傾斜角為（

）A． B． C． D．2．若曲線存在與直線垂直的切線，則k的取值范圍是（

）A． B．C． D．3．過點作曲線的切線有且只有兩條，切點分別為，，則（

）A． B．1 C． D．4．曲線在點處的切線在y軸上的截距的取值范圍為（

）A． B． C． D．5．已知函數(shù)，則（

）A．函數(shù)在處的切線方程為 B．函數(shù)有兩個零點C．函數(shù)的極大值點在區(qū)間內(nèi) D．函數(shù)在上單調(diào)遞減6．已知直線l與曲線相切，則下列直線中可能與l平行的是（

）A． B． C． D．7．已知函數(shù)，則（

）A．的圖象關(guān)于原點中心對稱B．在區(qū)間上的最小值為C．過點有且僅有1條直線與曲線相切D．若過點存在3條直線與曲線相切，則實數(shù)的取值范圍是8．已知函數(shù).(1)若，求曲線在點處的切線；(2)討論的單調(diào)性；(3)當(dāng)時，若對任意實數(shù)，恒成立，求的取值范圍.9．已知函數(shù)，且，．(1)當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；(2)設(shè)，，，討論函數(shù)的零點個數(shù)．10．已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；(2)當(dāng)時，若關(guān)于x的不等式恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.11．已知，函數(shù)，．(1)當(dāng)時，若斜率為0的直線l是的一條切線，求切點的坐標(biāo)；(2)若與有相同的最小值，求實數(shù)a．易錯點二：轉(zhuǎn)化為恒成立后參變分離變號的前提條件（利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性）1．求可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟第一步：確定函數(shù)的定義域；第二步：求，令，解此方程，求出它在定義域內(nèi)的一切實數(shù)；第三步：把函數(shù)的間斷點（即的無定義點）的橫坐標(biāo)和的各實根按由小到大的順序排列起來，然后用這些點把函數(shù)的定義域分成若干個小區(qū)間；第四步：確定在各小區(qū)間內(nèi)的符號，根據(jù)的符號判斷函數(shù)在每個相應(yīng)小區(qū)間內(nèi)的增減性.注意①使的離散點不影響函數(shù)的單調(diào)性，即當(dāng)在某個區(qū)間內(nèi)離散點處為零，在其余點處均為正（或負(fù)）時，在這個區(qū)間上仍舊是單調(diào)遞增（或遞減）的.例如，在上，，當(dāng)時，；當(dāng)時，，而顯然在上是單調(diào)遞增函數(shù).②若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則（不恒為0），反之不成立.因為，即或，當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.當(dāng)時，在這個區(qū)間為常值函數(shù)；同理，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則（不恒為0），反之不成立.這說明在一個區(qū)間上函數(shù)的導(dǎo)數(shù)大于零，是這個函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)遞增的充分不必要條件.于是有如下結(jié)論：單調(diào)遞增；單調(diào)遞增；單調(diào)遞減；單調(diào)遞減.技巧：1.利用導(dǎo)數(shù)比較大小或解不等式的常用技巧利用題目條件，構(gòu)造輔助函數(shù)，把比較大小或求解不等式的問題轉(zhuǎn)化為先利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性問題，再由單調(diào)性比較大小或解不等式．2.利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍的解題思路第一步：由函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增(減)可知()在區(qū)間上恒成立列出不等式；第二步：利用分離參數(shù)法或函數(shù)的性質(zhì)求解恒成立問題；第三步：對等號單獨檢驗，檢驗參數(shù)的取值能否使在整個區(qū)間恒等于0，若恒等于0，則參數(shù)的這個值應(yīng)舍去；若只有在個別點處有，則參數(shù)可取這個值．易錯提醒：一：研究單調(diào)性問題1．函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)單調(diào)性的判定方法：設(shè)函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果，則為增函數(shù)；如果，則為減函數(shù)．2．已知函數(shù)的單調(diào)性問題=1\*GB3①若在某個區(qū)間上單調(diào)遞增，則在該區(qū)間上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要滿足，才能得出在某個區(qū)間上單調(diào)遞增；=2\*GB3②若在某個區(qū)間上單調(diào)遞減，則在該區(qū)間上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要滿足，才能得出在某個區(qū)間上單調(diào)遞減．二：討論單調(diào)區(qū)間問題類型一：不含參數(shù)單調(diào)性討論（1）求導(dǎo)化簡定義域(化簡應(yīng)先通分，盡可能因式分解；定義域需要注意是否是連續(xù)的區(qū)間)；（2）變號保留定號去(變號部分：導(dǎo)函數(shù)中未知正負(fù)，需要單獨討論的部分．定號部分：已知恒正或恒負(fù)，無需單獨討論的部分)；（3）求根做圖得結(jié)論(如能直接求出導(dǎo)函數(shù)等于0的根，并能做出導(dǎo)函數(shù)與x軸位置關(guān)系圖，則導(dǎo)函數(shù)正負(fù)區(qū)間段已知，可直接得出結(jié)論)；（4）未得結(jié)論斷正負(fù)(若不能通過第三步直接得出結(jié)論，則先觀察導(dǎo)函數(shù)整體的正負(fù))；（5）正負(fù)未知看零點(若導(dǎo)函數(shù)正負(fù)難判斷，則觀察導(dǎo)函數(shù)零點)；（6）一階復(fù)雜求二階(找到零點后仍難確定正負(fù)區(qū)間段，或一階導(dǎo)函數(shù)無法觀察出零點，則求二階導(dǎo))；求二階導(dǎo)往往需要構(gòu)造新函數(shù)，令一階導(dǎo)函數(shù)或一階導(dǎo)函數(shù)中變號部分為新函數(shù)，對新函數(shù)再求導(dǎo)．（7）借助二階定區(qū)間(通過二階導(dǎo)正負(fù)判斷一階導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而判斷一階導(dǎo)函數(shù)正負(fù)區(qū)間段)；類型二：含參數(shù)單調(diào)性討論（1）求導(dǎo)化簡定義域(化簡應(yīng)先通分，然后能因式分解要進(jìn)行因式分解，定義域需要注意是否是一個連續(xù)的區(qū)間)；（2）變號保留定號去(變號部分：導(dǎo)函數(shù)中未知正負(fù)，需要單獨討論的部分．定號部分：已知恒正或恒負(fù)，無需單獨討論的部分)；（3）恒正恒負(fù)先討論(變號部分因為參數(shù)的取值恒正恒負(fù))；然后再求有效根；（4）根的分布來定參(此處需要從兩方面考慮：根是否在定義域內(nèi)和多根之間的大小關(guān)系)；（5）導(dǎo)數(shù)圖像定區(qū)間。例．已知函數(shù)為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)．(1)若，討論在上的單調(diào)性；(2)若函數(shù)，且在內(nèi)有唯一的極大值，求實數(shù)的取值范圍．變式1．已知函數(shù)．(1)若，判斷函數(shù)的單調(diào)性．(2)若有兩個不同的極值點（），求證：．變式2．已知函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若，求的取值范圍．變式3．設(shè)函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若正數(shù)，滿足，證明：.1．若方程在上有實根，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．已知函數(shù)，則不等式成立的x的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，，當(dāng)時，，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．4．已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，且為偶函數(shù)，，，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．5．定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且恒成立，則下列結(jié)論正確的有（

）A． B． C． D．6．已知是定義域為的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，，，，，則下列說法正確的是（

）A．B．（為自然對數(shù)的底數(shù)，）C．存在，D．若，則7．設(shè)，若，，，下列說法正確的是（

）A． B．無極值點 C．的對稱中心是 D．8．已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．當(dāng)時，B．當(dāng)時，C．若是增函數(shù)，則D．若和的零點總數(shù)大于2，則這些零點之和大于59．已知函數(shù)且．(1)討論的單調(diào)性；(2)若不等式恒成立，求實數(shù)的最大值．10．已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性．(2)若關(guān)于的方程有兩個實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍．11．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若存在極小值點，且，求的取值范圍．易錯點三：誤判最值與極值所在位置（利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值）1．函數(shù)的極值函數(shù)在點附近有定義，如果對附近的所有點都有，則稱是函數(shù)的一個極大值，記作．如果對附近的所有點都有，則稱是函數(shù)的一個極小值，記作．極大值與極小值統(tǒng)稱為極值，稱為極值點．求可導(dǎo)函數(shù)極值的一般步驟第一步：先確定函數(shù)的定義域；第二步：求導(dǎo)數(shù)；第三步：求方程的根；第四步：檢驗在方程的根的左右兩側(cè)的符號，如果在根的左側(cè)附近為正，在右側(cè)附近為負(fù)，那么函數(shù)在這個根處取得極大值；如果在根的左側(cè)附近為負(fù)，在右側(cè)附近為正，那么函數(shù)在這個根處取得極小值．2．函數(shù)的最值函數(shù)最大值為極大值與靠近極小值的端點之間的最大者；函數(shù)最小值為極小值與靠近極大值的端點之間的最小者．導(dǎo)函數(shù)為（1）當(dāng)時，最大值是與中的最大者；最小值是與中的最小者．（2）當(dāng)時，最大值是與中的最大者；最小值是與中的最小者．一般地，設(shè)是定義在上的函數(shù)，在內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，求函數(shù)在上的最大值與最小值可分為兩步進(jìn)行：第一步：求在內(nèi)的極值（極大值或極小值）；第二步：將的各極值與和比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值．技巧：1．由圖象判斷函數(shù)的極值，要抓住兩點：（1）由的圖象與x軸的交點，可得函數(shù)的可能極值點；（2）由導(dǎo)函數(shù)的圖象可以看出的值的正負(fù)，從而可得函數(shù)的單調(diào)性．兩者結(jié)合可得極值點．2．已知函數(shù)極值，確定函數(shù)解析式中的參數(shù)時，要注意：（1）根據(jù)極值點的導(dǎo)數(shù)為0和極值這兩個條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解；（2）因為導(dǎo)數(shù)值等于0不是此點為極值點的充要條件，所以用待定系數(shù)法求解后必須檢驗．3．求函數(shù)在閉區(qū)間內(nèi)的最值的思路（1）若所給的閉區(qū)間不含有參數(shù)，則只需對函數(shù)求導(dǎo)，并求在區(qū)間內(nèi)的根，再計算使導(dǎo)數(shù)等于零的根的函數(shù)值，把該函數(shù)值與，比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值．（2）若所給的閉區(qū)間含有參數(shù)，則需對函數(shù)求導(dǎo)，通過對參數(shù)分類討論，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而得到函數(shù)的最值．結(jié)論：1、若函數(shù)在區(qū)間D上存在最小值和最大值，則不等式在區(qū)間D上恒成立；不等式在區(qū)間D上恒成立；不等式在區(qū)間D上恒成立；不等式在區(qū)間D上恒成立；2、若函數(shù)在區(qū)間D上不存在最大（?。┲担抑涤驗?，則不等式在區(qū)間D上恒成立．不等式在區(qū)間D上恒成立．3、若函數(shù)在區(qū)間Ｄ上存在最小值和最大值，即，則對不等式有解問題有以下結(jié)論：不等式在區(qū)間D上有解；不等式在區(qū)間D上有解；不等式在區(qū)間D上有解；不等式在區(qū)間D上有解；4、若函數(shù)在區(qū)間D上不存在最大（小）值，如值域為，則對不等式有解問題有以下結(jié)論：不等式在區(qū)間D上有解不等式在區(qū)間D上有解5、對于任意的，總存在，使得；6、對于任意的，總存在，使得；7、若存在，對于任意的，使得；8、若存在，對于任意的，使得；9、對于任意的，使得；10、對于任意的，使得；11、若存在，總存在，使得12、若存在，總存在，使得易錯提醒：（1）①可導(dǎo)函數(shù)在點處取得極值的充要條件是：是導(dǎo)函數(shù)的變號零點，即，且在左側(cè)與右側(cè)，的符號導(dǎo)號．②是為極值點的既不充分也不必要條件，如，，但不是極值點．另外，極值點也可以是不可導(dǎo)的，如函數(shù)，在極小值點是不可導(dǎo)的，于是有如下結(jié)論：為可導(dǎo)函數(shù)的極值點；但為的極值點．（2）①函數(shù)的極值反映函數(shù)在一點附近情況，是局部函數(shù)值的比較，故極值不一定是最值；函數(shù)的最值是對函數(shù)在整個區(qū)間上函數(shù)值比較而言的，故函數(shù)的最值可能是極值，也可能是區(qū)間端點處的函數(shù)值；②函數(shù)的極值點必是開區(qū)間的點，不能是區(qū)間的端點；③函數(shù)的最值必在極值點或區(qū)間端點處取得.例．已知函數(shù)存在兩個極值點，且.(1)求的取值范圍；(2)若，求的最小值.變式1．已知函數(shù)，其中．(1)若是函數(shù)的極值點，求a的值；(2)若，討論函數(shù)的單調(diào)性．變式2．若函數(shù)，為函數(shù)的極值點.(1)求的值；(2)求函數(shù)的極值.變式3．已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求函數(shù)的極值；(2)若有兩個極值點，求證：.1．已知函數(shù)，在有且只有一個極值點，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．2．已知是函數(shù)的一個極值點，則的取值集合為（

）A． B． C． D．3．若函數(shù)在處取得極小值，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點，無極值點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．關(guān)于函數(shù)，下列說法正確的是（

）A．是偶函數(shù) B．0是的極值點C．在上有且僅有1個零點 D．的值域是6．若函數(shù)在其定義域內(nèi)的一個子區(qū)間內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)k的取值范圍（

）A． B．C． D．7．已知函數(shù)的極值點為，函數(shù)的最大值為，則（

）A． B． C． D．8．當(dāng)時，函數(shù)取得極值，則在區(qū)間上的最大值為（

）A．8 B．12 C．16 D．329．已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求的極值；(2)當(dāng)時，求在上的最小值；(3)若在上存在零點，求的取值范圍.10．已知函數(shù).(1)若為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，求的極值；(2)若有兩個不等的實根，求實數(shù)的取值范圍.11．已知函數(shù)在處取得極值.(1)求的值；(2)求在上的值域.易錯點四：零點不易求時忽略設(shè)零點建等式（利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點問題）1．判斷函數(shù)y=f（x）在某個區(qū)間上是否存在零點，主要利用函數(shù)零點的存在性定理進(jìn)行判斷．首先看函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖象是否連續(xù)，然后看是否有．若有，則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)必有零點．2．判斷函數(shù)y=f（x）的零點個數(shù)時，常用以下方法：（1）解方程：當(dāng)對應(yīng)方程易解時，可通過解方程，判斷函數(shù)零點的個數(shù)；（2）根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合已知條件進(jìn)行判斷；（3）通過數(shù)形結(jié)合進(jìn)行判斷，畫函數(shù)圖象，觀察圖象與軸交點的個數(shù)來判斷．3．已知函數(shù)有零點（方程有根），求參數(shù)的取值范圍常用的方法：方法1：直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍．方法2：分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，再轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決．方法3：數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，再數(shù)形結(jié)合求解．4．解決函數(shù)應(yīng)用問題的步驟第一步：審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇數(shù)學(xué)模型；第二步：建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，利用數(shù)學(xué)知識，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；第三步：解模：求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論；第四步：還原：將數(shù)學(xué)結(jié)論還原為實際問題的意義．技巧：判斷函數(shù)零點個數(shù)的方法：方法1：利用零點存在性定理判斷法；方法2：代數(shù)法：求方程的實數(shù)根；方法3：幾何法：對于不易求根的方程，將它與函數(shù)的圖象聯(lián)系起來，利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點或利用兩個函數(shù)圖象的交點求解．在利用函數(shù)性質(zhì)時，可用求導(dǎo)的方法判斷函數(shù)的單調(diào)性．方法技巧：已知函數(shù)零點（方程根）的個數(shù)，求參數(shù)的取值范圍問題的三種常用方法1、直接法，直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式（組），再通過解不等式（組）確定參數(shù)的取值范圍2、分離參數(shù)法，先分離參數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決2、數(shù)形結(jié)合法，先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解結(jié)論拓展：與和相關(guān)的常見同構(gòu)模型①，構(gòu)造函數(shù)或②，構(gòu)造函數(shù)或③，構(gòu)造函數(shù)或易錯提醒：如果函數(shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有，那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點，即存在，使得也就是方程的根例．已知函數(shù)．(1)若在區(qū)間上有極值，求實數(shù)的取值范圍；(2)當(dāng)時，求證：有兩個零點，，且．變式1．已知函數(shù).(1)試討論的單調(diào)區(qū)間；(2)若有兩個零點，求的取值范圍.變式2．若函數(shù)在處有極小值．(1)求c的值．(2)函數(shù)恰有一個零點，求實數(shù)a的取值范圍．變式3．已知函數(shù).(1)求的極值：(2)若有兩個零點，求a的取值范圍.1．已知函數(shù)（）.(1)求在上的最大值；(2)若函數(shù)恰有三個零點，求a的取值范圍.2．已知函數(shù)有兩個零點.(1)求的取值范圍；(2)設(shè)，為的兩個零點，證明：.3．已知是函數(shù)的一個極值點．(1)求的值；(2)若有3個零點，求的取值范圍．4．已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若在上存2個零點，求的取值范圍.5．已知函數(shù).(1)若存在實數(shù)，使成立，求實數(shù)的取值范圍；(2)若有兩個不同零點，求證：.6．已知．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)有兩個零點，求整數(shù)的最大值．7．已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值(2)若在區(qū)間內(nèi)恰好有兩個零點，求的取值范圍.8．已知函數(shù)．(1)若恒成立，求實數(shù)的取值范圍；(2)若函數(shù)有兩個零點且，求證：．9．已知．(1)若當(dāng)時函數(shù)取到極值，求的值；(2)討論函數(shù)在區(qū)間上的零點個數(shù)．10．設(shè)函數(shù)，其中．(1)討論的單調(diào)性；(2)若存在兩個極值點，設(shè)極大值點為，為的零點，求證：．11．已知函數(shù)(1)求的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)討論的零點個數(shù)．

專題04導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用易錯點一：忽略切點所在位置及求導(dǎo)簡化形式（導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用）一、導(dǎo)數(shù)的概念和幾何性質(zhì)1．概念函數(shù)在處瞬時變化率是，我們稱它為函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，記作或．詮釋：①增量可以是正數(shù)，也可以是負(fù)，但是不可以等于0．的意義：與0之間距離要多近有多近，即可以小于給定的任意小的正數(shù)；②當(dāng)時，在變化中都趨于0，但它們的比值卻趨于一個確定的常數(shù)，即存在一個常數(shù)與無限接近；③導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)就是函數(shù)的平均變化率在某點處的極限，即瞬時變化率．如瞬時速度即是位移在這一時刻的瞬間變化率，即．2．幾何意義函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義即為函數(shù)在點處的切線的斜率．3．物理意義函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)是物體在時刻的瞬時速度，即；在點的導(dǎo)數(shù)是物體在時刻的瞬時加速度，即．二、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算1．求導(dǎo)的基本公式基本初等函數(shù)導(dǎo)函數(shù)（為常數(shù)）2．導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則（1）函數(shù)和差求導(dǎo)法則：；（2）函數(shù)積的求導(dǎo)法則：；（3）函數(shù)商的求導(dǎo)法則：，則．3．復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)，的導(dǎo)數(shù)間關(guān)系為：應(yīng)用1．在點的切線方程切線方程的計算：函數(shù)在點處的切線方程為，抓住關(guān)鍵．應(yīng)用2．過點的切線方程設(shè)切點為，則斜率，過切點的切線方程為：，又因為切線方程過點，所以然后解出的值．（有幾個值，就有幾條切線）注意：在做此類題目時要分清題目提供的點在曲線上還是在曲線外．易錯提醒：1．求函數(shù)導(dǎo)數(shù)的總原則：先化簡解析式，再求導(dǎo)．注意以下幾點：連乘形式則先展開化為多項式形式，再求導(dǎo)；三角形式，先利用三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為和或差的形式，再求導(dǎo)；分式形式，先化為整式函數(shù)或較為簡單的分式函數(shù)，再求導(dǎo)；復(fù)合函數(shù)，先確定復(fù)合關(guān)系，由外向內(nèi)逐層求導(dǎo)，必要時可換元2．利用導(dǎo)數(shù)研究曲線的切線問題，一定要熟練掌握以下三點：（1）函數(shù)在切點處的導(dǎo)數(shù)值是切線的斜率，即已知切點坐標(biāo)可求切線斜率，已知斜率可求切點坐標(biāo)．（2）切點既在曲線上，又在切線上，切線還有可能和曲線有其它的公共點．（3）曲線“在”點處的切線與“過”點的切線的區(qū)別：曲線在點處的切線是指點P為切點，若切線斜率存在，切線斜率為，是唯一的一條切線；曲線過點的切線，是指切線經(jīng)過點P，點P可以是切點，也可以不是切點，而且這樣的直線可能有多條．3．利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求參數(shù)的基本方法利用切點的坐標(biāo)、切線的斜率、切線的方程等得到關(guān)于參數(shù)的方程（組）或者參數(shù)滿足的不等式（組），進(jìn)而求出參數(shù)的值或取值范圍．4．求解與導(dǎo)數(shù)的幾何意義有關(guān)問題時應(yīng)注意的兩點（1）注意曲線上橫坐標(biāo)的取值范圍；（2）謹(jǐn)記切點既在切線上又在曲線上．例．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求曲線在處的切線方程；(2)若，都有，求的取值范圍．【詳解】（1）解：當(dāng)時，，因為，所以，曲線在處的切線方程是，即．（2）因為，都有，所以．設(shè)，則．記，設(shè)，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，所以在上單調(diào)遞減．因為，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，．變式1．已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求曲線在處的切線方程；(2)若有兩個不等的實根，求實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時，，所以曲線在處的切線方程為，即.（2）顯然，要使方程有兩個不等的實根，只需當(dāng)時，有且僅有一個實根，當(dāng)時，由方程，得.令，則直線與的圖象有且僅有一個交點..又當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，取得極小值，又當(dāng)時，，所以，即，當(dāng)時，，即，所以作出的大致圖象如圖所示.

由圖象，知要使直線與的圖象有且僅有一個交點，只需或.綜上，若有兩個不等的實根，則的取值范圍為.變式2．已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求過原點且與的圖象相切的直線方程；(2)若有兩個不同的零點，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）易知的定義域為，設(shè)切點坐標(biāo)，則切線方程為：，把點帶入切線得：，所以，的切線方程為：；（2），又有兩個不同零點，則有兩個不同零點，構(gòu)造函數(shù)，

則為增函數(shù)，且，即方程有兩個不等實根，令，則，

則，

設(shè)，方法一、原不等式恒成立等價于恒成立，令，由單調(diào)遞增，即，若單調(diào)遞增，即恒成立，此時符合題意；若有解，此時有時，單調(diào)遞減，則，不符合題意；綜上所述：的取值范圍為.方法二、，設(shè)，在恒成立，在單調(diào)遞增，，則在單調(diào)遞增，所以，，所以的取值范圍為.變式3．已知函數(shù)．(1)求曲線在處的切線方程；(2)若對，恒成立．求實數(shù)的取值范圍．【詳解】（1）解：，所求切線斜率為，切點為，故所求切線方程為，即.（2）方法一：分離變量由得在恒成立，令，則，，當(dāng)時，，即：，當(dāng)時，；當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時，取最大值為，故，即的取值范圍是.方法二：分類討論由得在恒成立，令，則，①當(dāng)時，恒成立，在上單調(diào)遞減，又，故當(dāng)時，，不合題意；②當(dāng)時，令得，令得，令得，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時，取最小值，故，即的取值范圍是，綜上所述，的取值范圍是.方法三：數(shù)形結(jié)合由得在恒成立，令，，則當(dāng)時，恒成立，，,若，當(dāng)時，，，，不合題意；若，，曲線與曲線有且只有一個公共點，且在該公共點處的切線相同．設(shè)切點坐標(biāo)為，

則，解得，故當(dāng)時，，即的取值范圍是.1．已知函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對稱，直線與的圖象均相切，則的傾斜角為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)與的圖象關(guān)于直線對稱，得到，設(shè)直線與函數(shù)的圖象的切點坐標(biāo)為，與函數(shù)的圖象的切點坐標(biāo)為，由斜率相等得到，然后再利用斜率和傾斜角的關(guān)系求解.【詳解】解：因為函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對稱，所以與互為反函數(shù)，所以，則．由，得，設(shè)直線與函數(shù)的圖象的切點坐標(biāo)為，與函數(shù)的圖象的切點坐標(biāo)為，則直線的斜率，故，顯然，故，所以直線的傾斜角為，故選：B．2．若曲線存在與直線垂直的切線，則k的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】對求導(dǎo)后根據(jù)題意可得在上有解.令，求導(dǎo)判斷單調(diào)性求得值域，從而可得不等式，求解即可.【詳解】對求導(dǎo)得，當(dāng)時，曲線不存在與直線垂直的切線，當(dāng)時，若曲線存在與直線垂直的切線，只需在上有解.令，求導(dǎo)得，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，且當(dāng)時，，所以，解得，所以k的取值范圍是.故選：D.3．過點作曲線的切線有且只有兩條，切點分別為，，則（

）A． B．1 C． D．【答案】A【分析】設(shè)切點坐標(biāo)為，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義列式可得，再根據(jù)韋達(dá)定理即可得答案.【詳解】由題意得，過點作曲線的切線，設(shè)切點坐標(biāo)為，則，即，由于，故，因為過點作曲線的切線有且只有兩條，所以為的兩個解，且，所以，所以.故選：A.4．曲線在點處的切線在y軸上的截距的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到切線方程，即可得到縱截距，然后構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，根據(jù)單調(diào)性求值域即可.【詳解】因為，所以所求切線方程為，令，則，令，則.所以當(dāng)時，，此時單調(diào)遞減，當(dāng)時，，此時單調(diào)遞增，所以.因為，，所以該切線在y軸上的截距的取值范圍為.故選：B.5．已知函數(shù)，則（

）A．函數(shù)在處的切線方程為 B．函數(shù)有兩個零點C．函數(shù)的極大值點在區(qū)間內(nèi) D．函數(shù)在上單調(diào)遞減【答案】ACD【分析】利用導(dǎo)函數(shù)求出在處的切線斜率，從而求切線方程，即可判斷選項A；令，由單調(diào)性和極值可判斷選項C、D；由零點存在定理可判斷選項B.【詳解】由得，所以，又,所以函數(shù)在處的切線方程為，即，所以A正確；令，顯然在上單調(diào)遞減，且，，所以存在使得，即，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處有極大值，極大值點，所以C正確；因為，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以D正確因為，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以在上，函數(shù)有一個零點，因為，所以當(dāng)時，，所以函數(shù)在上無零點，所以函數(shù)只有一個零點，所以B錯誤.故選：ACD6．已知直線l與曲線相切，則下列直線中可能與l平行的是（

）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義和平行關(guān)系的斜率關(guān)系對選項一一分析即可.【詳解】，，則，當(dāng)且僅當(dāng)即等號成立，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，切線的斜率，因為切線與直線l平行，所以l的斜率，選項A中直線的斜率為，符合題意；選項B中直線的斜率為，不符合題意；選項C中直線的斜率為，符合題意；選項D中直線的斜率為，符合題意；故選：ACD.7．已知函數(shù)，則（

）A．的圖象關(guān)于原點中心對稱B．在區(qū)間上的最小值為C．過點有且僅有1條直線與曲線相切D．若過點存在3條直線與曲線相切，則實數(shù)的取值范圍是【答案】AD【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義即可判斷A，求導(dǎo)得函數(shù)的單調(diào)性，即可求解函數(shù)的最值，進(jìn)而判斷B，求解切點處的切線方程，將經(jīng)過的點代入，利用方程的根即可判斷DC.【詳解】的定義域為，且，所以為奇函數(shù)，故圖象關(guān)于原點對稱，故A正確，，令得或，故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故在區(qū)間單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，又，最小值為，故B錯誤，設(shè)切點為，則切點處切線方程為，若切線經(jīng)過，則將代入可得，所以或，故經(jīng)過會有兩條切線，C錯誤，若切線經(jīng)過，則將代入得，令，則當(dāng)因此在單調(diào)遞增，在和單調(diào)遞減，作出的圖象如下：，要使過點存在3條直線與曲線相切，則直線過點與的圖象有三個不同的交點，故，D正確，故選：AD

8．已知函數(shù).(1)若，求曲線在點處的切線；(2)討論的單調(diào)性；(3)當(dāng)時，若對任意實數(shù)，恒成立，求的取值范圍.【答案】(1)(2)答案見解析(3)【分析】（1）代入函數(shù)解析式，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線在點處的切線；（2）利用導(dǎo)數(shù)，對分類討論，求的單調(diào)區(qū)間；（3）由恒成立，結(jié)合函數(shù)的極值，求的取值范圍.【詳解】（1）時，函數(shù)，則，切點坐標(biāo)為，，則曲線在點處的切線斜率為，所求切線方程為，即.（2），函數(shù)定義域為R，①，解得或，解得，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，②，解得或，解得，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，③，恒成立，在上單調(diào)遞增.（3）當(dāng)時，由（2）可知為在上的極小值，也是最小值.于是，所以當(dāng)且時，由于函數(shù)的圖像拋物線開口向上，對稱軸大于0，因此，此時，符合題意.所以的取值范圍為.9．已知函數(shù)，且，．(1)當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；(2)設(shè)，，，討論函數(shù)的零點個數(shù)．【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）根據(jù)題意，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合直線方程的求法，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，由條件可得，然后化簡，換元，求導(dǎo)，由函數(shù)的值域，即可判斷零點個數(shù).【詳解】（1）當(dāng)時，定義域為R，，所以，又，所以曲線在點處的切線方程為．（2）由，得，得，所以，，于是，，由，得．當(dāng)時，，與題意不符，所以．對兩端同時取自然對數(shù)，得，得．設(shè)，則，設(shè)，則，令，得，所以當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，且當(dāng)時，，，當(dāng)時，，所以當(dāng)或，即當(dāng)或時，函數(shù)有一個零點；當(dāng)，即或時，函數(shù)有兩個零點．綜上，當(dāng)或時，函數(shù)有一個零點；當(dāng)或時，函數(shù)有兩個零點．10．已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；(2)當(dāng)時，若關(guān)于x的不等式恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）求得，求得，，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求解；（2）根據(jù)題意，把不等式轉(zhuǎn)化為，設(shè)，求得，轉(zhuǎn)化為存在唯一的，使，求得，得到，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，再設(shè)，求得在上單調(diào)遞增，進(jìn)而求得的取值范圍.【詳解】（1）解：當(dāng)時，，可得，則，，即切線的斜率為，所以切線方程為，即.（2）解：由題意，函數(shù)的定義域為，，即，設(shè)，則，因為，所以在上為增函數(shù)，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以存在唯一的，使，且當(dāng)時，，當(dāng)時，.由，得，則，所以因為，所以.設(shè)，可得，所以在區(qū)間上為減函數(shù)，又由，所以，又因為，設(shè)，則，可知在上單調(diào)遞增，則，即實數(shù)a的取值范圍是.11．已知，函數(shù)，．(1)當(dāng)時，若斜率為0的直線l是的一條切線，求切點的坐標(biāo)；(2)若與有相同的最小值，求實數(shù)a．【答案】(1)(2)1【分析】（1）由得切點的橫坐標(biāo)，再代入計算出縱坐標(biāo)即得切點坐標(biāo)；（2）首先由導(dǎo)數(shù)求得與的最小值，由兩最小值相等求，為此方程變形后引入新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)性得出零點．【詳解】（1）由題意，，由得，此時，所以切點為；（2），時，，在上是增函數(shù)，無最小值，所以，，時，，遞減，時，，遞增，所以有唯一的極小值也是最小值，，，，，遞減，時，，遞增，所以有唯一的極小值也是最小值為，由題意，，設(shè)，則，設(shè)，則，時，，遞增，時，，遞減，所以，所以，即，是減函數(shù)，又，因此是的唯一零點，所以由得．易錯點二：轉(zhuǎn)化為恒成立后參變分離變號的前提條件（利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性）1．求可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟第一步：確定函數(shù)的定義域；第二步：求，令，解此方程，求出它在定義域內(nèi)的一切實數(shù)；第三步：把函數(shù)的間斷點（即的無定義點）的橫坐標(biāo)和的各實根按由小到大的順序排列起來，然后用這些點把函數(shù)的定義域分成若干個小區(qū)間；第四步：確定在各小區(qū)間內(nèi)的符號，根據(jù)的符號判斷函數(shù)在每個相應(yīng)小區(qū)間內(nèi)的增減性.注意①使的離散點不影響函數(shù)的單調(diào)性，即當(dāng)在某個區(qū)間內(nèi)離散點處為零，在其余點處均為正（或負(fù)）時，在這個區(qū)間上仍舊是單調(diào)遞增（或遞減）的.例如，在上，，當(dāng)時，；當(dāng)時，，而顯然在上是單調(diào)遞增函數(shù).②若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則（不恒為0），反之不成立.因為，即或，當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.當(dāng)時，在這個區(qū)間為常值函數(shù)；同理，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則（不恒為0），反之不成立.這說明在一個區(qū)間上函數(shù)的導(dǎo)數(shù)大于零，是這個函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)遞增的充分不必要條件.于是有如下結(jié)論：單調(diào)遞增；單調(diào)遞增；單調(diào)遞減；單調(diào)遞減.技巧：1.利用導(dǎo)數(shù)比較大小或解不等式的常用技巧利用題目條件，構(gòu)造輔助函數(shù)，把比較大小或求解不等式的問題轉(zhuǎn)化為先利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性問題，再由單調(diào)性比較大小或解不等式．2.利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍的解題思路第一步：由函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增(減)可知()在區(qū)間上恒成立列出不等式；第二步：利用分離參數(shù)法或函數(shù)的性質(zhì)求解恒成立問題；第三步：對等號單獨檢驗，檢驗參數(shù)的取值能否使在整個區(qū)間恒等于0，若恒等于0，則參數(shù)的這個值應(yīng)舍去；若只有在個別點處有，則參數(shù)可取這個值．易錯提醒：一：研究單調(diào)性問題1．函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)單調(diào)性的判定方法：設(shè)函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果，則為增函數(shù)；如果，則為減函數(shù)．2．已知函數(shù)的單調(diào)性問題=1\*GB3①若在某個區(qū)間上單調(diào)遞增，則在該區(qū)間上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要滿足，才能得出在某個區(qū)間上單調(diào)遞增；=2\*GB3②若在某個區(qū)間上單調(diào)遞減，則在該區(qū)間上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要滿足，才能得出在某個區(qū)間上單調(diào)遞減．二：討論單調(diào)區(qū)間問題類型一：不含參數(shù)單調(diào)性討論（1）求導(dǎo)化簡定義域(化簡應(yīng)先通分，盡可能因式分解；定義域需要注意是否是連續(xù)的區(qū)間)；（2）變號保留定號去(變號部分：導(dǎo)函數(shù)中未知正負(fù)，需要單獨討論的部分．定號部分：已知恒正或恒負(fù)，無需單獨討論的部分)；（3）求根做圖得結(jié)論(如能直接求出導(dǎo)函數(shù)等于0的根，并能做出導(dǎo)函數(shù)與x軸位置關(guān)系圖，則導(dǎo)函數(shù)正負(fù)區(qū)間段已知，可直接得出結(jié)論)；（4）未得結(jié)論斷正負(fù)(若不能通過第三步直接得出結(jié)論，則先觀察導(dǎo)函數(shù)整體的正負(fù))；（5）正負(fù)未知看零點(若導(dǎo)函數(shù)正負(fù)難判斷，則觀察導(dǎo)函數(shù)零點)；（6）一階復(fù)雜求二階(找到零點后仍難確定正負(fù)區(qū)間段，或一階導(dǎo)函數(shù)無法觀察出零點，則求二階導(dǎo))；求二階導(dǎo)往往需要構(gòu)造新函數(shù)，令一階導(dǎo)函數(shù)或一階導(dǎo)函數(shù)中變號部分為新函數(shù)，對新函數(shù)再求導(dǎo)．（7）借助二階定區(qū)間(通過二階導(dǎo)正負(fù)判斷一階導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而判斷一階導(dǎo)函數(shù)正負(fù)區(qū)間段)；類型二：含參數(shù)單調(diào)性討論（1）求導(dǎo)化簡定義域(化簡應(yīng)先通分，然后能因式分解要進(jìn)行因式分解，定義域需要注意是否是一個連續(xù)的區(qū)間)；（2）變號保留定號去(變號部分：導(dǎo)函數(shù)中未知正負(fù)，需要單獨討論的部分．定號部分：已知恒正或恒負(fù)，無需單獨討論的部分)；（3）恒正恒負(fù)先討論(變號部分因為參數(shù)的取值恒正恒負(fù))；然后再求有效根；（4）根的分布來定參(此處需要從兩方面考慮：根是否在定義域內(nèi)和多根之間的大小關(guān)系)；（5）導(dǎo)數(shù)圖像定區(qū)間。例．已知函數(shù)為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)．(1)若，討論在上的單調(diào)性；(2)若函數(shù)，且在內(nèi)有唯一的極大值，求實數(shù)的取值范圍．【詳解】（1）因為，所以，設(shè)，則．當(dāng)時，，當(dāng)時，．當(dāng)時，令，則．當(dāng)時，，則即單調(diào)遞增；當(dāng)時，，則即單調(diào)遞減；當(dāng)時，，則即單調(diào)遞增．綜上，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）由（1）知，，．（ｉ）當(dāng)時，在內(nèi)，恒成立，當(dāng)時，令，得，當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，在內(nèi)有唯一的極小值點，不存在極大值，不符合題意．（ⅱ）當(dāng)時，令，得，當(dāng)時，；當(dāng)時，．①當(dāng)，即時，若，即，則當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，故在處取得內(nèi)的唯一極大值，符合題意．若，即，則當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，故在處取得內(nèi)的唯一極大值，符合題意．②當(dāng)，即時，若，則單調(diào)遞減，若，則單調(diào)遞減，故在內(nèi)無極值，不符合題意．③當(dāng)，即時，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，故在處取得內(nèi)的唯一極大值，符合題意．④當(dāng)，即時，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，故在處取得內(nèi)的唯一極小值，不存在極大值，不符合題意．綜上，實數(shù)的取值范圍是．變式1．已知函數(shù)．(1)若，判斷函數(shù)的單調(diào)性．(2)若有兩個不同的極值點（），求證：．【詳解】（1）解：當(dāng)時，，所以，設(shè)，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以，所以恒成立，即，所以在上單調(diào)遞減．（2）解：因為，所以，因為有兩個不同的極值點，所以有兩個不同的實根，設(shè)，則，設(shè)，可得，所以在上是減函數(shù)，且，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以，由，設(shè)，則，所以在上是增函數(shù)，所以，所以，即，因為，所以，因為，，在上是增函數(shù)，所以，所以，可得，所以．變式2．已知函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若，求的取值范圍．【詳解】（1）．由題可知：，當(dāng)時，令，解得，當(dāng)，，單調(diào)遞減，當(dāng)，，單調(diào)遞增；.當(dāng)時，令，解得，所以當(dāng)，，單調(diào)遞減，當(dāng)，，單調(diào)遞增；綜上，當(dāng)時，單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時，單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．（2）原不等式為，即．因為，所以．令，則其在區(qū)間上單調(diào)遞增，取，則；取，則，所以存在唯一使得，令，則．當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增；所以，即，．故．故，所以．當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立，故，解得或，即的取值范圍為.變式3．設(shè)函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若正數(shù)，滿足，證明：.【詳解】（1）的定義域是，.令，解得；令，解得或.所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)增.（2）證明：因為，所以.設(shè)，定義域為，則，當(dāng)時，.單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減.因此，所以對任意的恒成立.令，有，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.因此，即，解得，即.1．若方程在上有實根，則a