13.5 逆命題與逆定理（難點(diǎn)練）解析版

13.5逆命題與逆定理（難點(diǎn)練）一、單選題1．（2021·湖北武漢·）如圖，點(diǎn)是線段上任意一點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)，不重合），分別以、為邊在直線的同側(cè)作等邊三角形和等邊三角形，與相交于點(diǎn)、與相交于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，連，則下列結(jié)論：①；②；③平分；④．其中正確的結(jié)論有（）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】A【分析】利用等邊三角形的性質(zhì)，證明從而可判斷①，由可得再利用三角形的內(nèi)角和定理可判斷②，如圖，過(guò)作交于過(guò)作交于利用全等三角形的對(duì)于高相等證明從而可判斷③，如圖，在上截取連接證明為等邊三角形，再證明可得從而可判斷④．【詳解】解：為等邊三角形，即故①符合題意；故②符合題意；如圖，過(guò)作交于過(guò)作交于為對(duì)應(yīng)邊，平分故③符合題意；如圖，在上截取連接為等邊三角形，故④符合題意；綜上：①②③④都符合題意，故選：【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的判定，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．2．（2021·四川省營(yíng)山縣第二中學(xué)八年級(jí)月考）如圖，Rt△ACB中，∠ACB=90°，△ACB的角平分線AD，BE相交于點(diǎn)P，過(guò)P作PF⊥AD交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)H，則下列結(jié)論：①∠APB=135°；

②AD=PF+PH；③DH平分∠CDE；④S四邊形ABDE=S△ABP；⑤S△APH=S△ADE，其中正確的結(jié)論有（）個(gè)A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】①正確．利用三角形內(nèi)角和定理以及角平分線的定義即可解決問(wèn)題．②正確．證明△ABP≌△FBP，推出PA=PF，再證明△APH≌△FPD，推出PH=PD即可解決問(wèn)題．③錯(cuò)誤．利用反證法，假設(shè)成立，推出矛盾即可．④錯(cuò)誤，可以證明S四邊形ABDE=2S△ABP．⑤正確．由DH∥PE，利用等高模型解決問(wèn)題即可．【詳解】解：在△ABC中，AD、BE分別平分∠BAC、∠ABC，∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，又∵AD、BE分別平分∠BAC、∠ABC，∴∠BAD+∠ABE=（∠A+∠B）=45°，∴∠APB=135°，故①正確．∴∠BPD=45°，又∵PF⊥AD，∴∠FPB=90°+45°=135°，∴∠APB=∠FPB，又∵∠ABP=∠FBP，BP=BP，∴△ABP≌△FBP（ASA），∴∠BAP=∠BFP，AB=FB，PA=PF，在△APH和△FPD中，，∴△APH≌△FPD（ASA），∴PH=PD，∴AD=AP+PD=PF+PH．故②正確．∵△ABP≌△FBP，△APH≌△FPD，∴S△APB=S△FPB，S△APH=S△FPD，PH=PD，∵∠HPD=90°，∴∠HDP=∠DHP=45°=∠BPD，∴HD∥EP，∴S△EPH=S△EPD，∴S△APH=S△AED，故⑤正確，∵S四邊形ABDE=S△ABP+S△AEP+S△EPD+S△PBD=S△ABP+（S△AEP+S△EPH）+S△PBD=S△ABP+S△APH+S△PBD=S△ABP+S△FPD+S△PBD=S△ABP+S△FBP=2S△ABP，故④不正確．若DH平分∠CDE，則∠CDH=∠EDH，∵DH∥BE，∴∠CDH=∠CBE=∠ABE，∴∠CDE=∠ABC，∴DE∥AB，這個(gè)顯然與條件矛盾，故③錯(cuò)誤，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的判定與性質(zhì)，三角形全等的判定方法，三角形內(nèi)角和定理，三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．3．（2021·全國(guó)八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，中，的平分線與邊的垂直平分線相交于D，交的延長(zhǎng)線于E，于F，現(xiàn)有下列結(jié)論：①；②；③平分;④，其中正確的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】①由角平分線的性質(zhì)可知①正確；②由題意可知，故此可知，，從而可證明②正確；③若平分，則，從而得到為等邊三角形，條件不足，不能確定，故③錯(cuò)誤；④連接、，然后證明，從而得到，從而可證明④．【詳解】解：如圖所示：連接、．①平分，，，．①正確．②，平分，．，．，，．同理：．．②正確．③由題意可知：．假設(shè)平分，則，又，．．是否等于不知道，不能判定平分，故③錯(cuò)誤．④是的垂直平分線，．在和中，．．又，，．故④正確．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是全等三角形的性質(zhì)和判定、角平分線的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握本題的輔助線的作法是解題的關(guān)鍵．4．（2021·全國(guó)八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖在中，和的平分線交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于，交于，過(guò)點(diǎn)作于，下列四個(gè)結(jié)論：其中正確的結(jié)論有（）個(gè)．①；②；③點(diǎn)到各邊的距離相等；④設(shè),，則；⑤的周長(zhǎng)等于的和．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】①根據(jù)∠ABC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)G可得出∠EBG=∠CBG，∠BCG=∠FCG，再由EF∥BC可知∠CBG=∠EGB，∠BCG=∠CGF，故可得出BE=EG，GF=CF，由此可得出結(jié)論；②先根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出∠GBC+∠GCB=（∠ABC+∠ACB），再由三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論；③根據(jù)三角形角平分線的性質(zhì)即可得出結(jié)論；④連接AG，由三角形的面積公式即可得出結(jié)論；⑤根據(jù)BE=EG，GF=CF，進(jìn)行等量代換可得結(jié)論．【詳解】解：①∵∠ABC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)G，∴∠EBG=∠CBG，∠BCG=∠FCG．∵EF∥BC，∴∠CBG=∠EGB，∠BCG=∠CGF，∴∠EBG=∠EGB，∠FCG=∠CGF，∴BE=EG，GF=CF，∴EF=EG+GF=BE+CF，故①正確；②∵∠ABC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)G，∴∠GBC+∠GCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°-∠A），∴∠BGC=180°-（∠GBC+∠GCB）=180°-（180°-∠A）=90°+∠A，故②錯(cuò)誤；③∵∠ABC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)G，∴點(diǎn)G也在∠BAC的平分線上，∴點(diǎn)G到△ABC各邊的距離相等，故③正確；④連接AG，作GM⊥AB于M，如圖所示：∵點(diǎn)G是△ABC的角平分線的交點(diǎn)，GD=m，AE+AF=n，∴GD=GM=m，∴S△AEF=AE?GM+AF?GD=（AE+AF）?GD=nm，故④錯(cuò)誤．⑤∵BE=EG，GF=CF，∴AE+AF+EF=AE+AF+EG+FG=AE+AF+BE+CF=AB+AC，即△AEF的周長(zhǎng)等于AB+AC的和，故⑤正確，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)；熟練掌握角平分線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理及三角形內(nèi)心的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2021·武漢市南湖中學(xué)八年級(jí)月考）如圖，中，，D為外一點(diǎn)，且，與交于E，為的平分線．當(dāng)時(shí)，下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的是（）A．①③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④【答案】C【分析】由題意可證點(diǎn)A，點(diǎn)C，點(diǎn)B，點(diǎn)D四點(diǎn)共圓，可得∠ADC=∠ABC=45°；由角平分線的性質(zhì)和外角性質(zhì)可得∠AFD=∠BDF+∠DBF＞∠ADF，可得AD≠AF；如圖，延長(zhǎng)CD至G，使DE=DG，在BD上截取DH=AD，連接HF，由“SAS”可證△ADF≌△HDF，可得∠DHF=∠DAF=30°，AF=HF，由等腰三角形的性質(zhì)可得BH=AF，可證BD=BH+DH=AF+AD；由“SAS”可證△BDG≌△BDE，可得∠BGD=∠BED=75°，由三角形內(nèi)角和定理和等腰三角形的性質(zhì)可得BC=CG=2DE+EC．【詳解】解：∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠ABC=∠ACB=45°，且∠ACD=15°，∵∠BCD=30°，∵∠BAC=∠BDC=90°，∴點(diǎn)A，點(diǎn)C，點(diǎn)B，點(diǎn)D四點(diǎn)共圓，∴∠ADC=∠ABC=45°，故①符合題意，∠ACD=∠ABD=15°，∠DAB=∠DCB=30°，∵DF為∠BDA的平分線，∴∠ADF=∠BDF，∵∠AFD=∠BDF+∠DBF＞∠ADF，∴AD≠AF，故②不合題意，如圖，延長(zhǎng)CD至G，使DE=DG，在BD上截取DH=AD，連接HF，∵DH=AD，∠HDF=∠ADF，DF=DF，∴△ADF≌△HDF（SAS），∴∠DHF=∠DAF=30°，AF=HF，∵∠DHF=∠HBF+∠HFB=30°，∴∠HBF=∠BFH=15°，∴BH=HF，∴BH=AF，∴BD=BH+DH=AF+AD，故③符合題意，∵∠ADC=45°，∠DAB=30°=∠BCD，∴∠BED=∠ADC+∠DAB=75°，∵GD=DE，∠BDG=∠BDE=90°，BD=BD，∴△BDG≌△BDE（SAS），∴∠BGD=∠BED=75°，∴∠GBC=180°-∠BCD-∠BGD=75°，∴∠GBC=∠BGC=75°，∴BC=CG，∴BC=CG=2DE+EC，∴BC-EC=2DE，故④符合題意，故選：C．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是本題的關(guān)鍵．6．（2020·浙江紹興·八年級(jí)模擬預(yù)測(cè)）如圖，在和中，，，，，連接，交于點(diǎn)M，連結(jié)．下列結(jié)論：①；②；③平分；④平分．其中正確的是（）A．①② B．②③ C．①②③ D．①②④【答案】D【分析】由SAS證明△AOC≌△BOD得出∠OCA=∠ODB，AC=BD，②正確；由全等三角形的性質(zhì)得出∠OAC=∠OBD，由三角形的外角性質(zhì)得：∠AMB+∠OBD=∠OAC+∠AOB，得出∠AMB=∠AOB=40°，①正確；作OG⊥AM于G，OH⊥DM于H，如圖所示：則∠OGA=∠OHB=90°，利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高相等，得出OG=OH，由角平分線的判定方法得出MO平分∠AMD，④正確；假設(shè)MO平分∠AOD，則∠DOM=∠AOM，由全等三角形的判定定理可得△AMO≌△DMO，得AO=OD，而OC=OD，所以O(shè)A=OC，而OA＜OC，故③錯(cuò)誤；即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵∠AOB=∠COD=40°，

∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，

即∠AOC=∠BOD，

在△AOC和△BOD中，，∴△AOC≌△BOD（SAS），

∴∠OCA=∠ODB，AC=BD，故②正確；同時(shí)∠OAC=∠OBD，

由三角形的外角性質(zhì)得：

∠AMB+∠OBD=∠OAC+∠AOB，

∴∠AMB=∠AOB=40°，故①正確；作OG⊥AM于G，OH⊥DM于H，如圖所示，

則∠OGA=∠OHB=90°，

∵△AOC≌△BOD，

∴OG=OH，

∴MO平分∠AMD，故④正確；假設(shè)MO平分∠AOD，則∠DOM=∠AOM，

在△AMO與△DMO中，，∴△AMO≌△DMO（ASA），

∴AO=OD，

∵OC=OD，

∴OA=OC，

而OA＜OC，故③錯(cuò)誤；

正確的個(gè)數(shù)有3個(gè)；

故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)、角平分線的判定等知識(shí)；證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．7．（2020·首都師范大學(xué)附屬育新學(xué)校八年級(jí)月考）如圖，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，且AD，BE交于點(diǎn)O，延長(zhǎng)AC至點(diǎn)P，使CP=CD，連接BP，OP；延長(zhǎng)AD交BP于點(diǎn)F．則下列結(jié)論：①BP=AD：②BF=CP：③AC+CD=AB：④PO⊥BE；⑤BP=2PF．其中正確的是（）A．①③⑤ B．①②③④ C．①③④⑤ D．①②③④⑤【答案】C【分析】根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)，角平分線的定義，垂直平分線的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)逐個(gè)分析即可．【詳解】∵AC=BC，∠ACB=∠PCD=90°，CP=CD，∴，則BP=AD，故①正確；由得∠PBC=∠DAC，則，∵AD平分∠BAC，∴∠BAF=∠PAF，，假設(shè)，在和中，，，，，，在中，，又，，與相矛盾，則假設(shè)不成立，②錯(cuò)誤；在與中，，∴，，即，故③正確；由得BF=PF，則，故⑤正確；，AD平分∠BAC，AF為BP的垂直平分線，OB=OP，為等腰三角形，，，又AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，，，∴，為等腰直角三角形，且，即，故④正確；綜上，①③④⑤正確，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定定理與性質(zhì)、角平分線的定義、垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，能夠根據(jù)所學(xué)綜合分析圖中的全等三角形是解題關(guān)鍵．8．（2019·浙江黃巖·八年級(jí)期末）如圖，已知，在的平分線上有一點(diǎn)，將一個(gè)60°角的頂點(diǎn)與點(diǎn)重合，它的兩條邊分別與直線，相交于點(diǎn)，．下列結(jié)論：（1）；（2）；（3）；（4），，則；其中正確的有（）．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】A【分析】過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，根據(jù)的平分線上有一點(diǎn)，得，，從而得，，；當(dāng)，在射線，上時(shí)，通過(guò)證明，得；當(dāng)，在直線，射線上時(shí)，通過(guò)，得；當(dāng)，在直線、上時(shí)，得，即可完成求解．【詳解】過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)∵平分又∵∴，，∴∴，，①當(dāng)，在射線，上時(shí)∴∵，∴∴，∴．②如圖，當(dāng)，在直線，射線上時(shí)∴；③如圖，當(dāng)，在直線、上時(shí)∴綜上：②③④錯(cuò)誤；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線、全等三角形、直角三角形兩銳角互余的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握角平分線、全等三角形的性質(zhì)，從而完成求解.二、填空題9．（2021·湖北荊門(mén)·八年級(jí)期末）如圖，在中，和的平分線相交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于，交于，過(guò)點(diǎn)作于，下列結(jié)論：①：②點(diǎn)到各邊的距離相等；③：④；⑤設(shè)，，則；其中正確的結(jié)論是______．【答案】①②③④【分析】由∠ABC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O，可得結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理可得再次利用內(nèi)角和定理可判斷①，如圖1，過(guò)點(diǎn)O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，結(jié)合利用角平分線的性質(zhì)可判斷②，利用平行線的性質(zhì)與角平分線的定義證明可判斷③，如圖2，過(guò)點(diǎn)O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，連接OA，證明可得同理可得：從而可判斷④，如圖2，由，結(jié)合從而可判斷⑤．【詳解】解：∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O，∴∴故①符合題意；如圖1，過(guò)點(diǎn)O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，∵平分∠ABC，平分∠ACB，故②符合題意；∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O，∴∠OBC=∠OBE，∠OCB=∠OCF，∵，∴∠OBC=∠EOB，∠OCB=∠FOC，∴∠EOB=∠OBE，∠FOC=∠OCF，∴BE=OE，CF=OF，∴EF=OE+OF=BE+CF，故③符合題意；如圖2，過(guò)點(diǎn)O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，連接OA，平分同理可得：故④符合題意，如圖2，由②得：ON=OD=OM=m，∴，故⑤不符合題意．故答案為：①②③④．【點(diǎn)睛】本題考查的是角平分線的定義與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．10．（2020·仙居縣白塔中學(xué)八年級(jí)期中）如圖，在四邊形ABCD中，∠C＝55°，∠B＝∠D＝90°，E，F(xiàn)分別是線段BC，DC上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)周長(zhǎng)最小時(shí)，∠EAF的度數(shù)為_(kāi)___．【答案】【分析】先利用四邊形的內(nèi)角和求解，要使的周長(zhǎng)最小，即利用點(diǎn)的對(duì)稱，使三角形的三邊在同一直線上，作出A關(guān)于BC和CD的對(duì)稱點(diǎn)，即可得出進(jìn)而得出即可得出答案．【詳解】解：作A關(guān)于BC和CD的對(duì)稱點(diǎn)，連接，交BC于E，交CD于F，則即為的周長(zhǎng)最小值．∵∠C=55°，∠ABC=∠ADC=90°，∴∠DAB=125°，∴∵∴∴∠EAF=故答案為70°．【點(diǎn)睛】本題考查的是軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題，同時(shí)考查了三角形的內(nèi)角和定理，四邊形的內(nèi)角和定理，垂直平分線的性質(zhì)，根據(jù)軸對(duì)稱得出E，F(xiàn)的位置是解題關(guān)鍵．11．（2020·廣州市南武中學(xué)）如圖，中，，AB>AC，兩內(nèi)角的平分線CD、BE交于點(diǎn)O，平分交BC于F，（1）；（2）連AO，則AO平分；（3）A、O、F三點(diǎn)在同一直線上；（4）OD=OE；（5）BD+CE=BC．其中正確的結(jié)論是__________．（填序號(hào)）【答案】①②④⑤．【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ABC+∠ACB度數(shù)，求出∠EBC+∠DCB度數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠BOC即可判斷①，過(guò)O作OM⊥AB于M，OQ⊥AC于Q，ON⊥BC于N，根據(jù)角平分線性質(zhì)求出OQ=OM=ON，根據(jù)角平分線性質(zhì)求出AO平分∠BAC即可判斷②；假設(shè)三點(diǎn)共線，利用三角形的外角的性質(zhì)逆推可得：與已知條件AB>AC，得＞，互相矛盾，可判斷③，證，即可推出OD=OE，從而判斷④，通過(guò)全等求出BM=BN，CN=CQ，代入即可求出BD+CE=BC，從而判斷⑤．【詳解】解：∵∠A=60°，∴∴∵BE平分∠ABC，CD平分∠ACB，∴∴∴∴①正確；過(guò)O作OM⊥AB于M，OQ⊥AC于Q，ON⊥BC于N，∵O是∠ABC和∠ACB的角平分線交點(diǎn)，∴OM=ON，ON=OQ，∴OQ=OM，∴O在∠A平分線上，∴②正確；如圖，若三點(diǎn)共線，∵AB＞AC，∴∠ABC＜∠ACB，所以：A、O、F不在同一直線上，∴③錯(cuò)誤；∵∴OM⊥AB，OQ⊥AC，ON⊥BC，∴∠AMO=∠AQO=90°，∵∠A=60°，∴∠MOQ=120°，∴∠DOM=∠EOQ，在和中，∴（AAS），∴OE=OD，∴④正確；在與中，∴，同理，，∴，∵DM=EQ，∴BC=BD+CE，∴⑤正確；故答案為：①②④⑤．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，三角形的外角的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．12．（2019·山西八年級(jí)月考）如圖，等腰中，，點(diǎn)是邊上不與點(diǎn)、重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線垂直平分，垂足為．當(dāng)是等腰三角形時(shí)，的長(zhǎng)為_(kāi)______．【答案】或【分析】根據(jù)勾股定理求出BC，分兩種情況：①當(dāng)AF=CF時(shí)，∠FAC=∠C=45°，∠AFC=90°，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出BF=CF=BC=1，根據(jù)直線垂直平分，垂足為，求出BD=BF=；②當(dāng)CF=CA=時(shí)，BF=BC-CF=2-，根據(jù)直線垂直平分，垂足為，求出BD=BF=.【詳解】∵等腰中，，∴BC=2，∠B=∠C=45°,分兩種情況：①當(dāng)AF=CF時(shí)，∠FAC=∠C=45°,∴∠AFC=90°，∴AF⊥BC，∴BF=CF=BC=1，∵直線垂直平分，垂足為,∴BD=BF=；②當(dāng)CF=CA=時(shí)，BF=BC-CF=2-,∵直線垂直平分，垂足為，∴BD=BF=，故答案為：或.【點(diǎn)睛】此題考查等腰直角三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的定義，注意運(yùn)用分類(lèi)討論的思想解題.13．（2019·浙江杭州·八年級(jí)期末）如圖，已知等腰中，，，于點(diǎn)，點(diǎn)是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)；點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，，下面的結(jié)論：①②是等邊三角形；③；④，其中正確的有______.【答案】①②③④．【分析】①連接OB，根據(jù)垂直平分線性質(zhì)即可求得OB=OC=OP，即可解題；②根據(jù)周角等于360°和三角形內(nèi)角和為180°即可求得∠POC=2∠ABD=60°，即可解題；③在AB上截取AQ=OA，易證△BQO≌△PAO，可得PA=BQ，即可解題；④作CH⊥BP，可證△CDO≌△CHP和Rt△ABD≌Rt△ACH，根據(jù)全等三角形面積相等即可解題．【詳解】如圖，①連接OB．∵AB=AC，AD⊥BC，∴AD是BC垂直平分線，∴OB=OC．∵OP=OC，∴OP=OB．故①正確；②∵△OBP中，∠BOP=180°﹣∠OPB﹣∠OBP，△BOC中，∠BOC=180°﹣∠OBC﹣∠OCB，∴∠POC=360°﹣∠BOP﹣∠BOC=∠OPB+∠OBP+∠OBC+∠OCB．∵OB=OP，OB=OC，∴∠OPB=∠OBP，∠OBC=∠OCB，∴∠POC=2(∠OBP+∠OBC)=2∠ABD=60°．∵PO=OC，∴△OPC是等邊三角形，故②正確；③在AB上截取AQ=OA．∵AD⊥BC，∴∠BAD=90°－∠ABD=90°－30°=60°，∴△AOQ為等邊三角形，∴∠AQO=60°．∵∠BAD=60°，∴∠BQO=∠PAO=120°．在△BQO和△PAO中，，∴△BQO≌△PAO(AAS)，∴PA=BQ．∵AB=BQ+AQ，∴AC=AO+AP，故③正確；④作CH⊥BP．∵△POC為等邊三角形，∴∠PCO=60°，OC=PC．∵CH⊥BP，∠ABC=30°，∴∠HCB=60°，∴∠PCH=∠OCD．在△CDO和△CHP中，∵，∴△CDO≌△CHP(AAS)，∴S△OCD=S△CHP，CH=CD．∵CD=BD，∴BD=CH，在Rt△ABD和Rt△ACH中，，∴Rt△ABD≌Rt△ACH(HL)，∴S△ABD=S△AHC．∵四邊形OAPC面積=S△OAC+S△AHC+S△CHP，S△ABC=S△AOC+S△ABD+S△OCD，∴S四邊形OAPC=S△ABC．故④正確．故答案為：①②③④．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定以及等邊三角形的判定與性質(zhì)，考查了全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中求證△BQO≌△PAO是解答本題的關(guān)鍵．14．（2021·河南濟(jì)源·八年級(jí)期末）如圖，△ABC的外角∠DBC、∠ECB的角平分線交于點(diǎn)M，∠ACB的角平分線與BM的反向延長(zhǎng)線交于點(diǎn)N，若在△CMN中存在一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的2倍，則∠A的度數(shù)為_(kāi)______【答案】或或【分析】根據(jù)，的角平分線交于點(diǎn)，可求得，延長(zhǎng)至，根據(jù)為的外角的角平分線，可得是的外角的平分線，根據(jù)平分，得到，則有，可得，可求得；再根據(jù)，分四種情況：①；②；③；④，分別討論求解即可．【詳解】解：外角，的角平分線交于點(diǎn)，∴；如圖示，延長(zhǎng)至，為的外角的角平分線，是的外角的平分線，，平分，，，，即，又，∴，即；;如果中，存在一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的2倍，那么分四種情況：①，則，；②，則，，；③，則，解得；④，則，解得．綜上所述，的度數(shù)是或或．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了三角形內(nèi)角和定理、外角的性質(zhì)，角平分線定義等知識(shí)；靈活運(yùn)用三角形的內(nèi)角和定理、外角的性質(zhì)進(jìn)行分類(lèi)討論是解題的關(guān)鍵．15．（2019·浙江寧波·八年級(jí)期中）如圖，和分別是等邊三角形，，下列結(jié)論中（1），（2），（3），（4）平分，（5）平分．正確的有______（填序號(hào)）．【答案】（1）（2）（4）【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)推出AD=AB，AE=AC，∠ADB=∠ABD=60°，∠DAB=∠EAC=60°，求出∠DAC=∠BAE，根據(jù)SAS證△DAC≌△BAE，推出BE=DC，∠ADC=∠ABE，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠BOD=180°-∠ODB-∠DBA-∠ABE=60°，根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得出∠ADB=∠AEC=60°，但∠ADC≠∠AEB，過(guò)點(diǎn)A分別作AM⊥BE，AN⊥DC，垂足為點(diǎn)M，N．根據(jù)三角形的面積公式求出AN=AM，根據(jù)角平分線性質(zhì)求出即可，根據(jù)以上推出的結(jié)論即可得出答案．【詳解】解：∵△ABD與△AEC都是等邊三角形，∴AD=AB，AE=AC，∠ADB=∠ABD=60°，∠DAB=∠EAC=60°，∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，∴∠DAC=∠BAE，在△DAC和△BAE中，，∴△DAC≌△BAE（SAS），∴BE=DC，∠ADC=∠ABE，∵∠BOD=180°-∠ODB-∠DBA-∠ABE=180°-∠ODB-60°-∠ADC=120°-（∠ODB+∠ADC）=120°-60°=60°，∴∠BOD=60°，∴①正確；②正確；∵△ABD與△AEC都是等邊三角形，∴∠ADB=∠AEC=60°，但根據(jù)已知不能推出∠ADC=∠AEB，∴∠BDO=∠CEO錯(cuò)誤，∴③錯(cuò)誤；如圖，過(guò)點(diǎn)A分別作AM⊥BE，AN⊥DC，垂足為點(diǎn)M，N．∵由（1）知：△ABE≌△ADC，∴S△ABE=S△ADC，∴，∴AM=AN，∴點(diǎn)A在∠DOE的平分線上，即OA平分∠DOE，故④正確，⑤錯(cuò)誤；故答案為：（1）（2）（4）．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形性質(zhì)和判定，三角形的面積，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．16．（2020·重慶十八中兩江實(shí)驗(yàn)中學(xué)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，直線：與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，與直線：交于點(diǎn)C，在平面直角坐標(biāo)系中有一動(dòng)點(diǎn)D，當(dāng)時(shí)，周長(zhǎng)的最小值為_(kāi)_________．【答案】．【分析】根據(jù)題意D點(diǎn)在OB的垂直平分線l上，直線l為y=4，作C關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)C′，則C′（-8，16），連接AC′，交直線l于D點(diǎn)，此時(shí)△ACD周長(zhǎng)最小，△ACD周長(zhǎng)的最小值為AC′+AC，根據(jù)勾股定理求得AC′、AC的長(zhǎng)，即可求得結(jié)果．【詳解】解：∵直線AB：y=2x+8與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，

∴A（-4，0），B（0，8），

∵DO=DB，

∴D點(diǎn)在OB的垂直平分線l上，直線l為y=4，

由解得∴C（-8，-8），

作C關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)C′則C′（-8，16），連接AC′，交直線l于D點(diǎn)，此時(shí)△ACD周長(zhǎng)最小，△ACD周長(zhǎng)的最小值為AC′+AC，∵，，∴△ACD周長(zhǎng)的最小為．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了兩條直線相交問(wèn)題及垂直平分線的判定，軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題，求得D的位置是解題的關(guān)鍵．17．（2020·江蘇省江陰市第一中學(xué)）如圖，BE和CE分別為的內(nèi)角∠ABC和外角∠ACD的平分線，BE⊥AC于點(diǎn)H，CF平分∠ACB交BE于點(diǎn)F，連接AE，則下列結(jié)論：①∠ECF＝90°；②AE＝CE；③∠BFC＝90°＋∠BAC；④∠BAC＝2∠BEC；⑤∠AEH＝∠BCF，正確的為_(kāi)_________；【答案】①②③④⑤【分析】①先根據(jù)角平分線的定義可得，，再根據(jù)角的和差即可得；②先根據(jù)等腰三角形的判定與性質(zhì)可得垂直平分AC，再根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)即可得；③先根據(jù)三角形的外角性質(zhì)、角平分線的定義可得，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，由此即可得；④先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、角平分線的定義即可得；⑤先根據(jù)等腰三角形的判定與性質(zhì)可得，從而可得，再根據(jù)角平分線的定義可得，由此即可得．【詳解】CE平分，CF平分，即，則結(jié)論①正確BE平分，是等腰三角形是AC邊上的中線（等腰三角形的三線合一）垂直平分AC，則結(jié)論②正確是等腰三角形，則結(jié)論③正確又，即，則結(jié)論④正確是等腰三角形（等腰三角形的三線合一），即又CF平分，則結(jié)論⑤正確綜上，結(jié)論正確的是①②③④⑤故答案為：①②③④⑤．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義、等腰三角形的判定與性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握等腰三角形的判定與性質(zhì)（三線合一）是解題關(guān)鍵．18．（2018·山東濱州·）如圖，△ABC的外角∠ACD的平分線CP與內(nèi)角∠ABC的平分線BP交于點(diǎn)P，若∠BPC＝50，∠CAP＝______．【答案】40°【分析】過(guò)點(diǎn)P作PF⊥AB于F，PM⊥AC于M，PN⊥CD于N，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)和內(nèi)角和定理，得到∠BAC度數(shù)，再利用角平分線的性質(zhì)以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP=∠FAP，即可得到答案．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)P作PF⊥AB于F，PM⊥AC于M，PN⊥CD于N，如圖：設(shè)∠PCD=x，∵CP平分∠ACD，∴∠ACP=∠PCD=x，PM=PN，∴∠ACD=2x，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP=∠PBC，PF=PM=PN，∵∠BPC＝50°，∴∠ABP=∠PBC=，∴,∴，∴，在Rt△APF和Rt△APM中，∵PF=PM，AP為公共邊，∴Rt△APF≌Rt△APM（HL），∴∠FAP=∠CAP，∴；故答案為：40°；【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形的外角性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，以及全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行解題，正確求出是關(guān)鍵．19．（2020·全國(guó)八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在銳角中，，，平分，、分別是和上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是__________．【答案】【分析】根據(jù)題意畫(huà)出符合題意的圖形，作N關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)R，作AC邊上的高BE（E在AC上），求出BM+MN=BR，根據(jù)垂線段最短得出BM+MN≥BE，求出BE即可得出BM+MN的最小值.【詳解】解：作N關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)R，作AC邊上的高BE（E在AC上）∵平分，△ABC是銳角三角形∴R必在AC上∵N關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)是R∴MN=MR∴BM+MN=BM+MR∴BM+MN=BR≥BE（垂線段最短）∵，∴=18∴BE=cm即BM+MN的最小值是cm.故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱——最短路徑問(wèn)題.解答此類(lèi)問(wèn)題時(shí)要從已知條件結(jié)合圖形認(rèn)真思考，通過(guò)角平分線性質(zhì)，垂線段最短，確定線段和的最小值.20．（2021·全國(guó)八年級(jí)）在中，是的角平分線，于，若，則的周長(zhǎng)是_______________．【答案】【分析】延長(zhǎng)交于，根據(jù)ASA證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BE=EF，進(jìn)而得到BF=8，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)和等邊對(duì)等角得到，進(jìn)而得到，根據(jù)等角對(duì)等邊得到FB=FC=8，然后根據(jù)和的面積比得到AB=10，進(jìn)一步得到，然后根據(jù)三角形周長(zhǎng)公式求解即可．【詳解】延長(zhǎng)交于平分在和中，，是的角平分線，．故答案為42．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等判定和性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，綜合考查了三角形的相關(guān)知識(shí)，熟練掌握各部分知識(shí)點(diǎn)是本題的關(guān)鍵．三、解答題21．（2021·人大附中西山學(xué)校八年級(jí)開(kāi)學(xué)考試）已知，點(diǎn)為射線上一定點(diǎn)，點(diǎn)為射線上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，且．過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．（1）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到如圖的位置時(shí)，點(diǎn)恰好與點(diǎn)重合，此時(shí)與的數(shù)量關(guān)系是；（2）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到如圖的位置時(shí)，依題意補(bǔ)全圖形，并證明：；（3）在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，點(diǎn)能否在射線的反向延長(zhǎng)線上？若能，直接用等式表示線段，，之間的數(shù)量關(guān)系；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）；（2）補(bǔ)全圖形見(jiàn)解析，證明見(jiàn)解析；（3）能，【分析】（1）先證明是的垂直平分線，可得：可得：可得從而可得結(jié)論；（2）如圖，過(guò)作于證明：可得再證明：從而可得于是可得結(jié)論；（3）如圖，過(guò)作于同（2）理可得：可得再證明從而可得結(jié)論．【詳解】解：（1）當(dāng)重合時(shí)，點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，，，是的垂直平分線，故答案：（2）補(bǔ)全圖形如圖所示，過(guò)作于（3）點(diǎn)能在射線的反向延長(zhǎng)線上，如圖，過(guò)作于同理可得：【點(diǎn)睛】本題考查的是線段的垂直平分線的定義及性質(zhì)，等腰三角形的判定，三角形全等的判定與性質(zhì)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．22．（2020·北京朝陽(yáng)·八年級(jí)期末）在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，直線BC上有一點(diǎn)P，M，N分別為點(diǎn)P關(guān)于直線AB，AC的對(duì)稱點(diǎn)，連接AM，AN，BM．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，求∠MAN和∠MBC的度數(shù)；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，①依題意補(bǔ)全圖2；②探究是否存在點(diǎn)P，使得，若存在，直接寫(xiě)出滿足條件時(shí)CP的長(zhǎng)度；若不存在，說(shuō)明理由．【答案】（1）∠MAN=90°，∠MBC=90°；（2）補(bǔ)全圖形見(jiàn)解析；（3）存在，CP=1．【分析】（1）連接CN，AP，MP，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)和等腰三角形三線合一可得∠NAC=∠CAP，∠PAB=∠MAB，∠ABC=∠ABM，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可求得∠MAN和∠MBC；（2）①依據(jù)軸對(duì)稱圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線被對(duì)稱軸垂直平分補(bǔ)全圖即可；②根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得PB=BM，PC=CN，再設(shè)BN長(zhǎng)為x，利用和線段的和差列出方程求解即可．【詳解】解：（1）如圖，連接CN，AP，MP，∵N、P關(guān)于AC對(duì)稱，∴C為PN的中點(diǎn)，且AC為NP的中垂線，∴AN=AP，∴△ANP為等腰三角形，∴∠NAC=∠CAP（三線合一），同理可證∠PAB=∠MAB，∠ABC=∠ABM，∵AC=BC=2，∠ACB=90°，∴∠CAB=∠ABC=45°，∴∠MAN=∠NAC+∠CAP+∠PAB+∠BAM=2∠CAB=90°，∠MBC=∠ABC+∠ABM=2∠ABC=90°；（2）①補(bǔ)全圖2如下，②由（1）知B在PM的中垂線上，A在PN的中垂線上，∴PB=BM，PC=CN，設(shè)BN長(zhǎng)為x，則BM的長(zhǎng)為3x，CN長(zhǎng)為2-x，∴PC=CN=2-x，∵PB=BM=PC+BC,∴，解得x=1，∴滿足條件的P點(diǎn)存在，且CP=2-1=1．【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱的性質(zhì)，作軸對(duì)稱圖形，等腰三角形三線合一，垂直平分線的性質(zhì)等．理解軸對(duì)稱圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線被對(duì)稱軸垂直平分是解題關(guān)鍵．23．（2021·廣東惠城·八年級(jí)月考）如圖1所示，已知點(diǎn)在直線上，點(diǎn)，在直線上，且，平分．（1）判斷直線與直線是否平行，并說(shuō)明理由．（2）如圖2所示，是上點(diǎn)右側(cè)一動(dòng)點(diǎn)，的平分線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，設(shè)，．①若，，求的度數(shù)．②判斷：點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，和的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？若不變，求出和的數(shù)量關(guān)系；若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)AB∥CD，理由見(jiàn)詳解；（2）①50°；②不變化，.【分析】（1）依據(jù)EF平分∠AEG，可得∠AEF=∠GEF，再根據(jù)∠EFG=∠FEG，可得∠AEF=∠GFE，進(jìn)而得出AB∥CD；（2）①依據(jù)∠HEG=40°，即可得到∠FEG=70°，依據(jù)QG平分∠EGH，即可得到∠QGH=∠QGE=20°，根據(jù)∠Q=∠FEG-∠EGQ進(jìn)行計(jì)算即可；②根據(jù)∠FEG是ΔEGQ的外角，∠AEG是ΔEGH的外角，即可得到∠Q=∠FEG-∠EGQ，∠EHG=∠AEG-∠EGH，再根據(jù)FE平分∠AEG，GQ平分∠EGH，即可得出∠FEG=∠AEG，∠EGQ=∠EGH，最后依據(jù)∠Q=∠FEG-∠EGQ進(jìn)行計(jì)算，即可得到.【詳解】（1）直線AB與直線CD平行，理由：EF平分∠AEG，∴∠AEF=∠GEF，又∵∠EFG=∠FEG，∴∠AEF=∠GFE，AB∥CD;（2）①∵∠HEG=40°，∴∠FEG=(180°-40°)=70°，又∵QG平分∠EGH，∴∠QGH=∠QGE=20°，∴∠Q=∠FEG-∠EGQ=70°-20°＝50°；②點(diǎn)H在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，α和β的數(shù)量關(guān)系不發(fā)生變化，∵∠FEG是ΔEGQ的外角，∠AEG是ΔEGH的外角，∴∠Q=∠FEG-∠EGQ，∠EHG=∠AEG-∠EGH，又∵FE平分∠AEG，GQ平分∠EGH，∴∠FEG=∠AEG，∠EGQ=∠EGH，∴∠Q=∠FEG-∠EGQ=（∠AEG-∠EGH）＝∠EHG即.【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)的運(yùn)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是利用三角形的外角性質(zhì)：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和。24．（2021·南城縣第二中學(xué)八年級(jí)月考）在中，平分．觀察問(wèn)題：如圖1，若，，，試說(shuō)明．探索問(wèn)題：如圖2，若，．（1）問(wèn)是否為定值？若是定值，求出這個(gè)定值；若不是定值，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）通過(guò)前兩個(gè)問(wèn)題的探究，我們發(fā)現(xiàn)，三角形內(nèi)角平分線的性質(zhì)：三角形內(nèi)角平分線分對(duì)邊所得的兩條線段的比值（）與夾這個(gè)角兩邊的比值（）（填“相等”或“不相等”）；解決問(wèn)題：（3）如圖3，在中，，，則；（4）如圖4，將圖3中的繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，連接交于，求．【答案】觀察問(wèn)題：見(jiàn)解析；（1）為定值；（2）相等；（3）45°；（4）【分析】觀察問(wèn)題：作于點(diǎn)．由角平分線的性質(zhì)得出，由三角形的面積公式可得出結(jié)論；（1）如圖2，作于．由三角形的面積可得出答案；（2）由觀察問(wèn)題可得，由探索問(wèn)題①可得，則可得出答案；（3）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，得出，則可得出答案；（4）證得平分．由探索問(wèn)題可知，則可得出答案．【詳解】解：觀察問(wèn)題：如圖1，作于點(diǎn)．平分，，，．；（1）如圖2，作于．由觀察問(wèn)題得．，是定值，定值為．（2）相等．由觀察問(wèn)題可得，由探索問(wèn)題（1）可得，．故答案為：相等．（3）．，，如圖3，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，平分，，，．故答