2025年廣東佛山高三一模高考數(shù)學(xué)試卷試題（答案詳解）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2024～2025學(xué)年佛山市普通高中教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)（一）高三數(shù)學(xué)2025.1本試卷共4頁，19小題．滿分150分．考試用時(shí)120分鐘．注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必要填涂答題卷上的有關(guān)項(xiàng)目．2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答案涂在答題卷相應(yīng)的位置上．3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卷各題目指定區(qū)域內(nèi)；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液，不按以上要求作答的答案無效．4．請(qǐng)考生保持答題卷的整潔，考試結(jié)束后，將答題卷交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．若，則（

）A． B． C． D．2．已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．等比數(shù)列中，，設(shè)甲：，乙：，則甲是乙的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．4 B．5 C．6 D．75．隨著中國(guó)經(jīng)濟(jì)高速增長(zhǎng)，人民生活水平不斷提高，旅游成了越來越多家庭的重要生活方式，某景區(qū)的旅游人數(shù)大約每年以的增長(zhǎng)率呈指數(shù)增長(zhǎng)，那么至少經(jīng)過多少年后，該景區(qū)的旅游人數(shù)翻一倍？（參考數(shù)據(jù)：，）（

）A．6 B．7 C．8 D．96．在平面直角坐標(biāo)系中，滿足不等式組的點(diǎn)表示的區(qū)域面積為（

）A． B． C． D．7．若直線與曲線相切，則的最小值為（

）A． B．1 C． D．28．已知直線與平面所成的角為，若直線，直線，設(shè)與的夾角為，與的夾角為，則（

）A．， B．，C．， D．，二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．有一組成對(duì)樣本數(shù)據(jù)，，，，設(shè)，，由這組數(shù)據(jù)得到新成對(duì)樣本數(shù)據(jù)，下面就這兩組數(shù)據(jù)分別先計(jì)算樣本相關(guān)系數(shù)，再根據(jù)最小二乘法計(jì)算經(jīng)驗(yàn)回歸直線，最后計(jì)算出殘差平方和，則（

）附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：，．相關(guān)系數(shù)．A．兩組數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)相同 B．兩組數(shù)據(jù)的殘差平方和相同C．兩條經(jīng)驗(yàn)回歸直線的斜率相同 D．兩條經(jīng)驗(yàn)回歸直線的截距相同10．在中，，，則下列說法正確的是（

）A． B．C．在方向上的投影向量為 D．若，則11．已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足，且，為的導(dǎo)函數(shù)，則（

）A．為偶函數(shù) B．為周期函數(shù)C． D．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．的展開式中的系數(shù)是．13．記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為且，則．14．直線過雙曲線的左焦點(diǎn)，交的漸近線于兩點(diǎn)．若，且，則的離心率為．四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．如圖，直三棱柱的體積為，側(cè)面是邊長(zhǎng)為1的正方形，，點(diǎn)分別在棱上．(1)若分別是的中點(diǎn)，求證：平面；(2)若，，求．16．ACE球是指在網(wǎng)球?qū)种?，一方發(fā)球，球落在有效區(qū)內(nèi)，但接球方卻沒有觸及到球而使發(fā)球方直接得分的發(fā)球．甲、乙兩人進(jìn)行發(fā)球訓(xùn)練，規(guī)則如下：每次由其中一人發(fā)球，若發(fā)出ACE球，則換人發(fā)球，若未發(fā)出ACE球，則兩人等可能地獲得下一次發(fā)球權(quán)．設(shè)甲，乙發(fā)出ACE球的概率均為，記“第次發(fā)球的人是甲”．(1)證明：；(2)若，，求和．17．已知函數(shù)，其中．(1)當(dāng)時(shí)，討論關(guān)于的方程的實(shí)根個(gè)數(shù)；(2)當(dāng)時(shí)，證明：對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，都有．18．已知的頂點(diǎn)在軸上，，，且邊的中點(diǎn)在軸上，設(shè)的軌跡為曲線．(1)求的方程；(2)若正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)都在上，且直線的傾斜角為，求．19．將項(xiàng)數(shù)列重新排序?yàn)榈牟僮鞣Q為一次“洗牌”，即排序后的新數(shù)列以為首項(xiàng)，將排在之后，將排在之后．對(duì)于數(shù)列，將“洗牌”后得到的新數(shù)列中數(shù)字的位置定義為．例如，當(dāng)時(shí)，數(shù)列經(jīng)過一次“洗牌”后變?yōu)椋藭r(shí)，，，，，．(1)寫出數(shù)列經(jīng)過3次“洗牌”后得到的新數(shù)列；(2)對(duì)于滿足的任意整數(shù)，求經(jīng)過一次“洗牌”后的解析式；(3)當(dāng)（其中）時(shí)，數(shù)列經(jīng)過若干次“洗牌”后能否還原為？如果能，請(qǐng)說明至少需要多少次“洗牌”；如果不能，請(qǐng)說明理由．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁1．B【分析】利用復(fù)數(shù)的除法可求.【詳解】因?yàn)?，故，故選：B.2．D【分析】根據(jù)集合是否為空集進(jìn)行分類討論，由此求得的取值范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，，滿足，當(dāng)時(shí)，，由，可知，綜上所述，.故選：D3．C【分析】根據(jù)等比中項(xiàng)可判斷兩者之間的條件關(guān)系.【詳解】因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，故為等比數(shù)列，且三者同號(hào)，若，則由可得，故甲是乙的充分條件；若，則由及可得，故甲是乙的必要條件；故甲是乙的充要條件，故選：C.4．B【分析】利用二倍角公式可得或，故可求零點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】令，則，故或，而，所以或或或或，故共有5個(gè)零點(diǎn)，故選：B.5．B【分析】根據(jù)已知條件列不等式，由此quiet正確答案.【詳解】設(shè)經(jīng)過年后，人數(shù)翻一倍，則，兩邊取以為底的對(duì)數(shù)得，所以，所以至少經(jīng)過年后，該景區(qū)的旅游人數(shù)翻一倍.故選：B6．D【分析】根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系來求得正確答案.【詳解】依題意，，所以不等式組表示的區(qū)域是圓與圓公共的內(nèi)部區(qū)域，畫出圖象如下圖所示，，兩圓半徑都是，設(shè)兩個(gè)圓相交于兩點(diǎn)，則，由于，，所以是圓的切線，是圓的切線，同理是圓的切線，是圓的切線，，所以四邊形是正方形，所以區(qū)域面積為.故選：D7．A【分析】通過設(shè)切點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義列出等式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求其最小值.【詳解】設(shè)直線與曲線的切點(diǎn)為.對(duì)求導(dǎo)，根據(jù)，可得.因?yàn)橹本€的斜率為，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，在切點(diǎn)處，即.又因?yàn)榍悬c(diǎn)既在直線上又在曲線上，所以且，即.將代入可得：，即.將代入可得：，所以當(dāng)，時(shí)，取得最小值為.故選：A8．A【分析】把直線和平面放置在錐體中，然后利用異面直角夾角定義，結(jié)合三余弦定理及余弦函數(shù)的單調(diào)性得，根據(jù)二面角平面角的定義，結(jié)合最大角定理及正弦函數(shù)單調(diào)性得，即可得解.【詳解】如圖，設(shè)斜線為直線，平面為平面，且，由圖可知，當(dāng)恰為時(shí)，此時(shí)與的夾角為；當(dāng)為時(shí)，，由于，知，故由在上單調(diào)遞減得，知.綜上可知；由于，故是二面角所成角，即，，由于，則，故由在上單調(diào)遞增得，即，可知.故選：A9．ABC【分析】利用公式求相關(guān)系數(shù)，通過對(duì)公式的理解，可以作出判斷.【詳解】由于新成對(duì)樣本數(shù)據(jù)，其平均數(shù)分別為，同理，這樣根據(jù)公式，用樣本數(shù)據(jù)減去平均數(shù)得與新成對(duì)數(shù)據(jù)，用樣本數(shù)據(jù)減去平均數(shù)得與新成對(duì)數(shù)據(jù)，即它們每一個(gè)對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)的差值都是一樣的，這就說明兩條經(jīng)驗(yàn)回歸直線的斜率相同，兩組數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)相同，故A、C正確；由于回歸直線經(jīng)過樣本數(shù)據(jù)的樣本點(diǎn)為，而新數(shù)據(jù)的樣本點(diǎn)為，即樣本數(shù)據(jù)的回歸直線方程為，而新數(shù)據(jù)的回歸直線方程為，故兩條經(jīng)驗(yàn)回歸直線的截距不相同，故D錯(cuò)誤；由于樣本數(shù)據(jù)回歸直線和新數(shù)據(jù)回歸直線是平行關(guān)系，所以實(shí)際值與估計(jì)值的差的平方和應(yīng)該是相同的，即兩組數(shù)據(jù)的殘差平方和相同，故B正確；故選：ABC.10．AC【分析】A選項(xiàng)對(duì)題干條件直接根據(jù)數(shù)量積的定義，化簡(jiǎn)成，然后根據(jù)邊角轉(zhuǎn)化求解；B選項(xiàng)利用兩角和的正切公式求解；C選項(xiàng)結(jié)合正弦定理，投影向量公式求解；D選項(xiàng)根據(jù)正弦定理算出三邊長(zhǎng)度之后根據(jù)數(shù)量積定義求解.【詳解】A選項(xiàng)，對(duì)于，根據(jù)數(shù)量積的定義展開可得，，即，即，由正弦定理，，即，則為銳角，由，解得，，A選項(xiàng)正確，B選項(xiàng)：由A選項(xiàng)和題干可知，，，故，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.C選項(xiàng)：在方向上的投影向量為，由B知，，，且，解得，由正弦定理，，則，C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)：由正弦定理，，即，解得，于是，，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC11．ABD【分析】通過對(duì)給定的函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行賦值等操作來分析函數(shù)的性質(zhì)，并結(jié)合導(dǎo)數(shù)來判斷各個(gè)選項(xiàng)的正確性，從而確定正確答案.【詳解】令，代入可得：，即，所以，令，則，即，令得，以替換，則，以替換，則，所以函數(shù)是周期為的周期函數(shù).令，則，即，所以是偶函數(shù)，A選項(xiàng)正確.因?yàn)槭侵芷跒榈闹芷诤瘮?shù)，對(duì)兩邊求導(dǎo)得：，即.替換，則.以替換，則，所以是周期為的周期函數(shù)，B選項(xiàng)正確.由的周期為，且，，，.，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.因?yàn)榈闹芷跒椋?，所?又，兩邊求導(dǎo)得，即，所以.而，令，可得，即，.對(duì)兩邊求導(dǎo)得，令，得.對(duì)兩邊對(duì)求導(dǎo)，得，即令，可得，所以，則，D選項(xiàng)正確.故選：ABD【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于抽象函數(shù)性質(zhì)的研究，賦值法是一種重要手段，通過合理選取賦值，能夠挖掘出函數(shù)的奇偶性、周期性等關(guān)鍵性質(zhì).函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)之間存在緊密聯(lián)系，對(duì)函數(shù)等式兩邊求導(dǎo)，能從函數(shù)的性質(zhì)推導(dǎo)出導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)，反之亦然.12．【分析】利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式可求的系數(shù).【詳解】的展開式的通項(xiàng)公式為，的展開式的通項(xiàng)公式為，令，則的展開式中的系數(shù)為，的展開式中的系數(shù)為，故的展開式中的系數(shù)為，故答案為：.13．【分析】切化弦后結(jié)合正余弦定理可得，故可求.【詳解】因?yàn)?，故，所以，整理得到：，故，故答案為?14．【分析】先判斷出直線的斜率，由此求得直線的方程，通過聯(lián)立方程求得兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)比例列方程，化簡(jiǎn)求得雙曲線的離心率.【詳解】雙曲線的左焦點(diǎn)F?c,0，到漸近線的距離為所以直線與漸近線垂直，所以直線的斜率為，直線的方程為，設(shè)Ax1,聯(lián)立，消去并化簡(jiǎn)得點(diǎn)橫坐標(biāo)為.聯(lián)立，消去并化簡(jiǎn)得點(diǎn)橫坐標(biāo).因?yàn)?，所?即，，，.，，，，，，又因?yàn)?，所以雙曲線的離心率.故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用雙曲線焦點(diǎn)到漸近線的距離與已知條件建立聯(lián)系，確定直線與漸近線的位置關(guān)系，進(jìn)而得到直線方程，這是解決本題的關(guān)鍵之一.通過聯(lián)立直線與漸近線方程求出交點(diǎn)坐標(biāo)，再結(jié)合向量關(guān)系列出等式，最后利用雙曲線的基本性質(zhì)和離心率公式求解離心率，這是處理此類雙曲線與直線、向量綜合問題的常見方法.15．(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接，可得，根據(jù)線面平行的判定定理可證平面；（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用向量的垂直表示可求的坐標(biāo)，從而可求.【詳解】（1）如圖，連接，則彼此平分，而為的中點(diǎn)，故為的中點(diǎn)，而為的中點(diǎn)，故，而平面，平面，故平面.（2）由直三棱柱的體積為可得，而，故，而為三角形內(nèi)角，故，故即，結(jié)合直三棱柱可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，，則，而，由，可得，解得.故，故16．(1)證明見解析(2),【分析】（1）根據(jù)條件概率的意義可證明；（2）利用（1）中的結(jié)果可求，結(jié)合全概率公式可得，利用構(gòu)造法可求.【詳解】（1）若第次為甲發(fā)球的條件下第次還是甲發(fā)球，則第次甲沒有發(fā)出ACE球，故此時(shí)，若第次不是甲發(fā)球的條件下第次是甲發(fā)球，（1）乙發(fā)ACE球，則第次是甲發(fā)球；（2）乙沒有發(fā)出ACE球，則有的概率第次是甲發(fā)球；故，故.（2），,故，所以即，所以，故而，故為等比數(shù)列，故即.17．(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，結(jié)合圖象確定正確答案.（2）將要證明的不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)來證得不等式成立.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，方程解的個(gè)數(shù)，轉(zhuǎn)化為與y=fx有交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，y=fx的定義域?yàn)?，令f′x>0得，令f′故在上單調(diào)遞減，在0,+∞上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，且，當(dāng)時(shí)，方程有0個(gè)解，當(dāng)或時(shí)，方程有1個(gè)解，當(dāng)時(shí)，方程有2個(gè)解.（2）要證，即證，由于，故只需證，不妨設(shè)，即證，兩邊同時(shí)除以并化簡(jiǎn)，即證，令，則，設(shè)，，由(1)知在0,+∞上單調(diào)遞增，故，故在0,+∞上單調(diào)遞增，所以，從而命題得證.18．(1)(2)【分析】（1）設(shè)，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)列方程，化簡(jiǎn)求得的方程；（2）設(shè)出直線的方程并與的方程聯(lián)立，化簡(jiǎn)寫出根與系數(shù)關(guān)系，利用弦長(zhǎng)公式求得的表達(dá)式，根據(jù)是正三角形【詳解】（1）設(shè)，，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)且在軸上，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，若為，則，所以，即，已知，且，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，，，因?yàn)椋?，兩邊平方可得，展開式子：，化簡(jiǎn)得，所以曲線的方程為.（2）設(shè)，，直線的方程為，由消去得，即，由韋達(dá)定理得，，，則，，根據(jù)弦長(zhǎng)公式（這里），所以，因?yàn)槭钦切?，設(shè)中點(diǎn)為，則，即，直線與直線垂直，直線斜率為，則直線斜率為，點(diǎn)在曲線上，設(shè)，則，又因?yàn)?，根?jù)兩點(diǎn)間距離公式，，由，可得，由可得，即，，則，，，，由，，，兩式相減得，，解得或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，(舍去)，所以.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求軌跡方程時(shí)，常通過設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合已知條件找到動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)滿足的等式關(guān)系，再進(jìn)行化簡(jiǎn),本題利用中點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系確定點(diǎn)坐標(biāo)，通過距離相等建立等式，是求軌跡方程的典型方法.對(duì)于直線與曲線相交的問題，聯(lián)立直線與曲線方程，利用韋達(dá)定理得到交點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，進(jìn)而解決弦長(zhǎng)等問題。在涉及三角形形狀相關(guān)問題時(shí)，要充分利用三角形的性質(zhì)，如正三角形三邊相等、三線合一等，建立等式求解.19．(1)(2)(3)至少需要次＂洗牌＂．【分析】（1）直接寫出三次洗牌后的數(shù)列；（2）分和討論即可；（3）通過特殊情況猜想至少通過次＂洗牌＂，再利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可.【詳解】（1）數(shù)列經(jīng)過一次＂洗牌＂變?yōu)?，再?jīng)過一次＂洗牌＂變?yōu)椋谌危⑾磁疲⒑笞優(yōu)椋?）依題意，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．因此，（3）先觀察簡(jiǎn)單的情形．當(dāng)時(shí)，數(shù)列經(jīng)過1次＂洗牌＂變?yōu)椋ǎ⒌剐颍ⅲ?，再?jīng)過1次＂洗牌＂就還原為；當(dāng)時(shí)，數(shù)列經(jīng)過2次＂洗牌＂變?yōu)椋ǎ⒌剐颍ⅲ?，再?jīng)過2次＂洗牌＂就還原為；當(dāng)時(shí)，由（1）知數(shù)列經(jīng)過3次＂洗牌＂變?yōu)椋ǎ⒌剐颍ⅲ?/p>