易錯(cuò)壓軸01 二次函數(shù)（十大易錯(cuò)壓軸題型+舉一反三+易錯(cuò)題通關(guān)）

易錯(cuò)壓軸01二次函數(shù)易錯(cuò)集合易錯(cuò)壓軸一：二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)舉一反三例1．已知二次函數(shù)，當(dāng)且時(shí)，的最小值為，最大值為，則的值為（

）A．2 B． C．3 D．例2．已知的直角頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，點(diǎn)，都落在拋物線上，則與軸的交點(diǎn)為；若于點(diǎn)，則點(diǎn)到點(diǎn)的最大距離為．練習(xí)2．若關(guān)于x的方程的一個(gè)實(shí)數(shù)根，另一個(gè)實(shí)數(shù)根，則關(guān)于x的二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)到x軸距離h的取值范圍是．練習(xí)3．已知二次函數(shù)、b是常數(shù)，(1)若在該二次函數(shù)的圖象上，當(dāng)時(shí)，試判斷代數(shù)式的正負(fù)性；(2)已知對(duì)于任意的常數(shù)a、，二次函數(shù)的圖象始終過定點(diǎn)P，求證：一次函數(shù)圖象上所有的點(diǎn)都高于點(diǎn)易錯(cuò)題通關(guān)1．已知二次函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)和，若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．已知拋物線，當(dāng)時(shí)，自變量的取值范圍是或，若點(diǎn)在對(duì)稱軸左側(cè)的拋物線上，則的取值范圍是．3．已知二次函數(shù)．(1)將寫成的形式，并寫出它的頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)當(dāng)時(shí)，直接寫出函數(shù)值y的取值范圍；(3)該二次函數(shù)的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，，若，直接寫出n的取值范圍．易錯(cuò)壓軸二：二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系舉一反三例1．對(duì)于二次函數(shù)，定義函數(shù)是它的相關(guān)函數(shù)．若一次函數(shù)與二次函數(shù)的相關(guān)函數(shù)的圖象恰好兩個(gè)公共點(diǎn)，則的值可能是（

）A． B． C． D．例2．拋物線的對(duì)稱軸是直線，且過點(diǎn)，頂點(diǎn)位于第二象限，其部分圖象如圖所示，給出以下判斷；①且；②；③；④直線與拋物線兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，則．其中結(jié)論正確的是．練習(xí)1．如圖，拋物線的圖象與x軸交于，，其中．有下列五個(gè)結(jié)論：①；②；③；④；⑤若m，為關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)根，則．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）A．4 B．3 C．2 D．1練習(xí)2．如圖，二次函數(shù)的圖像與x軸交于點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線，下列結(jié)論∶①；②；③；④拋物線上有兩點(diǎn)和，若，且，則，其中正確的是．

(只填寫序號(hào))練習(xí)3．已知二次函數(shù)，圖象經(jīng)過點(diǎn)，，．(1)當(dāng)時(shí)．①求二次函數(shù)的表達(dá)式；②寫出一個(gè)符合條件的的取值范圍，使得隨的增大而增大；(2)若在，，這三個(gè)實(shí)數(shù)中，只有一個(gè)是正數(shù)，求證：．易錯(cuò)題通關(guān)1．已知二次函數(shù)（）與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為，其對(duì)稱軸為直線，其部分圖象如圖所示，有下列5個(gè)結(jié)論：①；②；③；④；⑤若關(guān)于x的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且滿足，則，．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（

）A．5 B．4 C．3 D．22．已知二次函數(shù)的圖象與軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱軸為直線，下列論中∶①；②若點(diǎn)均在該二次函數(shù)圖象上，則；③若為任意實(shí)數(shù)，則；④方程的兩實(shí)數(shù)根為，且，則．正確結(jié)論的序號(hào)為．3．在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)二次函數(shù)（a，b是常數(shù)，）．(1)若時(shí)，圖象經(jīng)過點(diǎn)，求二次函數(shù)的表達(dá)式．(2)寫出一組a，b的值，使函數(shù)的圖象與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，并求此二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)．(3)已知，二次函數(shù)的圖象和直線都經(jīng)過點(diǎn)，求證：．易錯(cuò)壓軸三：根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性求函數(shù)值舉一反三例1．如圖，拋物線與拋物線相交于點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的平行線，與兩條拋物線分別交于點(diǎn)M，N，若點(diǎn)M是的中點(diǎn)，則的值是（

）A． B．2 C． D．3例2．已知二次函數(shù)的圖像過點(diǎn)和．（1）若此拋物線的對(duì)稱軸是直線，點(diǎn)C與點(diǎn)P關(guān)于直線對(duì)稱，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是．（2）若此拋物線的頂點(diǎn)在第一象限，設(shè)，則t的取值范圍是．練習(xí)1．設(shè)二次函數(shù)（k，c為實(shí)數(shù)）的圖象過點(diǎn)，，三點(diǎn)，且，，，下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則練習(xí)2．已知和時(shí)，多項(xiàng)式的值相等，則當(dāng)時(shí)，多項(xiàng)式的值為.練習(xí)3．自變量的函數(shù)值我們通常記作，表示自變量時(shí)，函數(shù)的函數(shù)值，已知函數(shù)，其中為常數(shù)．(1)若，求的值；(2)若存在唯一一個(gè)自變量的值，使得另一個(gè)函數(shù)，，試求滿足條件的的值；(3)若存在實(shí)數(shù)且，使得，試求實(shí)數(shù)的取值范圍．易錯(cuò)題通關(guān)1．設(shè)函數(shù)對(duì)一切實(shí)數(shù)不均滿足，且方程恰好有6個(gè)不同的實(shí)根，則這6個(gè)實(shí)根的和為（

）A．10 B．12 C．18 D．302．已知關(guān)于直線對(duì)稱的拋物線經(jīng)過，兩點(diǎn)，且點(diǎn)，分別位于拋物線對(duì)稱軸的兩側(cè)，則位于對(duì)稱軸左側(cè)的點(diǎn)是（填或），若此時(shí)，則的取值范圍是．3．設(shè)二次函數(shù)（m為常數(shù)）的圖象為f．【特例感悟】（1）當(dāng)，時(shí)，二次函數(shù)（m為常數(shù)）的最小值是______、最大值是______；【類比探索】（2）當(dāng)直線與圖象f在第一象限內(nèi)交A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），A點(diǎn)橫坐標(biāo)a，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)b，，求在范圍內(nèi)二次函數(shù)（m為常數(shù)）的最大值與最小值的差；【縱深拓展】（3）①不論m為何實(shí)數(shù)時(shí)，圖象f一定會(huì)經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)，求出這個(gè)定點(diǎn)坐標(biāo)；②當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)（m為常數(shù)）的最大值為9，那么圖象f的對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)會(huì)大于0小于2嗎？試說明你的理由，并指出滿足條件的對(duì)稱軸與定點(diǎn)之間的距離．易錯(cuò)壓軸四：二次函數(shù)的最值問題舉一反三例1．已知：，，，則下列說法中正確的是（

）A．有最大值4，最小值1 B．有最大值3，最小值C．有最大值3，最小值1 D．有最大值3，最小值例2．已知二次函數(shù)（，為常數(shù)且），當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，則的最大值為．練習(xí)2．已知拋物線：，把繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，得到拋物線，則的解析式為；在和構(gòu)成的封閉區(qū)域內(nèi)作直線軸，分別交和與點(diǎn)M，N，則的最大值為．練習(xí)3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)．(1)求此二次函數(shù)的解析式；(2)當(dāng)時(shí)，求二次函數(shù)的最大值和最小值；(3)點(diǎn)為此函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)，其僙坐標(biāo)為，過點(diǎn)作軸，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．已知點(diǎn)與點(diǎn)不重合，且線段的長(zhǎng)度隨的增大而減?。偾蟮娜≈捣秶?；②當(dāng)時(shí)，直接寫出線段與二次函數(shù)的圖象只有1個(gè)交點(diǎn)時(shí)的取值范圍．易錯(cuò)題通關(guān)1．如圖，矩形中，，E為邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，取的中點(diǎn)G，點(diǎn)G繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)F，連接，則面積的最小值是（）A．4 B． C．3 D．2．若點(diǎn)在拋物線上過y軸上點(diǎn)E作兩條相互垂直的直線與拋物線分別交于A，B，C，D，且M，N分別是線段的中點(diǎn)，面積的最小值為．3．設(shè)二次函數(shù)（a，c是常數(shù)）的圖象與x軸有交點(diǎn)．(1)若圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，求函數(shù)的表達(dá)式，并寫出函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)．(2)若圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，且過，求此時(shí)a，c的值．(3)已知，若函數(shù)的表達(dá)式還可以寫成（m，n為常數(shù)，且），設(shè)二次函數(shù)，求的最小值．易錯(cuò)壓軸五：二次函數(shù)的平移問題舉一反三例1．若拋物線向上平移個(gè)單位后，在范圍內(nèi)與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．例2．如圖①是杭州亞運(yùn)會(huì)的徽標(biāo)中的錢江潮頭，可近似地看成是頂點(diǎn)在y軸上的二次函數(shù)，如圖②所示，已知，．當(dāng)潮頭以2個(gè)單位每秒的速度向x軸正方向移動(dòng)的過程中，若記潮頭起始位置所在的二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸三個(gè)交點(diǎn)圍成的面積為，則經(jīng)過秒后，潮頭所在的拋物線與坐標(biāo)軸的三個(gè)交點(diǎn)圍成的面積恰好為面積的一半．練習(xí)1．已知，二次函數(shù)是常數(shù)，且的圖象經(jīng)過，三個(gè)點(diǎn)中的兩個(gè)點(diǎn)，平移該函數(shù)的圖象，使其頂點(diǎn)始終在直線上，則平移后所得拋物線與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)（

）A．有最大值為1 B．有最大值為 C．有最小值為1 D．有最小值為練習(xí)2．對(duì)某一個(gè)函數(shù)給出如下定義：若存在實(shí)數(shù)，對(duì)于任意的函數(shù)值，都滿足，則稱這個(gè)函數(shù)是有界函數(shù)，在所有滿足條件的中，其最小值稱為這個(gè)函數(shù)的邊界值．例如，如圖中的函數(shù)是有界函數(shù)，其邊界值是1．將函數(shù)的圖象向上平移個(gè)單位，得到的函數(shù)的邊界值滿足是時(shí)，則的取值范圍是．

練習(xí)3．已知二次函數(shù)的圖像L過點(diǎn)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為．(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)L與x軸相交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），求A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)；(3)將L向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度，與x軸相交于，兩點(diǎn)，若點(diǎn)在線段上，求k的取值范圍．易錯(cuò)題通關(guān)1．如圖，拋物線與直線交于A、B兩點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)P，將拋物線沿著射線平移個(gè)單位，在整個(gè)平移過程中，點(diǎn)P經(jīng)過的路程為（

）

A．6 B． C． D．2．如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)A、B，把拋物線在x軸及其上方的部分記作，將向右平移得，與x軸交于點(diǎn)B、D．若直線與、共有2個(gè)不同的交點(diǎn)，則m的取值范圍是．3．在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與軸交于點(diǎn)，．(1)求拋物線的表達(dá)式．(2)若拋物線，當(dāng)時(shí)，有最大值，求的值．(3)若將拋物線平移得到新拋物線，當(dāng)時(shí)，新拋物線與直線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，直接寫出的取值范圍．易錯(cuò)壓軸六：二次函數(shù)與一元二次方程舉一反三例1．將拋物線中軸上方的部分沿軸翻折到軸下方，圖像的其余部分不變，得到的新圖像與直線有個(gè)交點(diǎn)，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．例2．已知點(diǎn)，，在二次函數(shù)的圖象上，則方程的解為練習(xí)1．如圖，拋物線與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，這兩個(gè)交點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為m、n．雙曲線的兩個(gè)分支分別位于第二、四象限，則t的取值范圍是（

）A． B． C． D．或練習(xí)2．規(guī)定：如果兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，那么稱這兩個(gè)函數(shù)互為“Y函數(shù)”．例如：函數(shù)與互為“Y函數(shù)”．若函數(shù)的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則它的“Y函數(shù)”圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為；練習(xí)3．小明、小紅和小亮三位同學(xué)對(duì)問題“關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍”提出了自己的解題思路：［辨析與解答]小明說：“只需分類討論，將方程中的絕對(duì)值去掉，討論關(guān)于的一元二次方程根的情況．”小紅說：“用函數(shù)思想，設(shè)，只須在的取值范圍內(nèi)．”小亮說：“可以數(shù)形結(jié)合，把方程兩邊分別看成關(guān)于的函數(shù)，利用函數(shù)圖像解決．”結(jié)合上述解題思路綜合考量，你認(rèn)為他們所討論的問題的正確結(jié)論，即實(shí)數(shù)的取值范圍是______．請(qǐng)寫出你的解題過程．[應(yīng)用與拓展]（1）如果關(guān)于的方程有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．（2）如果關(guān)于的方程有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．易錯(cuò)題通關(guān)1．若a，b（）是關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且，則關(guān)于a，b的關(guān)系正確的是（

）A． B． C． D．2．如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)坐標(biāo)，與軸的交點(diǎn)在，之間（包含端點(diǎn)），則下列結(jié)論：；；對(duì)于任意實(shí)數(shù)，總成立；關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．其中正確結(jié)論為（只填序號(hào)）3．二次函數(shù)的圖象如圖所示，根據(jù)圖象回答下列問題：

(1)點(diǎn)B的坐標(biāo)為______；(2)方程的兩個(gè)根為______；(3)當(dāng)時(shí)，自變量x的取值范圍為______．易錯(cuò)壓軸七：實(shí)際問題與二次函數(shù)舉一反三例1．2020年6月中旬以來，北京市新冠肺炎疫情出現(xiàn)反彈，北京市民對(duì)防疫物資需求量激增．某廠商計(jì)劃投資產(chǎn)銷一種消毒液，設(shè)每天產(chǎn)銷量為x瓶，每日產(chǎn)銷這種消毒液的有關(guān)信息如下表：（產(chǎn)銷量指生產(chǎn)并銷售的數(shù)量，生產(chǎn)多少就銷售多少，不考慮滯銷和脫銷）若該消毒液的單日產(chǎn)銷利潤(rùn)y元，當(dāng)銷量x為多少時(shí)，該消毒液的單日產(chǎn)銷利潤(rùn)最大．（

）消毒液每瓶售價(jià)（元）每瓶成本（元）每日其他費(fèi)用（元）每日最大產(chǎn)銷量（瓶）30181200＋0.02x2250A．250 B．300 C．200 D．550例2．一個(gè)玻璃杯豎直放置時(shí)的縱向截面如圖1所示，其左右輪廓線，為同一拋物線的一部分，，都與水平地面平行，當(dāng)杯子裝滿水后，，液體高度，將杯子繞傾斜倒出部分液體，當(dāng)傾斜角時(shí)停止轉(zhuǎn)動(dòng)．如圖2所示，此時(shí)液面寬度為cm，液面到點(diǎn)所在水平地面的距離是cm練習(xí)1．如圖1，已知的邊長(zhǎng)為，，于點(diǎn)E．現(xiàn)將沿方向以每秒1個(gè)單位的速度勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的與重疊部分的面積S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的函數(shù)圖象如圖2，則當(dāng)t為9時(shí)，S的值是（

）

A． B． C． D．練習(xí)2．公園要建造圓形的噴水池如圖①，水面中心O處垂直于水面安裝一個(gè)柱子，柱子頂端處的噴頭向外噴水，水流在各個(gè)方向沿形狀相同的拋物線落下．安裝師傅調(diào)試發(fā)現(xiàn)，噴頭上下移動(dòng)時(shí)，拋物線形水柱隨之豎直上下平移，水柱落點(diǎn)與點(diǎn)O在同一水平面．如圖②，噴頭高時(shí)，水柱落點(diǎn)距O點(diǎn)；噴頭高時(shí)，水柱落點(diǎn)距O點(diǎn)．現(xiàn)要使水柱落點(diǎn)距O點(diǎn)，則噴頭高應(yīng)調(diào)整為．

練習(xí)3．電商小李在抖音平臺(tái)上對(duì)一款成本單價(jià)為10元的商品進(jìn)行直播銷售，規(guī)定銷售單價(jià)不低于成本價(jià)，且不高于成本價(jià)的3倍．通過前幾天的銷售發(fā)現(xiàn)，當(dāng)銷售定價(jià)為15元時(shí)，每天可售出700件，銷售單價(jià)每上漲10元，每天銷售量就減少200件，設(shè)此商品銷售單價(jià)為x（元），每天的銷售量為y（件）．(1)求y關(guān)于x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；(2)若銷售該商品每天的利潤(rùn)為7500元，求該商品的銷售單價(jià)；(3)小李熱心公益事業(yè)，決定每銷售一件該商品就捐款m元（）給希望工程，當(dāng)每天銷售最大利潤(rùn)為6000元時(shí)，求m的值．易錯(cuò)題通關(guān)1．如圖1，在中，．點(diǎn)從出發(fā)，沿運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)停止，過點(diǎn)作，垂足為連接．設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為，的面積為，若與的對(duì)應(yīng)關(guān)系如圖2所示，則的值為（

）A． B． C． D．2．如圖①，“東方之門”通過簡(jiǎn)單的幾何曲線處理，將傳統(tǒng)文化與現(xiàn)代建筑融為一體，最大程度地傳承了蘇州的歷史文化．如圖②，“門”的內(nèi)側(cè)曲線呈拋物線形，已知其底部寬度為米，高度為米．則離地面米處的水平寬度（即的長(zhǎng)）為．3．某商場(chǎng)經(jīng)銷一種兒童玩具，該種玩具的進(jìn)價(jià)是每個(gè)元，經(jīng)過一段時(shí)間的銷售發(fā)現(xiàn)，該種玩具每天的銷售量y（個(gè)）與每個(gè)的售價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．

(1)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求出當(dāng)某天的銷售量為個(gè)時(shí)，該玩具的銷售利潤(rùn)；(2)每天的銷售量不低于個(gè)的情況下，若要每天獲得的銷售利潤(rùn)最大，求該玩具每個(gè)的售價(jià)是多少？最大利潤(rùn)是多少？(3)根據(jù)物價(jià)部門規(guī)定，這種玩具的售價(jià)每個(gè)不能高于元．該商場(chǎng)決定每銷售一個(gè)這種玩具就捐款n元（），捐款后發(fā)現(xiàn)，該商場(chǎng)每天銷售這種玩具所獲利潤(rùn)隨售價(jià)的增大而增大，求n的取值范圍．易錯(cuò)壓軸八：二次函數(shù)的存在性問題舉一反三例1．定義：函數(shù)圖象上到兩坐標(biāo)軸的距離都不大于n（）的點(diǎn)叫做這個(gè)函數(shù)圖象的“n階方點(diǎn)”．例如，點(diǎn)與點(diǎn)都是函數(shù)圖象的“3階方點(diǎn)”．若y關(guān)于x的二次函數(shù)的圖象存在“n階方點(diǎn)”，則n的取值范圍是（

）A． B． C． D．例2．定義：若x，y滿足：，（k為常數(shù)）且，則稱點(diǎn)為“好點(diǎn)”．（1）若是“好點(diǎn)”，則．（2）在的范圍內(nèi)，若二次函數(shù)的圖象上至少存在一個(gè)“好點(diǎn)”，則c的取值范圍為．練習(xí)1．若一個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)的3倍，則稱這個(gè)點(diǎn)為“三倍點(diǎn)”，如：等都是“三倍點(diǎn)”．在的范圍內(nèi)，若二次函數(shù)的圖象上至少存在一個(gè)“三倍點(diǎn)”，則c的取值范圍是（

）A． B． C． D．練習(xí)2．定義：平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)，若，，其中為常數(shù)，且，則稱點(diǎn)是點(diǎn)的“級(jí)變換點(diǎn)”．例如，點(diǎn)，是點(diǎn)，的“級(jí)變換點(diǎn)”．(1)若函數(shù)的圖象上存在點(diǎn)，的“級(jí)變換點(diǎn)”，則的值為；(2)若關(guān)于的二次函數(shù)()的圖象上恰有兩個(gè)點(diǎn)，這兩個(gè)點(diǎn)的“1級(jí)變換點(diǎn)”都在直線上，則的取值范圍是．練習(xí)3．綜合與探究：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，拋物線經(jīng)過，兩點(diǎn)且與軸的正半軸交于點(diǎn)．(1)求的值及拋物線的解析式．(2)如圖①，若點(diǎn)為直線上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)如圖②，若是線段的上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作直線垂直于軸交直線和拋物線分別于點(diǎn)、，連接．設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．①當(dāng)為何值時(shí)，線段有最大值，并寫出最大值為多少；②是否存在以，，為頂點(diǎn)的三角形與相似，若存在，直接寫出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．易錯(cuò)題通關(guān)1．平面上有一個(gè)圖形與圖形外一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，的坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，的坐標(biāo)為，若點(diǎn)在圖形上，則稱是“點(diǎn)與圖形的聯(lián)系點(diǎn)”，設(shè)拋物線：（為常數(shù)）頂點(diǎn)為，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，若拋物線上存在點(diǎn)是點(diǎn)與圖形的聯(lián)系點(diǎn)，則所有可能的的和為（

）A．3 B．2 C．1 D．02．若一個(gè)點(diǎn)縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)的兩倍，則稱這個(gè)點(diǎn)為“三倍點(diǎn)”．若在的范圍內(nèi)，二次函數(shù)的圖像上存在兩個(gè)“三倍點(diǎn)，則的取值范圍為．3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線（為常數(shù)，且）與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，且．(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)連接，點(diǎn)是拋物線的對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是平面內(nèi)的點(diǎn)，是否存在以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．易錯(cuò)壓軸九：二次函數(shù)與相似三角形舉一反三例1．拋物線，設(shè)該拋物線與軸的交點(diǎn)為和，與軸的交點(diǎn)為C，若，則的值為（）A． B． C． D．例2．已知過點(diǎn)的拋物線與兩坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A，C，如圖所示，連接，第一象限內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)M在拋物線上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)M作交y軸于點(diǎn)P．當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A上方，且與相似時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為．練習(xí)1．如圖，已知二次函數(shù)的圖像與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，連接、，若平分，則的值為(

）A． B． C． D．練習(xí)2．如圖，已知點(diǎn)P是二次函數(shù)圖像在y軸右側(cè)部分上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將直線沿y軸向上平移，分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)．若以為直角邊的與相似，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

練習(xí)3．如圖，二次函數(shù)（）的圖象與x軸交于，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，已知，．(1)求該二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)點(diǎn)M為拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)M使得有最大值，若存在，請(qǐng)直接寫出其最大值及此時(shí)點(diǎn)M坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．(3)連接，P為第一象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作軸，垂足為D，連接，若與相似，請(qǐng)求出滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)：若沒有滿足條件的P點(diǎn)，請(qǐng)說明理由．易錯(cuò)題通關(guān)1．如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為，連結(jié)，．在軸上是否存在點(diǎn)，使以，，為頂點(diǎn)的三角形與相似，則滿足條件的所有點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A．， B．，C．，， D．，2．如圖，拋物線的頂點(diǎn)為，直線與拋物線交于，兩點(diǎn)．是拋物線上一點(diǎn)，過作軸，垂足為．如果以，，為頂點(diǎn)的三角形與相似，那么點(diǎn)的坐標(biāo)是．3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于點(diǎn)，，與y軸交于點(diǎn)C，連接．(1)求拋物線的解析式；(2)P是第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)N，連接．的面積記為，的面積記為，當(dāng)時(shí)，求m的值；(3)在（2）的條件下，點(diǎn)Q在拋物線上，直線與直線交于點(diǎn)H，當(dāng)與相似時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．易錯(cuò)壓軸十：二次函數(shù)的綜合舉一反三例1．已知是關(guān)于的一元二次方程的兩實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式的取值范圍是（

）A． B． C． D．例2．如圖，已知二次函數(shù)（其中）的圖象與軸交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)外接圓的圓心為，拋物線的頂點(diǎn)為，若，則的值為．練習(xí)1．如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)．點(diǎn)，是拋物線上兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)最大值記為，最小值記為，設(shè)，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．練習(xí)2．如圖，無論為何值，拋物線一定與軸交于點(diǎn)、與軸交于點(diǎn)，則：（1）點(diǎn)的坐標(biāo)為：；（2）過點(diǎn)作軸，，且，以為鄰邊構(gòu)造正方形，若該拋物線與正方形的邊有公共點(diǎn)，則的取值范圍為：．練習(xí)3．已知拋物線為常數(shù)，與軸交于點(diǎn)、點(diǎn)兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，對(duì)稱軸為．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)是拋物線上的點(diǎn)且在第二象限，過作于點(diǎn)，求的最大值．易錯(cuò)題通關(guān)1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C，垂直于y軸的動(dòng)直線l與拋物線交于點(diǎn)，，與直線交于點(diǎn)，若，則的取值范圍是(

)

A． B． C． D．2．已知二次函數(shù)，（1）隨著a的取值變化，圖象除經(jīng)過定點(diǎn)，請(qǐng)寫出圖象經(jīng)過的另一個(gè)定點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若拋物線與x軸有交點(diǎn)，過拋物線的頂點(diǎn)與定點(diǎn)作直線，該直線與x軸交于點(diǎn)，且，則a的取值范圍為．3．如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，其中，．

(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)點(diǎn)是二次函數(shù)圖像上軸下方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作軸交直線于點(diǎn)，連接，將沿折疊，當(dāng)?shù)膶?duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在軸上時(shí)，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)在二次函數(shù)的圖象上，是否存在點(diǎn)，使得若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

易錯(cuò)壓軸01二次函數(shù)易錯(cuò)集合易錯(cuò)壓軸一：二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)舉一反三例1．已知二次函數(shù)，當(dāng)且時(shí)，的最小值為，最大值為，則的值為（

）A．2 B． C．3 D．【答案】B【分析】本題考查了二次函數(shù)的最值問題，二次函數(shù)的增減性，由題意可得，，則的最小值為為負(fù)數(shù)，最大值為為正數(shù)．最大值為分兩種情況：①結(jié)合拋物線頂點(diǎn)縱坐標(biāo)的取值范圍，求出，結(jié)合圖象最小值只能由時(shí)求出；②結(jié)合拋物線頂點(diǎn)縱坐標(biāo)的取值范圍，圖象最大值只能由求出，最小值只能由求出．【詳解】解：二次函數(shù)的大致圖象如下：

①當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，取最小值，即，解得：．當(dāng)時(shí)，取最大值，即，解得：或均不合題意，舍去；②當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，取最小值，即，解得：．當(dāng)時(shí)，取最大值，即，解得：，或時(shí)，取最小值，時(shí)，取最大值，，，，，此種情形不合題意，所以．故選：B．例2．已知的直角頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，點(diǎn)，都落在拋物線上，則與軸的交點(diǎn)為；若于點(diǎn)，則點(diǎn)到點(diǎn)的最大距離為．【答案】【分析】設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，點(diǎn)坐標(biāo)，由求出的值，將、代入直線解析式，當(dāng)時(shí)，即可求解，根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊一半，可得出點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡，即可求出點(diǎn)到點(diǎn)的最大距離，本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，利用相似求坐標(biāo)，直角三角形斜邊中線等于斜邊一半，解題的關(guān)鍵是：熟練掌握字型相似，隱圓模型．【詳解】解：設(shè)直線解析式：，點(diǎn)坐標(biāo)：，點(diǎn)坐標(biāo)：，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，如圖，則，，，，，，，，，即：，，設(shè)直線解析式，將、坐標(biāo)代入，，解得：，則直線解析式：，當(dāng)時(shí)，，將代入，得：，與軸的交點(diǎn)為，設(shè)與軸的交點(diǎn)為點(diǎn)，中點(diǎn)為，點(diǎn)為點(diǎn)，，，為中點(diǎn)，在中，，在中，，點(diǎn)軌跡為，以為圓心，長(zhǎng)為半徑的圓，的最大值為：，故答案為：，．練習(xí)1．定義：把二次函數(shù)與（，、是常數(shù)）稱作互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，如果二次函數(shù)與（、是常數(shù)）互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，則下列選項(xiàng)中正確的是（

）A．； B．；C．當(dāng)時(shí)，； D．不論取何值，【答案】C【分析】此題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”的定義得到，，，則，，逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵二次函數(shù)與（、是常數(shù)）互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，∴，解得，故選項(xiàng)A、B錯(cuò)誤，∴，∴，，當(dāng)時(shí)，，故選項(xiàng)C正確；∵，∴只有當(dāng)時(shí)，，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選：C練習(xí)2．若關(guān)于x的方程的一個(gè)實(shí)數(shù)根，另一個(gè)實(shí)數(shù)根，則關(guān)于x的二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)到x軸距離h的取值范圍是．【答案】【分析】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，由題意得：時(shí)，，時(shí)，，可以確定k的取值范圍；二次函數(shù)頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，在k的取值范圍內(nèi)計(jì)算出的取值范圍，即可得到頂點(diǎn)到x軸距離h的取值范圍．【詳解】解：由題意得：時(shí)，，時(shí)，，即：，解得：，二次函數(shù)，頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為：，，又，當(dāng)時(shí)，在時(shí)，取得最大值，即：當(dāng)時(shí)，，在時(shí)，取得最小值，即：當(dāng)時(shí)，，即：圖象的頂點(diǎn)到x軸的距離h的最小值是，圖象的頂點(diǎn)到x軸的距離h的最大值是，h的取值范圍是，故答案為：．練習(xí)3．已知二次函數(shù)、b是常數(shù)，(1)若在該二次函數(shù)的圖象上，當(dāng)時(shí)，試判斷代數(shù)式的正負(fù)性；(2)已知對(duì)于任意的常數(shù)a、，二次函數(shù)的圖象始終過定點(diǎn)P，求證：一次函數(shù)圖象上所有的點(diǎn)都高于點(diǎn)【答案】(1)為正(2)見解析【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解題時(shí)要熟練掌握并能靈活運(yùn)用是關(guān)鍵．（1）依據(jù)題意，，又，在該二次函數(shù)的圖象上，從而，進(jìn)而，再由不等式的性質(zhì)可以判斷得解；（2）依據(jù)題意，由（1），對(duì)于任意的常數(shù)、，都有當(dāng)時(shí)，，可得二次函數(shù)始終過定點(diǎn)，再結(jié)合對(duì)于一次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，從而對(duì)于任意的，當(dāng)時(shí)都有，故可判斷得解．【詳解】（1）解：由題意，，又，在該二次函數(shù)的圖象上，．．．．．又，，即為正．（2）證明：由（1），對(duì)于任意的常數(shù)、，都有當(dāng)時(shí)，．二次函數(shù)始終過定點(diǎn)．對(duì)于一次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．對(duì)于任意的，當(dāng)時(shí)都有．一次函數(shù)圖象上所有的點(diǎn)都高于點(diǎn)．易錯(cuò)題通關(guān)1．已知二次函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)和，若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)和二次函數(shù)的圖象及二次函數(shù)上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，先確定拋物線的開口方向和對(duì)稱軸，找到關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)的橫坐標(biāo)，結(jié)合可求出的取值范圍【詳解】解：∵，∴拋物線開口向上，拋物線的對(duì)稱軸為直線，又兩點(diǎn)分別為和，且，所以，可得關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，∴開口向上，且，∴的取值范圍是，故選：C2．已知拋物線，當(dāng)時(shí)，自變量的取值范圍是或，若點(diǎn)在對(duì)稱軸左側(cè)的拋物線上，則的取值范圍是．【答案】/【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)；先得出拋物線的對(duì)稱軸為直線，進(jìn)而根據(jù)題意得出，分析當(dāng)時(shí)的兩個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)，得出，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得出，結(jié)合，即可求解．【詳解】解：∵當(dāng)時(shí)，自變量的取值范圍是或，∴拋物線開口向上，對(duì)稱軸為直線，∴，即∴拋物線解析式為，當(dāng)時(shí)，解得：∵當(dāng)時(shí)，自變量的取值范圍是或，∴當(dāng)時(shí)，解得：∵點(diǎn)在對(duì)稱軸左側(cè)的拋物線上，∴點(diǎn)在對(duì)稱軸右側(cè)的拋物線上，∵當(dāng)時(shí)，或，∴，即是方程的兩個(gè)根，∴，即∴∴解得：又∵∴，故答案為：．3．已知二次函數(shù)．(1)將寫成的形式，并寫出它的頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)當(dāng)時(shí)，直接寫出函數(shù)值y的取值范圍；(3)該二次函數(shù)的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，，若，直接寫出n的取值范圍．【答案】(1)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2)(3)【分析】（1）利用完全平方公式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式，由頂點(diǎn)式寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）利用二次函數(shù)的增減性求出的取值范圍；（3）設(shè)二次函數(shù)的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，的橫坐標(biāo)為，，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得，，，進(jìn)而可得，整理后求解即可．【詳解】（1）解：，則得頂點(diǎn)坐標(biāo)為．（2）解：對(duì)稱軸為直線，開口向上，當(dāng)時(shí)，隨的增大而減??；當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的取值范圍為．（3）解：設(shè)二次函數(shù)的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，的橫坐標(biāo)為，，則，為的兩個(gè)解，即，，，即：，，解得：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，二次函數(shù)的性質(zhì)，拋物線與直線的交點(diǎn)，根與系數(shù)的關(guān)系等，關(guān)鍵是靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)解決問題．易錯(cuò)壓軸二：二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系舉一反三例1．對(duì)于二次函數(shù)，定義函數(shù)是它的相關(guān)函數(shù)．若一次函數(shù)與二次函數(shù)的相關(guān)函數(shù)的圖象恰好兩個(gè)公共點(diǎn)，則的值可能是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了一次函數(shù)與二次函數(shù)的交點(diǎn)問題，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分兩種情況解答：一次函數(shù)分別與，相交一點(diǎn)；一次函數(shù)與有兩個(gè)交點(diǎn)，與不相交；求出的取值范圍，即可求解，掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的相關(guān)函數(shù)為當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的相關(guān)函數(shù)為，∴二次函數(shù)的相關(guān)函數(shù)為，二次函數(shù)的圖象開口向上，與軸的交點(diǎn)為，對(duì)稱軸為直線,當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大；二次函數(shù)的圖象開口向下，與軸的交點(diǎn)為，對(duì)稱軸為直線，當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大；一次函數(shù)與軸的交點(diǎn)為一次函數(shù)與二次函數(shù)的相關(guān)函數(shù)的圖象恰好兩個(gè)公共點(diǎn)可分為兩種情況：一次函數(shù)分別與，相交一點(diǎn)，則有，解得；一次函數(shù)與有兩個(gè)交點(diǎn)，與不相交，則有，解得，且，即有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴，解得，∴；綜上所述，或，∴的值可能是，故選：．例2．拋物線的對(duì)稱軸是直線，且過點(diǎn)，頂點(diǎn)位于第二象限，其部分圖象如圖所示，給出以下判斷；①且；②；③；④直線與拋物線兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，則．其中結(jié)論正確的是．【答案】②④【分析】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)．根據(jù)圖象利用數(shù)形結(jié)合逐一判斷即可，具體見詳解．【詳解】解：圖象開口向下圖象與軸交點(diǎn)在正半軸，①不正確；時(shí)，，②正確；時(shí)，，③不正確；過點(diǎn)由得即依題得，，④正確．故答案為：②④．練習(xí)1．如圖，拋物線的圖象與x軸交于，，其中．有下列五個(gè)結(jié)論：①；②；③；④；⑤若m，為關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)根，則．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象與各項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)，根據(jù)二次函數(shù)圖象判斷式子的符號(hào)，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，掌握二次函數(shù)圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，注意數(shù)形結(jié)合．根據(jù)拋物線開口方向、對(duì)稱軸的位置及拋物線與y軸交點(diǎn)位置，可確定a、b、c的符號(hào)，則判定①；觀察圖象知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)值為正，可判定②；拋物線過，得，由圖象知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)值為負(fù)，則可判定③；把代入中，結(jié)合③中的結(jié)論可判定④；由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得，根據(jù)，即可判定⑤，最后即可得到答案．【詳解】解：由圖象知，拋物線的開口向下，故；拋物線的對(duì)稱軸在y軸左邊，則，故；拋物線與y軸的交點(diǎn)在y軸正半軸上，則，所以，故①正確；觀察圖象知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)值為正，即，故②正確；拋物線過，即，得，由圖象知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)值為負(fù)，即，所以，故③錯(cuò)誤；由得，故④錯(cuò)誤；關(guān)于x的一元二次方程整理得：，由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得，根據(jù)，則，則，故⑤正確，故正確的序號(hào)為①②⑤．故選：B．練習(xí)2．如圖，二次函數(shù)的圖像與x軸交于點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線，下列結(jié)論∶①；②；③；④拋物線上有兩點(diǎn)和，若，且，則，其中正確的是．

(只填寫序號(hào))【答案】①③④【分析】本題考查了二次函數(shù)圖像與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，根據(jù)二次函數(shù)的圖像判斷式子的符號(hào)，數(shù)形結(jié)合是本題最大特點(diǎn)．由圖像的開口方向、對(duì)稱軸及圖像與y軸的交點(diǎn)位置可分別確定a、b、c的符號(hào)，從而可判定①；由拋物線的對(duì)稱性可確定當(dāng)時(shí)，圖像位于x軸下方，從而當(dāng)時(shí)函數(shù)值為負(fù)，即可判定②；由對(duì)稱軸知，當(dāng)時(shí)函數(shù)值為0，則可判定③；由，且，則得，表明點(diǎn)M到對(duì)稱軸的距離小于點(diǎn)N到對(duì)稱軸的距離，結(jié)合函數(shù)圖像即可判定④，最后可得答案．【詳解】解：由圖像的開口方向向下，則；拋物線的對(duì)稱軸為直線，即，故有，所以；圖像與y軸的交點(diǎn)位于y軸正半軸，故，則；故①正確；由于拋物線與x軸交于點(diǎn)，由拋物線的對(duì)稱性知，拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，故當(dāng)時(shí)，圖像位于x軸下方，所以當(dāng)時(shí)，，故②錯(cuò)誤；因，拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，則當(dāng)時(shí)函數(shù)值為0，即，故③正確；由于，且，則，表明點(diǎn)M到對(duì)稱軸的距離小于點(diǎn)N到對(duì)稱軸的距離，又拋物線的圖像開口向下，拋物線上的點(diǎn)到對(duì)稱軸距離越大，函數(shù)值越小，即，故④正確；所以正確的序號(hào)為：①③④；故答案為：①③④．練習(xí)3．已知二次函數(shù)，圖象經(jīng)過點(diǎn)，，．(1)當(dāng)時(shí)．①求二次函數(shù)的表達(dá)式；②寫出一個(gè)符合條件的的取值范圍，使得隨的增大而增大；(2)若在，，這三個(gè)實(shí)數(shù)中，只有一個(gè)是正數(shù)，求證：．【答案】(1)①；②.(2)見解析.【分析】本題考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式及二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),熟知二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.（1）①利用待定系數(shù)法即可解決問題；②根據(jù)所得二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可解決問題；（2）由這三個(gè)點(diǎn)在拋物線上的位置即可解決問題．【詳解】（1）①當(dāng)時(shí)，將點(diǎn)代入函數(shù)解析式得，，解得．所以二次函數(shù)的表達(dá)式為．②因?yàn)閽佄锞€的對(duì)稱軸為直線，且開口向下，所以當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大．故一個(gè)符合條件的x的取值范圍是：．（2）證明：因?yàn)閽佄锞€的對(duì)稱軸為直線，又因?yàn)?，所以點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，則．又因?yàn)閙，n，p這三個(gè)實(shí)數(shù)中，只有一個(gè)是正數(shù)，所以m和p都是非正數(shù)，n是正數(shù)，則，解得．所以．易錯(cuò)題通關(guān)1．已知二次函數(shù)（）與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為，其對(duì)稱軸為直線，其部分圖象如圖所示，有下列5個(gè)結(jié)論：①；②；③；④；⑤若關(guān)于x的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且滿足，則，．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（

）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】C【分析】本題考查了拋物線和x軸交點(diǎn)的問題以及二次函數(shù)與系數(shù)的關(guān)系，靈活運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)，學(xué)會(huì)利用函數(shù)圖象信息解決問題是關(guān)鍵．根據(jù)對(duì)稱軸為直線及圖象開口向下可判斷出a、b、c的符號(hào)，從而判斷①；根據(jù)函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，可判斷②；可求得圖象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，由當(dāng)時(shí)，，可判斷③；由當(dāng)時(shí)，，可判斷④；把看為與的圖象的交點(diǎn)問題，可判斷⑤；從而解決問題．【詳解】解：∵拋物線開口向下，，∵拋物線對(duì)稱軸為直線，，，∵拋物線交y軸的正半軸，，，故①正確；該函數(shù)圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，故②不正確；∵拋物線的對(duì)稱軸為直線，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴當(dāng)時(shí)，，故③不正確；∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，，，即，故④正確；函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為和，令，則，∴直線與拋物線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，∴由圖象可知：，，故⑤正確；故正確的有3個(gè)，故選：C．2．已知二次函數(shù)的圖象與軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱軸為直線，下列論中∶①；②若點(diǎn)均在該二次函數(shù)圖象上，則；③若為任意實(shí)數(shù)，則；④方程的兩實(shí)數(shù)根為，且，則．正確結(jié)論的序號(hào)為．【答案】①③④【分析】本題考查根據(jù)二次函數(shù)圖象判斷式子符號(hào)，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，熟練運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想．將代入，可判斷①；根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸及增減性可判斷②；根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)可判斷③；根據(jù)的圖象與x軸的交點(diǎn)的位置可判斷④．【詳解】解：將代入，可得，故①正確；二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為直線，點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離分別為：4，1，3，，圖象開口向下，離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)，函數(shù)值越小，，故②錯(cuò)誤；二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為直線，，又，，，當(dāng)時(shí)，y取最大值，最大值為，即二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，若m為任意實(shí)數(shù)，則故③正確；二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為直線，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，的圖象向上平移一個(gè)單位長(zhǎng)度，即為的圖象，的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)一個(gè)在的左側(cè)，另一個(gè)在的右側(cè)，若方程的兩實(shí)數(shù)根為，且，則，故④正確；綜上可知，正確的有①③④，故答案為：①③④3．在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)二次函數(shù)（a，b是常數(shù)，）．(1)若時(shí)，圖象經(jīng)過點(diǎn)，求二次函數(shù)的表達(dá)式．(2)寫出一組a，b的值，使函數(shù)的圖象與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，并求此二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)．(3)已知，二次函數(shù)的圖象和直線都經(jīng)過點(diǎn)，求證：．【答案】(1)(2)，（答案不唯一）(3)證明見解析【分析】（1）把代入二次函數(shù)的關(guān)系式，再把代入求出b的值，進(jìn)而即可確定二次函數(shù)的關(guān)系式；（2）令，則，當(dāng)時(shí)，求得,據(jù)此寫出一組a,b的值，化成頂點(diǎn)式即可求得頂點(diǎn)坐標(biāo)；（3）根據(jù)題意得到,整理得，則，最后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得證明結(jié)論．【詳解】（1）解：把代入得:，∵當(dāng)時(shí)，，∴，∴，∴二次函數(shù)的關(guān)系式為．（2）解：令，則，當(dāng)時(shí)，則，∴，∴若，時(shí)，函數(shù)的圖象與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，∴此時(shí)函數(shù)為，∴此函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(答案不唯一)．（3）證明：∵二次函數(shù)的圖象和直線都經(jīng)過點(diǎn)，∴，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的性質(zhì)、待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)與一元二次方程等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．易錯(cuò)壓軸三：根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性求函數(shù)值舉一反三例1．如圖，拋物線與拋物線相交于點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的平行線，與兩條拋物線分別交于點(diǎn)M，N，若點(diǎn)M是的中點(diǎn)，則的值是（

）A． B．2 C． D．3【答案】D【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的對(duì)稱性，二次函數(shù)上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，由拋物線的對(duì)稱性可知，，從而可得，，再由點(diǎn)M是的中點(diǎn)，即可得到，即：，再根據(jù)，即可得到，進(jìn)而可得，即可求解．解題的關(guān)鍵在于能夠求出，．【詳解】解：拋物線的對(duì)稱軸為，拋物線的對(duì)稱軸為，∵拋物線與拋物線相交于點(diǎn)，∴由拋物線的對(duì)稱性可知，，∴，，∵點(diǎn)M是的中點(diǎn)，∴，即：，將，代入，可知：，，則，∴，∴，∴，故選：D．例2．已知二次函數(shù)的圖像過點(diǎn)和．（1）若此拋物線的對(duì)稱軸是直線，點(diǎn)C與點(diǎn)P關(guān)于直線對(duì)稱，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是．（2）若此拋物線的頂點(diǎn)在第一象限，設(shè)，則t的取值范圍是．【答案】【分析】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，利用了二次函數(shù)的對(duì)稱性，二次函數(shù)圖象與系數(shù)關(guān)系；（1）根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可得點(diǎn)P的坐標(biāo)與點(diǎn)C的縱坐標(biāo)相等，再根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)求出橫坐標(biāo)即可；（2）把點(diǎn)A、C的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式并用a表示出b，令，表示出t，再根據(jù)頂點(diǎn)在第一象限求出a的范圍，即可求得t的范圍．【詳解】解：（1）∵點(diǎn)C與點(diǎn)P關(guān)于直線對(duì)稱，∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為1；設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，則，∴，即點(diǎn)P的坐標(biāo)為；故答案為：；（2）∵二次函數(shù)的圖像過點(diǎn)和，∴，則，即；上式中，令，則；∵拋物線的頂點(diǎn)在第一象限，∴，，由后一式得，則，∴由前一式得，∴，即，故答案為：．練習(xí)1．設(shè)二次函數(shù)（k，c為實(shí)數(shù)）的圖象過點(diǎn)，，三點(diǎn)，且，，，下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】D【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象性質(zhì)以及開口方向、對(duì)稱軸，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．先得出對(duì)稱軸，結(jié)合，，得，，再進(jìn)行分類討論，即可作答．【詳解】解：∵二次函數(shù)∴對(duì)稱軸為∵，∴設(shè)點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離為，互為相反數(shù)∴∵，∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)的開口向下，越靠近對(duì)稱軸的自變量所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值越大，∴，故D選項(xiàng)是正確的；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的開口向上，越靠近對(duì)稱軸的自變量所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值越小，∴，故三個(gè)選項(xiàng)是錯(cuò)誤的；故選：D練習(xí)2．已知和時(shí)，多項(xiàng)式的值相等，則當(dāng)時(shí)，多項(xiàng)式的值為.【答案】2【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，令，可知對(duì)稱軸為直線，根據(jù)題意，求出，即可求解．【詳解】解：∵，∴拋物線對(duì)稱軸為直線，∵當(dāng)和時(shí)，的值相等，∴即解得：，即當(dāng)時(shí)，多項(xiàng)式的值為．故答案為：．練習(xí)3．自變量的函數(shù)值我們通常記作，表示自變量時(shí)，函數(shù)的函數(shù)值，已知函數(shù)，其中為常數(shù)．(1)若，求的值；(2)若存在唯一一個(gè)自變量的值，使得另一個(gè)函數(shù)，，試求滿足條件的的值；(3)若存在實(shí)數(shù)且，使得，試求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)18(2)或；(3)【分析】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用；熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，能將所求問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題是解題的關(guān)鍵．（1）將，代入函數(shù)解析式即可求解；（2）由題意得，即，則，解得或；（3）由函數(shù)的對(duì)稱性可知，得到，結(jié)合的范圍即可求的范圍．【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，，；（2）由題意得，則，存在唯一一個(gè)自變量的值，使得另一個(gè)函數(shù)，，解得或；（3）的對(duì)稱軸為，，，，，，．易錯(cuò)題通關(guān)1．設(shè)函數(shù)對(duì)一切實(shí)數(shù)不均滿足，且方程恰好有6個(gè)不同的實(shí)根，則這6個(gè)實(shí)根的和為（

）A．10 B．12 C．18 D．30【答案】D【分析】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是看出函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，得到函數(shù)的零點(diǎn)是成對(duì)出現(xiàn)的．根據(jù)函數(shù)滿足，可得函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，從而得到方程的6個(gè)實(shí)數(shù)解中有3對(duì)，每一對(duì)的和為10，由此可得結(jié)論．【詳解】解：對(duì)于任意實(shí)數(shù)，函數(shù)不均滿足函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，函數(shù)的零點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，方程的根關(guān)于對(duì)稱，方程的6個(gè)實(shí)數(shù)解中有3對(duì)，成對(duì)的兩個(gè)根之和等于，個(gè)實(shí)根之和是，故選：D．2．已知關(guān)于直線對(duì)稱的拋物線經(jīng)過，兩點(diǎn)，且點(diǎn)，分別位于拋物線對(duì)稱軸的兩側(cè)，則位于對(duì)稱軸左側(cè)的點(diǎn)是（填或），若此時(shí)，則的取值范圍是．【答案】B/【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的增減性．根據(jù)拋物線對(duì)稱軸為，開口向上，根據(jù)已知條件分類討論得出點(diǎn)B在對(duì)稱軸的左側(cè)；根據(jù)，進(jìn)而得出不等式，解不等式即可求解．【詳解】解：拋物線關(guān)于直線對(duì)稱，經(jīng)過，兩點(diǎn)，且點(diǎn)，分別位于拋物線對(duì)稱軸的兩側(cè)，若點(diǎn)A位于對(duì)稱軸左側(cè)，則，解得，不等式組無解，不符合題意；若點(diǎn)B位于對(duì)稱軸左側(cè)，則，解得，不等式組的解為；此時(shí)，，解得：，，綜上，時(shí)，則的取值范圍是，故答案為：B，．3．設(shè)二次函數(shù)（m為常數(shù)）的圖象為f．【特例感悟】（1）當(dāng)，時(shí)，二次函數(shù)（m為常數(shù)）的最小值是______、最大值是______；【類比探索】（2）當(dāng)直線與圖象f在第一象限內(nèi)交A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），A點(diǎn)橫坐標(biāo)a，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)b，，求在范圍內(nèi)二次函數(shù)（m為常數(shù)）的最大值與最小值的差；【縱深拓展】（3）①不論m為何實(shí)數(shù)時(shí)，圖象f一定會(huì)經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)，求出這個(gè)定點(diǎn)坐標(biāo)；②當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)（m為常數(shù)）的最大值為9，那么圖象f的對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)會(huì)大于0小于2嗎？試說明你的理由，并指出滿足條件的對(duì)稱軸與定點(diǎn)之間的距離．【答案】（1）；（2）最大值與最小值的差為；（3）①定點(diǎn)坐標(biāo)為；②當(dāng)時(shí)，圖象的對(duì)稱軸與軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)不能大于0小于2．理由見詳解，定點(diǎn)分別到直線、的距離都是2．【分析】（1）函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，則，當(dāng)時(shí)，，即可求解；（2）由，整理得，得到圖象的對(duì)稱軸為，進(jìn)而求解；（3）①，當(dāng)時(shí)，無論為何實(shí)數(shù)，都有，即可求解；②當(dāng)時(shí)，拋物線開口向上，在時(shí)，隨的增大而減小，函數(shù)在時(shí)隨的增大而增大，即可求解；當(dāng)對(duì)稱軸為時(shí)，函數(shù)在時(shí)隨的增大而減小，同理可解．本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，確定函數(shù)對(duì)稱軸和分類求解是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：（1）當(dāng)，時(shí)，，函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，則，當(dāng)時(shí)，，故答案為：，；（2）依題意得：，整理得，故，是其兩實(shí)根，，；又，故，整理得，解得，（不合題意）；，，圖象的對(duì)稱軸為，當(dāng)時(shí)，隨增大而增大，當(dāng)，且時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，．最大值與最小值的差為．（3）①，當(dāng)時(shí)，無論為何實(shí)數(shù)，都有，即定點(diǎn)坐標(biāo)為；②當(dāng)時(shí)，圖象的對(duì)稱軸與軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)不能大于0小于2．理由：，圖象的對(duì)稱軸為，當(dāng)時(shí)，拋物線開口向上，在時(shí)，隨的增大而減小，函數(shù)在時(shí)隨的增大而增大，當(dāng)時(shí)，有最大，，解得，拋物線對(duì)稱軸為，當(dāng)時(shí)，有最大，，解得，拋物線對(duì)稱軸為，圖象的對(duì)稱軸與軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)不在大于0小于2的范圍內(nèi)．由于拋物線開口向上，對(duì)稱軸為直線時(shí)，函數(shù)在時(shí)隨的增大而增大，當(dāng)時(shí)，有最大，，解得，拋物線對(duì)稱軸為符合題意，當(dāng)對(duì)稱軸為時(shí)，函數(shù)在時(shí)隨的增大而減小，當(dāng)時(shí)，有最大，，解得，拋物線對(duì)稱軸為符合題意，定點(diǎn)分別到直線、的距離都是2．易錯(cuò)壓軸四：二次函數(shù)的最值問題舉一反三例1．已知：，，，則下列說法中正確的是（

）A．有最大值4，最小值1 B．有最大值3，最小值C．有最大值3，最小值1 D．有最大值3，最小值【答案】C【分析】本題考查了二次函數(shù)的最值和根據(jù)反比例函數(shù)的增減性求最值，解題的關(guān)鍵是用函數(shù)思想解決問題；根據(jù)函數(shù)的增減性求出最值，再結(jié)合不等式的性質(zhì)求n的范圍，進(jìn)而可求n的最值；【詳解】由題意得，，，當(dāng)時(shí)，m有最小值，當(dāng)時(shí)，m有最大值，，，，當(dāng)時(shí)，n隨著b的增大而減小，當(dāng)時(shí)，n有最小值1，當(dāng)時(shí)，n有最大值4，，，，，解得：，，，n有最大值3，最小值1；故選：C．例2．已知二次函數(shù)（，為常數(shù)且），當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，則的最大值為．【答案】/【分析】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，由拋物線解析式可得拋物線的對(duì)稱軸，由隨的增大而增大的取值范圍可得與的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而求解．【詳解】解：，為常數(shù)且，拋物線開口向上，對(duì)稱軸為直線，當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，，，即，，最大值為．故答案為：．練習(xí)1．4．已知二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，則（

）A．若時(shí)，函數(shù)有最小值 B．若時(shí)，函數(shù)有最小值C．若時(shí)，函數(shù)有最小值 D．若時(shí)，函數(shù)有最小值【答案】A【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求二次函數(shù)最值的取值范圍是解題的關(guān)鍵．先將二次函數(shù)解析式化成頂點(diǎn)式，然后根據(jù)各選項(xiàng)m的取值范圍，確定對(duì)稱軸和m的關(guān)系，最后分別求最值即可解答．【詳解】解：因?yàn)槎魏珹.若時(shí)，即時(shí)，當(dāng)函數(shù)有最小值，故A選項(xiàng)正確，符合題意；B.若時(shí)，即時(shí)，當(dāng)函數(shù)有最小值，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；C.若，即時(shí)，當(dāng)函數(shù)有最小值，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；D.若，即時(shí)，當(dāng)函數(shù)有最小值，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意．故選A．練習(xí)2．已知拋物線：，把繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，得到拋物線，則的解析式為；在和構(gòu)成的封閉區(qū)域內(nèi)作直線軸，分別交和與點(diǎn)M，N，則的最大值為．【答案】12【分析】先求出拋物線的頂點(diǎn)為，與x軸交點(diǎn)為和，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得拋物線的頂點(diǎn)為，圖像上的兩點(diǎn)和，設(shè)二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，代入即可求出解析式；設(shè)則，可得，進(jìn)而可求最值；【詳解】解：在中，令得或，∴拋物線的頂點(diǎn)為，與x軸交點(diǎn)為和，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，得到拋物線的頂點(diǎn)為；將和繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，分別得到圖像上的點(diǎn)和；設(shè)拋物線的解析式為，把代入得：，解得，∴拋物線的解析式為；如圖：設(shè)則，，由可得，，∵在和構(gòu)成的封閉區(qū)域內(nèi)作直線軸，分別交和與點(diǎn)M，N，∴當(dāng)時(shí)，取最大值12；故答案為：；12．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)與幾何變換，二次函數(shù)的最值問題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知求出拋物線的解析式；練習(xí)3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)．(1)求此二次函數(shù)的解析式；(2)當(dāng)時(shí)，求二次函數(shù)的最大值和最小值；(3)點(diǎn)為此函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)，其僙坐標(biāo)為，過點(diǎn)作軸，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．已知點(diǎn)與點(diǎn)不重合，且線段的長(zhǎng)度隨的增大而減小．①求的取值范圍；②當(dāng)時(shí)，直接寫出線段與二次函數(shù)的圖象只有1個(gè)交點(diǎn)時(shí)的取值范圍．【答案】(1)；(2)最大值為，最小值為；(3)①求的取值范圍是，②只有個(gè)交點(diǎn)時(shí)的取值范圍是：或時(shí)．【分析】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解題關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，將函數(shù)解析式配方，通過數(shù)形結(jié)合的方法求解．（1）利用待定系數(shù)法求解；（2）將函數(shù)代數(shù)式配方，由拋物線開口方向和對(duì)稱軸直線方程求解．（3）①由求出取值范圍，②通過數(shù)形結(jié)合求解．【詳解】（1）解：將點(diǎn)代入，得：解得：．（2）解：，∵拋物線開口向上，對(duì)稱軸為直線，∴當(dāng)時(shí)，取最小值為∴當(dāng)時(shí)，取最大值：．（3）解：①當(dāng)時(shí)，，的長(zhǎng)度隨的增大而減小，當(dāng)時(shí)，，的長(zhǎng)度隨增大而增大，滿足題意，解得：；解得：，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P在最低點(diǎn)，與圖象有交點(diǎn)，如圖，增大過程中，時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)在對(duì)稱軸右側(cè)，與圖象只有個(gè)交點(diǎn)，直線關(guān)于拋物線對(duì)稱軸直線，對(duì)稱后直線為時(shí)，與圖象有個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，與圖象有個(gè)交點(diǎn)，綜上所述，或時(shí)，與圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)為個(gè)，時(shí)，與圖象有個(gè)交點(diǎn)，∴只有個(gè)交點(diǎn)時(shí)的取值范圍是：或時(shí)．易錯(cuò)題通關(guān)1．如圖，矩形中，，E為邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，取的中點(diǎn)G，點(diǎn)G繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)F，連接，則面積的最小值是（）A．4 B． C．3 D．【答案】B【分析】過點(diǎn)F作的垂線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，則，設(shè)，可得出面積與x的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)二次函數(shù)圖象的性質(zhì)求得最小值．本題通過構(gòu)造K形圖，考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．建立面積與長(zhǎng)度的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．【詳解】過點(diǎn)F作的垂線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，∵矩形中，，點(diǎn)G繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)F，∴，∴，，∴，∵的中點(diǎn)G，∴，∴，設(shè)，，∴，，,∴故面積的最小值為，故選B．2．若點(diǎn)在拋物線上過y軸上點(diǎn)E作兩條相互垂直的直線與拋物線分別交于A，B，C，D，且M，N分別是線段的中點(diǎn)，面積的最小值為．【答案】4【分析】本題考查了二次函數(shù)最值，熟練掌握化簡(jiǎn)二次根式是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)題意設(shè)E坐標(biāo)為，直線的解析式為直線的解析式為聯(lián)立方程組得到坐標(biāo)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式得到的代數(shù)式，由面積公式得到，利用均值不等式得到最小值即可．【詳解】解：由，且兩直線均與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，所以直線k值都存在，設(shè)E坐標(biāo)為，直線的解析式為直線的解析式為直線與拋物線聯(lián)立方程組為：，消去y得設(shè)由根與系數(shù)的關(guān)系得：∵為線段的中點(diǎn)，∴∴同理得∴∵∴根據(jù)均值不等式，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，的面積最小值為4．故答案為：4．3．設(shè)二次函數(shù)（a，c是常數(shù)）的圖象與x軸有交點(diǎn)．(1)若圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，求函數(shù)的表達(dá)式，并寫出函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)．(2)若圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，且過，求此時(shí)a，c的值．(3)已知，若函數(shù)的表達(dá)式還可以寫成（m，n為常數(shù)，且），設(shè)二次函數(shù)，求的最小值．【答案】(1)；(2)當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，(3)【分析】（1）將代入，可求，進(jìn)而可得，化成頂點(diǎn)式可得頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）令，由圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則，即，將代入得，，可求或或（舍去），然后求解作答即可；（3）當(dāng)時(shí)，，由，，可得，即，，然后求最值即可．【詳解】（1）解：將代入得，，解得，，∴，∵，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）解：令，∵圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，∴，即，將代入得，，解得，或或（舍去），∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；（3）解：當(dāng)時(shí)，，∵，，∴，∴，∴，∵，∴當(dāng)時(shí)，的值最小，最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，一元二次方程根的判別式，二次函數(shù)的最值等知識(shí)．熟練掌握二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，一元二次方程根的判別式，二次函數(shù)的最值是解題的關(guān)鍵．易錯(cuò)壓軸五：二次函數(shù)的平移問題舉一反三例1．若拋物線向上平移個(gè)單位后，在范圍內(nèi)與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)函數(shù)圖象平移規(guī)則“上加下減求得平移后的函數(shù)解析式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)的圖象，進(jìn)而可列出不等式組求解即可．【詳解】解：根據(jù)題意，平移后的拋物線的表達(dá)式為，∵平移后拋物線的開口向下，對(duì)稱軸為直線，∴要使在范圍內(nèi)與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，只需時(shí)對(duì)應(yīng)圖象上的點(diǎn)在x軸下方，時(shí)對(duì)應(yīng)函數(shù)圖象上的點(diǎn)在x軸上或x軸上方，如圖，

∴，解得，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)圖象的平移、二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)問題，解答的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，以及與方程、不等式的關(guān)系．例2．如圖①是杭州亞運(yùn)會(huì)的徽標(biāo)中的錢江潮頭，可近似地看成是頂點(diǎn)在y軸上的二次函數(shù)，如圖②所示，已知，．當(dāng)潮頭以2個(gè)單位每秒的速度向x軸正方向移動(dòng)的過程中，若記潮頭起始位置所在的二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸三個(gè)交點(diǎn)圍成的面積為，則經(jīng)過秒后，潮頭所在的拋物線與坐標(biāo)軸的三個(gè)交點(diǎn)圍成的面積恰好為面積的一半．【答案】或【分析】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握二次函數(shù)圖象的平移，待定系數(shù)法求拋物線的解析式是解題的關(guān)鍵．先用待定系數(shù)法求出平移前的解析式為，然后設(shè)經(jīng)過t秒后，潮頭所在的拋物線與坐標(biāo)軸的三個(gè)交點(diǎn)圍成的面積恰好為面積的一半．則平移后拋物線解析式為，然后分兩種情況：①當(dāng)平移后，二次函數(shù)圖象與y軸正半軸相交于點(diǎn)時(shí)，當(dāng)平移后，二次函數(shù)圖象與y軸負(fù)半軸相交于點(diǎn)時(shí)，分別求解即可．【詳解】解：∵，，∴，，，，設(shè)拋物線線解析式為，把代入，得，∴，設(shè)經(jīng)過t秒后，潮頭所在的拋物線與坐標(biāo)軸的三個(gè)交點(diǎn)圍成的面積恰好為面積的一半．則，，∴平移后拋物線解析式為，分兩種情況：①當(dāng)平移后，二次函數(shù)圖象與y軸正半軸相交于點(diǎn)時(shí)，如圖，由平移的性質(zhì)，得，∵，∴，∴，∴，把代入，得，解得：（負(fù)值不符合題意，已舍去），②當(dāng)平移后，二次函數(shù)圖象與y軸負(fù)半軸相交于點(diǎn)時(shí)，如圖，同理可得，∴，把代入，得解得：（負(fù)值不符合題意，已舍去），綜上，經(jīng)過秒或秒后，潮頭所在的拋物線與坐標(biāo)軸的三個(gè)交點(diǎn)圍成的面積恰好為面積的一半．故答案為：或．練習(xí)1．已知，二次函數(shù)是常數(shù)，且的圖象經(jīng)過，三個(gè)點(diǎn)中的兩個(gè)點(diǎn)，平移該函數(shù)的圖象，使其頂點(diǎn)始終在直線上，則平移后所得拋物線與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)（

）A．有最大值為1 B．有最大值為C．有最小值為1 D．有最小值為【答案】B【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象的平移，一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，待定系數(shù)法的應(yīng)用；首先判斷出拋物線經(jīng)過點(diǎn)A、C，利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式，根據(jù)題意設(shè)出平移后的拋物線解析式，令，得到縱坐標(biāo)與平移距離之間的函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而可得答案．【詳解】解：∵在直線上，∴點(diǎn)A或點(diǎn)B是拋物線的頂點(diǎn)，∵點(diǎn)B、C的橫坐標(biāo)相同，∴拋物線不會(huì)同時(shí)經(jīng)過B、C兩點(diǎn)，∴該拋物線經(jīng)過點(diǎn)A、C，把，代入得：，解得：，∴二次函數(shù)解析式為，∵其頂點(diǎn)始終在直線上，∴拋物線向左、向下平移的距離相同，設(shè)平移后的拋物線為，令，則，∵，∴平移后所得拋物線與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)有最大值為，故選：B．練習(xí)2．對(duì)某一個(gè)函數(shù)給出如下定義：若存在實(shí)數(shù)，對(duì)于任意的函數(shù)值，都滿足，則稱這個(gè)函數(shù)是有界函數(shù)，在所有滿足條件的中，其最小值稱為這個(gè)函數(shù)的邊界值．例如，如圖中的函數(shù)是有界函數(shù)，其邊界值是1．將函數(shù)的圖象向上平移個(gè)單位，得到的函數(shù)的邊界值滿足是時(shí)，則的取值范圍是．

【答案】或【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象的平移和二次函數(shù)的最值問題，根據(jù)條件分類討論函數(shù)值絕對(duì)值最大的情況是解決問題的關(guān)鍵點(diǎn)．仔細(xì)閱讀材料理解題意，可知n的值就是函數(shù)值絕對(duì)值最大的值，所以根據(jù)函數(shù)表達(dá)式找出函數(shù)值的最大值和最小值，進(jìn)行分類討論求解即可．【詳解】解：向上平移t個(gè)單位后，得到的函數(shù)解析式為∴拋物線的開口向下，對(duì)稱軸為直線，∴拋物線上的點(diǎn)離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)，函數(shù)值越大，當(dāng)時(shí)，y最大值為，且和的函數(shù)值相同，∵，∴當(dāng)時(shí)，時(shí)，y有最小值，當(dāng)時(shí)，時(shí)，y有最小值，由題意可知：n是函數(shù)值絕對(duì)值最大時(shí)的值，（I）當(dāng)時(shí)，①且，解得，②當(dāng)且，解得（II）當(dāng)時(shí)，①且無解；②且，無解，故答案為：或．練習(xí)3．已知二次函數(shù)的圖像L過點(diǎn)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為．(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)L與x軸相交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），求A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)；(3)將L向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度，與x軸相交于，兩點(diǎn)，若點(diǎn)在線段上，求k的取值范圍．【答案】(1)(2)，(3)【分析】本題考查了二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)問題，熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征是解答本題的關(guān)鍵．(1)待定系數(shù)法求出拋物線解析式即可；(2)令得到一個(gè)關(guān)于x的二次方程，解方程即可得到點(diǎn)A、B坐標(biāo)；(3)根據(jù)題意得到新的拋物線解析式，設(shè)點(diǎn)M為新函數(shù)圖象上一點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為k，則可得到M的縱坐標(biāo)，根據(jù)縱坐標(biāo)大于等于零即可求解．【詳解】（1）解：由題意可設(shè)這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式為，圖像L過點(diǎn)得，，解得：，這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式為．（2）令，得，解得：，，兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為，（3）將L向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得新函數(shù)的表達(dá)式為，設(shè)點(diǎn)M為新函數(shù)圖像上一點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為k，則縱坐標(biāo)為若點(diǎn)在線段上，則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)大于或等于零，即，令，由圖像可知，當(dāng)時(shí)，圖像在橫軸的下方，函數(shù)值小于零因?yàn)?，所以得．易錯(cuò)題通關(guān)1．如圖，拋物線與直線交于A、B兩點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)P，將拋物線沿著射線平移個(gè)單位，在整個(gè)平移過程中，點(diǎn)P經(jīng)過的路程為（

）

A．6 B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意可得由題意得，當(dāng)拋物線沿著射線平移個(gè)單位時(shí)，相當(dāng)于將點(diǎn)A先向右平移3個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位，設(shè)拋物線向右平移個(gè)單位，向上平移個(gè)單位，則平移后的解析式為，再根據(jù)點(diǎn)P在直線，直接把代入得到點(diǎn)P的縱坐標(biāo)與a的二次函數(shù)，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【詳解】解：由題意得，當(dāng)拋物線沿著射線平移個(gè)單位時(shí)，相當(dāng)于將點(diǎn)A先向右平移3個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位，設(shè)拋物線向右平移個(gè)單位，向上平移個(gè)單位，∵原拋物線解析式為，∴平移后的解析式為令時(shí)，則，∴當(dāng)時(shí)，，∵，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，在平移過程中點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路程為，當(dāng)時(shí)，在平移過程中點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路程為，∴整個(gè)平移過程中，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路程為，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)圖象與幾何變換，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的特征等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用平移的性質(zhì)解決問題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)，構(gòu)建二次函數(shù)解決問題，屬于中考?jí)狠S題．2．如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)A、B，把拋物線在x軸及其上方的部分記作，將向右平移得，與x軸交于點(diǎn)B、D．若直線與、共有2個(gè)不同的交點(diǎn)，則m的取值范圍是．【答案】或者，或者【分析】首先求出點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后求出解析式，分別求出直線與拋物線，相切時(shí)m的值以及直線過點(diǎn)A、B時(shí)m的值，結(jié)合圖形即可得到答案．【詳解】令，即，解得或，則點(diǎn)，，拋物線：，，由于拋物線向右平移兩個(gè)長(zhǎng)度單位得拋物線，則拋物線解析式為，，令，即，解得或，則點(diǎn)，如圖，當(dāng)與拋物線：相切時(shí)，令，即，根據(jù)相切可知方程有兩個(gè)相等的解，即，解得，當(dāng)過點(diǎn)時(shí)，即：，解得，當(dāng)與拋物線：相切時(shí)，令，即，根據(jù)相切可知方程有兩個(gè)相等的解，即，解得，當(dāng)過點(diǎn)時(shí)，即：，解得，結(jié)合圖象可知：直線與、共有2個(gè)不同的交點(diǎn)時(shí)，則m的取值范圍是，或者，或者，故答案為：或者，或者．【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線與x軸交點(diǎn)以及二次函數(shù)圖象與幾何交換的知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是正確畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行解題，此題有一定的難度．3．在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與軸交于點(diǎn)，．(1)求拋物線的表達(dá)式．(2)若拋物線，當(dāng)時(shí)，有最大值，求的值．(3)若將拋物線平移得到新拋物線，當(dāng)時(shí)，新拋物線與直線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，直接寫出的取值范圍．【答案】(1)；(2)；(3)或．【分析】（）把點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線用待定系數(shù)法解答即可求解；（）根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，分三種情況：、和，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答即可求解；（）根據(jù)二次函數(shù)圖象的平移畫出圖象，結(jié)合圖象分兩種情況：新拋物線與直線相交且有一個(gè)交點(diǎn)和拋物線與直線相切，利用數(shù)形結(jié)合求取值范圍即可；本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的平移，掌握數(shù)形結(jié)合思想解答是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：把點(diǎn)，代入拋物線得，，解得，拋物線表達(dá)式為；（2）解：由（）知，拋物線，∴拋物線的對(duì)稱軸為直線，開口向上，∵時(shí)，有最大值，最大值只能在或時(shí)取得，當(dāng)時(shí)，即，此時(shí)，有最大值，即，解得，符合題意；當(dāng)時(shí)，即，此時(shí)，有最大值，即，解得，不合，舍去；當(dāng)，即，當(dāng)時(shí)，有最大值，即，解得，不合，舍去；當(dāng)，有最大值，即，解得，不合，舍去；綜上，的值為；（3）解：由題意得，新拋物線為是把拋物線平移個(gè)單位得到的，如圖所示：當(dāng)時(shí)，新拋物線與直線相交且有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，則解得；當(dāng)拋物線與直線相切時(shí)，就是把拋物線，向上平移10個(gè)單位，即，的取值范圍為或．易錯(cuò)壓軸六：二次函數(shù)與一元二次方程舉一反三例1．將拋物線中軸上方的部分沿軸翻折到軸下方，圖像的其余部分不變，得到的新圖像與直線有個(gè)交點(diǎn)，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查拋物線與軸的交點(diǎn)：把求二次函數(shù)（、、是常數(shù)，）與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于的一元二次方程．解方程得，，再利用折疊的性質(zhì)求出折疊部分的解析式為，即，然后求出直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)的值和當(dāng)直線與拋物線有唯一公共點(diǎn)時(shí)的值，即可得解．掌握拋物線與軸交點(diǎn)坐標(biāo)的求法及拋物線與直線交點(diǎn)坐標(biāo)的求法是解題的關(guān)鍵．也考查了二次函數(shù)圖像與幾何變換．【詳解】解：對(duì)拋物線，當(dāng)時(shí)，得：，解得：或，∴拋物線與軸的交點(diǎn)為、，∵將拋物線中軸上方的部分沿軸翻折到軸下方，圖像的其余部分不變，∴新圖像中當(dāng)時(shí)，解析式為，即，如圖，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，此時(shí)直線與新函數(shù)圖像有個(gè)交點(diǎn)，把代入直線，解得：，將直線向下平移時(shí)，有個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)與直線有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，此時(shí)直線與新函數(shù)圖像有個(gè)交點(diǎn)，整理得：，∴，解得：，綜上所述，新圖像與直線有個(gè)交點(diǎn)時(shí)，的取值范圍是．故選：C．例2．已知點(diǎn)，，在二次函數(shù)的圖象上，則方程的解為【答案】或【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)與一元二次方程，由可得，進(jìn)而得到二次函數(shù)為，由二次函數(shù)的對(duì)稱性可得二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，把方程轉(zhuǎn)化為，即可得為二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)，得到是方程的一個(gè)解，利用對(duì)稱性即可得到方程的另一個(gè)解，即可求解，掌握二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵點(diǎn)在二次函數(shù)的圖象上，∴，∴二次函數(shù)為，∵，在二次函數(shù)的圖象上，∴二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，由方程可得，，∵點(diǎn)為二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)，∴是方程的一個(gè)解，即為方程的的一個(gè)解，設(shè)方程的另一個(gè)解為，由可得，，∴方程的另一個(gè)解為，∴方程的解為或，故答案為：或．練習(xí)1．如圖，拋物線與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，這兩個(gè)交點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為m、n．雙曲線的兩個(gè)分支分別位于第二、四象限，則t的取值范圍是（

）A． B． C． D．或【答案】C【分析】先根據(jù)題意得，然后讓拋物線與直線相等化簡(jiǎn)得到，，再將m，n代入，從而得到m，n關(guān)于，的關(guān)系式，再進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：∵雙曲線y=的兩個(gè)分支分別位于第二、四象限，∴，設(shè)拋物線與直線的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（，則化簡(jiǎn)得，∴，，∵，∴∵，∴解得，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，雙曲線的性質(zhì)，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，求不等式組的解集，解題關(guān)鍵是得到和的值．練習(xí)2．規(guī)定：如果兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，那么稱這兩個(gè)函數(shù)互為“Y函數(shù)”．例如：函數(shù)與互為“Y函數(shù)”．若函數(shù)的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則它的“Y函數(shù)”圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為；【答案】或【分析】本題考查了軸對(duì)稱，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，拋物線與x軸的交點(diǎn)問題，理解題意，進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)和它的“Y函數(shù)”圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)于y軸對(duì)稱，再進(jìn)行分類討論，即和兩種情況，求出與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，即可解答．【詳解】解：①當(dāng)時(shí)，函數(shù)的解析式為，此時(shí)函數(shù)的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)成立，當(dāng)時(shí)，可得，解得，與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)題意可得，它的“Y函數(shù)”圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為；②當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，，即，解得，函數(shù)的解析式為，當(dāng)時(shí)，可得，解得，根據(jù)題意可得，它的“Y函數(shù)”圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，綜上所述，它的“Y函數(shù)”圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為或，故答案為：或．練習(xí)3．小明、小紅和小亮三位同學(xué)對(duì)問題“關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍”提出了自己的解題思路：［辨析與解答]小明說：“只需分類討論，將方程中的絕對(duì)值去掉，討論關(guān)于的一元二次方程根的情況．”小紅說：“用函數(shù)思想，設(shè)，只須在的取值范圍內(nèi)．”小亮說：“可以數(shù)形結(jié)合，把方程兩邊分別看成關(guān)于的函數(shù)，利用函數(shù)圖像解決．”結(jié)合上述解題思路綜合考量，你認(rèn)為他們所討論的問題的正確結(jié)論，即實(shí)數(shù)的取值范圍是______．請(qǐng)寫出你的解題過程．［應(yīng)用與拓展]（1）如果關(guān)于的方程有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．（2）如果關(guān)于的方程有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．【答案】［辨析與解答]，過程見解析；［應(yīng)用與拓展]（1）；（2）【分析】［辨析與解答]小明的方法：先將方程中的絕對(duì)值去掉，然后根據(jù)一元二次方程跟的判別式求解即可；小紅的方法：設(shè)，則，即可求解；小亮的方法：令，，，畫出函數(shù)圖像，利用數(shù)形結(jié)合的思想即可求解；［應(yīng)用與拓展]（1）觀察小亮方法中的圖像即可求解；（2）令，，畫出函數(shù)圖像，利用數(shù)形結(jié)合的思想即可求解．【詳解】解∶［辨析與解答]小明的方法：當(dāng)時(shí)，原方程為，即，∵方程有實(shí)數(shù)根，∴，解得；當(dāng)時(shí)，原方程為，即，∵方程有實(shí)數(shù)根，∴，解得，綜上，；小紅的方法：設(shè)，則，∴；小亮的方法：令，，當(dāng)與的圖像有交點(diǎn)時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根，畫出函數(shù)圖像，如下：觀察圖像知，當(dāng)時(shí)，與的圖像有交點(diǎn)，∴當(dāng)時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根；故答案為：；［應(yīng)用與拓展]（1）觀察小亮的方法中函數(shù)圖像知，當(dāng)時(shí)，與的圖像有四個(gè)不同的交點(diǎn)，∴當(dāng)時(shí)，方程有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，故答案為：；（2）令，，畫出函數(shù)圖像，如下：當(dāng)時(shí)，，∴圖中點(diǎn)D坐標(biāo)為，觀察圖像，知當(dāng)時(shí)，，的圖像有四個(gè)不同的交點(diǎn)，∴當(dāng)時(shí)，方程有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程跟的判別式，二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．易錯(cuò)題通關(guān)1．若a，b（）是關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且，則關(guān)于a，b的關(guān)系正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了一元二次方程的解，依照題意，畫出圖形，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．依照題意，畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合，即可得出a，b滿足的條件．【詳解】解：由題意得的根的問題可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)與直線的交點(diǎn)的問題，一元二次方程的解為，，二次函數(shù)與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，．依照題意，畫出函數(shù)圖象，如圖所示．觀察圖形，可知：．故選：A．2．如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)坐標(biāo)，與軸的交點(diǎn)在，之間（包含端點(diǎn)），則下列結(jié)論：；；對(duì)于任意實(shí)數(shù)，總成立；關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．其中正確結(jié)論為（只填序號(hào)）【答案】【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)，利用拋物線開口方向得到，再由拋物線的對(duì)稱軸方程得到，則，于是可對(duì)進(jìn)行判斷；利用和可對(duì)進(jìn)行判斷；利用二次函數(shù)的性質(zhì)可對(duì)進(jìn)行判斷；根據(jù)拋物線與直線有兩個(gè)交點(diǎn)可對(duì)進(jìn)行判斷，熟練掌握其性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵．【詳解】拋物線開口向下，，而拋物線的對(duì)稱軸為直線，即，，所以錯(cuò)誤；把點(diǎn)帶入解析式可得，∴，，，，所以正確；拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，時(shí)，二次函數(shù)值有最大值，∴，即，所以正確；拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，拋物線與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以正確．故答案為．3．二次函數(shù)的圖象如圖所示，根據(jù)圖象回答下列問題：

(1)點(diǎn)B的坐標(biāo)為______；(2)方程的兩個(gè)根為______；(3)當(dāng)時(shí)，自變量x的取值范圍為______．【答案】(1)(2)，(3)【分析】此題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵.（1）根據(jù)函數(shù)圖象判斷出對(duì)稱軸和拋物線與y軸一個(gè)交點(diǎn)，即可得到點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）根據(jù)拋物線與y軸的交點(diǎn)即可得到答案；（3）判斷出拋物線的圖象在x軸上方時(shí)x的取值范圍，即可得到答案.【詳解】（1）解：由二次函數(shù)的圖象可知，對(duì)稱軸為直線，拋物線過點(diǎn)∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為，故答案為：（2）由（1）知拋物