2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第六章立體幾何初步3.2刻畫空間點(diǎn)線面位置關(guān)系的公理二課后習(xí)題含解析北師大版必修第二冊

PAGE3.2刻畫空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的公理(二)課后篇鞏固提升基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練1.如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G分別為棱A1C1,B1C1,B1B的中點(diǎn),則∠EFG與∠ABC1()A.相等B.互補(bǔ)C.相等或互補(bǔ)D.不確定解析因?yàn)镋,F,G分別為A1C1,B1C1,BB1的中點(diǎn),所以EF∥A1B1∥AB,FG∥BC1,所以∠EFG與∠ABC1的兩組對應(yīng)邊分別平行,一組對應(yīng)邊方向相同,另一組對應(yīng)邊方向相反,故∠EFG與∠ABC1互補(bǔ).答案B2.(多選)下列命題中錯誤的是()A.空間三點(diǎn)可以確定一個平面B.三角形肯定是平面圖形C.若A,B,C,D既在平面α內(nèi),又在平面β內(nèi),則平面α和平面β重合D.四條邊都相等的四邊形是平面圖形解析共線的三點(diǎn)不能確定一個平面,故A錯誤;當(dāng)A,B,C,D四點(diǎn)共線時,這兩個平面可以是相交的,故C錯誤;四邊都相等的四邊形可以是空間四邊形,故D錯誤.答案ACD3.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是側(cè)面AA1D1D,側(cè)面CC1D1D的中心,G,H分別是線段AB,BC的中點(diǎn),則直線EF與直線GH的位置關(guān)系是()A.相交 B.異面 C.平行 D.垂直解析如圖,連接AD1,CD1,AC,則E,F分別為AD1,CD1的中點(diǎn).由三角形的中位線定理,知EF∥AC,GH∥AC,所以EF∥GH,故選C.答案C4.如圖,點(diǎn)P,Q,R,S分別在正方體的四條棱上,且是所在棱的中點(diǎn),則直線PQ與RS是異面直線的一個圖是.(填序號)

解析依據(jù)異面直線的定義可得.答案③5.如圖所示,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB=2,AD=1,點(diǎn)E,F,G分別是DD1,AB,CC1的中點(diǎn),則異面直線A1E與GF所成的角是.

解析連接GB1,B1F,則GB1∥A1E,故∠B1GF或其補(bǔ)角即為A1E與GF所成的角,B1G=C1B12+C1G2=12+12=2,B1F=B1B2+BF2答案90°6.如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是平行四邊形,E,F,G,H分別為PA,PB,PC,PD的中點(diǎn),求證:四邊形EFGH是平行四邊形.解在△PAB中,因?yàn)镋,F分別是PA,PB的中點(diǎn),所以EF∥AB,EF=12AB,同理GH∥DC,GH=12因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形,所以AB∥CD,AB=CD.所以EF∥GH,EF=GH.所以四邊形EFGH是平行四邊形.實(shí)力提升練1.設(shè)P是直線l外肯定點(diǎn),過點(diǎn)P且與l成30°角的異面直線()A.有多數(shù)條 B.有兩條C.至多有兩條 D.有一條解析如圖所示,過點(diǎn)P作直線l'∥l,以l'為軸,與l'成30°角的圓錐面的全部母線都與l成30°角.答案A2.如圖所示,已知三棱錐A-BCD中,M,N分別為AB,CD的中點(diǎn),則下列結(jié)論正確的是()A.MN≥12(AC+BDB.MN≤12(AC+BDC.MN=12(AC+BDD.MN<12(AC+BD解析如圖所示,取BC的中點(diǎn)E,連接ME,NE,則ME=12AC,NE=12所以ME+NE=12(AC+BD)在△MNE中,有ME+NE>MN,所以MN<12(AC+BD)答案D3.一個正方體紙盒綻開后如圖所示,在原正方體紙盒中有如下結(jié)論:①AB⊥EF;②AB與CM所成的角為60°;③EF與MN是異面直線;④MN∥CD.以上結(jié)論正確的為.(填序號)

解析把正方體的平面綻開圖還原成原來的正方體可知,AB⊥EF,EF與MN是異面直線,AB∥CM,MN⊥CD,只有①③正確.答案①③4.如圖所示,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為棱AA1,CC1的中點(diǎn).求證:(1)D1E∥BF;(2)∠B1BF=∠D1EA1.證明(1)取BB1的中點(diǎn)M,連接EM,C1M.在矩形ABB1A1中,易得EM=A1B1,EM∥A1B1.因?yàn)锳1B1=C1D1,且A1B1∥C1D1,所以EM=C1D1,且EM∥C1D1.所以四邊形EMC1D1為平行四邊形.所以D1E∥C1M.在矩形BCC1B1中,易得MB=C1F,且MB∥C1F.所以BF∥C1M,所以D1E∥BF.(2)由(1)知,ED1∥BF,BB1∥EA1.因?yàn)椤螧1BF與∠D1EA1的對應(yīng)邊方向相同,所以∠B1BF=∠D1EA1.素養(yǎng)培優(yōu)練(2024安徽合肥期中)如圖,正方體ABCD-A'B'C'D'有12條棱,選取其中6條棱,每條棱上取一點(diǎn),使這6個點(diǎn)正好成為正八面體的6個頂點(diǎn)(注:正八面體共有6個頂點(diǎn)).比如從點(diǎn)A動身,來進(jìn)行構(gòu)建.在與點(diǎn)A相鄰的三條棱上分別取一點(diǎn),使其到點(diǎn)A的距離都為棱長的四分之三,得到3個點(diǎn):E,F,G.同理,對與點(diǎn)A相對的點(diǎn)C'進(jìn)行類似的操作,得到另外3個點(diǎn):E',F',G'.如圖所示,明顯,位于正方體界面上的6條線段相等,即EF=FG=GE=E'F'=F'G'=G'E'.從正方體內(nèi)部穿過的線段也有六條:EF',EG',FE',FG',GE',GF'.這樣一共得到12條線段,它們就是所要構(gòu)建的正八面體的12條棱.通過計(jì)算它們的長度全都相等,即構(gòu)建的是正八面體.在此正八面體中EF'與FG'所成角的余弦值是.

解析因?yàn)镋F'∥FE',所以∠E'FG'是此正八面體中EF'與FG'所成角(或所成角的補(bǔ)角),