高中數(shù)學(xué)講義（人教B版2019選擇性必修一）第26講24曲線與方程

2.4曲線與方程TOC\o"13"\h\u題型1曲線方程的概念 2題型2由方程研究曲線的性質(zhì) 8題型3曲線與交點(diǎn)問題 16◆類型1交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題 16◆類型2取值范圍相關(guān)問題 21題型4軌跡方程問題 26知識點(diǎn)一.曲線的方程與方程的曲線的定義一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線C與方程F(x，y）=0之間具有如下關(guān)系：1.曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程F（x，y）=0的解;2.以方程F（x，y）=0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線C上.則稱曲線C為方程F（x，y）=0的曲線，方程F（x，y）=0為曲線C的方程.知識點(diǎn)二.兩曲線的交點(diǎn)己知兩條曲線C1和C2的方程分別為F（x，y）=0，G（x，y）=0，求兩條曲線C1和C2的交點(diǎn)坐標(biāo)，只要聯(lián)立兩個(gè)方程得方程組F(x,y)=0G(x,y)=0，求方程組的實(shí)數(shù)解就可以得到知識點(diǎn)三.點(diǎn)的軌跡方程曲線一般都可以看成動點(diǎn)依某種條件運(yùn)動的軌跡,曲線的方程也常稱為滿足某種條件的點(diǎn)的軌跡方程.知識點(diǎn)四.求動點(diǎn)M軌跡方程的一般步驟設(shè)動點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y）（如果沒有平面直角坐標(biāo)系，需先建立）；寫出M要滿足的幾何條件，并將該幾何條件用M的坐標(biāo)表示出來；3.化簡并檢驗(yàn)所得方程是否為M的軌跡方程.題型1曲線方程的概念【方法總結(jié)】曲線與方程概念的理解（1）建立平面直角坐標(biāo)系后，由于平面內(nèi)的點(diǎn)與作為它的坐標(biāo)的有序?qū)崝?shù)對建立了一一對應(yīng)的關(guān)系，曲線上的點(diǎn)所滿足的關(guān)系反映在點(diǎn)的橫坐標(biāo)x與縱坐標(biāo)y之間有一定關(guān)系，這個(gè)關(guān)系通常用關(guān)于x，y的方程F（x，y）=0表示出來.也就是說，曲線的幾何條件在曲線和方程的概念中被轉(zhuǎn)化成方程了.因此，曲線和方程的概念有它的純粹性和完備性."曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解"，這闡明了曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)沒有不滿足方程的（純粹性）；"以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)"，這闡明了適合條件的所有點(diǎn)都在曲線上（完備性）．只有同時(shí)具備了上述兩個(gè)條件才能稱方程F（x，y）=0為曲線C的方程，同時(shí)稱曲線C為方程F（x，y）=0的曲線.它們都是“曲線的方程”和“方程的曲線”的必要條件，兩者都滿足，“曲線的方程"和"方程的曲線"才具備充分性.（2）從集合的意義上來理解曲線和方程的概念如果把直角坐標(biāo)平面內(nèi)曲線上的點(diǎn)所組成的集合記作A，方程F（x，y）=0的解所對應(yīng)的集合記作B，那么曲線和方程之間的兩個(gè)關(guān)系：①曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解；②以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)，反映在集合A和B之間的關(guān)系上，就是A?B且B?A，即A=B.從集合相等的意義上來理解上述兩條規(guī)定的必要性，有助于掌握曲線和方程的概念.【例題1】（2022秋·貴州遵義·高二習(xí)水縣第五中學(xué)校聯(lián)考期末）設(shè)方程x+2A．一個(gè)圓和一條直線 B．一個(gè)圓和一條射線C．一個(gè)圓 D．一條直線【答案】D【分析】先化簡題給方程，即可得到其表示的曲線為一條直線.【詳解】由x?12+則由x+2y?1則方程x+2故選：D【變式11】1.（2023春·四川南充·高二?？茧A段練習(xí)）下列各組方程中，表示相同曲線的一組方程是（

）A．y=x與y2=xC．y2?x2=0與y【答案】C【分析】根據(jù)x,【詳解】A選項(xiàng)，y=x中y≥0，yB選項(xiàng)，y=x中y∈R，xC選項(xiàng)，y=D選項(xiàng)，y=lgx2中x≠0，故選：C【變式11】2.（2023·高二課時(shí)練習(xí)）方程x?1=A．—個(gè)圓 B．兩個(gè)圓C．一個(gè)半圓 D．兩個(gè)半圓【答案】D【分析】方程可化為(|x|?1)2+(【詳解】方程可化為(|x因?yàn)閨x所以x≤?1或x若x≤?1時(shí)，則方程為(若x≥1時(shí)，則方程為(故選：D【變式11】3.（2020秋·上海徐匯·高二位育中學(xué)?？计谥校┤绻€C上的任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程F(A．曲線C的方程是F(x,y)=0 C．方程F(x,y)=0的曲線是C 【答案】B【分析】由曲線方程的定義，結(jié)合集合的包含關(guān)系進(jìn)行邏輯判斷即可.【詳解】設(shè)所有在曲線C上的點(diǎn)構(gòu)成集合A，所有以方程F(x,y)=0A選項(xiàng)等價(jià)于A=B選項(xiàng)等價(jià)于A?C選項(xiàng)等價(jià)于A=D選項(xiàng)等價(jià)于A?故選：B.【變式11】4.（2022春·北京·高三中關(guān)村中學(xué)?？奸_學(xué)考試）曲線C：x+1①曲線C關(guān)于x軸對稱；②曲線C關(guān)于y軸對稱；③曲線C上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是?2,2；④若A?1,0，B1,0，則存在點(diǎn)P，使△PAB其中，所有正確結(jié)論的序號是____________．【答案】①②③【分析】①根據(jù)對稱性的特點(diǎn)，用?y代替y，代入曲線C中，若等式依然成立，則關(guān)于x②根據(jù)對稱性的特點(diǎn)，用?x代替x，代入曲線C中，若等式依然成立，則關(guān)于y③列出不等式，3=(④采用分析法，S△PAB=12?|AB|?|yP|=|yP【詳解】①用?y代替y(x即①正確；②用?x代替x，有(?即②正確；③∵y∴3=(故(x2?1)2?9，即?3?④S△PAB=12?|AB則|yP|>∵3=(∴y2?2<故答案為：①②③．【變式11】5.（多選）（2022秋·江蘇·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知曲線C:A．曲線C關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱 B．曲線C關(guān)于y軸對稱C．x≤?255或【答案】ACD【分析】A選項(xiàng)，利用對稱性質(zhì)判斷即可，取特殊點(diǎn)驗(yàn)證即可B選項(xiàng)；將方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于y的二次方程，由方程有解即可判斷C選項(xiàng)；換元法，令t=x?解之即可得D選項(xiàng).【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)P(x,所以點(diǎn)P1(?x所以A正確；若P(2,1)，因?yàn)辄c(diǎn)P所以B錯(cuò)誤；因?yàn)閤2所以y2所以x2所以x≤?25設(shè)t=x?所以(y所以y2所以t2所以t2所以x2所以D正確．故選：ACD【變式11】6.（2022春·上海奉賢·高二上海市奉賢中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知曲線C:①曲線C是中心對稱圖形；②曲線C是軸對稱圖形；③曲線C恰好經(jīng)過6個(gè)整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）；④設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則曲線C上存在點(diǎn)P，使得|OP其中，所有正確結(jié)論的序號是________．【答案】①②③④【分析】對①，設(shè)曲線C上任意點(diǎn)坐標(biāo)為x,y，則其關(guān)于原點(diǎn)對稱點(diǎn)為?x,?y，再代入曲線C即可判斷①正確.對②，根據(jù)曲線C關(guān)于y=x對稱即可判斷②正確，對③，根據(jù)題意得到x2≤163【詳解】對①，設(shè)曲線C上任意點(diǎn)坐標(biāo)為x,y，則其關(guān)于原點(diǎn)對稱點(diǎn)為將?x,?y代入曲線C故?x,?y對②，設(shè)曲線C上任意點(diǎn)坐標(biāo)為x,y，則其關(guān)于y=將點(diǎn)y,x代入曲線C得：所以曲線C關(guān)于y=對③，y2+xy+x即x可以取的整數(shù)為0,±1,±2.當(dāng)x=0時(shí)，y=±2，過點(diǎn)0,2當(dāng)x=1時(shí)，y2+當(dāng)x=?1時(shí)，y2?當(dāng)x=2時(shí)，y2+2y=0，解得y=0當(dāng)x=?2時(shí)，y2?2y=0，解得y=0所以曲線C恰好經(jīng)過6個(gè)整點(diǎn)0,2，0,?2，2,0，?2,0，2,?2，?2,2，故③正確.對④，設(shè)Px,y，因?yàn)閨因?yàn)?=x2+又因?yàn)閤2+y2+故曲線C上存在點(diǎn)P，滿足OP=故答案為：①②③④題型2由方程研究曲線的性質(zhì)【方法總結(jié)】求曲線方程的步驟1.建系：建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系.用有序?qū)崝?shù)對（x，y）表示曲線上任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)2.寫集合：寫出適合條件p的點(diǎn)M的集合：P={M|p(M)}3.列方程:用坐標(biāo)表示條件p（M），列出方程f（x，y）=04.化簡:化方程f（x，y）=0為最簡形式5.證明:說明以化簡后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上【例題2】（2023·江西新余·統(tǒng)考二模）如果把一個(gè)平面區(qū)域內(nèi)兩點(diǎn)間的距離的最大值稱為此區(qū)域的直徑，那么曲線x4A．32 B．22 C．3【答案】C【分析】利用曲線的對稱性，求解曲線上的點(diǎn)Px,y【詳解】由曲線x4+y2=2的方程可知：若點(diǎn)PPx,y到坐標(biāo)原點(diǎn)0，0由于0≤x2≤2，故當(dāng)根據(jù)對稱性可知：該曲線上兩點(diǎn)間的距離的最大值為2d故選：C【變式21】1.（2023春·四川宜賓·高二宜賓市敘州區(qū)第一中學(xué)校?？计谀┤羟€C的方程為：x3A．曲線C關(guān)于y軸對稱B．曲線C的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,±2)C．曲線C位于直線x=2D．曲線過坐標(biāo)原點(diǎn)【答案】C【分析】根據(jù)方程的性質(zhì)，方程的轉(zhuǎn)化，求導(dǎo)探究單調(diào)性，即可逐一進(jìn)行判斷.【詳解】因x3則2y2=8?x3又8?x3≥0將0,0代入不成立，故D錯(cuò)誤；又y=±若y=y'則y在?∞,2上單調(diào)遞減，當(dāng)x=2時(shí)，y=0，則若y=?y'則y在?∞,2上單調(diào)遞增，又x→?∞時(shí)，y故此時(shí)y≤0因此y的頂點(diǎn)只有一個(gè)，且為2,0，B錯(cuò).故選：C【變式21】2.（多選）（2023·全國·高三專題練習(xí)）橢圓曲線y2+ayA．曲線W關(guān)于直線x=-1B．曲線W關(guān)于直線y=?1C．曲線W上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍為1,+∞D(zhuǎn)．曲線W上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍為1【答案】BD【分析】由特殊值結(jié)合對稱性判斷A；設(shè)點(diǎn)x0,y0在曲線W上，證明點(diǎn)【詳解】由y2+2y對于A：因?yàn)閤?2?12x對于B：設(shè)點(diǎn)x0,y?2?y所以點(diǎn)x0,?2?y對于CD：由y+12≥0，得x?12故選：BD.【變式21】3.（2023·上海黃浦·上海市大同中學(xué)校考三模）曲線Ck：x命題甲：當(dāng)k=命題乙：當(dāng)k=2n，n∈下面說法正確的是（

）A．甲是真命題，乙是真命題 B．甲是真命題，乙是假命題C．甲是假命題，乙是真命題 D．甲是假命題，乙是假命題【答案】A【分析】把k=12代入，變形等式并確定圖形在直線x+y=16的下方（除點(diǎn)【詳解】命題甲：當(dāng)k=12時(shí)，曲線C12由x12+y1而(16?x)?(x+16?8x即有16?x≥x+16?8x因此曲線C12除端點(diǎn)(16,0),(0,16)外，在直線直線x+y=16交x,y所以當(dāng)k=

命題乙：當(dāng)k=2n，n∈N?時(shí)，曲線C2n即曲線C2n關(guān)于x軸對稱，也關(guān)于y軸對稱，且在平行直線x=±曲線C2n是封閉曲線，其面積是曲線與x軸的非負(fù)半軸、y軸的非負(fù)半軸所圍面積顯然12n+12n<4曲線C2n上的點(diǎn)因此S>1，所以曲線圍成的面積4故選：A【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：曲線C的方程為F(x,y)=0，(1)如果F【變式21】4.（多選）（2023秋·浙江嘉興·高二統(tǒng)考期末）已知曲線C：x?1A．C上兩點(diǎn)間距離的最大值為2B．若點(diǎn)Pa,a在C．若C與直線y=xD．若C與圓x2+【答案】BC【分析】根據(jù)題意，作出曲線C的圖象，再數(shù)形結(jié)合逐一判斷選項(xiàng)即可.【詳解】曲線C的圖象是由半圓x?12+y?1

對于A，曲線C上兩點(diǎn)間距離的最大值為d=故A錯(cuò)誤；對于B，由x?12+由x+12+所以當(dāng)點(diǎn)Pa,a在C對于C，由曲線C的圖象可知，當(dāng)直線y=x+m與半圓則由?1?1+m2=2得當(dāng)直線y=x+m與半圓則由1+1+m2=2得所以若C與直線y=x+對于D，曲線C：x?12+y?1當(dāng)圓x2+y2=r2當(dāng)圓x2+y2=r2所以若C與圓x2+y故選：BC【變式21】5.（2023春·四川成都·高二成都市錦江區(qū)嘉祥外國語高級中學(xué)校考期中）作為平面直角坐標(biāo)系的發(fā)明者，法國數(shù)學(xué)家笛卡爾也研究了不少優(yōu)美的曲線，如笛卡爾葉形線，其在平面直角坐標(biāo)系xOy下的一般方程為x3+y3－3axy=0.某同學(xué)對a=1情形下的笛卡爾葉形線的性質(zhì)進(jìn)行了探究，得到了下列結(jié)論，其中錯(cuò)誤的是（

）A．曲線不經(jīng)過第三象限 B．曲線關(guān)于直線y=x對稱C．曲線與直線x+y=－1有公共點(diǎn) D．曲線與直線x+y=－1沒有公共點(diǎn)【答案】C【分析】對于A：當(dāng)x<0,y<0時(shí)，判斷x【詳解】當(dāng)a=1，則方程為對于A：若x<0,y<0所以x3對于B：將點(diǎn)y,x代入方程得所以曲線關(guān)于直線y=x對稱，故B正確；對于C、D：聯(lián)立方程x+由x+y=?1將y=?x?1所以方程組x+故C錯(cuò)誤，D正確；故選：C.【變式21】6.（多選）（2023·廣東廣州·廣州市從化區(qū)從化中學(xué)校考模擬預(yù)測）曲線C是平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F10,1,F2A．曲線C關(guān)于坐標(biāo)軸對稱；B．△F1PC．點(diǎn)P到y(tǒng)軸距離的最大值為2D．點(diǎn)P到原點(diǎn)距離的最小值為22【答案】ABD【分析】先根據(jù)題意求出曲線C的方程，對于A，由對稱的性質(zhì)判斷，對于B，表示出三角形的周長后利用基本不等式可求出其最小值，對于C，將曲線C的方程化為y2的一元二次方程，然后由Δ≥0可求出x的范圍，從而可求出點(diǎn)P到y(tǒng)軸距離的最大值，對于D，將方程化為關(guān)于x2+1的一元二次方程，由Δ≥0【詳解】解：設(shè)Px,y得：4由于方程中x,y的次數(shù)均為偶數(shù)，故其圖象關(guān)于坐標(biāo)軸對稱，故因?yàn)椤鱂1P展開方程得：4x2+1Δ=64x2?12?64將方程化為關(guān)于x2+1的一元二次方程Δ=64y4?64因?yàn)?x2+所以x所以O(shè)P=x2+y故選：ABD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查曲線與方程的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意求出曲線C的方程，然后逐個(gè)分析判斷，考查數(shù)學(xué)計(jì)算能力，屬于較難題.題型3曲線與交點(diǎn)問題◆類型1交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題【例題31】（·全國·高考真題）曲線2y2+3A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【分析】聯(lián)立兩曲線方程，消去y，得到關(guān)于x的一元二次方程，結(jié)合根的判別式作出判斷.【詳解】2y2+3x+3=0整理得：x2其中Δ=?故選：C【變式31】1.（2022·高二課時(shí)練習(xí)）曲線y=1?xA．3 B．2 C．1 D．0【答案】C【分析】作出曲線y=1?x【詳解】由y=1?x2可得x2如下圖所示：因?yàn)樵c(diǎn)O到直線y=?x+所以，曲線y=1?x故選：C.【變式31】2.（2022·江蘇·高二專題練習(xí)）已知A（﹣1，0），B（1，1），若曲線C：x2?yA．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)條件|PA|=2|PB|，運(yùn)用兩點(diǎn)之間的距離公式，可得【詳解】解：設(shè)P(∵A(?1,0)，∴|PA|=(∵|PA∴(x+1)2∵x∴y當(dāng)y=x時(shí)，①式化簡為2x即有兩個(gè)P點(diǎn)5+192,當(dāng)y=?x時(shí)，①式化簡為2x綜上所述，符合條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為2個(gè)．故選：B．【變式31】3.（2021春·浙江·高二期末）直線y=x+3A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】由于已知曲線函數(shù)中含有絕對值符號，將x以0為分界進(jìn)行分類討論，當(dāng)x≥0時(shí)，曲線為焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，當(dāng)x<0時(shí)，曲線為焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，進(jìn)而在坐標(biāo)系中作出直線與曲線的圖像，從而可得出交點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】當(dāng)x≥0時(shí)，曲線y2當(dāng)x<0時(shí)，曲線y29∴曲線y2在同一坐標(biāo)系中作出直線y=可得直線與曲線交點(diǎn)個(gè)數(shù)為3個(gè)．故選：C【點(diǎn)晴】本題討論曲線類型再利用數(shù)形結(jié)合法求交點(diǎn)個(gè)數(shù)是解題的關(guān)鍵．【變式31】4.（2021春·浙江·高二期末）曲線C1:yA．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】對x，y的正負(fù)進(jìn)行分類討論聯(lián)立求解.【詳解】當(dāng)x≥0,y≥0時(shí)，將y2=6當(dāng)x≥0,y<0時(shí)，C當(dāng)x<0,y<0時(shí)，C2:當(dāng)x<0,y≥0時(shí)，C2:綜上所述：兩個(gè)曲線交點(diǎn)個(gè)數(shù)為4.故選：D【變式31】5.（多選）（2021秋·湖南衡陽·高二衡陽市田家炳實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┙o定下列四條曲線中，與直線x+A．y2=?45x B．x22【答案】ABC【分析】分別將直線方程與曲線方程聯(lián)立方程組求解即可【詳解】對于A，由x+y?5=0對于B，將直線方程x+y?5=0對于C，將直線方程x+y?5=0代入x對于D，將直線方程x+y?5=0代入x故選：ABC【變式31】6.（多選）（2022·全國·高三專題練習(xí)）作為平面直角坐標(biāo)系的發(fā)明者，法國數(shù)學(xué)家笛卡爾也研究了不少優(yōu)美的曲線，如笛卡爾葉形線，其在平面直角坐標(biāo)系xOy下的一般方程為x3+yA．曲線不經(jīng)過第三象限B．曲線關(guān)于直線y=C．曲線與直線x+D．曲線與直線x+【答案】ABD【分析】A：當(dāng)x,y<0B：將點(diǎn)(y，x)代入方程，判斷與原方程是否相同即可；C、D：聯(lián)立直線和曲線方程，判斷方程組是否有解即可.【詳解】當(dāng)x,y<0將點(diǎn)y,x代入曲線有程得x3聯(lián)立x3+y將x+y=?1代入得?(x故選：ABD◆類型2取值范圍相關(guān)問題【例題32】（2021·全國·高三專題練習(xí)）若曲線C1:x2?4A．34,+∞ B．?43,?1 【答案】B【分析】曲線C1【詳解】曲線C1:x2曲線C2由?x2?2那么(y?1)2圓心為(?1,1)，半徑為1，作出圖象如下，通過圖象可知y=14那么ky+x?3ky+當(dāng)直線ky+x?3k=0與曲線C2相切于B點(diǎn)時(shí)，可得當(dāng)直線ky+x?3所以恰有三個(gè)不同的交點(diǎn)，則k的取值范圍為?故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：原方程轉(zhuǎn)化為兩條曲線，作出C1【變式32】1.（2022·湖北宜昌·宜昌市夷陵中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知橢圓E:x24+y2【答案】(?【分析】設(shè)圓方程為(x?t)2+y2=r2【詳解】設(shè)圓方程為(x?t)2因?yàn)閳A與橢圓恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，所以Δ=64t2此時(shí)方程（*）的解是x1,2=4t，由?2<4故答案為：?1【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：本題考查圓與橢圓的公共點(diǎn)問題，解題方法利用方程組的解的情況確定公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)，圓心在x軸上的圓與橢圓只有兩個(gè)公共點(diǎn)，則兩方程聯(lián)立消去y得關(guān)于x的方程，此方程有兩個(gè)相等實(shí)根，且實(shí)根在區(qū)間(?a【變式32】2.（2023秋·遼寧沈陽·高二沈陽二十中校聯(lián)考期末）方程4?x2+2【答案】0,5【分析】由2t?x2=2?4?x2，則曲線y=2【詳解】由4?x2+2所以，曲線y=2t?對于曲線y=2?4?x2，整理可得x2+y?22即曲線y=2?4?x由y=2t?x2聯(lián)立x2+y若方程3y2?16y+4此時(shí)方程4?x2+2所以，方程3y2?16因?yàn)槎魏瘮?shù)fy=3y只需f0=4t故答案為：0,5.【變式32】3.（2022秋·北京海淀·高二?？茧A段練習(xí)）已知曲線C1:y?x【答案】(?1,+∞)【分析】先分析得出曲線C1，C2的圖像關(guān)于x軸對稱，則在其中一個(gè)交點(diǎn)在x軸上，在x軸上方恰好有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)y>0時(shí)，曲線C1的方程x=【詳解】曲線C1:y?x=2，用?y代替y曲線C2:x2+my2=4用?曲線C1與曲線C2恰好有三個(gè)不同的公共點(diǎn)，則在其中一個(gè)交點(diǎn)在x軸上，在曲線C1的方程為x=y?2=y?2,y當(dāng)y>0時(shí)，曲線C1的方程x=y?2，則x1+my2?4所以y=41+故答案為：(?1,+∞)【變式32】4.（2023秋·北京·高三校考期末）曲線x24+ay2=1【答案】?【分析】由題意可得x24+【詳解】由題意可得x24+聯(lián)立y=xx易知14+a要x24+ay2=1故答案為:?1【變式32】5.（2023春·湖北孝感·高二統(tǒng)考開學(xué)考試）中國結(jié)是一種手工編織工藝品，因?yàn)槠渫庥^對稱精致，可以代表漢族悠久的歷史，符合中國傳統(tǒng)裝飾的習(xí)俗和審美觀念，故命名為中國結(jié)，中國結(jié)的意義在于它所顯示的情致與智慧正是漢族古老文明中的一個(gè)側(cè)面，也是數(shù)學(xué)奧秘的游戲呈現(xiàn)．它有著復(fù)雜曼妙的曲線，卻可以還原成最單純的二維線條，其中的八字結(jié)對應(yīng)著數(shù)學(xué)曲線中的雙組線．曲線C:A．曲線C的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱B．曲線C經(jīng)過5個(gè)整點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）C．曲線C上任意一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離都不超過3D．若直線y=kx【答案】B【分析】根據(jù)曲線關(guān)于點(diǎn)對稱的性質(zhì)判斷選項(xiàng)A；根據(jù)已知得出曲線經(jīng)過(0,0),(3,0),(?3,0)，再?3≤x≤3的范圍內(nèi)再令x=±1將已知方程變化得出x2根據(jù)已知聯(lián)立方程，用方程解的多少判斷選項(xiàng)D.【詳解】把(?x,?y)代入令y=0解得x=0，或x=±3結(jié)合圖象，?3≤x令x=±1，得y2=?11+151因此結(jié)合圖象曲線C只能經(jīng)過3個(gè)整點(diǎn)，(0,0),(3,0),(?3,0)，故B錯(cuò)誤；x2+y所以曲線C上任意一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離d=直線y=kx與曲線x2若直線y=所以x2+y則1?k2≤0故選：B．題型4軌跡方程問題【方法總結(jié)】對求動點(diǎn)M軌跡方程步驟的幾點(diǎn)說明（1）在第一步中，如果原題中沒有確定坐標(biāo)系，要首先建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，坐標(biāo)系建立得當(dāng)，可使運(yùn)算過程簡單，所得的方程也較簡單.（2）第三步的說明可以省略不寫，如有特殊情況，可以適當(dāng)說明，如某些點(diǎn)雖然其坐標(biāo)滿足方程，但不在曲線上，可以通過限定方程中x（或）的取值予以剔除.（3）求動點(diǎn)的軌跡與求動點(diǎn)的軌跡方程既有聯(lián)系又有區(qū)別，軌跡通常指的是圖形（曲線的形狀），而軌跡方程則是一個(gè)方程.（1）直接法當(dāng)動點(diǎn)直接與已知條件發(fā)生聯(lián)系時(shí)，在設(shè)出曲線上動點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y）后，可根據(jù)題設(shè)條件將普通語言運(yùn)用基本公式（如兩點(diǎn)間距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式、斜率公式、面積公式等）變換成表示動點(diǎn)坐標(biāo)（x，y）間的關(guān)系式（等式）的數(shù)學(xué)語言，從而得到軌跡方程．這種求軌跡方程的方法稱為直接法.直接法求軌跡方程經(jīng)常要聯(lián)系平面圖形的性質(zhì).（2）定義法若動點(diǎn)運(yùn)動的幾何條件滿足某種已知曲線的定義，可以設(shè)出其標(biāo)準(zhǔn)方程，然后用待定系數(shù)法求解，這種求軌跡方程的方法稱為定義法.利用定義法求軌跡方程要善于抓住曲線的定義特征.（3）代入法若所求軌跡上的動點(diǎn)P（x，y）與另一個(gè)已知曲線C：F（x，y）=0上的動點(diǎn)Q（x1，y1）存在著某種聯(lián)系，可把點(diǎn)Q的坐標(biāo)用點(diǎn)P的坐標(biāo)表示出來，然后代入已知曲線C的方程F（x，y）=0，化簡即得所求軌跡方程，這種求軌跡方程的方法稱為代入法（又稱相關(guān)點(diǎn)法）.（4）參數(shù)法如果所求軌跡的動點(diǎn)P（x，y）的坐標(biāo)之間的關(guān)系不易找到，也沒有相關(guān)信息可用時(shí)，可先考慮將x，y用一個(gè)或幾個(gè)參數(shù)來表示，消去參數(shù)得軌跡方程，此法稱為參數(shù)法.參數(shù)法中常選變角、變斜率等為參數(shù).注意：①參數(shù)的取值范圍影響著方程中x和y的取值范圍.②化簡方程前后要注意等價(jià)性.【例題4】（2023·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)M到點(diǎn)F(1,0)的距離比它到y(tǒng)軸的距離多1，記點(diǎn)M的軌跡為C，求軌跡為C【答案】y【分析】設(shè)點(diǎn)M(x,【詳解】設(shè)點(diǎn)M(因?yàn)辄c(diǎn)M到點(diǎn)F(1,0)的距離比它到y(tǒng)軸的距離多1，可得MF所以(x?1)2所以點(diǎn)M的軌跡C的方程為y2【變式41】1.（2022秋·廣東深圳·高二統(tǒng)考期末）已知A(?2,?1),B(2,1)，若動點(diǎn)P滿足直線PA與直線PBA．x26+C．x22?【答案】C【分析】設(shè)出動點(diǎn)P(x,y)(【詳解】設(shè)P(x,y)(又因?yàn)橹本€PA與直線PB的斜率之積為12，所以?1?整理得x2故選：C.【變式41】2.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)F2,0，動點(diǎn)Mx,y到直線l:x=22的距離為d【答案】x【分析】根據(jù)已知條件可得出關(guān)于x、y的等式，化簡后可得出曲線C的方程；【詳解】動點(diǎn)Mx,y到直線l:x由題意知22?x所以曲線C的方程為x2【變式41】3.（2023·全國·高三專題練習(xí)）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯的著作《圓錐曲線論》中給出圓的另一種定義：平面內(nèi)，到兩個(gè)定點(diǎn)距離之比值為常數(shù)λ(λ>0,λ≠1)【答案】x?2【分析】設(shè)點(diǎn)Px,y【詳解】解：設(shè)點(diǎn)Px點(diǎn)P到A(?2,0)的距離是點(diǎn)P到B(1,0)的距離的2倍，可得即x+22+所以點(diǎn)P的軌跡方程為x?2【變式41】4.（2023春·福建莆田·高二