2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章常用邏輯用語1.1.2四種命題1.1.3四種命題間的相互關(guān)系學(xué)案含解析新人教A版選修1-1

PAGE6-1.1.2四種命題1.1.3四種命題間的相互關(guān)系自主預(yù)習(xí)·探新知情景引入漢語是世界上漂亮的語言．對(duì)于同樣的幾個(gè)字、幾個(gè)詞，不同的排列方式，往往產(chǎn)生不同的效果．在我們的校內(nèi)里有著這樣的宣揚(yáng)語：為了一切的孩子、為了孩子的一切、一切為了孩子，每一種表述有著不一樣的意義．同樣地，數(shù)學(xué)也是漂亮的語言，這其中是否也有著同樣的文字，但不同的排列含義是否不一樣呢？新知導(dǎo)學(xué)1．一般地，對(duì)于兩個(gè)命題，假如一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和條件，那么我們把這樣的兩個(gè)命題叫做__互逆命題__，其中一個(gè)命題叫做__原命題__，另一個(gè)叫做原命題的__逆命題__.2．一般地，對(duì)于兩個(gè)命題，假如一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的條件的否定和結(jié)論的否定，我們把這樣的兩個(gè)命題叫做__互否命題__，其中一個(gè)命題叫做__原命題__，另一個(gè)叫做原命題的__否命題__.3．一般地，對(duì)于兩個(gè)命題，假如一個(gè)命題的條件和結(jié)論恰好是另一個(gè)命題的結(jié)論的否定和條件的否定，我們把這樣的兩個(gè)命題叫做__互為逆否命題__，其中一個(gè)命題叫做__原命題__，另一個(gè)叫做原命題的__逆否命題__.4．四種命題的相互關(guān)系5．(1)原命題為真，它的逆命題__不肯定__為真．(2)原命題為真，它的否命題__不肯定__為真．(3)原命題為真，它的逆否命題__肯定__為真．即互為逆否的命題是等價(jià)命題，它們同__真__同__假__，同一個(gè)命題的逆命題和否命題是一對(duì)互為__逆否__的命題，它們同__真__同__假__.預(yù)習(xí)自測(cè)1．設(shè)a，b是向量，命題“若a＝－b，則|a|＝|b|”的逆命題是(D)A．若a≠－b，則|a|≠|(zhì)b|B．若a＝－b，則|a|≠|(zhì)b|C．若|a|≠|(zhì)b|，則a≠－bD．若|a|＝|b|，則a＝－b[解析]原命題的條件是“a＝－b”，結(jié)論是“|a|＝|b|”，依據(jù)原命題與逆命題的關(guān)系知，選D．2．當(dāng)命題“若p，則q”為真時(shí)，下列命題中肯定是真命題的是(C)A．若q，則p B．若?p，則?qC．若?q，則?p D．若?p，則q[解析]∵“若p，則q”為真，∴其逆否命題“若?q，則?p”肯定為真．3．若命題p的逆命題是q，命題p的否命題是r，則命題q是命題r的(C)A．逆命題 B．否命題C．逆否命題 D．以上都不對(duì)[解析]同一個(gè)命題的逆命題和否命題互為逆否命題，故選C．4．命題“對(duì)于正數(shù)a，若a>1，則lga>0”及其逆命題、否命題、逆否命題四種命題中，真命題的個(gè)數(shù)為(D)A．0 B．1C．2 D．4[解析]原命題“對(duì)于正數(shù)a，若a>1，則lga>0”是真命題；逆命題“對(duì)于正數(shù)a，lga>0，則a>1”是真命題；否命題“對(duì)于正數(shù)a，若a≤1，則lga≤0”是真命題；逆否命題“對(duì)于正數(shù)a，若lga≤0，則a≤1”是真命題．5．(2024·山西太原高二期末)命題“若x2＜1，則－1＜x＜1”的逆否命題是__若x≤－1或x≥1，則x2≥1__.[解析]x2＜1的否定為x2≥1，－1＜x＜的否定為x≥1或x≤－1，故命題“若x2＜1，則－1＜x＜1”的逆否命題是“若x≤－1或x≥1，則x2≥1”．互動(dòng)探究·攻重難互動(dòng)探究解疑命題方向?命題的四種形式之間的轉(zhuǎn)換典例1寫出下列命題的逆命題、否命題與逆否命題．(1)負(fù)數(shù)的平方是正數(shù)；(2)正方形的四條邊相等．[思路分析]此題的題設(shè)和結(jié)論不很明顯，因此首先將命題改寫成“若p，則q”的形式，然后再寫出它的逆命題、否命題與逆否命題．[解析](1)改寫成“若一個(gè)數(shù)是負(fù)數(shù)，則它的平方是正數(shù)”．逆命題：若一個(gè)數(shù)的平方是正數(shù)，則它是負(fù)數(shù)．否命題：若一個(gè)數(shù)不是負(fù)數(shù)，則它的平方不是正數(shù)．逆否命題：若一個(gè)數(shù)的平方不是正數(shù)，則它不是負(fù)數(shù)．(2)原命題可以寫成：若一個(gè)四邊形是正方形，則它的四條邊相等．逆命題：若一個(gè)四邊形的四條邊相等，則它是正方形．否命題：若一個(gè)四邊形不是正方形，則它的四條邊不相等．逆否命題：若一個(gè)四邊形的四條邊不相等，則它不是正方形．『規(guī)律方法』關(guān)于原命題的逆命題、否命題和逆否命題的寫法：首先：把原命題整理成“若p，則q”的形式．其次：(1)“換位”(即交換命題的條件與結(jié)論)得到“若q，則p”，即為逆命題；(2)“換質(zhì)”(即將原命題的條件與結(jié)論分別否定后作為條件和結(jié)論)得到“若非p，則非q”即為否命題；(3)既“換位”又“換質(zhì)”(即把原命題的結(jié)論否定后作為新命題的條件，條件否定后作為新命題的結(jié)論)得到“若非q，則非p”即為逆否命題．關(guān)鍵是分清原命題的條件和結(jié)論，然后按定義來寫．┃┃跟蹤練習(xí)1__■寫出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題．(1)若x2＋y2＝0，則x、y全為0；(2)若a＋b是偶數(shù)，則a、b都是偶數(shù)．[解析](1)逆命題：若x、y全為0，則x2＋y2＝0；否命題：若x2＋y2≠0，則x、y不全為0；逆否命題：若x、y不全為0，則x2＋y2≠0.(2)逆命題：若a、b都是偶數(shù)，則a＋b是偶數(shù)；否命題：若a＋b不是偶數(shù)，則a、b不都是偶數(shù)；逆否命題：若a、b不都是偶數(shù)，則a＋b不是偶數(shù)．命題方向?四種命題的關(guān)系及真假推斷典例2寫出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題，并推斷真假．(1)若A∩B＝A，則A?B；(2)垂直于同一條直線的兩直線平行；(3)若ab＝0，則a＝0或b＝0.[思路分析]找準(zhǔn)原命題的條件和結(jié)論，依照定義寫出另外三種命題．[解析](1)逆命題：若A?B，則A∩B＝A．真命題；否命題：若A∩B≠A，則AB．真命題；逆否命題：若AB，則A∩B≠A．真命題．(2)逆命題：若兩條直線平行，則它們垂直于同一條直線．真命題；否命題：若兩條直線不垂直于同一條直線，則它們不平行．真命題；逆否命題：若兩條直線相互不平行，則它們不垂直于同一條直線．假命題．(3)逆命題：若a＝0或b＝0，則ab＝0.真命題；否命題：若ab≠0，則a≠0且b≠0.真命題；逆否命題：若a≠0，且b≠0，則ab≠0.真命題．『規(guī)律方法』1.由原命題寫出其他三種命題，關(guān)鍵是要分清原命題的條件與結(jié)論，尤其是寫否命題和逆否命題時(shí)，要留意對(duì)原命題中條件和結(jié)論的否定，這種否定要從條件和結(jié)論的真假性上進(jìn)行否定，而不是僅僅加上一個(gè)“不”字，為此可依據(jù)“互為逆否關(guān)系的命題同真假”進(jìn)行檢驗(yàn)．2．當(dāng)一個(gè)命題是否定性命題且不易推斷真假時(shí)，可通過推斷其逆否命題的真假以達(dá)到目的．┃┃跟蹤練習(xí)2__■設(shè)原命題：若a＋b≥2，則a、b中至少有一個(gè)不小于1，則原命題與其逆命題的真假狀況是(A)A．原命題為真，逆命題為假B．原命題為假，逆命題為真C．原命題與逆命題均為真命題D．原命題與逆命題均為假命題[解析]因?yàn)樵}“若a＋b≥2，則a、b中至少有一個(gè)不小于1”的逆否命題為“若a、b都小于1，則a＋b<2”，明顯為真，所以原命題為真；原命題“若a＋b≥2，則a、b中至少有一個(gè)不小于1”的逆命題為“若a、b中至少有一個(gè)不小于1，則a＋b≥2”，是假命題，反例為a＝1.2，b＝0.3，故選A．命題方向?正難則反，等價(jià)轉(zhuǎn)化思想我們?cè)诟纱嘧C明某一個(gè)命題為真命題有困難時(shí)，可以通過證明它的逆否命題為真命題，來間接地證明原命題為真命題．典例3證明：已知函數(shù)f(x)是(－∞，＋∞)上的增函數(shù)，a、b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，則a＋b≥0.[思路分析]已知函數(shù)f(x)的單調(diào)性，可將自變量的大小與函數(shù)值的大小關(guān)系相互轉(zhuǎn)化，本題中條件較困難，而結(jié)論比較簡潔，故轉(zhuǎn)化為證明其逆否命題．[解析]原命題的逆否命題為“已知函數(shù)f(x)是(－∞，＋∞)上的增函數(shù)，a、b∈R，若a＋b<0，則f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)．”證明如下：若a＋b<0，則a<－b，b<－a，又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)，∴f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)．∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，即逆否命題為真命題．∴原命題為真命題．┃┃跟蹤練習(xí)3__■推斷命題“已知a、x為實(shí)數(shù)，若關(guān)于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2>0的解集是R，則a<eq\f(7,4)”的逆否命題的真假．[解析]先推斷原命題的真假如下：∵a、x為實(shí)數(shù)，關(guān)于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2>0的解集為R，且拋物線y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的開口向上，所以Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7<0，∴a<eq\f(7,4).所以原命題是真命題．又∵互為逆否命題的兩個(gè)命題同真同假，∴原命題的逆否命題為真命題．學(xué)科核心素養(yǎng)命題的間接證明當(dāng)一個(gè)命題的真假不簡潔證明時(shí)，常借助它的逆否命題的真假來證明；利用原命題與逆否命題，逆命題與否命題的等價(jià)關(guān)系進(jìn)行推斷．典例4關(guān)于命題“若拋物線y＝ax2＋bx＋c的開口向下，則{x|ax2＋bx＋c<0}≠?”的逆命題、否命題、逆否命題的真假性，下列結(jié)論成立的是(D)A．都真 B．都假C．否命題真 D．逆否命題真[解析]原命題“若拋物線y＝ax2＋bx＋c的開口向下，則{x|ax2＋bx＋c<0}≠?”為真命題；逆命題“若{x|ax2＋bx＋c<0}≠?，則拋物線y＝ax2＋bx＋c的開口向下”為假命題，因?yàn)閽佄锞€的開口也可能向上(a>0)；依據(jù)命題間的等價(jià)關(guān)系可知其否命題為假，逆否命題為真．故選D．『規(guī)律方法』由于原命題與其逆否命題是等價(jià)的，因此當(dāng)我們證明或推斷原命題感到困難時(shí)，可考慮證明它的逆否命題成立，這樣也能達(dá)到證明原命題成立的目的．這種證法叫做逆否證法．┃┃跟蹤練習(xí)4__■求證：當(dāng)a2＋b2＝c2時(shí)，a，b，c不行能都是奇數(shù)．[解析]證明：構(gòu)造命題p：若a2＋b2＝c2，則a，b，c不行能都是奇數(shù)．該命題的逆否命題是：若a，b，c都是奇數(shù)，則a2＋b2≠c2.下面證明逆否命題是真命題．由于a，b，c都是奇數(shù)，則a2，b2，c2都是奇數(shù)，于是a2＋b2必為偶數(shù)，而c2為奇數(shù)，所以有a2＋b2≠c2，故逆否命題為真命題，從而原命題也是真命題．易混易錯(cuò)警示分清命題的條件與結(jié)論典例5寫出命題“已知a、b、c、d是實(shí)數(shù)，假如a＝b，c＝d，則a＋c＝b＋d”的逆命題、否命