離散型隨機變量的方差（第1課時）高二下學期數(shù)學人教A版（2019）選擇性必修第三冊

第七章7.3.2離散型隨機變量的方差第1課時離散型隨機變

量的方差復習回顧1.離散型隨機變量的均值：一般地，若離散型隨機變量X的分布列如下表所示，Xx1x2???xnPp1p2???pn則稱為隨機變量X的均值或數(shù)學期望，數(shù)學期望簡稱期望.若X服從兩點分布，則E(X)=_____p數(shù)學期望的線性性質:E(aX＋b)=__________aE(X)＋b2.求離散型隨機變量均值的步驟：(1)確定隨機變量取值(2)求概率(3)寫分布列(4)求均值離散型隨機變量的數(shù)字特征——一組數(shù)據(jù)的均值和方差樣本均值：樣本方差：

已知一組樣本數(shù)據(jù)：x1，x2，…，xn

反映這組數(shù)據(jù)相對于平均值的集中程度的量回顧3什么是一組數(shù)據(jù)的均值和方差？新課導入離散型隨機變量的分布列全面地刻畫了這個隨機變量的取值規(guī)律.但在解決有些實際問題時，直接使用分布列并不方便，例如，要比較不同班級某次考試成績，通常會比較平均成績；要比較兩名射箭運動員的射箭水平，一般會比較他們射箭的成績(平均環(huán)數(shù)或總環(huán)數(shù))以及穩(wěn)定性.因此，類似于研究一組數(shù)據(jù)的均值和方差，我們也可以研究離散型隨機變量的均值和方差，它們統(tǒng)稱為隨機變量的數(shù)字特征.問題1從兩名同學中挑出一名代表班級參加射擊比賽.根據(jù)以往的成績記錄，甲、乙兩名同學擊中目標靶的環(huán)數(shù)X和Y的分布列如下表所示.如何評價這兩名同學的射擊水平?X678910P0.090.240.320.280.07Y678910P0.070.220.380.300.03通過計算可得，由于兩個均值相等，所以用均值不能區(qū)分這兩名同學的射擊水平.評價射擊水平，除了要了解擊中環(huán)數(shù)的均值外，還要考慮穩(wěn)定性，即擊中環(huán)數(shù)的離散程度.E(X)=8；E(Y)=8離散型隨機變量的方差知識梳理設離散型隨機變量X的分布列為(1)方差：D(X)＝

＝(xi－E(X))2pi.(2)標準差：

，記為σ(X).Xx1x2…xnPp1p2…pn(x1－E(X))2

p1

＋(x2－E(X))2

p2＋…＋(xn－E(X))2pn在方差的計算中，為了使運算簡化，還可以用下面的結論.證明：知識梳理注意點：(1)一般地，隨機變量的方差是非負常數(shù).(2)D(X)越小，隨機變量X越穩(wěn)定，波動越小.(3)方差也可以用公式D(X)＝E(X2)－(E(X))2計算.(4)若X服從兩點分布，則D(X)＝p(1－p).(其中p為成功概率)跟蹤訓練1甲、乙兩名射手在一次射擊中得分為兩個相互獨立的隨機變量ξ與η，且ξ，η的分布列如表所示.(1)求a，b的值；ξ123Pa0.10.6η123P0.3b0.3(2)分別計算ξ，η的均值與方差，并以此分析甲、乙的技術狀況.反思感悟(1)求離散型隨機變量方差的步驟①理解隨機變量X的意義，寫出X的取值.②求出X取每個值的概率.③寫出X的分布列.④計算E(X).⑤計算D(X).(2)解題時可采用比較分析法，通過比較兩個隨機變量的均值和方差得出結論.均值體現(xiàn)了隨機變量取值的平均水平，方差體現(xiàn)了隨機變量取值的離散程度.1拋擲一枚質地均勻的骰子，求擲出的點數(shù)X的方差.解：隨機變量X的分布列為典例解析方差的性質知識梳理離散性隨機變量的方差的性質若Y＝aX＋b，其中a，b均是常數(shù)(X是隨機變量)，則Y也是隨機變量，且D(aX＋b)＝

.a2D(X)方差的性質：一般地，可以證明下面的結論成立：問題2

你能推導出D(X)與D(aX＋b)的關系嗎？例2已知X的分布列如表所示：(1)求X2的分布列；(2)計算X的方差；反思感悟方差性質應用的關注點(1)公式：D(aX＋b)＝a2D(X).(2)優(yōu)勢：既避免了求隨機變量Y＝aX＋b的分布列，又避免了涉及大數(shù)的計算，從而簡化了計算過程.√方差的實際應用例3某保險公司對一個擁有20000人的企業(yè)推出一款意外險產品，每年每位職工只要交少量保費，發(fā)生意外后可一次性獲得若干賠償金，保險公司把企業(yè)的所有崗位共分為A，B，C三類工種，從事這三類工種的人數(shù)分別為12000，6000，2000，由歷史數(shù)據(jù)統(tǒng)計出三類工種的賠付頻率如表(并以此估計賠付概率)：工種類別ABC賠付頻率已知A，B，C三類工種的職工每人每年保費分別為25元、25元、40元，出險后的賠償金額分別為100萬元、100萬元、50萬元，保險公司在開展此項業(yè)務過程中的固定支出為每年10萬元.(1)求保險公司在該業(yè)務中所獲利潤的均值；設A，B，C三類工種的職工的每份保單保險公司的收益分別為隨機變量X，Y，Z，則X，Y，Z的分布列分別為保險公司所獲利潤的均值為12000×15＋6000×5－2000×10－100000＝90000，所以保險公司在該業(yè)務中所獲利潤的均值為9萬元.(2)現(xiàn)有如下兩個方案供企業(yè)選擇：方案1：企業(yè)不與保險公司合作，職工不交保險，出意外企業(yè)自行拿出與保險公司提供的等額賠償金賠付給意外職工，企業(yè)開展這項工作的固定支出為每年12萬元；方案2：企業(yè)與保險公司合作，企業(yè)負責職工保費的70%，職工個人負責保費的30%，出險后賠償金由保險公司賠付，企業(yè)無額外專項開支.請根據(jù)企業(yè)成本差異給出選擇合適方案的建議.方案2：企業(yè)與保險公司合作，則企業(yè)支出保險金額為(12000×25＋6000×25＋2000×40)×0.7＝37.1×104(元).因為46×104>37.1×104，所以建議企業(yè)選擇方案2.反思感悟均值、方差在決策中的作用(1)均值：均值反映了離散型隨機變量取值的平均水平，均值越大，平均水平越高.(2)方差：方差反映了離散型隨機變量取值的離散波動程度，方差越大越不穩(wěn)定.(3)在決策中常結合實際情形依據(jù)均值、方差做出決斷.跟蹤訓練3某投資公司對以下兩個項目進行前期市場調研.項目A：通信設備.根據(jù)調研，投資到該項目上，所有可能結果為獲利40%、虧損20%、不賠不賺，且這三種情況發(fā)生的概率分別為

，a.項目B：新能源汽車.根據(jù)調研，投資到該項目上，所有可能結果為獲利30%、虧損10%，且這兩種情況發(fā)生的概率分別為b，c.經(jīng)測算，當投入A，B兩個項目的資金相等時，它們所獲得的平均收益(即均值)也相等.(1)求a，b，c的值；設投到項目A，B的資金都為x萬元，變量X1和X2分別表示投資項目A和B所獲得的利潤，則X1和X2的分布列分別為X20.3x－0.1xPbcE(X2)＝0.3bx－0.1cx，因為E(X1)＝E(X2)，所以0.3bx－0.1cx＝0.2x，即0.3b－0.1c＝0.2.①又b＋c＝1，

②(2)若將100萬元全部投資其中一個項目，請你從投資回報穩(wěn)定性的角度考慮，為投資公司選擇一個合理的項目，并說明理由.選擇項目B.理由如下：當投入100萬元資金時，由(1)知x＝100，所以E(X1)＝E(X2)＝20，因為E(X1)＝E(X2)，D(X1)>D(X2)，說明雖然項目A和項目B的平均收益相等，但項目B更穩(wěn)妥，所以從投資回報穩(wěn)定性的角度考慮，建議該投資公司選擇項目B.隨堂演練1.已知離散型隨機變量X的分布列為X135P0.5m0.2則其方差D(X)等于A.1 B.0.6 C.2.44D.2.4√X135P0.5m0.2由離散型隨機變量的分布列的性質得0.5＋m＋0.2＝1，解得m＝0.3，所以E(X)＝1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝2.4，所以D(X)＝(1－2.4)2×0.5＋(3－2.4)2×0.3＋(5－2.4)2×0.2＝2.44.2.已知隨機變量X滿足D(X)＝2，則D(3X＋2)等于A.6 B.8C.18 D.20√∵D(X)＝2，∴D(3X＋2)＝9D(X)＝18.3.設隨機試驗的結果只有A發(fā)生和A不發(fā)生，且P(A)＝m，令隨機變量X＝

則X的方差D(X)等于A.m B.2m(