專題08 銳角三角形及其應用（測試）

專題08銳角三角形及其應用目錄TOC\o"1-3"\n\h\z\u真題演練題型01銳角三角函數(shù)與三角形綜合題型02銳角三角函數(shù)與四邊形綜合題型03銳角三角函數(shù)與圓綜合題型04銳角三角函數(shù)與圓及四邊形綜合題型05銳角三角函數(shù)與圓及三角形綜合題型06銳角三角函數(shù)與函數(shù)綜合題型0712345模型題型08銳角三角形應用-仰角俯角問題題型09銳角三角形應用-方位角問題題型10銳角三角形應用-坡度坡角問題題型11銳角三角形應用-與不易測量相關(guān)問題題型12銳角三角形應用-與可調(diào)節(jié)的滑動懸桿問題模擬集訓

真題演練題型01銳角三角函數(shù)與三角形綜合1．（2023·廣東深圳·模擬預測）如圖，在銳角三角形ABC中，tanA=3,BC=5，線段BD?CE分別是AC?2．（2023·河南南陽·三模）小明參加了學校組織的數(shù)學興趣小組，在一次數(shù)學活動課上，他們對兩塊大小不等的等腰直角三角板擺放不同的位置，做了如下探究：(1)將兩塊三角板的直角頂點重合，如圖1，在△ACB和△DCE中，∠ACB=∠DCE=90°，AC=BC，DC=CE，當點D在線段AB上時（點D不與點A，B重合），①由題意可得△ACD≌A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS②直接寫出AD與BE的數(shù)量關(guān)系___________．(2)將兩塊三角板的銳角頂點重合，如圖2，在△ACB和△DCE中，∠CAB=∠CDE=90°，AC=AB，CD=DE，點A與線段DE不在同一直線上，（1）中AD與BE的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若不成立，請求出新的數(shù)量關(guān)系；(3)將小三角板的銳角頂點與大三角板的直角頂點重合，如圖3，在△ACB和△EDC中，∠ACB=∠EDC=90°，AC=BC=4，CD=ED．將△EDC繞點C在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，當點D落在邊AB上時，滿足sin∠BCE=55，請直接寫出3．（2023·重慶沙坪壩·二模）等邊△ABC中，點D為直線AB上一動點，連接DC．(1)如圖1，在平面內(nèi)將線段DC繞點C順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到線段CE，連接BE．若D點在AB邊上，且DC=5，tan∠ACD=12(2)如圖2，若點D在AB延長線上，點G為線段DC上一點，點F在CB延長線上，連接FG、AG．在點D的運動過程中，若∠GAF+∠ABF=180°，且FB?BD=AC，猜想線段CG與線段DG之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；(3)如圖3，將△BDC沿直線BC翻折至△ABC所在平面內(nèi)得到△BD'C，M點在AB邊上，且AM=14AB，將MA繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)120°得到線段AN，點H是直線AC上一動點，將△MNH沿直線MH翻折至△MNH所在平面內(nèi)得到△MN'H，在點D題型02銳角三角函數(shù)與四邊形綜合4．（2023·山東青島·一模）【閱讀與思考】我們知道，四邊形具有不穩(wěn)定性，容易變形．如圖1，一個矩形發(fā)生變形后成為一個平行四邊形，設這個平行四邊形相鄰兩個內(nèi)角中較小的一個內(nèi)角為α，我們把1sinα【探究與應用】(1)若矩形發(fā)生變形后的平行四邊形有一個內(nèi)角是120°，則這個平行四邊形的變形度是______；(2)若矩形的面積為S1，其變形后的平行四邊形面積為，試猜想S1，S2(3)如圖2，在矩形ABCD中，E是AD邊上的一點，且AB2=AE?AD，這個矩形發(fā)生變形后為?A1B1C1D1，E1為E的對應點，連接5．（2023·吉林長春·模擬預測）【實踐操作】如圖①，在矩形紙片ABCD中，AB=5cm，AD=3cm，E為邊AB上一點，把△ADE沿著DE折疊得到△A'DE，作射線EA'交射線DC于點F.(1)求證：△A(2)當AE=2cm時，CF=______cm(3)【問題解決】如圖②，在正方形紙片ABCD中，取邊AB中點E，AD=3cm，將△ADE沿著DE折疊得到△A'DE，作射線DA'交邊BC于點G，點F為CD邊中點，P是邊BC上一動點，將△CFP沿著FP折疊得到△C6．（2023·吉林長春·模擬預測）【操作一】如圖①，在正方形ABCD中，點M是AB的中點，MN∥BC交CD于點N．點E是AB邊上的一點，連結(jié)CE，將正方形紙片沿CE所在直線折疊，點B的對應點B'落在MN以下是小明同學的部分解答過程，請你補充完整．解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD∥BC，∠B=∠BCD=∠D=90°，AB=BC=CD．∵MN∥∴MB=NC，∠MNC=∠D=90°∵M是AB的中點，∴MB=1由折疊，得CB=CB∴CN=1在Rt△Bsin∠C∴∠CB【操作二】在圖①的基礎上繼續(xù)折疊，如圖②，點F是CE邊上的一點，連結(jié)AF，將正方形紙片沿AF所在直線折疊，點D的對應點D'落在MN上．求證：△BCE≌△DAF．【應用】在圖②的基礎上，如圖③，G、H分別是CE、AF的中點，順次連接B'、G、D'、H，若AB=2，直接寫出點H、7．（2023·浙江寧波·一模）【基礎鞏固】（1）如圖1，四邊形ABCD是正方形，點E是邊BC上與點B不重合的任意一點，EF=AE，∠AEF=90°，點G是射線BC上一點，求證：∠FCG=45°．證明思路：在AB上截取BK=BE，因為AB=BC，所以AK=CE，請完成接下去的證明；【嘗試應用】（2）如圖2，在矩形ABCD中，點E是邊BC上與B不重合的任意一點，tan∠FCG=EFAE=2，∠AEF=90°，點G是射線BC【拓展提高】（3）如圖3，在矩形ABCD中，點E是邊AD上一點，連結(jié)BE，作∠EFG=∠EBF，使點F，G分別落在邊BC，CD．上．若2BE=5BF，且tan∠CFG=13，求題型03銳角三角函數(shù)與圓綜合8．（2023·廣西梧州·二模）如圖，在△ABC中，O為AC上一點，以點O為圓心，OC為半徑作圓，與BC相切于點C，過點A作AD⊥BO交BO的延長線于點D，且∠AOD=∠BAD．(1)求證：AB為⊙O的切線；(2)若AB=10，sin∠ABC=45，求9．（2023·廣東深圳·模擬預測）已知Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，且tan∠A=34，M為線段AB的中點，作DM⊥AB，點P在線段CB上，點Q在線段AC上，以PQ為直徑的圓始終過點M，且PQ(1)求線段DM的長度；(2)求tan∠PQM的值；(3)當△MPE是等腰三角形時，求出線段AQ的長．10．（2023·浙江杭州·三模）如圖1，三角形ABC內(nèi)接于圓O，點D在圓O上，連接AD和CD，CD交AB于點E，∠ADE+∠CAB=90°(1)求證：AB是直徑；(2)如圖2，點F在線段BE上，AC=AF，∠DCF=45°①求證：DE=DA；②若AB=kAD，用含k的表達式表示cosB．題型04銳角三角函數(shù)與圓及四邊形綜合11．（2023·湖南永州·二模）如圖1，在正方形ABCD中，AC為對角線，點F，H分別在邊AD，AB上，CF=CH，連結(jié)FH交AC于點E．(1)求證：AC平分∠FCH；(2)如圖2，過點A，H，F(xiàn)的圓交CF于點P，連結(jié)PH交AC于點K，求證：KHCH(3)在（2）的條件下，當點K是線段AC的中點時，求cos∠HCF的值．12．（2023·浙江杭州·模擬預測）如圖，在矩形ABCD中，AB=6，AD=9，點E是邊AD上一點，且AE=3，點F在邊AB上，過點B、F、E作圓O，交邊BC或其延長線于G，連接BE，GE，(1)求tan∠FGE的值；(2)若BG=EG，求x的值；(3)若x=2，求弧EF的長；(4)若圓O經(jīng)過矩形的兩個頂點時，直接寫出x的值．（注：sin19°=13，cos13．（2023·江蘇揚州·三模）已知在矩形ABCD中，AB=4,AD=3，點O是邊AB上的一點（不與點A重合），以點O為圓心，OA長為半徑作圓，交射線AB于點G．(1)如圖1，當⊙O與直線BD相切時，求半徑OA的長；(2)當⊙O經(jīng)過點C時，求∠OCB(3)當⊙O與△BCD的三邊有且只有兩個交點時，求半徑OA的取值范圍；題型05銳角三角函數(shù)與圓及三角形綜合14．（2023·江西萍鄉(xiāng)·二模）如圖，AB是⊙O的直徑，點C是圓上的一點，CD⊥AD于點D,AD交⊙O于點F，連接AC，若AC平分∠DAB，過點F作FG⊥AB于點G交AC于點H．(1)求證：CD是⊙O的切線；(2)延長AB和DC交于點E，若AE=4BE，求cos∠DAB(3)在（2）的條件下，求FHAF15．（2023·廣東惠州·一模）如圖，PA是圓O的切線，切點為A，AC是圓O的直徑，連接OP交圓O于E．過A點作AB⊥PO于點D，交圓O于B，連接BC,PB．(1)求證：PO∥BC；(2)求證：PB是圓O的切線；(3)若cos∠PAB=1010，16．（2023·上海寶山·二模）如圖，已知半圓O的直徑AB=4，C是圓外一點，∠ABC的平分線交半圓O于點D，且∠BCD=90°，聯(lián)結(jié)OC交BD于點E．(1)當∠ABC=45°時，求OC(2)當∠ABC=60°時，求OEEC(3)當△BOE為直角三角形時，求sin∠OCB的值．題型06銳角三角函數(shù)與函數(shù)綜合17．（2023·江蘇連云港·二模）在平面直角坐標系中，拋物線L1:y=ax2+x+ca>0與x軸交于(1)求拋物線L1(2)如圖1，點D為直線AC下方拋物線上的一動點，DM⊥AC于點M,DN∥y軸交AC于點N．求線段DM的最大值和此時點D的坐標；(3)如圖2，將拋物線L1:y=ax2+x+c(a>0)沿著x軸向左平移后得到拋物線L2，若點P是拋物線L1與L18．（2023·山東泰安·二模）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)y=ax+ba≠0與反比例函數(shù)y=kx(k≠0且x>0)交于A、B兩點，與x軸、y軸分別交于C、D兩點，連接OA、OB.若OA=213；(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；(2)連接OB，若點P是y軸上一點，且△BOP是以OB為腰的等腰三角形，請直接寫出點P的坐標．19．（2023·山東濟南·二模）如圖，點B坐標為(?1,0)，點A在x軸的正半軸上，四邊形BDEA是平行四邊形，DF⊥x軸于點F，BD=35,tan∠DBA=2，反比例函數(shù)y=kx(1)求反比例函數(shù)解析式及C點坐標；(2)若線段BD上一點P，使得∠DCP=(3)過點C作CG∥y軸，交DE于點G，點M為直線CG上的一個動點，H為反比例函數(shù)上的動點，是否存在這樣的點H、M，使得以C、H、M為頂點的三角形與20．（2023·江蘇宿遷·二模）閱讀下列材料：在九年級下冊“5.2二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)”課時學習中，我們發(fā)現(xiàn)，函數(shù)：y=a(x?k)2+h中a的符號決定圖像的開口方向，a決定圖像的開口大小，為了進一步研究函數(shù)的圖像和性質(zhì)，我們作如下規(guī)定：如圖1，拋物線上任意一點（A）（異于頂點O）到對稱軸的垂線段的長度（AB的長度）叫做這個點的“勾距”，記作m；垂足（B）到拋物線的頂點（O）的距離（BO）叫這個點的“股高”，記作h；點（A）到頂點（O）的距離（AO的長度）叫這個點的“弦長”，記作l；過這個點（A）和頂點（O）的直線（AO）與對稱軸（BO由圖1可得，對于函數(shù)y=ax（1）當勾距m為定值時①h=am2②tanα=1am；偏角隨（如：函數(shù)y=3x2中，當m=1時，h=（2）當偏角α為定值時m=1atan（如：函數(shù)y=x2中，當α=45°時，m=1利用以上結(jié)論，完成下列任務：如圖2：已知以A為頂點的拋物線y1=12x?22與y軸相交于點B，若拋物線y2=ax?b2的頂點也是(1)函數(shù)y=2x2中，①當m=1時，h=________，②當α=60°時，(2)如圖2：以A2,0為頂點作拋物線：y1=12x?22和y2=ax?b2,y①當a>12時，設S=AC?OD，隨a的取值不同，S的值是否發(fā)生改變，如果不變，請求出S的值，如果發(fā)生改變，請直接寫出②若點M在拋物線y1上，直線AM與y2的另一個交點為N，記△BAM的面積為S1，△CAN的面積為S2，若題型0712345模型21．（2023·廣東深圳·二模）如圖，A，B，C，D是邊長為1的小正方形組成的6×5網(wǎng)格中的格點，連接BD交AC于點E，連接EF．給出4個結(jié)論：①BF=EF；②∠ABE=∠CEF；③tan∠AED=2；④CA?CE=10．其中正確的是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④22．（2023·河南鄭州·三模）如圖，把矩形紙片OABC放入平面直角坐標系中，使OA、OC分別落在x軸、y軸上，連接OB將紙片沿OB折疊，使A落在A'的位置，OB=5,tan∠BOC=1A．?35,45 B．?423．（2022·江蘇無錫·一模）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，則tan∠PAB+tan∠PBA=，∠PAB+∠PBA=°（點A，B，P是網(wǎng)格線交點）．24．（2023九年級下·江蘇·專題練習）如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線AB的解析式為y=?x+m分別交x軸，y軸于A，B兩點，已知點C(2,0)．（1）當直線AB經(jīng)過點C時，m=；（2）設點P為線段OB的中點，連接PA，PC，若∠CPA=∠ABO，則m的值是．題型08銳角三角形應用-仰角俯角問題25．（2024·江蘇南京·模擬預測）今年除夕夜小李和亮亮相約去看煙花，并測量煙花的燃放高度，如圖，小李從B點出發(fā)，沿坡度i=5:12的山坡BA走了260米到達坡頂A點，亮亮則沿B點正東方向到達離A點水平距離80米的C點觀看，此時煙花在與B、C同一水平線上的點D處點燃，一朵朵燦爛的煙花在點D的正上方E點綻放，小李在坡頂A處看煙花綻放處E的仰角為45°，亮亮在C處測得E點的仰角為60°，（點A、B、C、D、E在同一平面內(nèi)）．煙花燃放結(jié)束后，小李和亮亮來到煙花燃放地幫忙清理現(xiàn)場的垃圾，他們清理時發(fā)現(xiàn)剛才燃放的煙花盒子上的說明書寫著煙花的燃放高度為430±5米，請你幫他們計算一下說明書寫的煙花燃放高度（圖中DE）是否屬實？（參考數(shù)據(jù)：2≈1.414，326．（2024·江蘇南京·一模）如圖，山頂有一塔AB，在塔的正下方沿直線CD有一條穿山隧道EF，從與E點相距80m的C處測得A，B的仰角分別為27°，22°．從與F點相距50m的D處測得A的仰角為45°．若隧道EF的長為323m，求塔AB的高．（參考數(shù)據(jù)：tan22°≈0.40，tan27．（2024·陜西商洛·一模）數(shù)學興趣小組在“測量教學樓高度”的活動中，設計并實施了以下方案：課題測量教學樓AB的高度測量方案示意圖測得數(shù)據(jù)CD=4.7?m，∠ACG=22°，說明圖上所有點均在同一平面內(nèi)參考數(shù)據(jù)sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，sin13°≈0.22，cos13°≈0.97請你依據(jù)此方案，求教學樓AB的高度．（結(jié)果保留整數(shù)）28．（2024·陜西西安·三模）某校“綜合與實踐”活動小組的同學要測量兩座樓之間的距離，他們借助無人機設計了如下測量方案：無人機在兩樓之間上方的點O處，點O距地面AC的高度為60m，此時觀測到樓AB底部點A處的俯角為70°，樓CD上點E處的俯角為30°，沿水平方向由點O飛行24m到達點F，測得點E處俯角為60°，其中點A，B，C，D，E，F(xiàn)，O均在同一豎直平面內(nèi)．請根據(jù)以上數(shù)據(jù)求樓AB與CD之間的距離AC的長．（結(jié)果精確到1m，參考數(shù)據(jù)：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan題型09銳角三角形應用-方位角問題29．（2023·貴州貴陽·模擬預測）如圖，為了測量河對岸A，B兩點間的距離，數(shù)學興趣小組在河岸南側(cè)選定觀測點C，測得A，B均在C的北偏東37°方向上，沿正東方向行走100米至觀測點D，測得A在D的正北方向，B在D的北偏西53°方向上．求A，B兩點間的距離（精確度到1米）．參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．sin53°≈0.8030．（2023·重慶·模擬預測）如圖，四邊形ABCD是某公園內(nèi)的休閑步道．經(jīng)測量，點B在點A的正東方向，AB=100米，點C在點B的正北方向，點D在點A的西北方向，AD=2002米，點D在點C的南偏西60°方向上．（參考數(shù)據(jù)：2(1)求步道BC的長度；（精確到個位）(2)甲以90米/分的速度沿A→B→C→D的方向步行，同時乙騎自行車以300米/分的速度沿A→B→C→D的方向行駛．兩人能否在3分鐘內(nèi)相遇？請說明理由．31．（2023·重慶·模擬預測）如圖，一艘巡邏船以每小時50海里的速度從正北向正南方向進行巡邏，在點A處測得碼頭C在其南偏東60°方向上，繼續(xù)向正南方向航行2小時到達點B處，測得碼頭C在其北偏東30°方向上．(1)求此時巡邏船所在點B處與碼頭C的距離；（結(jié)果保留根號）(2)巡邏船在點B處發(fā)現(xiàn)其南偏東75°方向上的點D處有一只正在非法捕魚的漁船，于是立即調(diào)整方向以原速朝著點D處行駛，同時，巡邏船與?？吭诖a頭C的海監(jiān)船取得聯(lián)系，漁船在碼頭C的南偏東15°方向上，海監(jiān)船得到命令后整理裝備用時10分鐘，然后以每小時80海里的速度朝漁船行駛．求海監(jiān)船從碼頭C到達漁船所在的點D處的時間；并據(jù)此判斷海監(jiān)船能否比巡邏船提前到達D處．（結(jié)果精確到百分位，參考數(shù)據(jù)：2≈1.41,32．（2024·重慶·一模）如圖，車站A在車站B的正西方向，它們之間的距離為100千米，修理廠C在車站B的正東方向．現(xiàn)有一輛客車從車站B出發(fā)，沿北偏東45°方向行駛到達D處，已知D在A的北偏東60°方向，D在C的北偏西30°方向．(1)求車站B到目的地D的距離（結(jié)果保留根號）(2)客車在D處準備返回時發(fā)生了故障，司機在D處撥打了救援電話并在原地等待，一輛救援車從修理廠C出發(fā)以35千米每小時的速度沿CD方向前往救援，同時一輛應急車從車站A以60千米每小時的速度沿AD方向前往接送滯留乘客，請通過計算說明救援車能否在應急車到達之前趕到D處．（參考數(shù)據(jù)：2≈1.41,題型10銳角三角形應用-坡度坡角問題33．（2024·河南周口·一模）2024年春節(jié)前夕，哈爾濱旅游市場的火熱帶動了全國“冰雪旅游”的繁榮，某地準備依山建設一個滑雪場帶動本地旅游的發(fā)展．如圖，小山AB的山腰CN上有一個平臺CD長為45m，從點C看山頂A的仰角為63°，山坡DE的坡度為i=1:2.4，該地準備利用斜坡DE建設一個滑雪場，且DE的長度為390m，若點D到地面BE的垂線段與BN構(gòu)成的四邊形恰好為正方形時，且圖中各點均在一個平面內(nèi)，求小山AB的高度．（精確到整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：sin63°≈0.89，cos63°≈0.45，34．（2024·廣東江門·一模）甲、乙兩人去登山，甲從小山西邊山腳B處出發(fā)，已知西面山坡的坡度i1=1:3（坡度：坡面的垂直高度與水平長度的比，即tanB=1:3）．同時，乙從東邊山腳C處出發(fā)，東面山坡的坡度(1)求甲、乙兩人出發(fā)時的水平距離BC．(2)已知甲每分鐘比乙多走10米．兩人同時出發(fā)，并同時達到山頂A．求：甲、乙兩人的登山速度．35．（2024·四川達州·模擬預測）如圖為某單位地下停車庫入口處的平面示意圖，在司機開車經(jīng)過坡面即將進入車庫時，在車庫入口CD的上方BC處會看到一個醒目的限高標志，現(xiàn)已知圖中BC高度為0.5m，AB寬度為9m，坡面的坡角為30°．3≈1.73(1)根據(jù)圖1求出入口處頂點C到坡面的鉛直高度CD；(2)圖2中，線段CE為頂點C到坡面AD的垂直距離，現(xiàn)已知某貨車高度為3.9米，請判斷該車能否進入該車庫停車？36．（2023·山東青島·模擬預測）我國南水北調(diào)中線工程的起點是丹江水庫，按照工程計劃，需對原水庫大壩進行混凝土加高，使壩高由原來的162米增加到173米，以抬高蓄水位．如圖是某一段壩體加高工程的截面示意圖，其中原壩體的高為BE，背水坡坡角∠BAE=68°，新壩體的高為DE，背水坡坡角∠DCE=60°．求工程完工后背水坡坡底端水平方向增加的寬度AC．（結(jié)果精確到1米．參考數(shù)據(jù)：sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，tan68°≈2.50題型11銳角三角形應用-與不易測量相關(guān)問題37．（2024·安徽合肥·一模）如圖，為了測量湖泊東西方向的距離AB，測繪員在湖泊正東方向的D處（B，A，D在同一直線上）利用無人機升空測量，當無人機恰好在點D的正上方C處時，測得湖泊東岸A的俯角∠ECA為65°，測得湖泊西岸B的俯角∠ECB為22°，此時無人機距離地面的高度CD為200m，求湖泊東西方向的距離AB．（sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin22°≈0.37，38．（2024·浙江溫州·一模）【問題背景】一旗桿直立（與水平線垂直）在不平坦的地面上（如圖1）．兩個學習小組為了測量旗桿的高度，準備利用附近的小山坡進行測量估算．【問題探究】如圖2，在坡角點C處測得旗桿頂點A的仰角∠ACE的正切值為2，山坡上點D處測得頂點A的仰角∠ADG的正切值為79，斜坡CD的坡比為34，兩觀測點CD的距離為學習小組成員對問題進行如下分解，請?zhí)剿鞑⑼瓿扇蝿眨?）計算C，D兩點的垂直高度差．（2）求頂點A到水平地面的垂直高度．【問題解決】為了計算得到旗桿AB的高度，兩個小組在共同解決任務1和2后，采取了不同的方案：小組一：在坡角點C處測得旗桿底部點B的仰角∠BCE的正切值為25小組二：在山坡上點D處測得旗桿底部點B的俯角∠GDB的正切值為19（3）請選擇其中一個小組的方案計算旗桿AB的高度．39．（2023·海南海口·二模）小明學了《解直角三角形》內(nèi)容后，對一條東西走向的隧道AB進行實地測量．如圖所示，他在地面上點C處測得隧道一端點A在他的北偏東15°方向上，他沿西北方向前進1003米后到達點D，此時測得點A在他的東北方向上，端點B在他的北偏西60°(1)填空：∠BAC=________°，∠ADC=________°；(2)求點D到點A的距離；(3)求隧道AB的長．（結(jié)果保留根號）題型12銳角三角形應用-與可調(diào)節(jié)的滑動懸桿問題40．（2024·遼寧盤錦·一模）圖1是一臺實物投影儀，圖2是它的示意圖，折線B?A?O表示固定支架，AO垂直水平桌面OE于點O，點B為旋轉(zhuǎn)點，BC可轉(zhuǎn)動，當BC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)時，投影探頭CD始終垂直于水平桌面OE，經(jīng)測量：AO=6.4cm，CD=8cm，AB=40cm（參考數(shù)據(jù)：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，sin(1)如圖2，∠ABC=70°，BC∥①填空：∠BAO=_____°；②投影探頭的端點D到桌面OE的距離為_____cm．(2)如圖3，將（1）中的BC向下旋轉(zhuǎn)，當∠ABC=30°時，求投影探頭的端點D到桌面OE的距離．41．（2023·四川成都·模擬預測）桌面上的某創(chuàng)意可折疊臺燈的實物圖如圖①所示，將其抽象成圖②，經(jīng)測量∠BCD=70°，∠CDE=155°，燈桿CD的長為30cm，燈管DE的長為20cm，底座AB的厚度為3cm．不考慮其它的因素，求臺燈的高（點E到桌面的距離）．（結(jié)果精確到1cm；參考數(shù)據(jù)：2≈1.4142．（23-24九年級下·江蘇蘇州·階段練習）有一種可折疊臺燈，它放置在水平桌面上，圖1是臺燈的平面示意圖，其中點B，E，D均為可轉(zhuǎn)動點，現(xiàn)測得AB=BE=ED=CD=18cm(1)求放置最平穩(wěn)時燈座CD與燈桿DE的夾角的大小；(2)當A點到水平桌面（CD所在直線）的距離為42cm?43cm時，臺燈光線最佳，能更好的保護視力．若臺燈放置最平穩(wěn)時，將∠ABE調(diào)節(jié)到105°，試通過計算說明此時光線是否為最佳．（參考數(shù)據(jù)：sin15°=0.26，cos15°=0.97，tan15°=0.27模擬集訓（時間：60分鐘）一、單選題1．（2024·遼寧盤錦·模擬預測）點PsinA．12,?1 B．?12,12．（2023·浙江溫州·模擬預測）如圖，飛行員在空中觀察地面的區(qū)域是一個圓，當觀察角度為50°，飛機的飛行高度為1000米時，觀察區(qū)域的半徑是（

）米．A．1000tan25° B．1000tan25° C．3．（2024·山西大同·一模）中考新考法：真實問題情境·實物，如圖是橢圓機在使用過程中某時刻的側(cè)面示意圖，已知手柄AD⊥滾輪連桿AB，且AD=20cm,AB=160cm，連桿AB與底坐BC的夾角為60°，則該橢圓機的機身高度（點DA．802cm C．802+20cm 4．（2023·安徽·模擬預測）如圖，AB為半圓O的直徑，點O為圓心，點C是弧上的一點，沿CB為折痕折疊BC交AB于點M，連接CM，若點M為AB的黃金分割點（BM>AM），則sin∠BCM的值為（）A．5?12 B．5+12 C．5．（2023·廣東深圳·模擬預測）如圖，在菱形ABCD中，AD=5，tanB=2，E是AB上一點，將菱形ABCD沿DE折疊，使B、C的對應點分別是B'、C'，當∠BEB'=90°時，則點CA．5+5 B．25+2 C．66．（2023·浙江杭州·二模）如圖，已知△ABC內(nèi)接于⊙O，∠BAC=θ0<θ<60°，BC=6，點P為△ABC的重心，當點A到BC的距離最大時，線段POA．1tanθ?2C．tanθ?2sinθ 7．（22-23九年級上·浙江溫州·階段練習）如圖，已知正方形ABCD和正方形BEFG，且A、B、E三點在一條直線上，連接CE，以CE為邊構(gòu)造正方形CPQE，PQ交AB于點M，連接CM．設∠APM=α，∠BCM=β．若點Q、B、F三點共線，tanα=ntanβ，則n的值為（

）A．23 B．35 C．67二、填空題8．（2024·浙江溫州·一模）如圖，⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD，AD∥BC，⊙O的直徑AE與BC交于點F，連接BD．若AE∥CD，sin∠DBC=23，9．（2024·安徽合肥·一模）如圖，在四邊形ABCD中，BC⊥DC，點E是四邊形外一點，連接CE交AD于點F，O在CE上，連接OA（1）若∠E=25°，則∠BCE=°（2）若OA=13，OC=10，則10．（2024·浙江·模擬預測）如圖，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，若點E，F(xiàn)分別在邊AC和邊BC上，沿直線EF將△CEF翻折，使點C落于△ABC所在平面內(nèi)，記為點D．直線CD交AB（1）若CF落在邊AB上，則AGGB=（2）若AGGB=λ，則tan∠CEF=11．（2024·江西·一模）如圖，已知過點A?23,0的直線y=kx+2與反比例函數(shù)y=mx(x>0)的圖象交于點B3,3，連接OB，將△AOB繞著點三、解答題12．（2023·重慶萬州·模擬預測）萬州二中教育集團數(shù)學愛好者小藝為測量教學樓對面的大樓AB的高度，她先到達教學樓FH頂部的休閑區(qū)點C的位置，看到對面大樓AB頂端的視線與水平線的夾角為38.7°，然后沿長5米、坡度為3：4的斜坡CD到達斜坡頂端，再向前走2米到達教學最邊緣的觀測點E處，看到對面大樓AB底端的視線與水平線的夾角為45°，已知大樓底部和教學樓底部在同一水平面上，目高1.5米，教學樓FH高為9米．（參考數(shù)據(jù)：sin38.7°≈0.63，cos38.7°≈0.78，tan38.7°≈0.80）(1)求教學樓FH與對面大樓AB的水平距離BF的長；(2)求對面大樓AB的高．13．（2023·浙江衢州·模擬預測）在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，點E在射線BC上，連接AE，點B關(guān)于直線AE的對稱點為B'，連接AB'(1)如圖1，當B'E經(jīng)過點D時，求證：(2)如圖2，當E為BC的中點，連結(jié)B'C，求(3)當CE=13BC時，求△A14．（2024·河北邢臺·一模）如圖1，四邊形ABCD中，∠A=90°，AD=6，AB=8，BD為四邊形ABCD的對角線，sin∠BDC=2(1)求點B到DC的距離；(2)如圖2，點E在AD邊上，且AE=4．以B為圓心，BC長為半徑作⊙B，點F為⊙B上一點，連接EF交AB于P．tanC=4①當EF與⊙B相切時，求EF的長；②當EF∥AB時，直接寫出EF的長．

專題08銳角三角形及其應用（解析版）目錄TOC\o"1-3"\n\h\z\u真題演練題型01銳角三角函數(shù)與三角形綜合題型02銳角三角函數(shù)與四邊形綜合題型03銳角三角函數(shù)與圓綜合題型04銳角三角函數(shù)與圓及四邊形綜合題型05銳角三角函數(shù)與圓及三角形綜合題型06銳角三角函數(shù)與函數(shù)綜合題型0712345模型題型08銳角三角形應用-仰角俯角問題題型09銳角三角形應用-方位角問題題型10銳角三角形應用-坡度坡角問題題型11銳角三角形應用-與不易測量相關(guān)問題題型12銳角三角形應用-與可調(diào)節(jié)的滑動懸桿問題模擬集訓

真題演練題型01銳角三角函數(shù)與三角形綜合1．（2023·廣東深圳·模擬預測）如圖，在銳角三角形ABC中，tanA=3,BC=5，線段BD?CE分別是AC?【答案】5316【分析】利用特殊角的三角函數(shù)值求得∠A的度數(shù)，利用三角形的高的意義求得∠ACE=∠ABD=30°，利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)定理得到S△ADE=14S△ABC，作出△ABC的外接圓，得出當點A為優(yōu)BC的中點時，BC邊上的高最大，即【詳解】解：∵tan∠A=∴∠A=60°，∵BD、CE分別是AC、AB邊上的高線，∴CE⊥AB,BD⊥AC，∴∠ACE=∠ABD=30°，∴AD=1∴AE∵∠A=∠A，∴△ADE～△ABC，∴S∴S∴當△ABC面積最大時，三角形ADE面積有最大值，作出△ABC的外接圓，如圖，

點A為優(yōu)弧BC上的點，且∠A=60°，∵BC=5∴當點A為優(yōu)BC的中點時，BC邊上的高最大，即△ABC的面積最大，此時AB=AC，∴△ABC為等邊三角形，∵S△ABC∴三角形ADE面積的最大值是53故答案為53【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形的應用，直角三角形的邊角關(guān)系定理，特殊角的三角函數(shù)值，利用三角形的性質(zhì)求得△ABC的面積的最大值是解題的關(guān)鍵．2．（2023·河南南陽·三模）小明參加了學校組織的數(shù)學興趣小組，在一次數(shù)學活動課上，他們對兩塊大小不等的等腰直角三角板擺放不同的位置，做了如下探究：(1)將兩塊三角板的直角頂點重合，如圖1，在△ACB和△DCE中，∠ACB=∠DCE=90°，AC=BC，DC=CE，當點D在線段AB上時（點D不與點A，B重合），①由題意可得△ACD≌A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS②直接寫出AD與BE的數(shù)量關(guān)系___________．(2)將兩塊三角板的銳角頂點重合，如圖2，在△ACB和△DCE中，∠CAB=∠CDE=90°，AC=AB，CD=DE，點A與線段DE不在同一直線上，（1）中AD與BE的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若不成立，請求出新的數(shù)量關(guān)系；(3)將小三角板的銳角頂點與大三角板的直角頂點重合，如圖3，在△ACB和△EDC中，∠ACB=∠EDC=90°，AC=BC=4，CD=ED．將△EDC繞點C在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，當點D落在邊AB上時，滿足sin∠BCE=55，請直接寫出【答案】(1)①B；②AD=BE(2)不成立，見解析(3)2或3【分析】（1）①根據(jù)∠ACB=∠DCE=90°可推出∠ACD=∠BCE，即可根據(jù)SAS證明△ACD≌（2）根據(jù)題意可得∠DCE=∠ACB=45°，CBCA=2，CECD=（3）連接BF，過點E作EF⊥AB于點F，分兩種情況進行討論即可：①當∠BCE在BC左邊時，②當∠BCE在BC右邊時．【詳解】（1）解：①∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACB?∠DCB=∠DCE?∠DCB，即∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，AC=AB∠ACD=∠BCE∴△ACD≌②由①可得△ACD≌∴AD=BE；（2）解：不成立．∵△CDE和△CAB都是等腰直角三角形，∴∠DCE=∠ACB=45°，CBCA=2∴∠ACB?∠DCB=∠DCE?∠DCB．∴∠ACD=∠BCE，CBCA∴△ACD∽∴BEAD即BE=2故（1）中BE和AD的數(shù)量關(guān)系不存在；（3）解：連接BF，過點E作EF⊥AB于點F，①當∠BCE在BC左邊時，∵∠ACB=∠EDC=90°，AC=BC，CD=ED，∴∠CED=∠CBD=45°，∴點C，D，E，B四點共圓，∴∠DBE=∠DCE=45°，∠BCE=∠BDE，∵∠EDC=90°，∴∠CBE=180°?∠EDC=90°，∴sin∠BCE=BE設BE=5在Rt△BCE中，根據(jù)勾股定理可得B則42解得：k1=255∴BE=2,CE=4，∵∠DBE=45°，EF⊥AB，∴BF=BE?cos45°=2，則∵∠BCE=∠BDE，∠CBE=∠DFE=90°，∴△CBE=△DFE，∴EFBE=DF解得：DF=22∵AC=BC=4，∴AB=A∴AD=AB?DF?BF=42

②當∠BCE在BC右邊時，同理可得：DF=22，BF=EF=∴AD=AB?DF?BF

綜上：AD的長為2或32【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)定理和性質(zhì)，正確畫出輔助線，根據(jù)題意進行分類討論．3．（2023·重慶沙坪壩·二模）等邊△ABC中，點D為直線AB上一動點，連接DC．(1)如圖1，在平面內(nèi)將線段DC繞點C順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到線段CE，連接BE．若D點在AB邊上，且DC=5，tan∠ACD=12(2)如圖2，若點D在AB延長線上，點G為線段DC上一點，點F在CB延長線上，連接FG、AG．在點D的運動過程中，若∠GAF+∠ABF=180°，且FB?BD=AC，猜想線段CG與線段DG之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；(3)如圖3，將△BDC沿直線BC翻折至△ABC所在平面內(nèi)得到△BD'C，M點在AB邊上，且AM=14AB，將MA繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)120°得到線段AN，點H是直線AC上一動點，將△MNH沿直線MH翻折至△MNH所在平面內(nèi)得到△MN'H，在點D【答案】(1)2(2)見解析(3)21【分析】（1）作DF⊥AC，求出DF長，再求出AD，證明△ACD≌△BCE，BE=AD即可；（2）作DE∥AC，交AG的延長線于點E，由條件∠FAB=∠E，AC=DE，再證明出△FAB≌△ADE，得到DE=AB=AC，再證出△DHE≌△AGC，即可證明出結(jié)論；（3）判斷出點D'在過B且平行于BC的直線上，點N'定在以M為圓心，MN為半徑的⊙M上，連接DN'，作直線MD'，交NH于F，作DE⊥MD'于【詳解】（1）解：如圖1，作DF⊥AC于點F，

∵tan∠ACD=1∴CF=2DF，∵DC=5∴DF∴DF=1，CF=2，∵∠A=60°，∴AD=DF∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACD=∠BCE，∵AC=BC，DC=EC，∴△ACD≌△BCE(SAS)∴BE=AD=23（2）DG=CG．如圖2，作DE∥AC，交AG的延長線于點E，

∵∠GAF+∠ABF=180°，∴∠GAF=60°，即∠FAB+∠DAG=60°，∵DE∥∴∠ADE=120°，即∠E+∠DAG=60°，∴∠FAB=∠E，∵FB?BD=AC，∴FB=BD+AC=BD+AB=AD，∵∠FBA=∠ADE=120°，∴△FAB≌△ADE(AAS)∴AB=DE，∴AC=DE，∵AC∥DE，∴∠E=∠GAC，∵∠DGE=∠AGC，∴△DHE≌△AGC(AAS)∴DG=CG；（3）如圖3，若將△BDC沿直線BC翻折得到△BD'C∴點D'在過B且平行于BC將△MNH沿直線MH翻折得到△MN'H∴點N'定在以M為圓心，MN為半徑的⊙M過M作MD'⊥BD'于D則D'連接DD'，作直線MD'，交NH于F，作

由題得點H在⊙M上，且MF⊥NH，∵AM=14AB，AB=4∴AM=1=AN，∵∠MAF=60°，∴MF=AMsin30°=32由折疊得，∠MHN=∠MHN∴FH=MF∴N∵MB=3∴MD∴D∠D∴MD∵∠DD∴D∴EN∴EF=11∴SS△DES△∴S【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、三角形全等等知識點的綜合應用，解直角三角形、點的軌跡的判斷、直線與圓的位置關(guān)系是解題關(guān)鍵．題型02銳角三角函數(shù)與四邊形綜合4．（2023·山東青島·一模）【閱讀與思考】我們知道，四邊形具有不穩(wěn)定性，容易變形．如圖1，一個矩形發(fā)生變形后成為一個平行四邊形，設這個平行四邊形相鄰兩個內(nèi)角中較小的一個內(nèi)角為α，我們把1sinα【探究與應用】(1)若矩形發(fā)生變形后的平行四邊形有一個內(nèi)角是120°，則這個平行四邊形的變形度是______；(2)若矩形的面積為S1，其變形后的平行四邊形面積為，試猜想S1，S2(3)如圖2，在矩形ABCD中，E是AD邊上的一點，且AB2=AE?AD，這個矩形發(fā)生變形后為?A1B1C1D1，E1為E的對應點，連接【答案】(1)2(2)1sinα(3)45°【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到α=60°，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論；（2）如圖1，設矩形的長和寬分別為a，（3）由已知條件得到△B1A1E1∽△D1【詳解】（1）解：∵平行四邊形有一個內(nèi)角是120°，∴α=60°，∴1sinα故答案為：23（2）解：1sinα如圖1，設矩形的長和寬分別為a，b，變形后的平行四邊形的高為h，∴S∴S則1sinα（3）解：如圖2，∵AB∴A1B1∵∠B∴△B∴∠∵A1∴∠∴∠由（2）知，1sinα可知1sin∴sin∠∴∠A∴∠A【點睛】本題考查了相似綜合題，需要掌握平行四邊形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，三角函數(shù)的定義，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識點，正確的理解“變形度”的定義是解題的關(guān)鍵．5．（2023·吉林長春·模擬預測）【實踐操作】如圖①，在矩形紙片ABCD中，AB=5cm，AD=3cm，E為邊AB上一點，把△ADE沿著DE折疊得到△A'DE，作射線EA'交射線DC于點F.(1)求證：△A(2)當AE=2cm時，CF=______cm(3)【問題解決】如圖②，在正方形紙片ABCD中，取邊AB中點E，AD=3cm，將△ADE沿著DE折疊得到△A'DE，作射線DA'交邊BC于點G，點F為CD邊中點，P是邊BC上一動點，將△CFP沿著FP折疊得到△C【答案】(1)見解析(2)7(3)3【分析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的中位線定理，等腰三角形的性質(zhì)和判定，翻折變換，銳角三角函數(shù)，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握折疊的性質(zhì)．（1）根據(jù)AAS可證明：△A（2）設EH=xcm（3）如圖②，連接CC'，EG，根據(jù)對稱和等腰三角形的性質(zhì)可得△DCC'是直角三角形，由三角形中位線定理得P是CG的中點，設【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∠A=90°，∴AD⊥AB，∵FH⊥AB，∴FH=AD，由折疊得：AD=A'D∴∠DA'F=∠EHF=90°∵AB∥CD，∴∠HEF=∠DFA∴△A'DF（2）解：設EH=xcm，∵△A'DF∴A∵AE=A∴EF=x+2在Rt△EHF中，E∴(x+2)∴x=5∴CF=BH=5?2?5故答案為：74（3）解：如圖②，連接CC'，∵CC'關(guān)于∴CC'⊥FP∵F是CD的中點，∴DF=CF，∴DF=CF=C∴△DCC∴CC∴DG∥FP，∵F為CD的中點，∴P是CG的中點，∵E為AB的中點，AD=3，∴A'E=AE=BE=設BG=ycm，則EG∵∠B=∠EA'G=90°，EB=∴Rt△EBG≌Rt∴BG=A在Rt△DGC∵DG∴(y+3)∴y=3∴CG=3?3∴CP=9∴tan∠CFP=故答案為：346．（2023·吉林長春·模擬預測）【操作一】如圖①，在正方形ABCD中，點M是AB的中點，MN∥BC交CD于點N．點E是AB邊上的一點，連結(jié)CE，將正方形紙片沿CE所在直線折疊，點B的對應點B'落在MN以下是小明同學的部分解答過程，請你補充完整．解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD∥BC，∠B=∠BCD=∠D=90°，AB=BC=CD．∵MN∥∴MB=NC，∠MNC=∠D=90°∵M是AB的中點，∴MB=1由折疊，得CB=CB∴CN=1在Rt△Bsin∠C∴∠CB【操作二】在圖①的基礎上繼續(xù)折疊，如圖②，點F是CE邊上的一點，連結(jié)AF，將正方形紙片沿AF所在直線折疊，點D的對應點D'落在MN上．求證：△BCE≌△DAF．【應用】在圖②的基礎上，如圖③，G、H分別是CE、AF的中點，順次連接B'、G、D'、H，若AB=2，直接寫出點H、【答案】【操作一】B'C，30【分析】[操作一]由所給證明過程可推導得出答案；[操作二]先由①得∠CB'N=30°，進一步證明∠BCB'=∠CB'N=30°，再由折疊可得∠BCE=∠B'CE，[應用]先根據(jù)△BCE≌△DAF，證明BE=DF和CE=AF，以及AE=CF，進一步證明四邊形AECF是平行四邊形，以及四邊形AEGH是平行四邊形，得到GH=AE，再設GH=AE=x，則B'E=BE=AB?AE=2?x，得到ME=EB'?cos∠MEB'=2?x?32，再根據(jù)M是AB【詳解】解：[操作一]∵四邊形ABCD是正方形，∴AD//BC，∠B=∠BCD=∠D=90°，AB=BC=CD，∵MN∥∴MB=NC，∠MNC=∠D=90°，∵M是AB的中點，∴MB=1由折疊，得CB=CB∴CN=1在Rt△Bsin∠C∴∠CB故答案為：B'C，[操作二]∵MN∥∴∠BCB由折疊可得∠BCE=∠B'CE，BE=∴∠BCE=∠B同理∠DAF=∠D∴∠BCE=∠DAF，在△BCE和△DAF中，∠BCE=∠DAFBC=AD∴△BCE≌△DAFASA[應用]如圖，連接HG，∵△BCE≌△DAF，∴BE=DF，CE=AF，∴AE=CF，∴四邊形AECF是平行四邊形，∴CE∥∵G、H分別是CE、AF的中點，∴EG=AH，∴四邊形AEGH是平行四邊形，∴GH=AE，設GH=AE=x，則B'E=BE=AB?AE=2?x，∵∠CB∴∠CB∵∠MEB∴∠MEB∵MN⊥AB，∴ME=EB∵M是AB的中點，∴AM=1∴EM=AE?AM=x?1，∴2?x解得x=23即點H、G之間的距離為23【點睛】本題考查了正方形、矩形、平行四邊形性在應用，勾股定理的計算及三角形全等的證明是解題關(guān)鍵．7．（2023·浙江寧波·一模）【基礎鞏固】（1）如圖1，四邊形ABCD是正方形，點E是邊BC上與點B不重合的任意一點，EF=AE，∠AEF=90°，點G是射線BC上一點，求證：∠FCG=45°．證明思路：在AB上截取BK=BE，因為AB=BC，所以AK=CE，請完成接下去的證明；【嘗試應用】（2）如圖2，在矩形ABCD中，點E是邊BC上與B不重合的任意一點，tan∠FCG=EFAE=2，∠AEF=90°，點G是射線BC【拓展提高】（3）如圖3，在矩形ABCD中，點E是邊AD上一點，連結(jié)BE，作∠EFG=∠EBF，使點F，G分別落在邊BC，CD．上．若2BE=5BF，且tan∠CFG=13，求【答案】（1）見解析；（2）12；（3）【分析】（1）先證明∠BAE=∠CEF，證明△EAK≌△FECSAS，得出∠AKE=∠ECF，進而可得∠FCG=∠BKE=45°（2）作∠AEM=∠F，交線段AB于點M，證明△AEM∽△EFC，得出AMEC=AE（3）過點G作∠FGH=∠EFG，即EF∥GH．△EBF∽△FGH，得出GHFG=BFBE=25，設CG=a【詳解】證明：（1）∵∠AEF=90°．∴∠AEB+∠CEF=90°，又∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，∴∠AEB+∠BAE=90°，∴∠BAE=∠CEF．在△EAK和△FEC中，AE=EF∠KAE=∠CEF∴△EAK≌△FECSAS∴∠AKE=∠ECF，∵BK=BE，∠B=90°，∴∠FCG=∠BKE=45°．（2）作∠AEM=∠F，交線段AB于點M．∵∠AEF=90°．∴∠AEB+∠CEF=90°．又∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，AD=BC，∴∠AEB+∠BAE=90°，∴∠BAE=∠CEF，∴△AEM∽△EFC，∴AMEC又∴∠BME=∠FCG，∴BE∴AB（3）如圖，過點G作∠FGH=∠EFG，即EF∥GH．∴∠BFE=∠GHF，∵∠EFC=∠EFG+∠GFC=∠EBF+∠BEF∵∠EFG=∠EBF∴∠BEF=∠GFC，∴△EBF∽△FGH，∴GH∵tan∠CFG=設CG=a，則CF=3a，F(xiàn)G=10則GH=2∴sin∠EFC=sin∠GHC=【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形性質(zhì)與判定，解直角三角形，矩形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．題型03銳角三角函數(shù)與圓綜合8．（2023·廣西梧州·二模）如圖，在△ABC中，O為AC上一點，以點O為圓心，OC為半徑作圓，與BC相切于點C，過點A作AD⊥BO交BO的延長線于點D，且∠AOD=∠BAD．(1)求證：AB為⊙O的切線；(2)若AB=10，sin∠ABC=45，求【答案】(1)見解析(2)AD的長為2【分析】（1）作OE⊥AB于點E，由∠AOD=∠BAD得到∠CBD=∠ABD，根據(jù)角平分線定理，即可得到OC=OE，即可得證，（2）先根據(jù)銳角三角函數(shù)，求出AC、BC的長，由S△AOB+S△COB=S△ABC，可求OC本題考查了切線的性質(zhì)與判定，角平分線定理，銳角三角函數(shù)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是：熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理．【詳解】（1）證明：作OE⊥AB于點E，則∠OEA=∠OEB=90°，∵⊙O與BC相切于點C，∴BC⊥OC，∵AD⊥BO交BO的延長線于點D，∴∠C=∠D=90°，∵∠CBD+∠BOC=90°，∠OAD+∠AOD=90°，∠BOC=∠AOD，∴∠CBD=∠OAD，∵∠AOD=∠BAD，∴∠ODA=180°?∠AOD?∠D=180°?∠BAD?∠D=∠ABD，∴∠CBD=∠ABD，∴OC=OE，∴點E在⊙O上，∵OE是⊙O的半徑，且AB⊥OE，∴AB是⊙O的切線，（2）解：∵ACAB=sin∠ABC=∴AC=4∴BC=A∵S△AOB∴12∴12∴OC=3，∴OA=AC?OC=8?3=5，OB=B∵ABOA∴AD=OA?BC9．（2023·廣東深圳·模擬預測）已知Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，且tan∠A=34，M為線段AB的中點，作DM⊥AB，點P在線段CB上，點Q在線段AC上，以PQ為直徑的圓始終過點M，且PQ(1)求線段DM的長度；(2)求tan∠PQM的值；(3)當△MPE是等腰三角形時，求出線段AQ的長．【答案】(1)15(2)4(3)258【分析】（1）在Rt△AMD中，AM=12（2）證明∠ACM=∠A=∠QPM，然后根據(jù)等角的三角函數(shù)值相等即可求解；（3）證明△AMQ∽△PME，故當△MPE是等腰三角形時，則△AMQ為等腰三角形．然后分①當AM=AQ=5時，②當AM=MQ時，③當AQ=MQ時三種情況求解．【詳解】（1）∵DM⊥AB，∴△ADM為直角三角形，∵M為線段AB的中點，AB=10，∴AM=1在Rt△AMD則DM=AMtanA=5×3（2）連接CM，

在Rt△ABC中，∵CM∴CM=BM=AM，∴∠MBC=∠MCB，∵MP=∴∠MCB=∠PQM，∴∠MBC=∠MCB=∠PQM，在Rt△ABC中，tan∠A=BCAC∴tan∠PQM=tan∠ABC=4（3）∵∠QMA+∠QMD=90°，∠PME+∠QMD=90°，∴∠QMA=∠PME，在Rt△ABC中，∵CM∴CM=BM=AM，∴∠ACM=∠A，∵MQ=∴∠ACM=∠QPM，∴∠ACM=∠A=∠QPM，∴△AMQ∽△PME，∴當△MPE是等腰三角形時，則△AMQ為等腰三角形，①當AM=AQ=5時，此時AQ=5；②當AM=MQ時，∴∠A=∠AQM.∵∠AQM>∠ACM=∠A,∴此種情況不存在；③當AQ=MQ時，∴∠A=∠AMQ.∵∠A+∠ADM=90°,∠AMQ+∠DMQ=90°,∴∠DMQ=∠ADM,∴DQ=MQ,∴AQ=DQ,∴AQ=1在Rt△AMD中，AD=則AQ=25綜上，AQ=25【點睛】本題考查了直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半、等腰三角形的性質(zhì)、三角形相似、解直角三角形等，其中（3），要注意分類求解，避免遺漏．10．（2023·浙江杭州·三模）如圖1，三角形ABC內(nèi)接于圓O，點D在圓O上，連接AD和CD，CD交AB于點E，∠ADE+∠CAB=90°(1)求證：AB是直徑；(2)如圖2，點F在線段BE上，AC=AF，∠DCF=45°①求證：DE=DA；②若AB=kAD，用含k的表達式表示cosB．【答案】(1)證明見解析(2)①證明見解析；②k【分析】（1）先根據(jù)圓周角定理可得∠ADE=∠ABC，從而可得∠ABC+∠CAB=90°，再根據(jù)圓周角定理即可得證；（2）①先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠AFC=∠ACF，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得∠AFC=∠ACE+45°，再根據(jù)圓周角定理可得∠DAE=∠BCD=90°?∠ACE，從而可得∠AED=∠DAE，然后根據(jù)等腰三角形的判定即可得證；②過點A作AH⊥CD于點H，設DE=DA=xx>0，BC=y，則AB=kx，cosB=ykx，設cosB=ykx=aa<1，則y=kxa，先根據(jù)等腰三角形的判定可得BE=BC=kxa【詳解】（1）證明：由圓周角定理得：∠ADE=∠ABC，∵∠ADE+∠CAB=90°，∴∠ABC+∠CAB=90°，∴∠ACB=90°，∴AB是直徑．（2）證明：①∵AC=AF，∠DCF=45°，∴∠AFC=∠ACF=∠ACE+∠DCF=∠ACE+45°，∴∠AED=∠CEF=180°?∠DCF?∠AFC=90°?∠ACE，由圓周角定理得：∠DAE=∠BCD=∠ACB?∠ACE=90°?∠ACE，∴∠AED=∠DAE，∴DE=DA；②如圖，過點A作AH⊥CD于點H，

設DE=DA=xx>0，BC=y，則AB=kx，cosB=在Rt△ABC中，BC<AB∴cosB=設cosB=ykx=a∵∠CEF=∠AED，∠DAE=∠BCD，∠AED=∠DAE，∴∠CEF=∠BCD，∴BE=BC=y=kxa，∴AE=AB?BE=kx1?a由圓周角定理得：∠ADH=∠B，在△ADH和△ABC中，∠ADH=∠B∠AHD=∠ACB=90°∴△ADH∽△ABC，∴DHBC=解得DH=xa，∴EH=DE?DH=x1?a由勾股定理得：AD∴x整理得：k2解得a=k2?2則cosB=k【點睛】本題考查了圓周角定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、一元二次方程的應用、余弦等知識點，較難的是題（2）②，通過作輔助線，構(gòu)造相似三角形是解題關(guān)鍵．題型04銳角三角函數(shù)與圓及四邊形綜合11．（2023·湖南永州·二模）如圖1，在正方形ABCD中，AC為對角線，點F，H分別在邊AD，AB上，CF=CH，連結(jié)FH交AC于點E．(1)求證：AC平分∠FCH；(2)如圖2，過點A，H，F(xiàn)的圓交CF于點P，連結(jié)PH交AC于點K，求證：KHCH(3)在（2）的條件下，當點K是線段AC的中點時，求cos∠HCF的值．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)3【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定證明Rt△CDF≌Rt△CBH得到∠DCA=∠BCA=45°，∠DCF=∠BCH（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和圓內(nèi)接四邊形的外角性質(zhì)得到∠AHP=∠BHC，過K作KM⊥AB于M，證明△KMH∽△CBH和△AMK∽△ABC，進而利用相似三角形的性質(zhì)求解即可；（3）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到MHBH=KMBC=AMAB=AKAC=12，設MH=a，則BH=2a，BM=3a，AM=KM=3a，AB=BC=AD=6a，AF=AH=4a，進而利用勾股定理求得CF=CH=210a，F(xiàn)H=4【詳解】（1）解：∵四邊形ABCD是正方形，∴CD=CB，∠DCA=∠BCA=45°，∠D=∠B=90°，在Rt△CDF和RtCD=CBCF=CH∴Rt△CDF≌∴∠DCF=∠BCH，∴∠FCA=∠HCA，∴AC平分∠FCH；（2）解：∵Rt△CDF≌∴∠DFC=∠BHC，∵∠DFC是圓內(nèi)接四邊形AHPF的一個外角，∴∠DFC=∠AHP，則∠AHP=∠BHC，過K作KM⊥AB于M，則∠KMH=∠B=90°，KM∥∴△KMH∽△CBH，△AMK∽△ABC，∴MHBH=KM∴KHCH

（3）解：∵點K是線段AC的中點，∴AKAC由（2）中△AMK∽△ABC，知MHBH=KM故設MH=a，則BH=2a，BM=3a，AM=KM=3a，AB=BC=AD=6a，∴AF=AH=4a，在Rt△BCH中，CF=CH=在Rt△AHF中，F(xiàn)H=∵CF=CH，AC平分∠FCH，∴EH=12FH=22a∵過點A，H，F(xiàn)的圓交CF于點P，∠FAH=90°，∴∠FPH=∠CPH=∠FAH=∠CEH=90°，∴△FPH∽△HEC，

∴FPEH=FH解得FP=4105在Rt△CPH中，cos∠HCF=【點睛】本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、圓內(nèi)角四邊形的外角性質(zhì)、圓周角定理、銳角三角函數(shù)等知識，綜合性強，難度較大，屬于中考壓軸題型，熟練掌握相關(guān)知識的聯(lián)系與運用，靈活添加輔助線構(gòu)造相似三角形是解答的關(guān)鍵．12．（2023·浙江杭州·模擬預測）如圖，在矩形ABCD中，AB=6，AD=9，點E是邊AD上一點，且AE=3，點F在邊AB上，過點B、F、E作圓O，交邊BC或其延長線于G，連接BE，GE，(1)求tan∠FGE的值；(2)若BG=EG，求x的值；(3)若x=2，求弧EF的長；(4)若圓O經(jīng)過矩形的兩個頂點時，直接寫出x的值．（注：sin19°=13，cos【答案】(1)12(2)154(3)35(4)3或32【分析】（1）由題意得∠FGE=∠ABE，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義可得出結(jié)論；（2）連接EF，OE，證明Rt△BFG≌Rt△EFGHL，得出BF=EF（3）證明△ABE∽△EGF，得出AEEF=BEGF，求出（4）分兩種情況：①若圓O經(jīng)過矩形的頂點C時；②若圓O經(jīng)過矩形的頂點D時；由勾股定理即可求解．【詳解】（1）解：∵EF=∴∠FGE=∠ABE，∵tan∠ABE=AE∴tan∠FGE=tan∠ABE=1（2）解：連接EF，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A=∠ABC=90°，∴FG是圓O的直徑，∴∠FEG=90°，在Rt△BFG和Rt△EFG中，BG=EG，∴Rt△BFG≌∴BF=EF，在Rt△AEF中，∵E∴x2解得x=15（3）解：∵BF=2，∴AF=AB?BF=6?2=4，∵AE=3，∴EF=A∵AB=6，∴BE=A∵∠FEG=∠A=90°，∠FGE=∠ABE，∴△ABE∽△EGF，∴AEEF∴GF=EF?BE∴EG=10，∴tan∠FGE=EF∴∠FGE=27°，∴∠FOE=54°，∴EF的長=54（4）3或32①若圓O經(jīng)過矩形的頂點C時，∵DE=6，CD=6，∴CE=62∵tan∠ECF=EF∴EF=32又∵AF∴AF=3，∴BF=x=AF=3；②若圓O經(jīng)過矩形的頂點D時，過點G作GM⊥AD，垂足M落在AD的延長線，則四邊形CGMD是矩形，四邊形ABGM是矩形，過點O作ON⊥AM于點N，延長NO交BG于點Q，∴EN=DN，AN=MN，∴DM=AE=3，∴EG=M∴EF=3∵AF∴AF=9∴BF=x=AB?AF=6?9∴x的值為3或32【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，弧長公式，圓周角定理，銳角三角函數(shù)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，正確進行分類是解題的關(guān)鍵．13．（2023·江蘇揚州·三模）已知在矩形ABCD中，AB=4,AD=3，點O是邊AB上的一點（不與點A重合），以點O為圓心，OA長為半徑作圓，交射線AB于點G．(1)如圖1，當⊙O與直線BD相切時，求半徑OA的長；(2)當⊙O經(jīng)過點C時，求∠OCB(3)當⊙O與△BCD的三邊有且只有兩個交點時，求半徑OA的取值范圍；【答案】(1)32(2)725(3)32<OA<3或【分析】（1）設⊙O與直線BD的切點為點E，連接OE,OD，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)及勾股定理求解即可；（2）連接OC，設OC=a，則OB=4?a，利用勾股定理構(gòu)造方程求得OC=a=258，OB=4?a=7（3）分三種臨界情況：①當⊙O與邊CD的切點為點E，連接OE，此時恰好有三個交點，②當⊙O恰好經(jīng)過點C時，連接OC，③當點O與點B重合時，作出相應圖形求解即可．【詳解】（1）解：設⊙O與直線BD的切點為點E，連接OE,OD，如圖所示：

∴OE⊥BD,OA=OE，∴∠DEO=90°∵四邊形ABCD是矩形，∴∠DAB=90°，∴∠DAB=∠DEO=90°，∵OD=OD，∴△ADO≌△EDO(HL)∴DE=AD=3，∵AB=4,AD=3，∴BD=A∴BE=5?3=2，設AO=OE=r，則BO=4?r，∵OE∴r2解得：r=3∴半徑OA的長為32（2）解：連接OC，設OC=a，

∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B=90°，BC=AD=3∵當⊙O經(jīng)過點C，∴OC=OA=a，∴OB=4?a，∵∠B=90°∴OB2+B解得OC=a=258∴OB=4?a=7∴sin∠OCB=OBOC（3）解：①如圖所示：當⊙O與邊CD的切點為點E，連接OE，此時恰好有三個交點，∴OE⊥AB，∴四邊形BOEC為矩形，∴OE=BC=AO=3，

∴由（1）得半徑OA的長為32∴當32②當⊙O恰好經(jīng)過點C時，連接OC，如圖所示：

由（2）得半徑OA的長為258∴當3≤OA<258時，⊙O與△BCD的三邊的交點多于③當點O與點B重合時，如圖所示，滿足條件，

∴當258綜上可得：32<OA<3或【點睛】題目主要考查切線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，求正弦值，矩形的性質(zhì)及勾股定理解三角形，正切函數(shù)的定義等，理解題意，作出輔助線，綜合運用這些知識點是解題關(guān)鍵．題型05銳角三角函數(shù)與圓及三角形綜合14．（2023·江西萍鄉(xiāng)·二模）如圖，AB是⊙O的直徑，點C是圓上的一點，CD⊥AD于點D,AD交⊙O于點F，連接AC，若AC平分∠DAB，過點F作FG⊥AB于點G交AC于點H．(1)求證：CD是⊙O的切線；(2)延長AB和DC交于點E，若AE=4BE，求cos∠DAB(3)在（2）的條件下，求FHAF【答案】(1)見解析；(2)35(3)12【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義以及等邊對等角得出∠DAC=∠ACO，證明AD∥OC進而得出OC⊥CD，即可得證；（2）根據(jù)題意，設BE=x，則AB=3x，由AD∥OC，可得∠COE=∠DAB，根據(jù)cos∠DAB=cos∠COE，即可求解．（3）由（2）知：OE=2.5x,OC=1.5x，勾股定理求得EC，然后證明△AHF∽△ACE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）證明：如圖1，連接OC，

∵OA=OC，∴∠CAO=∠ACO，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠OAC，∴∠DAC=∠ACO，∴AD∥OC，∵CD⊥AD∴OC⊥CD，∵OC是⊙O的半徑，∴CD是⊙O的切線；（2）解：∵AE=4BE,OA=OB，設BE=x，則AB=3x，∴OC=OB=1.5x，∵AD∥∴∠COE=∠DAB，∴（3）解：由（2）知：OE=2.5x,OC=1.5x，∴EC=O∵FG⊥AB∴∠AGF=90∴∠AFG+∠FAG=90∵∠COE+∠E=90∴∠E=∠AFH，∵∠FAH=∠CAE∴△AHF∽△ACE∴FH【點睛】本題考查了切線的判定，求角的余弦，相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．15．（2023·廣東惠州·一模）如圖，PA是圓O的切線，切點為A，AC是圓O的直徑，連接OP交圓O于E．過A點作AB⊥PO于點D，交圓O于B，連接BC,PB．(1)求證：PO∥BC；(2)求證：PB是圓O的切線；(3)若cos∠PAB=1010，【答案】(1)見解析(2)見解析(3)5【分析】（1）圓周角定理，得到AB⊥BC，再根據(jù)AB⊥PO，即可得證；（2）連接OB，證明△AOP?△BOPSAS，推出∠OBP=90°（3）根據(jù)同角的余角相等，得到cos∠C=cos∠PAB=1010，求出AC的長，證明【詳解】（1）證明：∵AC為⊙O的直徑，∴∠ABC=90°，即AB⊥BC，又∵AB⊥PO，∴PO∥BC；（2）證明：連接OB，如圖，∵PO∥BC，∴∠POB=∠OBC，∠POA=∠C，∵OB=OC，∴∠OBC=∠C，∴∠AOP=∠POB，在△AOP與△BOP中，OA=OB∠AOP=∠POB∴△AOP?△BOPSAS∴∠OBP=∠OAP，∵PA為⊙O的切線，∴∠OAP=90°，∴∠OBP=90°，∴OB⊥PB，∵OB為⊙O的半徑，∴PB是⊙O的切線；（3）∵∠PAB+∠BAC=90°，∠C+∠BAC=90°，∴∠PAB=∠C，∴cos∠C=cos∠PAB=10在Rt△ABC∵cos∠C=BC∴AC=10∴OA=1∵AC是⊙O的直徑，∴∠ABC=90°，∴∠PAO=∠ABC=90°．∵∠POA=∠C，∴△ABC∽∴POAC∴PO10∴PO=5．【點睛】本題考查圓與三角形的綜合應用，重點考查了切線的判定和性質(zhì)，圓周角定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，綜合性較強．熟練掌握相關(guān)知識點，并靈活運用是解題的關(guān)鍵．16．（2023·上海寶山·二模）如圖，已知半圓O的直徑AB=4，C是圓外一點，∠ABC的平分線交半圓O于點D，且∠BCD=90°，聯(lián)結(jié)OC交BD于點E．(1)當∠ABC=45°時，求OC(2)當∠ABC=60°時，求OEEC(3)當△BOE為直角三角形時，求sin∠OCB的值．【答案】(1)OC=6(2)OEEC(3)sin∠OCB的值為22或5【分析】（1）作OM⊥BC于M，聯(lián)結(jié)OD，證明四邊形OMCD是矩形，求得CM=OD=OB=12AB=2，推出△OBM（2）同（1）作OM⊥BC于M，聯(lián)結(jié)OD，可得四邊形OMCD是矩形，求得CM=OD=OB=12AB=2，由∠ABC=60°，求得∠BOM=30°（3）分兩種情況討論，當∠EOB=90°時，同（1）可得四邊形OMCD是矩形，再證明△OCB∽△BOM，利用相似三角形的性質(zhì)求得BM的長，即可求解；當∠OEB=90°時，求得∠DCO=∠BCO=45°，即可求解．【詳解】（1）解：作OM⊥BC于M，聯(lián)結(jié)OD，∵∠BCD=90°，∴OM∥∵BD是∠ABC的平分線，∴∠ABD=∠CBD，∵OD=OB，∴∠ABD=∠ODB，∴∠CBD=∠ODB，∴OD∥∴四邊形OMCD是平行四邊形，又∠BCD=90°，∴四邊形OMCD是矩形，∴CM=OD=OB=1∵∠ABC=45°∴△OBM是等腰直角三角形，∴OM=BM=2∴OC=C（2）解：作OM⊥BC于M，聯(lián)結(jié)OD，同理四邊形OMCD是矩形，∴CM=OD=OB=1∵∠ABC=60°，∴∠BOM=30°，∴BM=1∴BC=2+1=3，∵OD∥∴△DOE∽△BCE，∴OEEC（3）解：作OM⊥BC于M，聯(lián)結(jié)OD，同理四邊形OMCD是矩形，∴CM=OD=OB=1當∠EOB=90°時，∵∠COM+∠BOM=90°，∠OCB+∠COM=90°，∴∠OCB=∠BOM，又∠COB=∠OMB=90°，∴△OCB∽△BOM，∴OBBM=BC解得BM=5∴BC=CM+BM=5∴sin∠OCB=OB當∠OEB=90°時，由垂徑定理得DE=BE，∴OE是線段BD的垂直平分線，∴DC=BC，∴∠DCO=∠BCO=1∴sin∠OCB=sin45°=綜上，sin∠OCB的值為22或5【點睛】本題考查了垂徑定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．題型06銳角三角函數(shù)與函數(shù)綜合17．（2023·江蘇連云港·二模）在平面直角坐標系中，拋物線L1:y=ax2+x+ca>0與x軸交于(1)求拋物線L1(2)如圖1，點D為直線AC下方拋物線上的一動點，DM⊥AC于點M,DN∥y軸交AC于點N．求線段DM的最大值和此時點D的坐標；(3)如圖2，將拋物線L1:y=ax2+x+c(a>0)沿著x軸向左平移后得到拋物線L2，若點P是拋物線L1與L【答案】(1)y=(2)線段DM的最大值是22，此時點D的坐標為(3)拋物線L2對應的函數(shù)表達式為y=【分析】（1）用待定系數(shù)法可得拋物線L1對應的函數(shù)表達式為y=（2）求出C(0,?2)，直線AC解析式為y=?x?2，設D(m,m2+m?2)，可得DN=?m?2?(m2+m?2)=?m2?2m（3）過A作AH⊥CP于H，過H作KR∥y軸交x軸于K，過C作CR⊥KR于R，由tan∠ACP=13，證明△AKH∽△HRC，得AKHR=HKCR=AHCH=13，設AK=p，HK=q，可得3q=2+pq+3p=2，從而H?125，?45【詳解】（1）解：把A(?2,0)、B(1,0)代入y=ax4a?2+c=0a+1+c=0解得a=1c