八年級(jí)上冊(cè)《三角形的內(nèi)角》課件與同步練習(xí)

11.2與三角形有關(guān)的角

11.2.1三角形的內(nèi)角前面我們學(xué)習(xí)了與三角形有關(guān)的線段，今天我們就來學(xué)習(xí)與三角形有關(guān)的角.三角形內(nèi)角和定理是本章的重要內(nèi)容，也是“圖形與幾何”必備的知識(shí)基礎(chǔ)．它從“角”的角度刻畫了三角形的特征．三角形內(nèi)角和定理的探究體現(xiàn)了由實(shí)驗(yàn)幾何到論證幾何的研究過程，同時(shí)也說明了證明的必要性．新課導(dǎo)入學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1．通過經(jīng)歷探究活動(dòng)的過程，得出三角形的

內(nèi)角和定理.

2．能運(yùn)用平行線的性質(zhì)證明內(nèi)角和定理.

3．能應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理推導(dǎo)并歸納直角

三角形的性質(zhì)與判定.推進(jìn)新課探索并證明三角形內(nèi)角和定理在小學(xué)我們已經(jīng)知道任意一個(gè)三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°，你還記得是怎么發(fā)現(xiàn)這個(gè)結(jié)論的嗎？請(qǐng)大家利用手中的三角形紙片進(jìn)行探究．知識(shí)點(diǎn)1方法：度量、剪拼、折疊

BBCCAAABBCAABBCABBCC方法：度量、剪拼、折疊

ABC方法：度量、剪拼、折疊

追問1

運(yùn)用度量的方法，得出的三個(gè)內(nèi)角的和都是180°嗎？為什么？不一定，測(cè)量可能會(huì)有誤差．追問2通過度量、剪拼或折疊的方法驗(yàn)證了手中的三角形紙片的三個(gè)內(nèi)角和等于180°，但我們手中的三角形只是所有三角形中有限的幾個(gè)，而形狀不同的三角形有無數(shù)個(gè)，我們?nèi)绾文艿贸觥八械娜切蔚娜齻€(gè)內(nèi)角的和都等于180°”這個(gè)結(jié)論呢？需要通過推理去證明．你能從以上的操作過程中受到啟發(fā)，想出證明“三角形內(nèi)角和等于180°”的方法嗎？追問1

在下圖中，∠B和∠C分別拼在∠A的左右，三個(gè)角合起來形成一個(gè)平角，出現(xiàn)了一條過點(diǎn)A的直線l，直線l與邊BC有什么位置關(guān)系？直線l與邊BC平行．BBCCAlBBCCAl追問2

在操作過程中,我們發(fā)現(xiàn)了與邊BC平行的直線l，由此，你又能受到什么啟發(fā)？你能發(fā)現(xiàn)證明“三角形內(nèi)角和等于180°”的思路嗎？通過添加與邊BC平行的輔助線l，利用平行線的性質(zhì)和平角的定義即可證明該結(jié)論．證明：過點(diǎn)A作直線l，使l∥BC．∵l∥BC，

∴∠2=∠4，∠3=∠5（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．追問3

結(jié)合下圖，你能寫出已知、求證和證明嗎？已知：△ABC．求證：∠A+∠B+∠C=180°．ABC24153

lABC24153

l追問3

結(jié)合下圖，你能寫出已知、求證和證明嗎？已知：△ABC．求證：∠A+∠B+∠C=180°．證明：∵∠1+∠4+∠5=180°（平角定義），∴∠A+∠B+∠C=180°（等量代換）．追問4

通過前面的操作和證明過程，你受到了什么啟發(fā)？你還能用其他方法證明此定理嗎？CAB12345lP6m追問4

通過前面的操作和證明過程，你能受到什么啟發(fā)？你能用其他方法證明此定理嗎？CAB12345lP6mn追問4

通過前面的操作和證明過程，你能受到什么啟發(fā)？你能用其他方法證明此定理嗎？CAB12345lP6mn追問4

通過前面的操作和證明過程，你能受到什么啟發(fā)？你能用其他方法證明此定理嗎？運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理知識(shí)點(diǎn)2例1如圖，在△ABC中，∠BAC=40°，

∠B=75°，AD是△ABC的角平分線．求∠ADB的度數(shù)．解：∵由∠BAC=40°，AD是△ABC的角平分線，得∠BAD=∠BAC=20°.在△ABD中，∠ADB=180°–∠B–∠BAD=180°–75°–20°=85°.北北CABDE例2如圖，C島在A島的北偏東50°方向，B島在A島的北偏東80°方向，C島在B島的北偏西40°方向．從B島看A，C兩島的視角∠ABC是多少度？從C島看A，B兩島的視角∠ACB呢？解：∠CAB=∠BAD-∠CAD

=80

°-50°=30°.過C點(diǎn)作正南方向線，則有∠1=∠3，∠2

=∠4

（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），∴∠ACB

=∠1

+∠2

=∠3+∠4

=50°+40°=90°（等量代換）．北北CABDE南3412練習(xí)1

如圖，說出各圖中∠1的度數(shù)．30°105°1（2）80°50°1（1）22°1（3）50°45°68°練習(xí)2

如圖，從A處觀測(cè)C處的仰角∠CAD=30°，從B處觀測(cè)C處的仰角∠CBD=45°．從C處觀測(cè)A，B兩處的視角∠ACB是多少？

ABDC∠ACB=∠ACD–∠BCD=60°–45°=15°.【課本P13練習(xí)第1題】問題

在△ABC中，∠A=60°，∠B=30°，∠C等于多少度？你是用什么知識(shí)解決的？ABC∠C=90°，三角形的三個(gè)內(nèi)角和等于180°。ABC探索直角三角形的性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)3在△ABC中，若∠C=90°，你能求出∠A，∠B的度數(shù)嗎？為什么？你能求出∠A+∠B的度數(shù)嗎？利用上面的結(jié)果，你能得出什么結(jié)論？直角三角形的兩個(gè)銳角互余．ABC直角三角形可以用符號(hào)“Rt△”表示，直角三角形ABC可以寫成Rt△ABC．ABC在Rt△ABC中，∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°．此性質(zhì)的幾何推理格式該怎樣表示？例3如圖，∠C=∠D=90°，AD，BC相交于點(diǎn)E，∠CAE與∠DBE有什么關(guān)系？為什么？分析：兩個(gè)角的關(guān)系是什么？這兩個(gè)角分別在什么三角形中？你如何驗(yàn)證自己的想法？CDEAB例3如圖，∠C=∠D=90°，AD，BC相交于點(diǎn)E，∠CAE與∠DBE有什么關(guān)系？為什么？CDEAB解：在Rt△AEC中，∵∠C=90°，∴∠CAE+∠AEC=90°（直角三角形兩銳角互余）．在Rt△BDE中，∵∠D=90°，例3如圖，∠C=∠D=90°，AD，BC相交于點(diǎn)E，∠CAE與∠DBE有什么關(guān)系？為什么？CDEAB解：∴∠DBE+∠BED=90°（直角三角形兩銳角互余）．∵∠AEC=∠BED

（對(duì)頂角相等），∴∠CAE=∠DBE（等角的余角相等）．探索直角三角形的判定知識(shí)點(diǎn)4我們知道，如果一個(gè)三角形是直角三角形，那么這個(gè)三角形有兩個(gè)角互余．反過來，你能得出什么結(jié)論？這個(gè)結(jié)論成立嗎？如何驗(yàn)證你的想法？

利用三角形內(nèi)角和定理可得：有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形．類比性質(zhì)的幾何推理格式，判定的幾何推理格式又該怎樣表示？推理格式：在Rt△ABC中，∵∠A+∠B=90°，∴△ABC是直角三角形．ABC相等．同角的余角相等．練習(xí)如圖，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為D，∠ACD與∠B有什么關(guān)系？為什么？DABC【課本P14練習(xí)第1題】DABC變式1若∠ACD=∠B，∠ACB=90°，則CD是△ACB的高嗎？為什么？是．有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形．DABC變式2

若∠ACD

=∠B，CD

⊥AB，△ACB

為直角三角形嗎？為什么？是．有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形．變式3如圖，若∠C=90°，∠AED=∠B，△ADE是直角三角形嗎？為什么？是．有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形．（證明過程略）．DEABC隨堂演練1.△ABC中，∠A:∠B:∠C=1:2:3，則∠A=______，∠B=______，∠C=______.90°30°60°基礎(chǔ)鞏固2.如圖，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，則圖中除直角外相等的角有________________________________，互余的角有：____________________________________________________.∠A=∠BCD，∠A與∠B，∠A與∠ACD，∠B與∠BCD，∠ACD與∠BCD∠B=∠ACD3.如圖，一種滑翔傘的形狀是左右對(duì)稱的四邊形ABCD，其中∠A=150°，∠B=∠D=40°.求∠C的度數(shù).2314解：∵∠1+∠2+∠B=180°，∠3+∠4+∠D=180°，∴∠l+∠2+∠B+∠3+∠4+∠D=180°+180°.∴(∠1+∠4)+(∠2+∠3)+∠B+∠D=360°.即∠BCD+∠BAD+40°+40°=360°.則∠BCD=360°－150°－80°=130°.【課本P13練習(xí)第2題】4.如圖，∠C＝90°，∠1＝∠2，△ADE是直角三角形嗎？為什么？【課本P14練習(xí)第2題】解:△ADE是直角三角形.理由如下:∵∠C=90°，∴∠A+∠2=90°.又∠1=∠2，∴∠A+∠1=90°.∴∠ADE=90°，即△ADE是直角三角形.5.如圖，在△ABC中，∠ABC=70°，∠C=65°，BD⊥AC于D，求∠ABD，∠CBD的度數(shù).解：∵∠ABC=70°，∠C=65°，∴∠A=180°–∠ABC–∠C=45°.∵BD⊥AC，∴∠ADB=∠CDB=90°，∴∠ABD=90°–∠A=∠45°，∠CBD=90°–∠C=25°.綜合應(yīng)用有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形．三角形內(nèi)角和等于180°.ABC直角三角形的兩個(gè)銳角互余．BBCCAl課堂小結(jié)1.從課后習(xí)題中選?。?.完成練習(xí)冊(cè)本課時(shí)的習(xí)題。課后作業(yè)1．在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5，則∠C的度數(shù)是(

)A．45° B．60°C．75° D．90°2．在△ABC中，某兩個(gè)內(nèi)角的和等于100°，這兩個(gè)內(nèi)角的差等于20°，則△ABC的最大內(nèi)角的度數(shù)是(

)A．100° B．80°C．60° D．40°CB3．如圖，在△ABC中，∠B＝55°，∠C＝63°，DE∥AB，則∠DEC的度數(shù)是(

)A．55° B．62°C．63° D．118°B5．△ABC的兩條角平分線BP，CP相交于點(diǎn)P.若∠A＝80°，則∠BPC的度數(shù)是____________.60°130°6．如圖，B處在A處的南偏西50°方向，C處在A處的南偏東20°方向，C處在B處的北偏東85°方向，求∠ACB的度數(shù)．解：由題意，得∠1＝50°，∠2＝20°，∠DBC＝85°.∵DB∥AE，∴∠1＝∠DBA＝50°，∴∠ABC＝∠DBC－∠DBA＝85°－50°＝35°.∵∠BAC＝∠1＋∠2＝50°＋20°＝70°，∴∠ACB＝180°－∠BAC－∠ABC＝180°－70°－35°＝75°.7．三角形的三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)之比為2∶3∶5，則此三角形為(

)A．銳角三角形 B．鈍角三角形

C．直角三角形 D．等邊三角形8．如圖，在四邊形ABCD中，CD∥AB，AC⊥BC.若∠B＝50°，則∠DCA的度數(shù)是(

)A．30° B．35°C．40° D．45°CC9．如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于點(diǎn)D，則圖中相等的銳角有(

)A．4對(duì)

B．3對(duì)

C．2對(duì)

D．1對(duì)10．在Rt△ABC中，若∠C＝90°，∠A－∠B＝60°，則∠A＝__________.11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝40°，BD是角平分線，則∠BDC的度數(shù)是__________.C75°65°12．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD為邊AB上的高，BE平分∠ABC，分別交CD，AC于點(diǎn)F，E.求證：∠CFE＝∠CEF.證明：∵∠ACB＝90°，∴∠1＋∠3＝90°.∵CD⊥AB，∴∠2＋∠4＝90°.又∵BE平分∠ABC，∴∠1＝∠2，∴∠3＝∠4.∵∠4＝∠5，∴∠3＝∠5，即∠CFE＝∠CEF.第十一章三角形11.2與三角形有關(guān)的角11．2.1三角形的內(nèi)角《第1課時(shí)三角形的內(nèi)角和》同步練習(xí)1．在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝40°，則∠C的度數(shù)是(

)A．100° B．80°C．60° D．40°2．如圖，BO平分∠ABC，∠A＝100°，∠C＝30°，則∠OBC的度數(shù)是(

)A．15° B．25°C．30° D．50°1三角形的內(nèi)角和定理BB3．若一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)比是2∶4∶6，則其最小內(nèi)角的度數(shù)是__________.4．如圖，已知直線a∥b，∠1＝85°，∠2＝60°，則∠3＝__________.30°35°5．如圖，在△ABC中，∠1＝∠2＝36°，∠3＝∠4，求∠DAC的度數(shù)．解：∵∠1＝∠2＝36°，∴∠ADB＝180°－∠1－∠2＝108°，∴∠3＝∠4＝180°－∠ADB＝72°.在△ACD中，∠DAC＝180°－(∠3＋∠4)＝180°－2×72°＝36°.∴∠DAC＝36°.6．如圖，在△ABC中，∠A＝46°，CE是∠ACB的平分線，點(diǎn)B，C，D在同一條直線上，DF∥EC，∠D＝42°，求∠B的度數(shù)．解：∵DF∥EC，∴∠BCE＝∠D＝42°.∵CE是∠ACB的平分線，∴∠ACB＝2∠BCE＝84°.∵∠A＝46°，∴∠B＝180°－84°－46°＝50°.7．新情境如圖，考古學(xué)家發(fā)現(xiàn)在地下A處有一座古墓，古墓上方是煤氣管道，為了不影響煤氣管道，準(zhǔn)備在B，C兩處開工挖出“V”字形通道．若∠DBA＝120°，∠ECA＝135°，則∠BAC的度數(shù)是(

)A．75° B．80°C．85° D．90°2三角形的內(nèi)角和的實(shí)際應(yīng)用A8．如圖，島P位于島Q的正西方，從島P，Q處分別測(cè)得船R位于南偏東30°和南偏西45°方向上，則從R處測(cè)島P，Q兩處的視角∠R的度數(shù)是__________.75°9．核心素養(yǎng)·應(yīng)用意識(shí)如圖，按規(guī)定，一塊模板中AB，CD的延長(zhǎng)線應(yīng)相交成85°角．因交點(diǎn)不在板上，不便測(cè)量，工人師傅連接AC，測(cè)得∠BAC＝32°，∠DCA＝65°，此時(shí)AB，CD的延長(zhǎng)線相交所成的角是否符合規(guī)定？為什么？解：不符合規(guī)定．如圖，延長(zhǎng)AB，CD交于點(diǎn)O.在△AOC中，∠BAC＝32°，∠DCA＝65°，∴∠AOC＝180°－∠BAC－∠DCA＝180°－32°－65°＝83°<85°，∴模板不符合規(guī)定．10．在△ABC中，∠A＋∠B＝130°，∠B＋∠C＝140°，則△ABC的形狀是(

)A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．任意三角形11．如圖，在△ABC中，∠B＝46°，∠ADE＝40°，AD平分∠BAC，交邊BC于點(diǎn)D，DE∥AB，交邊AC于點(diǎn)E，則∠C的度數(shù)是(

)A．46° B．66°C．54° D．80°BC12．兩個(gè)三角形按如圖所示的方式擺放，其中∠BAC＝90°，∠EDF＝100°，∠B＝60°，∠F＝40°，DE與AC交于點(diǎn)M，若BC∥EF,則∠DMC的度數(shù)為____________.110°13．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是邊BC上一點(diǎn)，∠B＝50°，∠BAD＝30°，將△ABD沿AD折疊得到△AED，AE與BC相交于點(diǎn)F.(1)填空：∠AFC＝________度．(2)求∠EDF的度數(shù)．解：(1)∵△ABD沿AD折疊得到△AED，∴∠BAD＝∠DAF＝30°.∵∠B＝50°，∠BAD＝30°，∴∠AFB＝180°－∠B－∠BAD－∠DAF＝70°，∴∠AFC＝180°－∠AFB＝110°.故答案為110.(2)∵∠B＝50°，∠BAD＝30°，∴∠ADB＝180°－50°－30°＝100°.∵△ABD沿AD折疊得到△AED，∴∠ADE＝∠ADB＝100°，∴∠EDF＝∠EDA＋∠BDA－∠BDF＝100°＋100°－180°＝20°.14．【提出問題】如圖，AO，BO分別平分∠CAB，∠CBA，OD⊥AO交AB于點(diǎn)D，探究∠C與∠BOD的數(shù)量關(guān)系．(1)【特例探究】若∠CAB＝50°，∠CBA＝68°，則∠C與∠BOD的數(shù)量關(guān)系為____________________.(2)【一般情形】對(duì)于一般情形，(1)中結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說明理由．∠C＝2∠BOD解：成立．理由如下：設(shè)∠OAB＝x，∠OBA＝y(tǒng).∵AO，BO分別平分∠CAB，∠CBA，∴∠CAB＝2x，∠CBA＝2y，∴∠AOB＝180°－x－y，∠C＝180°－2x－2y＝2(90°－x－y)．∵OD⊥OA，∴∠AOD＝90°，∴∠BOD＝∠AOB－90°＝90°－x－y，∴∠C＝2∠BOD.第十一章三角形11.2與三角形有關(guān)的角11．2.1三角形的內(nèi)角《第2課時(shí)直角三角形兩銳角互余》同步練習(xí)1．在Rt△ABC中，若一個(gè)銳角等于40°，則另一個(gè)銳角的度數(shù)為(

)A．40° B．45°C．50° D．60°2．如圖，AD是Rt△ABC的斜邊BC上的高，則圖中與∠B互余的角有(

)A．1個(gè) B．2個(gè)

C．3個(gè) D．4個(gè)1直角三角形兩銳角互余CB3．如圖，在平面內(nèi)，一組平行線穿過△ABC，若∠ABC＝90°，∠1＝55°，則∠2的度數(shù)是(

)A．25° B．30°C．35° D．45°C4．如圖，在△ADC中，∠A＝30°，∠ADC＝110°，BE⊥AC交AC于點(diǎn)E，求∠B的度數(shù)．解：在△ADC中，∠A＝30°，∠ADC＝110°，∴∠C＝180°－∠A－∠ADC＝40°.∵BE⊥AC，∴∠BEC＝90°，∴∠B＝90°－∠C＝50°.5．在△ABC中，若∠A＝37°，∠B＝53°，則△ABC的形狀是(

)A．銳角三角形 B．鈍角三角形

C．直角三角形 D．以上都有可能6．給定下列條件，其中不能判定該三角形是直角三角形的是(

)A．∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3B．∠A－∠C＝∠BC．∠A＝∠B＝2∠C2兩銳角互余的三角形是直角三角形CC7．如圖，AB∥CD，∠B＝50°，∠C＝40°，則△CEF是________(選填“銳角”“直角”或“鈍角”)三角形．直角8．教材P14T2改編如圖，點(diǎn)E是△ABC的邊AC上一點(diǎn)，過點(diǎn)E作ED⊥AB于點(diǎn)D.若∠1＝∠2，則△ABC是直角三角形嗎？為什么？解：△ABC是直角三角形．理由如下：因?yàn)镋D⊥AB，所以∠ADE＝90°，所以∠1＋∠A＝90°.又因?yàn)椤?＝∠2，所以∠2＋∠A＝90°，所以∠C＝90°，所以△ABC是直角三角形．9．在Rt△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝2∶m∶4，則m的值是(

)A．3 B．4C．2或6 D．2或410．把Rt△ABC與Rt△CDE放在同一水平桌面上，擺放成如圖所示的形狀，使兩個(gè)直角頂點(diǎn)重合，兩條斜邊平行．若∠B＝25°，∠D＝58°，則∠B