八年級上冊《課題學習 最短路徑問題》課件與同步練習

13.4課題學習最短路徑問題新課導入導入課題

前面我們研究過一些關于“兩點的所有連線中，線段最短”“連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短”等的問題，我們稱它們?yōu)樽疃搪窂絾栴}.同學們通過討論下面兩個問題，可以體會如何運用所學知識選擇最短路徑.學習目標（1）能利用軸對稱變換解決實際問題.（2）能利用作圖解決生活中的軸對稱問題.（作圖建模）推進新課知識點1將軍飲馬問題

問題1

從圖中的A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l飲馬，然后到B地．到河邊什么地方飲馬，可使所走的路徑最短？

將A，B兩地抽象為兩個點，將河l抽象為一條直線．BAlC設C為直線上的一個動點，上面的問題就轉化為：當點C在l的什么位置時，AC與CB的和最?。ㄈ鐖D）．聯(lián)想B·lA·如圖所示，點A、B分別是直線l異側的兩個點，如何在l上找到一個點，使得這個點到點A，點B的距離的和最短？兩點之間，線段最短.

連接AB，與直線l相交于一點，這個交點即為所求.如果我們能把點B移到l的另一側B′處，同時對直線l上的任意一點C，都保持CB與CB′的長度相等，就可以把問題轉化為上面的情況.BAlCB′作出點B關于l的對稱點B′，利用軸對稱的性質可以得到CB′=CB.連接AB′，與直線l相交于點C．則點C即為所求．你能用所學的知識證明AC+BC最短嗎？B·lA·B′C證明：如圖，在直線l上任取一點C′（與點C不重合），連接AC′，BC′，B′C′．由軸對稱的性質知，BC=B′C，BC′=B′C′．∴AC+BC=AC+B′C=AB′，AC′+BC′=AC′+B′C′．在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′，∴AC+BC＜AC′+BC′．即AC+BC最短．鞏固練習

練習1如圖，A、B是兩個蓄水池，都在河流a的同側，為了方便灌溉作物，要在河邊建一個抽水站，將河水送到A、B兩地，問該站建在河邊什么地方，可使所修的渠道最短，試在圖中確定該點（保留作圖痕跡）.解：如圖，P點即為該點.知識點2造橋選址問題

如圖所示，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN，橋造在何處可使從A到B的路徑AMNB最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直.）

當點N在直線b的什么位置時，AM+MN+NB最?。坑捎诤影秾挾仁枪潭ǖ?，因此當AM+NB最小時，AM+MN+NB最小.

將AM沿與河岸垂直的方向平移，點M移到點N，點A移到點A′，則AA′=MN，AM+NB=A′N+NB.這樣問題就轉化為：當點N在直線b的什么位置時，

A′N+NB最小？連接A′B與b相交于N，N點即為所求.鞏固練習練習2牧馬人從A地出發(fā)，先到草地邊某一處牧馬，再到河邊飲馬，然后回到B處，請畫出最短路徑.A′B′PQ....隨堂演練基礎鞏固1.作圖在直線l上找一點C，使AC+BC最小...AB(1)..2.如圖，已知牧馬營地在P處，每天牧馬人要趕著馬群先到河邊飲水，再帶到草地吃草，請你替牧馬人設計出最短的放牧路線.解：如圖AP+AB即為最短的放牧路線.綜合應用3.如圖，M、N分別是△ABC的邊AB、AC上的點，在邊BC上求作一點P，使△PMN的周長最小.解：如圖，作點M關于BC的對稱點M′，連接M′N，交BC于點P，則△PMN的周長最小.拓展延伸4.如圖，已知直線MN與MN異側兩點A、B，在MN上求作一點P，使PA-PB最大，請說明理由.解：如圖，作B點關于MN的對稱點B′，連接AB′并延長，交MN于點P，點P即為所求.理由：點A，B′，P在同一條直線上時，PA-PB′最大，即PA-PB最大.課堂小結歸納

在解決最短路徑問題時，我們通常利用軸對稱、平移等變化把已知問題轉化為容易解決的問題，從而作出最短路徑的選擇.課后作業(yè)1.從課后習題中選??；2.完成練習冊本課時的習題。1．某平原有一條很直的小河和兩個村莊，要在此小河邊的某處修建一個水泵站向這兩個村莊供水．某同學用直線(虛線)l表示小河，P，Q兩點表示村莊，線段(實線)表示鋪設的管道，畫出了如下四個示意圖，則所需管道最短的是(

)C2．在平面直角坐標系中有A，B兩點，要在y軸上找一點C，使得它到A，B兩點的距離之和最?。F(xiàn)有如下四種方案，其中符合要求的是(

)C3．如圖，在等邊三角形ABC中，BD⊥AC于點D，QD＝1.5，點P，Q分別為AB，AD上的兩個定點，且BP＝AQ＝2，在BD上有一動點E使PE＋QE最短，則PE＋QE的最小值為(

)A．3.5 B．4C．5 D．6C4．如圖，線段AB與線段CD關于直線l對稱，點P是直線l上一動點，點D與點A之間的距離為8cm，點B與點D之間的距離為5cm，則PA＋PB的最小值是______cm.85．如圖，MN是正方形ABCD的一條對稱軸，點P是直線MN上的一個動點，當PC＋PD最小時，∠PCD＝__________.45°6．如圖，公路同側有兩個村莊M，N，為方便兩村居民的生活，現(xiàn)要在公路旁建一個車站P，同時修通到兩村的公路，問車站應建在何處費用最省？(只需畫出示意圖，不需要說明理由)解：①作點M關于直線AB的對稱點M′；②連接M′N，交AB于點P，則點P即為所求點．第十三章軸對稱《13.4課題學習最短路徑問題》同步練習1兩點之間線段最短1．如圖，小明家在點A處，學校在點B處，則小明從家到學校最短的路徑是______(填序號)，其中的數學道理是____________________.②兩點之間線段最短2．如圖，牧馬人騎馬從A地出發(fā)，到河邊l的點P處飲水，然后到對岸的B地買生活用品．請在圖中畫出路徑最短時點P的位置，并說明理由．解：連接AB交直線l于點P.理由：兩點之間線段最短．2利用軸對稱解決最短路徑問題3．如圖，在正方形網格中有M，N兩點，在直線l上求一點P使PM＋PN最短，則點P應選在(

)A．點A B．點B

C．點C D．點DC4．如圖，牧馬人騎馬從A地出發(fā)，到河邊l的點M處飲水，然后到C地宿營．請在圖中畫出最短路徑．解：作點C關于直線l的對稱點C1，連接AC1，交直線l于點M，連接AM，CM.5．如圖，在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網格中，給出了△ABC(頂點是網格線的交點)．(1)請畫出△ABC關于直線l對稱的△A1B1C1.(2)在直線l上畫出點P，使得PA＋PC1最小．(3)在直線l上畫出點Q，使得QA1＋QB1最小．解：(1)如圖所示．(2)連接AC1交直線l于點P.(3)連接AB1交直線l于點Q.6．如圖，已知六邊形ABCDEF是正六邊形，點G，H分別是AF和CD的中點，點P是GH上的動點，連接AP，BP，則AP＋BP的最小值為(

)A．線段GE的長度B．線段AE的長度C．線段AB長度的兩倍D．線段GD的長度BA8．如圖，點P是∠AOB內任意一點，OP＝8，點M和點N分別是射線OA和射線OB上的動點，△PMN周長的最小值是8，則∠AOB的度數是__________.30°9．如圖，牧馬人騎馬從A地出發(fā)，先到草地a讓馬吃草，再到河邊b飲水，然后到C地宿營．請在圖中畫出最短路徑．解：作點A關于直線a的對稱點A′，作點C關于直線b的對稱點C′，連接A′C′，分別交直線a，b于點M，N，連接AM，MN，CN.10．在如圖所示的正方形網格中，每一個小正方形的邊長為1.格點△ABC(頂點是網格線交點的三角形)的頂點A，C的坐標