2025高考數(shù)學(xué)沖刺復(fù)習(xí)：立體幾何截面、外接球、動(dòng)點(diǎn)歸類（原卷版）

培優(yōu)沖刺09立體幾何截面'外接球'動(dòng)點(diǎn)歸類

籍優(yōu)題型大集合

目錄

題型一：動(dòng)點(diǎn)：恒平行..................................................................1

題型二：動(dòng)點(diǎn)：恒垂直..................................................................2

題型三：動(dòng)點(diǎn)：球截面..................................................................3

題型四：動(dòng)點(diǎn)；定角....................................................................3

題型五：外接球：線面垂直型............................................................4

題型六：外接球：垂面型................................................................5

題型七：外接球：兩線定心法............................................................5

題型八：外接球：二面角型..............................................................6

題型九：外接球：最值范圍型............................................................7

題型十：外接球：動(dòng)點(diǎn)與翻折............................................................7

題型十一：動(dòng)點(diǎn)型最短距離和............................................................8

題型十二：動(dòng)點(diǎn)：內(nèi)切球................................................................9

題型十三：多選題綜合應(yīng)用：二面角型幾何體............................................10

題型十四：多選題綜合應(yīng)用：翻折型.....................................................11

題型十五：多選題綜合應(yīng)用：正方體表面動(dòng)點(diǎn)型..........................................13

題型十六：多選題綜合應(yīng)用：兩部分體積比型............................................14

題型一：動(dòng)點(diǎn)：恒平行

線面恒平行，過線做面，需要找它們和第三個(gè)面的交線互相平行，借助好“第三個(gè)面的交線平行“這個(gè)性

質(zhì)，可以解決線面恒平行題型的截面問題

1.在四棱錐中，PA1?平面ABC。，且E4=AC=2AB=2A。=4,G為PC的

中點(diǎn)，過AG的平面a與棱尸夙尸。分別交于點(diǎn)￡、尸.若所〃平面ABC。，則截面AEGF的面積為.

2.在三棱錐A8CZ）中，對(duì)棱45=CD="AD=BC=>/13,AC=BD=M,當(dāng)平面a與三棱錐ABC。的某

組對(duì)棱均平行時(shí)，則三棱錐ABCD被平面a所截得的截面面積最大值為.

3.（山西省懷仁市2022屆高三下學(xué)期一模數(shù)學(xué)試）在四棱錐尸-ABCD中，底面A5CD是邊長(zhǎng)為20的正方

形，尸在底面的射影為正方形的中心。,尸。=4,。點(diǎn)為中點(diǎn).點(diǎn)T為該四棱錐表面上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足

都平行于過的四棱錐的截面，則動(dòng)點(diǎn)T的軌跡圍成的多邊形的面積為（）

A.5A/5B.偵C.2D.迪

442

題型二：動(dòng)點(diǎn)：恒垂直

2.（江西省南昌三中2021-2022學(xué)年高三10月月考數(shù)學(xué)（理）試題）在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A與GA

中，E是正方形3片GC的中心，M為G2的中點(diǎn)，過AM的平面a與直線。E垂直，則平面。截正方體

ABCD-A4G。所得的截面面積為（）

A.4A/2B.276C.2^5D.2屈

3.（清華大學(xué)自主招生暨領(lǐng)軍計(jì)劃數(shù)學(xué)試題）已知正方體A8C。-446。的棱長(zhǎng)為1,棱A4的中點(diǎn)為E,

AC與30交于點(diǎn)。.若平面a經(jīng)過點(diǎn)E且與OG垂直，則平面。該正方體所得截面的面積為（）

A.—B.—C.—D.1

422

題型三：動(dòng)點(diǎn)：球截面

1.已知正四面體尸-ABC內(nèi)接于球。，點(diǎn)E是底面三角形ABC一邊的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作球。的截面，若存

在半徑為6的截面圓，則正四面體ABC棱長(zhǎng)的取值范圍是（）

A.[A/2，A/3]B.I5痢

C.[20,2我D.[2A/3,2A/6]

2.（江西省景德鎮(zhèn)市浮梁縣第一中學(xué)2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)試題）已知正方體ABCD-取?2的棱長(zhǎng)為2,

E為棱9的中點(diǎn)，截面CRE交棱于點(diǎn)/，則四面體CDFR的外接球表面積為（）

A397r「4171——437r

A?-----B.C*127rD.-----

444

O■rr

3.（新疆2022屆高三年級(jí)第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知三棱錐P-ABC,AB=BC=2,ZABC=—,PA=4^,

PA過三棱錐尸-ABC外接球心。，點(diǎn)E是線段AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)￡作三棱錐尸-ABC外接球。的截面，則

下列結(jié)論正確的是（）

A.三棱錐尸-ABC體積為城B.截面面積的最小值是2萬

3

C.三棱錐P-A5C體積為亞D.截面面積的最小值是:

題型四：動(dòng)點(diǎn)；定角

定角：定角，可以平移旋轉(zhuǎn)而成圓錐母線、軸關(guān)系

1.直線和直線成定角，可與平移-旋轉(zhuǎn)為圓錐母線與軸的關(guān)系。

2.直線與面成定角，可以平移旋轉(zhuǎn)為：直線-一面的法向量==圓錐母線-一軸的關(guān)系

1.已知正方體的棱長(zhǎng)為1,每條棱所在直線與平面a所成的角都相等，則。截此正方體所得截面面積的最大

值為

A3石R2石「30nV3

A?---D,---C----D.

2.（江蘇省連云港市灌南高級(jí)中學(xué)2022-2023學(xué)年數(shù)學(xué)試題）如圖所示空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-盯？中，P（x,y,z）

是正三棱柱ABC-4瑪0的底面A4G內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，AA=A3=3,直線上4和底面A3C所成角為:，則尸點(diǎn)

坐標(biāo)滿足（）

z.G

B.x2+y2+z2=3C.x2+y2=27D.x2+y2+z2=T1

3.正四面體尸-ABC中，點(diǎn)M是棱2C上的動(dòng)點(diǎn)（包含端點(diǎn)），記異面直線PM與48所成角為a,直線尸河

與平面ABC所成角為夕，則（）

/X.a>/3B,?</?C.a--PD.a?P

題型五：外接球：線面垂直型

1.（2022?河南開封,高三河南省杞縣高中校聯(lián)考開學(xué)考試）在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD為正方形,

平面ABCD,且PA=6,A3=8,則四棱錐尸-ABCD的外接球與內(nèi)切球的表面積之比為（）

A?孚BTC-3

2.（2023河南,高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知正方體的外接球表面積為27萬，點(diǎn)E為棱網(wǎng)的

中點(diǎn)，且平面a,點(diǎn)Ge平面a,則平面a截正方體ABC。-所得的截面圖形的面積為（）

A810以81V2r81n81

4848

3.（2022?河北唐山?高三開灤第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在三棱錐S-ABC中，S3,平面

ABC,AB±BC,SB^AB=BC=2,P,。分別為AB,BC的中點(diǎn)，則平面SPQ截三棱錐S-ABC的外接球所得截

面的面積為（）

s

C.2兀D.20兀

題型六：外接球：垂面型

面面垂直（倆面必然是特殊三角形）

等邊或者直角：（1）等邊三角形中心（外心）做面垂線,必過球也、；

（2）直角三角形斜邊中點(diǎn)（外心）做面垂線,必過球心；

1.（2022?安徽?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）四棱錐尸-ABC。中，ABC。是正方形，PA=AB=PB=^,且面

面ABCD,則四棱錐P-ABCD的外接球表面積為

A.8萬B.10〃C.12萬D.14〃

2.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知在三棱錐C-ABD中，△ABD是等邊三角形，BC1CD,平面平

面6C。，若該三棱錐的外接球表面積為4乃，則AC=（）

A.也B."C.后D.-

222

3.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）在三棱錐尸—ABC中，PA=PB=JBC=4,AC=8,AB，BC.平面PABJ_平面

ABC,若球。是三棱錐P-ABC的外接球，則球。的表面積為（）.

A.25兀B.60萬C.727rD.80〃

題型七：外接球：兩線定心法

雙線交點(diǎn)定心法（特殊三角形圓心垂線交點(diǎn)確定球心法）

（1）等邊三角形中心（外心）做面垂線，必過球心；

（2）直角三角形斜邊中點(diǎn)（外心）做面垂線，必過球心；

L（福建省龍巖市一級(jí)達(dá)標(biāo)校2022-2023學(xué)年高三教學(xué)質(zhì)量檢查數(shù)學(xué)試題）三棱錐P-ABC的底面ABC是

等腰三角形，AC=BC=2,AB=2石，側(cè)面PAB是等邊三角形且與底面ABC垂直，則該三棱錐的外接球表

面積為一.

2.（湖北省鄂東南省級(jí)示范高中教學(xué)改革聯(lián)盟2023屆高三模擬考試數(shù)學(xué)（文）試）已知在三棱錐C-ABD中,

是等邊三角形，BCJ_CD,平面AB￡>_L平面6。。,若該三棱錐的外接球表面積為4；?■，則AC=（）

A.立B.9C.D.-

222

3.（江蘇省鹽城中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期第三次階段性質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題）已知菱形ABGD邊長(zhǎng)為3,

za4Z）=60°,￡1為對(duì)角線AC上一點(diǎn)，AC=6AE.將△ABZ）沿3D翻折到VA8D的位置，E記為E'且二面角

A-3D-C的大小為120°,貝歸棱錐A-BCD的外接球的半徑為；過F作平面a與該外接球相交，

所得截面面積的最小值為.

題型八：外接球：二面角型

1.向量法.一面角2一/一4的大小為。（0464乃）

rr

u-v

|cos

Mllv

2.定義法：在棱上任一點(diǎn)，分別在兩個(gè)半平面內(nèi)做棱的垂線，兩垂線所成的角即為二面角的平面角

3.垂面法：做與棱垂直的平面，交二面角兩個(gè)半平面，兩條交線所成的角即為二面角的平面角

1.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）在三棱錐中，AB=BC=2,NADC=90,二面角O—AC—B的平

面角為30,則三棱錐ABC外接球表面積的最小值為（）

A.16（2/-1bB,16（2A/3-3）TT

C.16(2港+1,D.16(2肉3卜

2.（2022上?山西?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，BZ）=273,將菱形ABCD沿對(duì)角線AC

折起，使二面角3-AC-D的大小為60,則所得三棱錐88的外接球表面積為（）

「52°,c2°

A.4%B.—TCC.67rD.—71

93

3.（2023?全國(guó)高三專題練習(xí)）在三棱錐尸-ABC中，ABC為等腰直角三角形，AB=AC=2,△PAC為

TT

正三角形，且二面角尸-AC-3的平面角為:，則三棱錐P-ABC的外接球表面積為（）

6

人52c4八28C32

A.——71B.-7CC.---71D.---71

9939

題型九：外接球：最值范圍型

1.（福建省泉州市南安第一中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期月考數(shù)學(xué)）已知球。是正三棱錐A-3CD的外接

球，底邊BC=3,側(cè)棱A3=2g,點(diǎn)E在線段瓦）上，且BD=3DE,過點(diǎn)E作球。的截面，則所得截面圓

面積的取值范圍是（）

571A「c“I971A11%，

A.—,4TTB.[2匹4?]C.—,4〃D.-----,44

4L」44

2.正三棱錐P—ABC,。為5C中點(diǎn),PA=y[2,AB=2,過。的平面截三棱錐P-ABC的外接球所得截面

的面積范圍為（）

-13一12

A.二犯二萬B.一兀，一n

4523

3_

C.[匹2句D.冗、一兀

2

3.（山東省2023年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)必刷卷）已知等邊三角形A3C的邊長(zhǎng)為2g,M,N分

別為AB,AC的中點(diǎn)，將AAW沿MN折起得到四棱錐A-MVCB點(diǎn)P為四棱錐A-MVCB的外接球球面

上任意一點(diǎn)，當(dāng)四棱錐A-的體積最大時(shí)，四棱錐A-外接球的半徑為，點(diǎn)?到平面

MNCB距離的最大值為.

題型十：外接球：動(dòng)點(diǎn)與翻折

1.如圖，在ABC中，A5=8,3C+AC=12,分別取Afi、BC、AC邊的中點(diǎn)。,石,尸，將.以羽14￡＞尸,_（?所分

別沿三條中位線折起，使得A民C重合于點(diǎn)P,則三棱錐P-DEF的外接球體積的最小值為

2.已知四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為5的菱形，對(duì)角線5。=8（如圖1）,現(xiàn)以AC為折痕將菱形折起，使點(diǎn)6達(dá)

到點(diǎn)夕的位置.棱AC,的中點(diǎn)分別為&F,且四面體R4CD的外接球球心落在四面體內(nèi)部（不含邊界,

如圖2）,則線段所長(zhǎng)度的取值范圍為（）

3.（2023?四川?四川省金堂中學(xué)校校聯(lián)考三模）如圖，在梯形ABC。中，AB//CD,AB=4,BC=CD=DA=2,

將△AC。沿AC邊折起，使得點(diǎn)。翻折到點(diǎn)P,若三棱錐尸-ABC的外接球表面積為20小貝1］依=（）

題型十一：動(dòng)點(diǎn)型最短距離和

◎0目點(diǎn)

多通過側(cè)面（表面）展開，把空間距離轉(zhuǎn)化為平面距離來求解。棱臺(tái)、棱錐、棱柱，可以通過旋轉(zhuǎn)截面（或者表

面）來達(dá)到空間距離轉(zhuǎn)為平面距離

在展開的過程中，要注意不同幾何體，可能有多種展開方式，要分開各自計(jì)算，再做比較

圓錐與圓臺(tái)側(cè)面展開示意圖

1.（廣東省廣州市華南師范大學(xué)附屬中學(xué)等四所中學(xué)2023屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）如圖，在三棱錐

A-44G中，相，平面4百￡,乙姬6=9?！?A耳=2AA=2耳G=2,尸為線段A片的中點(diǎn)，M,N分別為

線段AC1和線段4C上任意一點(diǎn)，則6PM+MN的最小值為（）

BTC.小D.2

2.（浙江省溫州市平陽(yáng)縣2023屆高三下學(xué)期5月高考適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題）在棱長(zhǎng)為3的正方體

ABCQ-A耳中，0為棱。C的中點(diǎn)，E為線段AO上的點(diǎn)，且AE=2EO,若點(diǎn)分別是線段〃G，

BG上的動(dòng)點(diǎn)，貝HPEF周長(zhǎng)的最小值為（）

A.3-\/2B.1C.D..^42

3.在棱長(zhǎng)均為26的正四面體ABCD中，M為AC中點(diǎn)，E為中點(diǎn),P是DM上的動(dòng)點(diǎn)，。是平面ECD

上的動(dòng)點(diǎn)，則AP+PQ的最小值是（）

B.73+72c.討D.2拒

題型十二：動(dòng)點(diǎn)：內(nèi)切球

11111

^D-ABC~^O-BCD^O-ABC^O-ACD^O-ABD=Jr^ABCD+-^AABD=

+§r5AAsc+§r5AAe05r(SABCQ+SAABC+1

nr_3VoYBC

SbBCD+

1.（安徽省阜陽(yáng)市2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)試題）如圖，正三棱柱ABC-A耳G的側(cè)棱長(zhǎng)為3，底面邊長(zhǎng)

2

為2,D,E,F,M,N分別為棱AC,AB,BC,AG,4G的中點(diǎn)，尸為線段MN上的動(dòng)點(diǎn)，則三棱錐尸—DEF

內(nèi)切球半徑的最大值為.

C

2.（河南省商丘市部分學(xué)校2022-2023學(xué)年高中畢業(yè)班階段性測(cè)試（三）數(shù)學(xué)試題）如圖，有一半徑為1的

球形燈泡，要為其做一個(gè)上窄下寬的圓臺(tái)形燈罩，要求燈罩對(duì)應(yīng)的圓臺(tái)的軸截面為球形燈泡對(duì)應(yīng)的大圓的

外切等腰梯形，則燈罩的表面積（不含下底面）至少為.

3.（百師聯(lián)盟全國(guó)高三模擬考（三）數(shù)學(xué)試題）已知四棱錐P-ABCD,底面四邊形ABCD為正方形，

PA=PB=PC=PD,四棱錐的體積為封1,在該四棱錐內(nèi)放置一球。，則球。體積的最大值為

3

題型十三：多選題綜合應(yīng)用：二面角型幾何體

1.（多選）（23-24高三?湖南長(zhǎng)沙?階段練習(xí)）已知函數(shù)/（好=彳4!1（如+0）（2＞0,。＞0,0＜9＜萬）圖象如圖

1所示，A,8分別為圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，過A,3作x軸的垂線，分別交x軸于A1&,點(diǎn)C為該部分

圖象與x軸的交點(diǎn)，/（無）與y軸的交點(diǎn)為￡＞（0,道），此時(shí)/A4'3=135。.將繪有該圖象的紙片沿?zé)o軸折成60。

的二面角c-OC-Z?,如圖2所示，折疊后|A8|=20,則下列四個(gè)結(jié)論正確的有（）

圖1圖2

71

AA.（p=—

3

B.7（尤）的圖象在（2,3）上單調(diào)遞增

C.在圖2中，/5）上存在唯一一點(diǎn)0,使得面ABC

D.在圖2中，若匕心是/⑴上兩個(gè)不同的點(diǎn)，且滿足的，89/=1,2,則山閭的最小值為g

2.（多選）（2024?云南?模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知二面角齊的棱/上有A,8兩點(diǎn)，C^a,AC±l,D^j3,BD±l,

A.當(dāng)CP時(shí)，直線CO與平面4所成角的正弦值為迫

3

B.當(dāng)二面角&-/-/的大小為60時(shí)，直線AB與8所成角為45

C.若CD=2AB=2,則三棱錐A-3CD的外接球的體積為之反

3

D.若CD=2AB,則二面角C—如-A的余弦值為2c

7

3.（多選）（2024,廣東梅州,二模）如圖，平面ABN人a,肱V|=2,M為線段42的中點(diǎn)，直線

MN與平面a的所成角大小為30。，點(diǎn)P為平面a內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，則（）

A.以N為球心，半徑為2的球面在平面a上的截痕長(zhǎng)為2%

B.若尸到點(diǎn)M和點(diǎn)N的距離相等，則點(diǎn)P的軌跡是一條直線

C.若P到直線MN的距離為1,則/APB的最大值為：

D.滿足/肱VP=45。的點(diǎn)尸的軌跡是橢圓

題型十四：多選題綜合應(yīng)用：翻折型

翻折

1.翻折前后，在同一平平面內(nèi)的點(diǎn)線關(guān)系不變

2.翻折過程中是否存在垂直或者平行等特殊位置關(guān)系

3.翻折過程中，角度是否為定值

4.翻折過程中，體積是否存在變化

1.（2024.吉林.模擬預(yù)測(cè)）如圖1,在等腰梯形ABC。中，ABDC,且。C=2A3=2AO=4,。為BO的

中點(diǎn)，沿8。將翻折，使得點(diǎn)A到達(dá)H的位置，構(gòu)成三棱錐A'-3CD（如圖2）,則（）

圖1圖2

A.在翻折過程中，AD與可能垂直

B.在翻折過程中，二面角A-3C-。無最大值

C.當(dāng)三棱錐A-3C。體積最大時(shí)，AD與CO所成角小于g

7T

D.點(diǎn)尸在平面A3。內(nèi)，且直線PC與直線5c所成角為：，若點(diǎn)尸的軌跡是橢圓，則三棱錐A-5co的

6

體積的取值范圍是與當(dāng)

2.（22-23高三?山東蒲澤模擬）如圖，矩形A5CD中，AB=2AD=2,E為邊AB的中點(diǎn)，將VADE沿直

線DE翻折成△ADE（點(diǎn)A不落在底面BCDE內(nèi)），若M在線段AC上（點(diǎn)/與A,C不重合），則在

VADE翻轉(zhuǎn)過程中，以下命題正確的是（）

A.存在某個(gè)位置，使。

B.存在點(diǎn)M,使得平面A.DC成立

C.存在點(diǎn)〃，使得板//平面AOE成立

D,四棱錐體積最大值為Y2

3.（2024?河南南陽(yáng)?一模）如圖1,在直角梯形ABC。中，AB//CD,AB±AD,AB=3A/3,CD=4A/3,AD=3,

點(diǎn)E,尸分別為邊AB,CO上的點(diǎn)，且E尸//4D,AE=2百.將四邊形AE/*沿EF折起，如圖2,使得平面AEFD±

平面E8CE點(diǎn)M是四邊形AEFD內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且直線MB與平面AE/*所成的角和直線MC與平面AEFD

所成的角相等，則下列結(jié)論正確的是（）

圖I圖2

A.AC1BF

B.點(diǎn)M的軌跡長(zhǎng)度為R

C.點(diǎn)M到平面EBCF的最大距離為￡

D.當(dāng)點(diǎn)〃到平面E8C尸的距離最大時(shí)，三棱錐M-Bb外接球的表面積為28兀

題型十五：多選題綜合應(yīng)用：正方體表面動(dòng)點(diǎn)型

L（2024?浙江?模擬預(yù)測(cè)）已知棱長(zhǎng)為1的正方體ABCO-4耳GAB是空間中一個(gè)動(dòng)平面，下列結(jié)論正確的

是（）

A.設(shè)棱破的）,"所在的直線與平面S所成的角為則sin2（z+sin，+sin2/=l

B.設(shè)棱ARAAAA,所在的直線與平面5所成的角為d/V,JjllJcos2（z+cos2/?+cos2/=1

C.正方體的12條棱在平面S上的射影長(zhǎng)度的平方和為8

D,四面體A-瓦CR的6條棱在平面S上的射影長(zhǎng)度的平方和為8

2.（2024?江西鷹潭?一模）直四棱柱A