滬教版九年級數(shù)學(xué)核心知識點與常見題型通關(guān)講解練重難點專項突破04相似三角形中的“一線三等角”模型(原卷版+解析)

重難點專項突破04相似三角形中的“一線三等角”模型【知識梳理】一線三等角指的是有三個等角的頂點在同一條直線上構(gòu)成的相似圖形，這個角可以是直角，也可以是銳角或鈍角。或叫“K字模型”。三直角相似可以看著是“一線三等角”中當(dāng)角為直角時的特例，三直角型相似通常是以矩形或者正方形形為背景，或者在一條直線上有一個頂點在該直線上移動或者旋轉(zhuǎn)的直角，幾種常見的基本圖形如下：當(dāng)題目的條件中只有一個或者兩個直角時，就要考慮通過添加輔助線構(gòu)造完整的三直角型相似，這往往是很多壓軸題的突破口，進而將三角型的條件進行轉(zhuǎn)化。一般類型：基本類型：同側(cè)“一線三等角”異側(cè)“一線三等角”【考點剖析】例1.如圖，直角梯形ABCD中，AB//CD，，點E在邊BC上，且， AD=10，求的面積．AABCDE例2.已知：如圖，△ABC是等邊三角形，點D、E分別在邊BC、AC上，∠ADE＝60°．（1）求證：△ABD∽△DCE；（2）如果AB＝3，EC＝，求DC的長．例3.已知，在等腰中，AB=AC=10，以BC的中點D為頂點作， 分別交AB、AC于點E、F，AE=6，AF=4，求底邊BC的長．AABCDEF例4.已知：如圖，AB⊥BC，AD//BC，AB=3，AD=2．點P在線段AB上，聯(lián)結(jié)PD，過點D作PD的垂線，與BC相交于點C．設(shè)線段AP的長為x．（1）當(dāng)AP=AD時，求線段PC的長；（2）設(shè)△PDC的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；（3）當(dāng)△APD∽△DPC時，求線段BC的長．ABABCDPABCD（備用圖）例5.在梯形ABCD中,AD∥BC，.（如圖1）(1)試求的度數(shù)；(2)若E、F分別為邊AD、CD上的兩個動點(不與端點A、D、C重合),且始終保持,與交于點.（如圖2）①求證:∽；②試判斷的形狀（從邊、角兩個方面考慮），并加以說明；③設(shè),試求關(guān)于的函數(shù)解析式,并寫出定義域.【過關(guān)檢測】一、填空題1．如圖，在四邊形ABCD中，∠A=∠D=120°，AB=6、AD=4，點E、F分別在線段AD、DC上（點E與點A、D不重合），若∠BEF=120°，AE=x、DF=y，則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為________2．如圖，四邊形ABCD中，AB∥CD，∠C＝90°，AB＝1，CD＝2，BC＝3，點P為BC邊上一動點，若AP⊥DP，則BP的長為_____．3．如圖，在矩形ABCD中，BC＝6，AB＝2，Rt△BEF的頂點E在邊CD或延長線上運動，且∠BEF＝90°，EF＝BE，DF＝，則BE＝_____．二、解答題4．如圖，在等邊△ABC中，P為BC上一點，D為AC上一點，且∠APD＝60°，2BP＝3CD，BP＝1．（1）求證△ABP∽△PCD；（2）求△ABC的邊長．5．如圖，在正方形中，點在上，交于點．（1）求證：；（2）連結(jié)，若，試確定點的位置并說明理由．6．如圖，在中，，，點為邊上一點，且，點為中點，．（1）求的長．（2）求證：．7．如圖，已知四邊形ABCD，∠B＝∠C＝90°，P是BC邊上的一點，∠APD＝90°．（1）求證：；（2）若BC＝10，CD＝3，PD＝3，求AB的長．8．【感知】如圖①，在四邊形ABCD中，點P在邊AB上（點P不與點A、B重合），．易證．（不需要證明）【探究】如圖②，在四邊形ABCD中，點P在邊AB上（點P不與點A、B重合），．若，，，求AP的長．【拓展】如圖③，在中，，，點P在邊AB上（點P不與點A、B重合），連結(jié)CP，作，PE與邊BC交于點E，當(dāng)是等腰三角形時，直接寫出AP的長．9．在矩形的邊上取一點，將沿翻折，使點恰好落在邊上點處．（1）如圖1，若，求的度數(shù)；（2）如圖2，當(dāng)，且時，求的長；（3）如圖3，延長，與的角平分線交于點，交于點，當(dāng)時，求出的值．10．如圖，在矩形ABCD中，E為AD的中點，EF⊥EC交AB于F，延長FE與直線CD相交于點G，連接FC（AB＞AE）．(1)求證：△AEF∽△DCE；(2)△AEF與△ECF是否相似？若相似，證明你的結(jié)論；若不相似，請說明理由；(3)設(shè)，是否存在這樣的k值，使得△AEF與△BFC相似？若存在，證明你的結(jié)論并求出k的值；若不存在，請說明理由．11．如圖，正方形ABCD的邊長為1，點E是AD邊上的動點，從點A沿AD向點D運動，以BE為邊，在BE的上方作正方形BEFG，連接CG．（1）求證：；（2）若設(shè)AE=x，DH=y，當(dāng)x取何值時，y有最大值？并求出這個最大值；（3）連接BH，當(dāng)點E運動到AD的何位置時有？12．如圖，在四邊形中，，，且，，若點是上的一點，且，求證：．13．在矩形ABCD中，E為DC邊上一點，把沿AE翻折，使點D恰好落在BC邊上的點F．（1）求證：；（2）若AB＝2，AD＝4，求EC的長．14．如圖，△ABC為等腰直角三角形，∠A＝90°，D為AB的中點，點E在BC上，點F在AC上，且∠DEF＝45°．（1）求證：△BED∽△CFE；（2）若BD＝3，BE＝2，求CF的長．15．如圖，正方形ABCD的邊長等于，P是BC邊上的一動點，∠APB、∠APC的角平分線PE、PF分別交AB、CD于E、F兩點，連接EF．（1）求證：△BEP∽△CPF；（2）當(dāng)∠PAB＝30°時，求△PEF的面積．16．（1）問題如圖1，在四邊形中，點P為上一點，當(dāng)時，求證：．（2）探究若將角改為銳角（如圖2），其他條件不變，上述結(jié)論還成立嗎？說明理由．（3）應(yīng)用如圖3，在中，，，以點A為直角頂點作等腰．點D在上，點E在上，點F在上，且，若，求的長．17．如圖，已知邊長為10的正方形是邊上一動點（與不重合），連結(jié)是延長線上的點，過點作的垂線交的角平分線于點，若．（1）求證：；（2）若，求的面積；（3）請直接寫出為何值時，的面積最大．18．在中，，，點在所在的直線上運動，作（、、按逆時針方向）．（1）如圖，若點在線段上運動，交于．①求證：；②當(dāng)是等腰三角形時，求的長；（2）如圖，若點在的延長線上運動，的反向延長線與的延長線相交于點，是否存在點，使是等腰三角形？若存在，求出線段的長度；若不存在，請簡要說明理由；（3）若點在的反向延長線上運動，是否存在點，使是等腰三角形？若存在，寫出所有點的位置；若不存在，請簡要說明理由．19．如圖，四邊形是正方形，點是邊上動點(不與重合)．連接過點作交于點．求證：；連接，試探究當(dāng)點在什么位置時，，請證明你的結(jié)論．20．如圖，在中，點分別在邊上，連接，且．（1）證明：；（2）若，當(dāng)點D在上運動時（點D不與重合），且是等腰三角形，求此時的長．重難點專項突破04相似三角形中的“一線三等角”模型【知識梳理】一線三等角指的是有三個等角的頂點在同一條直線上構(gòu)成的相似圖形，這個角可以是直角，也可以是銳角或鈍角?；蚪小癒字模型”。三直角相似可以看著是“一線三等角”中當(dāng)角為直角時的特例，三直角型相似通常是以矩形或者正方形形為背景，或者在一條直線上有一個頂點在該直線上移動或者旋轉(zhuǎn)的直角，幾種常見的基本圖形如下：當(dāng)題目的條件中只有一個或者兩個直角時，就要考慮通過添加輔助線構(gòu)造完整的三直角型相似，這往往是很多壓軸題的突破口，進而將三角型的條件進行轉(zhuǎn)化。一般類型：基本類型：同側(cè)“一線三等角”異側(cè)“一線三等角”【考點剖析】例1.如圖，直角梯形ABCD中，AB//CD，，點E在邊BC上，且， AD=10，求的面積．AABCDE【答案】24．【解析】，， ． 又，． ．． ， ．．在中，，．．【總結(jié)】本題考查一線三等角模型的相似問題，還有外角知識、平行的判定等．例2.已知：如圖，△ABC是等邊三角形，點D、E分別在邊BC、AC上，∠ADE＝60°．（1）求證：△ABD∽△DCE；（2）如果AB＝3，EC＝，求DC的長．【分析】（1）△ABC是等邊三角形，得到∠B＝∠C＝60°，AB＝AC，推出∠BAD＝∠CDE，得到△ABD∽△DCE；（2）由△ABD∽△DCE，得到＝，然后代入數(shù)值求得結(jié)果．【解答】（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠B＝∠C＝60°，AB＝AC，∵∠B+∠BAD＝∠ADE+∠CDE，∠B＝∠ADE＝60°，∴∠BAD＝∠CDE∴△ABD∽△DCE；（2）解：由（1）證得△ABD∽△DCE，∴＝，設(shè)CD＝x，則BD＝3﹣x，∴＝，∴x＝1或x＝2，∴DC＝1或DC＝2．【點評】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，注意數(shù)形結(jié)合和方程思想的應(yīng)用．例3.已知，在等腰中，AB=AC=10，以BC的中點D為頂點作， 分別交AB、AC于點E、F，AE=6，AF=4，求底邊BC的長．AABCDEF【答案】．【解析】， 而， ． 又，． ，． ．． ， ． 又，．【總結(jié)】本題是對“一線三等角”模型的考查．例4.已知：如圖，AB⊥BC，AD//BC，AB=3，AD=2．點P在線段AB上，聯(lián)結(jié)PD，過點D作PD的垂線，與BC相交于點C．設(shè)線段AP的長為x．（1）當(dāng)AP=AD時，求線段PC的長；（2）設(shè)△PDC的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；（3）當(dāng)△APD∽△DPC時，求線段BC的長．ABABCDPABCD（備用圖）滿分解答：（1）過點C作CE⊥AD，交AD的延長線于點E．∵AB⊥BC，CE⊥AD，PD⊥CD，AD//BC，∴∠ABC=∠AEC=∠PDC=90°，CE=AB=3．∵AD//BC，∴∠A+∠ABC=180°．即得∠A=90°．又∵∠ADC=∠DCE+∠DEC，∠ADC=∠ADP+∠PDC，∴∠ADP=∠DCE．又由∠A=∠DEC=90°，得△APD∽△DCE．∴．于是，由AP=AD=2，得DE=CE=3．…………（2分）在Rt△APD和Rt△DCE中，得，．…………（1分）于是，在Rt△PDC中，得．（1分）（2）在Rt△APD中，由AD=2，AP=x，得．……………………（1分）∵△APD∽△DCE，∴．∴．…………（1分）在Rt△PCD中，．∴所求函數(shù)解析式為．…………………（2分）函數(shù)的定義域為0<x≤3．…………（1分）（3）當(dāng)△APD∽△DPC時，即得△APD∽△DPC∽△DCE．…………（1分）根據(jù)題意，當(dāng)△APD∽△DPC時，有下列兩種情況：（?。┊?dāng)點P與點B不重合時，可知∠APD=∠DPC．由△APD∽△DCE，得．即得．由△APD∽△DPC，得．∴．即得DE=AD=2．∴AE=4．易證得四邊形ABCE是矩形，∴BC=AE=4．…（2分）（ⅱ）當(dāng)點P與點B重合時，可知∠ABD=∠DBC．在Rt△ABD中，由AD=2，AB=3，得．由△ABD∽△DBC，得．即得．解得．………（2分）∴△APD∽△DPC時，線段BC的長分別為4或．方法總結(jié)本題重點在于：過點C作CE⊥AD，交AD的延長線于點E．(構(gòu)造一線三角，出現(xiàn)相似三角形，進行求解)例5.在梯形ABCD中,AD∥BC，.（如圖1）(1)試求的度數(shù)；(2)若E、F分別為邊AD、CD上的兩個動點(不與端點A、D、C重合),且始終保持,與交于點.（如圖2）①求證:∽；②試判斷的形狀（從邊、角兩個方面考慮），并加以說明；③設(shè),試求關(guān)于的函數(shù)解析式,并寫出定義域.答案：（1）作，垂足為，在四邊形中，AD∥BC，，則四邊形為正方形又在中，，∴.（2）①∵四邊形為正方形，∴,，又∵，∴又∵,∴∽.②是等腰直角三角形，∵∽，∴,又∵,∴∽，又在中，,為等腰直角三角形，∴是等腰直角三角形.③，（0<<1）.方法總結(jié)第三問方法提示：過點P作AD的垂線于點H，構(gòu)造一線三直角相似，進行求解，很簡單?！具^關(guān)檢測】一、填空題1．如圖，在四邊形ABCD中，∠A=∠D=120°，AB=6、AD=4，點E、F分別在線段AD、DC上（點E與點A、D不重合），若∠BEF=120°，AE=x、DF=y，則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為________【答案】【分析】根據(jù)題意證明，列出比例式即可求得y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式【詳解】解：∠A=∠D=120°，∠BEF=120°，AB=6、AD=4，AE=x、DF=y，即故答案為：【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，函數(shù)解析式，掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．2．如圖，四邊形ABCD中，AB∥CD，∠C＝90°，AB＝1，CD＝2，BC＝3，點P為BC邊上一動點，若AP⊥DP，則BP的長為_____．【答案】1或2【分析】設(shè)BP=x，則PC=3-x，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠B=90°，根據(jù)同角的余角相等可得∠CDP=∠APB，即可證明△CDP∽△BPA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列方程求出x的值即可得答案．【詳解】設(shè)BP=x，則PC=3-x，∵AB∥CD，∠C＝90°，∴∠B=180°-∠C=90°，∴∠B=∠C，∵AP⊥DP，∴∠APB+∠DPC=90°，∵∠CDP+∠DPC=90°，∴∠CDP=∠APB，∴△CDP∽△BPA，∴，∵AB＝1，CD＝2，BC＝3，∴，解得：x1=1，x2=2，∴BP的長為1或2，故答案為：1或2【點睛】此題考查的是相似三角形的判定及性質(zhì)，掌握相似三角形的對應(yīng)邊成比例列方程是解題的關(guān)鍵．3．如圖，在矩形ABCD中，BC＝6，AB＝2，Rt△BEF的頂點E在邊CD或延長線上運動，且∠BEF＝90°，EF＝BE，DF＝，則BE＝_____．【答案】3．【分析】過F作FG⊥CD，交CD的延長線于G，依據(jù)相似三角形的性質(zhì)，即可得到FG＝EC，GE＝2＝CD；設(shè)EC＝x，則DG＝x，F(xiàn)G＝x，再根據(jù)勾股定理，即可得到CE2＝9，最后依據(jù)勾股定理進行計算，即可得出BE的長．【詳解】如圖所示，過F作FG⊥CD，交CD的延長線于G，則∠G＝90°，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠C＝90°，AB＝CD＝2，又∵∠BEF＝90°，∴∠FEG+∠BEC＝90°＝∠EBC+∠BEC，∴∠FEG＝∠EBC，又∵∠C＝∠G＝90°，∴△BCE∽△EGF，∴＝＝，即＝＝，∴FG＝EC，GE＝2＝CD，∴DG＝EC，設(shè)EC＝x，則DG＝x，F(xiàn)G＝x，∵Rt△FDG中，F(xiàn)G2+DG2＝DF2，∴（x）2+x2＝（）2，解得x2＝9，即CE2＝9，∴Rt△BCE中，BE＝＝＝3，故答案為：3．【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理的運用，在判定兩個三角形相似時，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構(gòu)造相似三角形；或依據(jù)基本圖形對圖形進行分解、組合；或作輔助線構(gòu)造相似三角形．二、解答題4．如圖，在等邊△ABC中，P為BC上一點，D為AC上一點，且∠APD＝60°，2BP＝3CD，BP＝1．（1）求證△ABP∽△PCD；（2）求△ABC的邊長．【答案】（1）證明見解析；（2）3．【分析】（1）由△ABC是等邊三角形，證明∠B＝∠C＝60°，再利用平角的定義與三角形的內(nèi)角和定理證明：∠BPA＝∠PDC，從而可得結(jié)論；（2）由，先求解，設(shè)，再利用相似三角形的性質(zhì)可得：，列方程，解方程即可得到答案．【詳解】證明：（1）∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC＝AC，∠B＝∠C＝60°，∵∠BPA＋∠APD＋∠DPC＝180°且∠APD＝60°，∴∠BPA＋∠DPC＝120°∵∠DPC＋∠C＋∠PDC＝180°，∴∠DPC＋∠PDC＝120°，∴∠BPA＝∠PDC，∴△ABP∽△PCD；（2）∵2BP＝3CD，且BP＝1，∴，∵△ABP∽△PCD，設(shè)，則，∴經(jīng)檢驗：是原方程的解，所以三角形的邊長為：3．【點睛】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，分式方程的解法，掌握三角形的判定及利用相似三角形的性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．5．如圖，在正方形中，點在上，交于點．（1）求證：；（2）連結(jié)，若，試確定點的位置并說明理由．【答案】（1）見解析；（2）點E為AD的中點．理由見解析【分析】（1）根據(jù)同角的余角相等證明∠ABE=∠DEF，再由直角相等即可得出兩三角形相似的條件；（2）根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，等量代換得出，即可得出DE=AE．【詳解】（1）證明∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A=∠D=90°，∴∠AEB+∠ABE=90°，∵EF⊥BE，∴∠AEB+∠DEF=90°，∴∠ABE=∠DEF．在△ABE和△DEF中，∴△ABE∽△DEF；（2）∵△ABE∽△DEF，∴，∵△ABE∽△EBF，∴，∴，∴DE=AE，∴點E為AD的中點．【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)等角的余角相等證出兩角相等是解決（1）的關(guān)鍵，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例等量代換是解決（2）的關(guān)鍵．6．如圖，在中，，，點為邊上一點，且，點為中點，．（1）求的長．（2）求證：．【答案】（1）5；（2）證明見解析；【分析】（1）先證明出∽，得出，假設(shè)BD為x，則DC=15-x，代入分式方程求出BD的長；（2）由（1）可知，推出≌，得出結(jié)果；【詳解】（1）∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴∽，∴，∵為中點，∴，∵，設(shè)，則，即：，解得：，，∵，∴．（2）由（1）可知，∵，∴，在和中，，∴≌∴【點睛】本題考查三角形全等的性質(zhì)，三角形相似的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)性質(zhì)并靈活運用．7．如圖，已知四邊形ABCD，∠B＝∠C＝90°，P是BC邊上的一點，∠APD＝90°．（1）求證：；（2）若BC＝10，CD＝3，PD＝3，求AB的長．【答案】（1）證明見解析；（2）8．【分析】（1）先根據(jù)直角三角形的兩銳角互余、角的和差可得，再根據(jù)相似三角形的判定即可得證；（2）先利用勾股定理求出PC的長，從而可得BP的長，再利用相似三角形的性質(zhì)即可得．【詳解】（1），，，在和中，，；（2）在中，，，，，由（1）已證：，，即，解得．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識點，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．8．【感知】如圖①，在四邊形ABCD中，點P在邊AB上（點P不與點A、B重合），．易證．（不需要證明）【探究】如圖②，在四邊形ABCD中，點P在邊AB上（點P不與點A、B重合），．若，，，求AP的長．【拓展】如圖③，在中，，，點P在邊AB上（點P不與點A、B重合），連結(jié)CP，作，PE與邊BC交于點E，當(dāng)是等腰三角形時，直接寫出AP的長．【答案】【探究】3；【拓展】4或．【分析】探究：根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計算即可；拓展：證明△ACP∽△BPE，分CP=CE、PC=PE、EC=EP三種情況，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計算即可．【詳解】探究：證明：∵是的外角，∴，即，∵，∴，又∵，∴，∴，∵，，，∴，解得：；拓展：∵AC=BC，∴∠A=∠B，∵∠CPB是△APC的外角，∴∠CPB=∠A+∠PCA，即∠CPE+∠EPB=∠A+∠PCA，∵∠A=∠CPE，∴∠ACP=∠BPE，∵∠A=∠B，∴△ACP∽△BPE，當(dāng)CP=CE時，∠CPE=∠CEP，∵∠CEP＞∠B，∠CPE=∠A=∠B，∴CP=CE不成立；當(dāng)PC=PE時，△ACP≌△BPE，則PB=AC=8，∴AP=AB-PB=128=4；當(dāng)EC=EP時，∠CPE=∠ECP，∵∠B=∠CPE，∴∠ECP=∠B，∴PC=PB，∵△ACP∽△BPE，∴，即，解得：，∴AP=ABPB=，綜上所述：△CPE是等腰三角形時，AP的長為4或．【點睛】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)，靈活運用分情況討論思想是解題的關(guān)鍵．9．在矩形的邊上取一點，將沿翻折，使點恰好落在邊上點處．（1）如圖1，若，求的度數(shù)；（2）如圖2，當(dāng)，且時，求的長；（3）如圖3，延長，與的角平分線交于點，交于點，當(dāng)時，求出的值．【答案】（1）15°；（2）；（3）【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)，先得到，再由折疊的性質(zhì)可得到；（2）由三等角證得，從而得，，再由勾股定理求出DE，則；（3）過點作于點，可證得．再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出對應(yīng)邊成比例及角平分線的性質(zhì)即可得解．【詳解】（1）∵矩形，∴，由折疊的性質(zhì)可知BF=BC=2AB，，∴，∴，∴（2）由題意可得，，∴∴∴，∴∴，由勾股定理得，∴，∴；（3）過點作于點．∴又∵∴．∴．∵，即∴，又∵BM平分，，∴NG=AN，∴，∴整理得：．【點睛】本題是一道矩形的折疊和相似三角形的綜合題，解題時要靈活運用折疊的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，是中考真題．10．如圖，在矩形ABCD中，E為AD的中點，EF⊥EC交AB于F，延長FE與直線CD相交于點G，連接FC（AB＞AE）．(1)求證：△AEF∽△DCE；(2)△AEF與△ECF是否相似？若相似，證明你的結(jié)論；若不相似，請說明理由；(3)設(shè)，是否存在這樣的k值，使得△AEF與△BFC相似？若存在，證明你的結(jié)論并求出k的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)見解析(2)相似，證明見解析(3)存在，【分析】(1)由題意可得∠AEF＋∠DEC＝90°，又由∠AEF＋∠AFE＝90°，可得∠DEC＝∠AFE，據(jù)此證得結(jié)論；(2)根據(jù)題意可證得Rt△AEF≌Rt△DEG(ASA)，可得EF＝EG，∠AFE＝∠EGC，可得CE垂直平分FG，△CGF是等腰三角形，據(jù)此即可證得△AEF與△ECF相似；(3)假設(shè)△AEF與△BFC相似，存在兩種情況：①當(dāng)∠AFE＝∠BCF，可得∠EFC＝90°，根據(jù)題意可知此種情況不成立；②當(dāng)∠AFE＝∠BFC，使得△AEF與△BFC相似，設(shè)BC＝a，則AB＝ka，可得AF＝，BF＝，再由△AEF∽△DCE，即可求得k值．【詳解】（1）證明：∵EF⊥EC，∴∠FEC＝90°，∴∠AEF＋∠DEC＝90°，∵∠AEF＋∠AFE＝90°，∴∠DEC＝∠AFE，又∵∠A＝∠EDC＝90°，∴△AEF∽△DCE；（2）解：△AEF∽△ECF．理由：∵E為AD的中點，∴AE＝DE，∵∠AEF＝∠DEG，∠A＝∠EDG，∴△AEF≌△DEG(ASA)，∴EF＝EG，∠AFE＝∠EGC．又∵EF⊥CE，∴CE垂直平分FG，∴△CGF是等腰三角形．∴∠AFE＝∠EGC＝∠EFC．又∵∠A＝∠FEC＝90°，∴△AEF∽△ECF；（3）解：存在使得△AEF與△BFC相似．理由：假設(shè)△AEF與△BFC相似，存在兩種情況：①當(dāng)∠AFE＝∠BCF，則有∠AFE與∠BFC互余，于是∠EFC＝90°，因此此種情況不成立；②當(dāng)∠AFE＝∠BFC，使得△AEF與△BFC相似，設(shè)BC＝a，則AB＝ka，∵△AEF∽△BCF，∴，∴AF＝，BF＝，∵△AEF∽△DCE，∴，即，解得，．∴存在使得△AEF與△BFC相似．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，全等三角形的判定與及性質(zhì)，等腰三角形的判定及性質(zhì)，采用分類討論的思想是解決本題的關(guān)鍵．11．如圖，正方形ABCD的邊長為1，點E是AD邊上的動點，從點A沿AD向點D運動，以BE為邊，在BE的上方作正方形BEFG，連接CG．（1）求證：；（2）若設(shè)AE=x，DH=y，當(dāng)x取何值時，y有最大值？并求出這個最大值；（3）連接BH，當(dāng)點E運動到AD的何位置時有？【答案】（1）見解析；（2）當(dāng)，有最大值；（3）當(dāng)點E是AD的中點【分析】（1）由同角的余角相等得到∠ABE=∠CBG，從而全等三角形可證；（2）先證明△ABE∽△DEH，得到，即可求出函數(shù)解析式y(tǒng)=-x2+x，繼而求出最值．（3）由（2），再由，可得，則問題可證．【詳解】（1）證明：∵∠ABE+∠EBC=∠CBG+∠EBC=90°∴∠ABE=∠CBG在△AEB和△CGB中：∠BAE=∠BCG=90°，AB=BC，∠ABE=∠CBG∴△AEB≌△CGB（ASA）（2）如圖∵四邊形ABCD，四邊形BEFG均為正方形

∴∠A=∠D=90°,∠HEB=90°∴∠DEH+∠AEB=90°，∠DEH+∠DHE=90°∴∠DHE=∠AEB∴△ABE∽△DEH

∴∴∴故當(dāng)，有最大值（3）當(dāng)點E是AD的中點時有△BEH∽△BAE．理由：∵點E是AD的中點時由（2）可得

又∵△ABE∽△DEH∴，又∵∴又∠BEH=∠BAE=90°∴△BEH∽△BAE【點睛】本題結(jié)合正方形的性質(zhì)考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，以及正方形的性質(zhì)和相似三角形的判定，解答關(guān)鍵是根據(jù)題意找出相似三角形構(gòu)造等式．12．如圖，在四邊形中，，，且，，若點是上的一點，且，求證：．【答案】見解析【分析】當(dāng)∠BPC=∠A時，∠ABP+∠APB+∠A=180°，而∠APB+∠DPC+∠BPC=180°，因此∠ABP=∠DPC，此時三角形ABP與三角形DPC相似．【詳解】證明：∵AD∥BC，AD＜BC，AB=DC=2，∴∠A=∠D∵∠ABP+∠APB+∠A=180°，∠APB+∠DPC+∠BPC=180°，∠BPC=∠A∴∠ABP=∠DPC，∴△ABP∽△DPC．【點睛】本題考查了相似三角形的判定，根據(jù)已知得出∠ABP=∠DPC是解題的關(guān)鍵．13．在矩形ABCD中，E為DC邊上一點，把沿AE翻折，使點D恰好落在BC邊上的點F．（1）求證：；（2）若AB＝2，AD＝4，求EC的長．【答案】（1）證明見解析；（2）．【分析】（1）先根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，再根據(jù)翻折的性質(zhì)可得，然后根據(jù)角的和差、直角三角形的性質(zhì)可得，最后根據(jù)相似三角形的判定即可得證；（2）設(shè)，先根據(jù)翻折的性質(zhì)可得，再根據(jù)勾股定理可得，從而可得，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得．【詳解】（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴，由翻折的性質(zhì)得：，∴，∴，在和中，，∴；（2）設(shè)，由翻折的性質(zhì)得：，∴，∵四邊形ABCD是矩形，，∴，由（1）可知，，∴，即，解得，即．【點睛】本題考查了矩形的翻折問題、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識點，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．14．如圖，△ABC為等腰直角三角形，∠A＝90°，D為AB的中點，點E在BC上，點F在AC上，且∠DEF＝45°．（1）求證：△BED∽△CFE；（2）若BD＝3，BE＝2，求CF的長．【答案】（1）見解析；（2）CF＝．【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠B＝∠C，然后根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得到∠BDE＝∠CEF，從而證得結(jié)論；（2）首先求出線段CE的長，再利用△BED∽△CFE得出=，最后得出結(jié)果．【詳解】(1)證明：∵△ABC為等腰直角三角形，∠A＝90°，∴∠B＝∠C＝45°.∵∠DEC＝∠B＋∠BDE＝∠DEF＋∠CEF，∠DEF＝45°，∴∠BDE＝∠CEF，∴△BED∽△CFE.(2)∵D為AB的中點，∴AB＝2AD＝6，∴BC＝AB＝6，∴CE＝BC－BE＝4.由(1)知△BED∽△CFE，∴=，∴＝，∴CF＝.【點睛】本題考查了相似三角形判定與性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握這些性質(zhì)和判定．15．如圖，正方形ABCD的邊長等于，P是BC邊上的一動點，∠APB、∠APC的角平分線PE、PF分別交AB、CD于E、F兩點，連接EF．（1）求證：△BEP∽△CPF；（2）當(dāng)∠PAB＝30°時，求△PEF的面積．【答案】（1）詳見解析；（2）．【分析】（1）由于PE平分∠APB，PF平分∠APC，所以∠EPF＝90°，然后根據(jù)相似三角形的判定即可求證△BEP∽△CPF；（2）由題意可知∠BPE＝30°，∠FPC＝60°，根據(jù)含30度的直角三角形的性質(zhì)即可求出答案．【詳解】（1）∵PE平分∠APB，PF平分∠APC，∴∠APE＝∠APB，∠APF＝∠APC，∴∠APE+∠APF＝（∠APB+∠APC）＝90°，∴∠EPF＝90°，∴∠EPB+∠BEP＝∠EPB+∠FPC＝90°，∴∠BEP＝∠FPC，∵∠B＝∠C＝90°，∴△BEP∽△CPF；（2）∵∠PAB＝30°，∴∠BPA＝60°，∴∠BPE＝30°，在Rt△ABP中，∠PAB＝30°，AB＝，∴BP＝1，在Rt△BPE中，∠BPE＝30°，BP＝1，∴EP＝，∵CP＝﹣1，∠FPC＝60°，∴PF＝2CP＝2﹣2，∴△PEF的面積為：PE?PF＝2﹣．【點睛】本題考查相似三角形的綜合問題，解題的關(guān)鍵是熟練運用相似三角形的性質(zhì)與判定，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，本題屬于中等題型．16．（1）問題如圖1，在四邊形中，點P為上一點，當(dāng)時，求證：．（2）探究若將角改為銳角（如圖2），其他條件不變，上述結(jié)論還成立嗎？說明理由．（3）應(yīng)用如圖3，在中，，，以點A為直角頂點作等腰．點D在上，點E在上，點F在上，且，若，求的長．【答案】（1）見解析；（2）成立；理由見解析；（3）5【分析】（1）由可得,即可證到，然后運用相似三角形的性質(zhì)即可解決問題；（2）由可得,即可證到，然后運用相似三角形的性質(zhì)即可解決問題；（3）證明,求出，再證,可求,進而解答即可．【詳解】解：（1）證明：如圖1，，，，又，；（2）結(jié)論仍成立；理由：如圖2，，又，，，，又，，；（3）,,,是等腰直角三角形

是等腰直角三角形又即解得．【點睛】本題考查相似三角形的綜合題，三角形的相似，正切值的求法，能夠通過構(gòu)造角將問題轉(zhuǎn)化為一線三角是解題的關(guān)鍵．17．如圖，已知邊長為10的正方形是邊上一動點（與不重合），連結(jié)是延長線上的點，過點作的垂線交的角平分線于點，若．（1）求證：；（2）若，求的面積；（3）請直接寫出為何值時，的面積最大．【答案】（1）見解析；（2）8；（3）5【分析】（1）先判斷出CG=FG，再利用同角的余角相等，判斷出∠BAE=∠FEG，進而得出△ABE∽△EGF，即可得出結(jié)論；（2）先求出BE=8，進而表示出EG=2+FG，由△BAE∽△GEF，得出，求出FG，最后用三角形面積公式即可得出結(jié)論；（3）同（2）的方法，即可得出S△ECF=，即可得出結(jié)論.【詳解】解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴∠DCG=90°，∵CF平分∠DCG，∴∠FCG=∠DCG=45°，∵∠G=90°，∴∠GCF=∠CFG=45°，∴FG=CG，∵四邊形ABCD是正方形，EF⊥AE，∴∠B=∠G=∠AEF=90°，∴∠BAE+∠AEB=90°，∠AEB+∠FEG=90°，∴∠BAE=∠FEG，∵∠B=∠G=90°，∴△BAE∽△GEF；（2）∵AB=BC=10，CE=2，∴BE=8，∴FG=CG，∴EG=CE+CG=2+FG，由（1）知，△BAE∽△GEF，∴，∴，∴FG=8，∴S△ECF=CE?FG=×2×8=8；（3）設(shè)CE=x，則BE=10-x，∴EG=CE+CG=x+FG，由（1）知，△BAE∽△GEF，∴，∴，∴FG=10-x，∴S△ECF=×CE×FG=×x?（10-x）=，當(dāng)x=5時，S△ECF最大=，∴當(dāng)EC=5時，的面積最大.【點睛】此題是相似形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，角平分線，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積公式，判斷出△BAE∽△GEF是解本題的關(guān)鍵．18．在中，，，點在所在的直線上運動，作（、、按逆時針方向）．（1）如圖，若點在線段上運