2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第2章直線和圓的方程2.52.5.2圓與圓的位置關(guān)系教案新人教A版選擇性必修第一冊(cè)

PAGE1-2.5.2圓與圓的位置關(guān)系學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.理解圓與圓的位置關(guān)系的種類(lèi)．(重點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn))2.駕馭圓與圓的位置關(guān)系的代數(shù)推斷方法與幾何推斷方法，能夠利用上述方法推斷兩圓的位置關(guān)系.(重點(diǎn)、難點(diǎn))通過(guò)圓與圓的位置關(guān)系的推導(dǎo)，提升邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算的數(shù)學(xué)素養(yǎng).如圖為在某地12月24日拍到的日環(huán)食全過(guò)程．可以用兩個(gè)圓來(lái)表示改變過(guò)程．依據(jù)上圖，結(jié)合平面幾何，圓與圓的位置關(guān)系有幾種？能否通過(guò)一些數(shù)量關(guān)系表示這些圓的位置關(guān)系？1．圓與圓的位置關(guān)系兩圓相交有兩個(gè)公共點(diǎn)兩圓相切外切和內(nèi)切只有一個(gè)公共點(diǎn)兩圓相離外離和內(nèi)含沒(méi)有公共點(diǎn)2.圓與圓位置關(guān)系的判定(1)幾何法：若兩圓的半徑分別為r1，r2，兩圓的圓心距為d，則兩圓的位置關(guān)系的推斷方法如下：位置關(guān)系外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含圖示d與r1，r2的關(guān)系d＞r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|＜d＜r1＋r2d＝|r1－r2|0＜d＜|r1－r2|(2)代數(shù)法：通過(guò)兩圓方程組成方程組的公共解的個(gè)數(shù)進(jìn)行推斷．eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(圓C1方程,圓C2方程))eq\o(→,\s\up17(消元))一元二次方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＞0?相交，,Δ＝0?內(nèi)切或外切，,Δ＜0?外離或內(nèi)含.))思索：將兩個(gè)相交的非同心圓的方程x2＋y2＋Dix＋Eiy＋Fi＝0(i＝1,2)相減，可得始終線方程，這條直線方程具有什么樣的特殊性呢？[提示]兩圓相減得始終線方程，它經(jīng)過(guò)兩圓的公共點(diǎn)．經(jīng)過(guò)相交兩圓的公共交點(diǎn)的直線是兩圓的公共弦所在的直線．1．思索辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)若直線與圓有公共點(diǎn)，則直線與圓相交． ()(2)若兩圓沒(méi)有公共點(diǎn)，則兩圓肯定外離． ()(3)若兩圓外切，則兩圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，反之也成立． ()(4)若兩圓有公共點(diǎn)，則|r1－r2|≤d≤r1＋r2. ()[提示](1)×(2)×(3)×(4)√2．圓O1：x2＋y2－2x＝0和圓O2：x2＋y2－4y＝0的位置關(guān)系為()A．相離B．相交C．外切D．內(nèi)切B[圓O1的圓心坐標(biāo)為(1,0)，半徑長(zhǎng)r1＝1；圓O2的圓心坐標(biāo)為(0,2)，半徑長(zhǎng)r2＝2；1＝r2－r1<|O1O2|＝eq\r(5)<r1＋r2＝3，即兩圓相交．]3．已知圓C1：(x－1)2＋(y－2)2＝4，圓C2：(x＋2)2＋(y＋2)2＝9，則兩圓的公切線條數(shù)是________．3[C1(1,2)，r1＝2；C2(－2，－2)，r2＝3，|C1C2|＝5，r1＋r2＝5，因此兩圓外切．所以公切線有3條．]4．已知兩圓x2＋y2＝10和(x－1)2＋(y－3)2＝10相交于A，B兩點(diǎn)，則直線AB的方程是________．x＋3y－5＝0[由兩圓方程消去二次項(xiàng)得10－2x＋1－6y＋9＝10，即x＋3y－5＝0.]圓與圓的位置關(guān)系的推斷【例1】當(dāng)實(shí)數(shù)k為何值時(shí)，兩圓C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交、相切、外離？[解]將兩圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1，C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k.圓C1的圓心為C1(－2,3)，半徑長(zhǎng)r1＝1；圓C2的圓心為C2(1,7)，半徑長(zhǎng)r2＝eq\r(50－k)(k＜50)，從而|C1C2|＝eq\r(－2－12＋3－72)＝5.當(dāng)1＋eq\r(50－k)＝5，即k＝34時(shí)，兩圓外切．當(dāng)|eq\r(50－k)－1|＝5，即eq\r(50－k)＝6，即k＝14時(shí)，兩圓內(nèi)切．當(dāng)|eq\r(50－k)－1|＜5＜1＋eq\r(50－k)，即14＜k＜34時(shí)，兩圓相交．當(dāng)eq\r(50－k)＋1|<5，即34＜k＜50時(shí)，兩圓外離．推斷兩圓的位置關(guān)系或利用兩圓的位置關(guān)系求參數(shù)的取值范圍有以下幾個(gè)步驟：(1)化成圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，寫(xiě)出圓心和半徑；(2)計(jì)算兩圓圓心的距離d；(3)通過(guò)d，r1＋r2，|r1－r2|的關(guān)系來(lái)推斷兩圓的位置關(guān)系或求參數(shù)的范圍，必要時(shí)可借助于圖形，數(shù)形結(jié)合．[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．已知圓C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0，圓C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a＞0)．試求a為何值時(shí)，兩圓C1，C2的位置關(guān)系為：(1)相切；(2)相交；(3)外離；(4)內(nèi)含．[解]圓C1，C2的方程，經(jīng)配方后可得C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16，C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1，∴圓心C1(a,1)，C2(2a,1)，半徑r1＝4，r2＝1.∴|C1C2|＝eq\r(a－2a2＋1－12)＝a.(1)當(dāng)|C1C2|＝r1＋r2＝5，即a＝5時(shí)，兩圓外切；當(dāng)|C1C2|＝r1－r2＝3，即a＝3時(shí)，兩圓內(nèi)切．(2)當(dāng)3＜|C1C2|＜5，即3＜a＜5時(shí)，兩圓相交．(3)當(dāng)|C1C2|＞5，即a＞5時(shí)，兩圓外離．(4)當(dāng)|C1C2|＜3，即a＜3時(shí)，兩圓內(nèi)含.兩圓相切問(wèn)題【例2】(1)圓C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9與圓C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4相外切，則m的值是________．(2)求半徑為4，與圓(x－2)2＋(y－1)2＝9相切，且和直線y＝0相切的圓的方程．[思路探究](1)利用|C1C2|＝r1＋r2建立方程來(lái)求出m的值．(2)格外切與內(nèi)切兩種狀況，與其他條件建立方程組，求出標(biāo)準(zhǔn)方程的三個(gè)參數(shù)值即可．(1)2或－5[C1(m，－2)，r1＝3，C2(－1，m)，r2＝2，由題意知|C1C2|＝5，(m＋1)2＋(m＋2)2＝25，解得m＝2或m＝－5.](2)[解]設(shè)所求圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝16，由圓與直線y＝0相切、半徑為4，則圓心C的坐標(biāo)為C1(a,4)或C2(a，－4)．已知圓(x－2)2＋(y－1)2＝9的圓心A的坐標(biāo)為(2,1)，半徑為3.由兩圓相切，則|CA|＝4＋3＝7或|CA|＝4－3＝1.①當(dāng)圓心為C1(a,4)時(shí)，(a－2)2＋(4－1)2＝72或(a－2)2＋(4－1)2＝12(無(wú)解)，故可得a＝2±2eq\r(10)，故所求圓的方程為(x－2－2eq\r(10))2＋(y－4)2＝16或(x－2＋2eq\r(10))2＋(y－4)2＝16.②當(dāng)圓心為C2(a，－4)時(shí)，(a－2)2＋(－4－1)2＝72或(a－2)2＋(－4－1)2＝12(無(wú)解)，解得a＝2±2eq\r(6).故所求圓的方程為(x－2－2eq\r(6))2＋(y＋4)2＝16或(x－2＋2eq\r(6))2＋(y＋4)2＝16.綜上所述，所求圓的方程為(x－2－2eq\r(10))2＋(y－4)2＝16或(x－2＋2eq\r(10))2＋(y－4)2＝16或(x－2－2eq\r(6))2＋(y＋4)2＝16或(x－2＋2eq\r(6))2＋(y＋4)2＝16.處理兩圓相切問(wèn)題的兩個(gè)步驟(1)定性，即必需精確把握是內(nèi)切還是外切，若只是告知相切，則必需分兩圓內(nèi)切還是外切兩種狀況探討．(2)轉(zhuǎn)化思想，即將兩圓相切的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩圓的圓心距等于兩圓半徑之差的肯定值(內(nèi)切時(shí))或兩圓半徑之和(外切時(shí))．[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．求與圓x2＋y2－2x＝0外切且與直線x＋eq\r(3)y＝0相切于點(diǎn)M(3，－eq\r(3))的圓的方程．[解]已知圓的方程可化為(x－1)2＋y2＝1，則圓心為C(1,0)，半徑為1.設(shè)所求圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)．由題意，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(a－12＋b2)＝r＋1，,\f(b＋\r(3),a－3)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)))＝－1，,\f(|a＋\r(3)b|,2)＝r，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝0，,r＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0，,b＝－4\r(3)，,r＝6，))即所求圓的方程為(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4eq\r(3))2＝36.兩圓相交問(wèn)題[探究問(wèn)題]1．兩圓相交時(shí)，如何求出公共弦所在的直線方程？[提示]將兩個(gè)方程化成一般式，然后作差即可求得．2．兩圓公共弦長(zhǎng)如何求得？[提示]將公共弦與其中一個(gè)圓方程聯(lián)立，利用勾股定理|AB|＝2eq\r(r2－d2)求得．【例3】已知圓C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圓C2：x2＋y2＋6y－28＝0.(1)求兩圓公共弦所在直線的方程；(2)求經(jīng)過(guò)兩圓交點(diǎn)且圓心在直線x－y－4＝0上的圓的方程．[思路探究](1)兩圓方程相減求出公共弦所在直線方程．(2)可求出兩圓的交點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合圓心在直線x－y－4＝0上求出圓心坐標(biāo)與半徑，也可利用圓系方程求解．[解](1)設(shè)兩圓交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)是方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋6x－4＝0①,x2＋y2＋6y－28＝0②))的解．①－②，得x－y＋4＝0.∵A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)都滿意此方程，∴x－y＋4＝0即為兩圓公共弦所在直線的方程．(2)法一：解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋6x－4＝0，,x2＋y2＋6y－28＝0，))得兩圓的交點(diǎn)A(－1,3)，B(－6，－2)．設(shè)所求圓的圓心為(a，b)，因圓心在直線x－y－4＝0上，故b＝a－4.則eq\r(a＋12＋a－4－32)＝eq\r(a＋62＋a－4＋22)，解得a＝eq\f(1,2)，故圓心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(7,2)))，半徑為eq\r(\f(89,2)).故圓的方程為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(7,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(89,2)，即x2＋y2－x＋7y－32＝0.法二：設(shè)所求圓的方程為x2＋y2＋6x－4＋λ(x2＋y2＋6y－28)＝0(λ≠－1)，其圓心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,1＋λ)，－\f(3λ,1＋λ)))，代入x－y－4＝0，解得λ＝－7.故所求圓的方程為x2＋y2－x＋7y－32＝0.1．在本例條件不變時(shí)，求兩圓的公共弦長(zhǎng)及公共弦的中垂線的方程．[解]由例題解析知道x－y＋4＝0是公共弦所在的直線的方程．因圓C1的圓心(－3,0)，r＝eq\r(13).C1到直線AB的距離d＝eq\f(|－3＋4|,\r(2))＝eq\f(\r(2),2).∴|AB|＝2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(13－\f(1,2))＝5eq\r(2).即兩圓的公共弦長(zhǎng)為5eq\r(2).弦AB的中垂線也就是C1C2所在的直線．∵C1(－3,0)，C2(0，－3)．∴AB的中垂線方程為eq\f(x,－3)＋eq\f(y,－3)＝1，即x＋y＋3＝0.2．本例條件不變，求過(guò)兩圓的交點(diǎn)且半徑最小的圓的方程．[解]依據(jù)條件可知，所求的圓就是以AB為直徑的圓．∵AB所在直線方程為x－y＋4＝0，C1C2所在直線方程為x＋y＋3＝0.∴由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋4＝0,x＋y＋3＝0))得圓心eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,2)，\f(1,2)))，又∵|AB|＝5eq\r(2)，∴半徑r＝eq\f(5\r(2),2)，故所求圓的方程為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(7,2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(25,2).1．求兩圓公共弦長(zhǎng)的方法一是聯(lián)立兩圓方程求出交點(diǎn)坐標(biāo)，再用距離公式求解；二是先求出兩圓公共弦所在的直線方程，再利用半徑長(zhǎng)、弦心距和弦長(zhǎng)的一半構(gòu)成的直角三角形求解．2．過(guò)兩圓的交點(diǎn)的圓的方程已知圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0與圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，則過(guò)兩圓交點(diǎn)的圓的方程可設(shè)為x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)．1．推斷兩圓的位置關(guān)系的方法(1)由兩圓的方程組成的方程組有幾個(gè)實(shí)數(shù)解確定，這種方法計(jì)算量比較大，一般不用．(2)依據(jù)圓心距與兩圓半徑的和或兩圓半徑的差的肯定值的大小關(guān)系．相交?|R－r|＜d＜R＋r.相切eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(外切?d＝R＋r，,內(nèi)切?d＝|R－r|.))相離eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(外離?d＞R＋r，,內(nèi)含?0＜d＜|R－r|.))(特殊地d＝0時(shí)，兩圓為同心圓)2．當(dāng)兩圓相交時(shí)，把兩圓的方程作差消去x2和y2就得到兩圓的公共弦所在的直線方程．即若圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0與圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，則兩圓公共弦所在直線的方程為(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.1．圓C1：x2＋y2＋2x＋8y－8＝0與圓C2：x2＋y2－4x－4y－1＝0的位置關(guān)系是()A．外離B．外切C．相交D．內(nèi)含C[將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得C1：(x＋1)2＋(y＋4)2＝25，C2：(x－2)2＋(y－2)2＝9，∴C1(－1，－4)，C2(2,2)，r1＝5，r2＝3.從而|C1C2|＝eq\r(32＋62)＝3eq\r(5)