2025高考數(shù)學(xué)專(zhuān)項(xiàng)復(fù)習(xí)：圓中的最值模型之阿氏圓模型（含答案）

2025高考數(shù)學(xué)專(zhuān)項(xiàng)復(fù)習(xí)圓中的最值模型之阿氏圓

模型含答案

圓中的錄值模型之阿氏圓模型

最值問(wèn)題在中考數(shù)學(xué)中常常作為壓軸題出現(xiàn)，其中“阿氏圓”（又稱(chēng)“阿波羅尼斯圓”）是一個(gè)重要的考點(diǎn)。這

類(lèi)題目主要考察學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想,并且在各類(lèi)考試中通常都被視為高檔題。為了幫助學(xué)生更好地

理解和掌握這一知識(shí)點(diǎn)，本專(zhuān)題將對(duì)最值模型中的阿氏圓問(wèn)題進(jìn)行系統(tǒng)的梳理，并提供對(duì)應(yīng)的試題分析，以便學(xué)

生能夠熟練掌握并靈活應(yīng)用。

-------------------------------------------------------------0°-------------------------------------------------------------

例題講模型...................................................................................1

模型1.阿氏圓模型............................................................................1

習(xí)題練模型...................................................................................7

例題講模型J

模型1.阿氏圓模型

動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離之比為定值（即:平面上兩點(diǎn)A、B,動(dòng)點(diǎn)P滿足a4/PB=Mk為常數(shù)，且kRl））,那么動(dòng)

點(diǎn)的軌跡就是圓，因這個(gè)結(jié)論最早由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)的，故稱(chēng)這個(gè)圓稱(chēng)為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱(chēng)為阿

氏圓。

如圖1所示，。。的半徑為7,點(diǎn)A、B都在。。外，P為。。上一動(dòng)點(diǎn)，已知r=（即^=k）,連接

（JJD

FA、PB,則當(dāng)“B4+展PB”的值最小時(shí)，P點(diǎn)的位置如何確定？最小值是多少呢？

???

如圖2,在線段OB上截取OC使。。=%.「（即會(huì)：=k）,,:黑=k，：.工=咨

pp

?.?NPOC=ABOP,APOC-/\BOP,不君=鼠即k-PB=PC。

故本題求“P4+KPB”的最小值可以轉(zhuǎn)化為“PA+PC”的最小值。

其中與A與。為定點(diǎn)，P為動(dòng)點(diǎn)，故當(dāng)4P、。三點(diǎn)共線時(shí),“P4+PC”值最小，如圖3所示。

阿氏圓求最值的本質(zhì)就是通過(guò)構(gòu)造母子相似，化去比例系數(shù),轉(zhuǎn)化為兩定一動(dòng)將軍飲馬型求最值,難點(diǎn)在于如何

構(gòu)造母子相似。

阿氏圓最值問(wèn)題常見(jiàn)考法:點(diǎn)在圓外：向內(nèi)取點(diǎn)（系數(shù)小于1）;點(diǎn)在圓內(nèi)：向外取點(diǎn)（系數(shù)大于1）;一內(nèi)一外:提系

數(shù);隱圓型阿氏圓等。

注意區(qū)分胡不歸模型和阿氏圓模型:在前面的“胡不歸”問(wèn)題中，我們見(jiàn)識(shí)Ti（k-FA+PB”最值問(wèn)題，其中P點(diǎn)軌

跡是直線，而當(dāng)P點(diǎn)軌跡變?yōu)閳A時(shí)，即通常我們所說(shuō)的“阿氏圓”問(wèn)題.

1.（2024?浙江??？家荒＃┤鐖D，4B為。。的直徑，=2,點(diǎn)。與點(diǎn)。在的同側(cè)，且AD，AB,

，AB,A。=1,3,點(diǎn)P是。O上的一動(dòng)點(diǎn),則^-PD+PC的最小值為.

???

2.（2024.湖北.九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，已知正方形4BCD的邊長(zhǎng)為4,?？诘陌霃綖?,點(diǎn)P是。B上的

一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PD-yPC的最大值為.

3.（2023?北京?九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖,邊長(zhǎng)為4的正方形，內(nèi)切圓記為。O,P是。。上一動(dòng)點(diǎn)，則V2PA

+PB的最小值為.

4.（2023?江蘇泰州?模擬預(yù)測(cè)）如圖，。。與4軸、2軸的正半軸分別相交于點(diǎn)MT、N,OO半徑為6,點(diǎn)

/（0,3）,點(diǎn)口（5,0）,點(diǎn)。（0,12）,將線段OC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a（0°WaW90°）,得線段00,O。與

弧MN交于點(diǎn)、P,連PA,PB.則2pA+PB的最小值為.

???

y

5.（2024.山東.模擬預(yù)測(cè)）如圖，在A4BC中，ABC=90°,AB=2BC=6,BD=1,P在以口為圓心3為

半徑的圓上，則AP+6PD的最小值為.

6.（2023?陜西咸陽(yáng)?三模）如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線相交于點(diǎn)。，點(diǎn)E、F分別是OD、OC

上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且即=4,P是即的中點(diǎn)，連接OP、PC、P。,若47=12,6。=16,則。。+牛尸。的

最小值為.

D

7.（2024?廣東?九年級(jí)階段練習(xí)）如圖,在平面直角坐標(biāo)系中，4（2,0）,B（0,2）,。（4,0）,。（5,3）,點(diǎn)P是

第一象限內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且NAPB=135°,則4PD+2PC的最小值為.

???

8.（2024?湖北?九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）（1）如圖1,已知正方形4BCD的邊長(zhǎng)為4,圓B的半徑為2,點(diǎn)P是圓B

上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求+的最小值，gPD+4PC的最小值，PD—的最大值.

⑵如圖2,已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為9,圓口的半徑為6,點(diǎn)P是圓B上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求+

O

的最小值，PD—的最大值，PC+乎尸。的最小值.

OO

（3）如圖3,已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為4,=60°,圓B的半徑為2,點(diǎn)P是圓B上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求PD

+—PC的最小值和PD-的最大值.PC+^-PD的最小值

???

9.（2023?重慶?模擬預(yù)測(cè)）如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=--x2+bx+c與直線y=~^x+2交

（1）求拋物線的函數(shù)解析式；（2）P為直線上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PQ〃"軸交直線

于點(diǎn)Q,求PQ+軍CQ的最大值和此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

5

???

習(xí)題練模型

10.（2024?四川宜賓?中考真題）如圖,拋物線y=ax2+bx+c（a<0）的圖象交T軸于點(diǎn)4（—3,0）、3（1,0），

交U軸于點(diǎn)C.以下結(jié)論：①a+b+c=0；②a+3b+2c<0；③當(dāng)以點(diǎn)A、8、C為頂點(diǎn)的三角形是等

腰三角形時(shí)，c=。；④當(dāng)c=3時(shí)，在△AOC內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)P,若0P=2,則CP+日4P的最小值為

O

呼.其中正確結(jié)論有（）

O

C.3個(gè)D.4個(gè)

11.（2023?山西?九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在△ABC中，/8=90°,AB=CB=2,以點(diǎn)B為圓心作圓8與/。

相切，點(diǎn)P為圓B上任一動(dòng)點(diǎn)，則上4+容PC的最小值是

12.（2023?成都市?九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，已知菱形4BCD的邊長(zhǎng)為4,ZB=60°,的半徑為2,P為。

B上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值.PC+艱的最小值

2---------o---------

13.（2024?甘肅武威?一模）如圖，在扇形O4B中，乙406=90,OA=12,點(diǎn)。在。4上，4。=4,點(diǎn)。為

???

?？诘闹悬c(diǎn)，點(diǎn)E為弧AB上的動(dòng)點(diǎn)，OE與CD的交點(diǎn)為F,CE+2OE的最小值為

14.（23—24九年級(jí)下.四川成者限階段練習(xí)）如圖，△ABC是等邊三角形，AB=4,點(diǎn)。在邊AC上由。向

A運(yùn)動(dòng),點(diǎn)E在邊上由B向。運(yùn)動(dòng)，且CD=BE,連接BD、AE交于點(diǎn)P,將邊4。繞著點(diǎn)。順時(shí)

針旋轉(zhuǎn)90°得到CM,在射線CM上截取線段CR,使CF=在。、E的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，求義PC+

尸尸的最小值

15.（2024.四川綿陽(yáng)??？家荒＃┰凇鰽BC中，乙4cB=90°,BC=8,AC=6,以點(diǎn)。為圓心，4為半徑的圓

上有一動(dòng)點(diǎn)D,連接AD,BD,CD,p1lJyBL>+AD的最小值是.

16.（2024九年級(jí)?廣東?專(zhuān)題練習(xí)）如圖，等邊△ABC的邊長(zhǎng)為6,內(nèi)切圓記為?O,P是?。上一動(dòng)點(diǎn)，則

PB+2PC的最小值為

17.（2023?山東煙臺(tái)?統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線夕="—6宓+5與比軸交于48兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,

=4,以點(diǎn)B為圓心，畫(huà)半徑為2的圓，點(diǎn)P為。B上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PC+2上4的最小值為

18.（2024?江蘇鎮(zhèn)江,二模）如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，E、F分別為BC、CD上的動(dòng)點(diǎn)，BE=CF,

連接AE、板交于點(diǎn)P,則PD+孕C的最小值為一.

19.（2024?江蘇?校考二模）如圖，在△4BC中，乙4cB=90°,BC=12,AC=9,以點(diǎn)。為圓心，6為半徑的

圓上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)D.連接AD、BD、CD,則2AD+3BD的最小值是.

20.（23—24九年級(jí)上.江蘇南京.期末）如圖，在電AABC中，乙4cB=90°,47=6,瓦7=8,。、E分別是

邊BC、47上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且OE=4,P是。E的中點(diǎn)，連接PA,PB,^\PA+^PB的最小值為

???

B

21.（23—24九年級(jí)下?江蘇鹽城?階段練習(xí)）如圖，在&ZVIBC中，乙4cB=90°,AC=8,BC=6,點(diǎn)、D為

△4BC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn),且滿足CD=4,則AD+春口。的最小值為

O

22.（23—24九年級(jí)上?陜西漢中?期末）（1）【問(wèn)題提出】如圖1,在正方形4BCD中，點(diǎn)E是邊的中點(diǎn),

DF=3CF,求證：△ABE?/XECF；

（2）【問(wèn)題探究】如圖2,在矩形ABCD中，=5,BC=12,點(diǎn)E、尸分別為邊AB.上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且

EF=6,點(diǎn)P為即的中點(diǎn)，連接DP,求DP的最小值；

（3）【拓展延伸】如圖3,在菱形中，43=4,/8=60°,點(diǎn)后為4D邊的中點(diǎn),在平面內(nèi)存在點(diǎn)尸,

且滿足FE=1,以4F為一邊作4P（頂點(diǎn)F、A、P按逆時(shí)針排列）,使得AP=2AF,且AFAP=

120°,求2PD+PC的最小值.

???

23.（2024?山東威海*二模）【問(wèn)題解決】（1）如圖1,四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E在邊4D上，以CE為邊在

其右側(cè)作正方形CEFG,連接DG,8E,求證：DG=BE.

【問(wèn)題拓廣】（2）如圖2,四邊形ABCD是矩形，48=4,6,點(diǎn)E是4D邊上一動(dòng)點(diǎn)，以CE為邊在

其右側(cè)作矩形CEFG,且CG-.CE=2:3,連接。G,BE.①寫(xiě)出線段0G與BE的數(shù)量關(guān)系，并證明你

的結(jié)論；②連接BG，則BE+^BG的最小值為.（直接寫(xiě)答案）

24.（23-24九年級(jí)上?湖北武漢?階段練習(xí)）如圖1,在矩形ABCD中，="BC,點(diǎn)E為射線上的一

個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作砂，AE,連接AE，使ZEAF=ABAC,連接CF.

圖1圖2

⑴求證:①△4BC?4HEF；②4ABE?/XACF；（2）如圖2,若乃=5,連接DF.

①若ZCDF=45°,求BE；②當(dāng)E點(diǎn)在射線8C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，則DF+-^-AE的最小值為

O

???

25.(23—24九年級(jí)下?湖南郴州?期中)綜合與實(shí)踐，如圖，以4B為邊向兩側(cè)作AABC和4ABD,E為AD

的中點(diǎn)，連接8E,CE.(1)如圖1,若CALAB,CA//BD,/C=3,AB=BD=4,求CE的長(zhǎng).

(2)如圖2,連接CD交4B于點(diǎn)EG為CP上一點(diǎn)，斤G=4F,AG//BD,ZBZ)F=60°,AC=AD.猜

想與BE之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想.(3)如圖3,△ABC是以為斜邊的等腰直角

三角形，若48=8,8。=4,請(qǐng)直接寫(xiě)出當(dāng)CE—。AE取最大值時(shí)，A4CE的面積.

???

圓中的聿值膜型之為氏圓娥嚶

最值問(wèn)題在中考數(shù)學(xué)中常常作為壓軸題出現(xiàn)，其中“阿氏圓”（又稱(chēng)“阿波羅尼斯圓”）是一個(gè)重要的考點(diǎn)。這

類(lèi)題目主要考察學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想,并且在各類(lèi)考試中通常都被視為高檔題。為了幫助學(xué)生更好地

理解和掌握這一知識(shí)點(diǎn)，本專(zhuān)題將對(duì)最值模型中的阿氏圓問(wèn)題進(jìn)行系統(tǒng)的梳理，并提供對(duì)應(yīng)的試題分析，以便學(xué)

生能夠熟練掌握并靈活應(yīng)用。

-------------------------------------------------------------0(^^3)°

例題講模型...............................................................................1

模型i.w氏國(guó)模型........................................................................1

習(xí)題練模型..............................................................................12

例題講模型O

模型1.阿氏圓模型

動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離之比為定值（即:平面上兩點(diǎn)A、B,動(dòng)點(diǎn)P滿足a4/PB=%（A;為常數(shù)，且%看1））,那么動(dòng)

點(diǎn)的軌跡就是圓，因這個(gè)結(jié)論最早由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)的，故稱(chēng)這個(gè)圓稱(chēng)為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱(chēng)為阿

氏圓。

如圖1所示，。。的半徑為r,點(diǎn)都在③。外，P為。。上一動(dòng)點(diǎn)，己知發(fā)=七。8（即=k）,連接

UJD

_R4、PB,則當(dāng)“PA+APB”的值最小時(shí)，P點(diǎn)的位置如何確定？最小值是多少呢？

???

如圖2,在線段OB上截取OC使。。=%.「（即會(huì)：=k）,,:黑=k，：.工=咨

pp

?/NPOC=ABOP,APOC-/\BOP,不君=鼠即k-PB=PC。

故本題求“P4+KPB”的最小值可以轉(zhuǎn)化為“FA+PC”的最小值。

其中與A與。為定點(diǎn)，P為動(dòng)點(diǎn)，故當(dāng)4P、。三點(diǎn)共線時(shí),“P4+PC”值最小，如圖3所示。

阿氏圓求最值的本質(zhì)就是通過(guò)構(gòu)造母子相似，化去比例系數(shù),轉(zhuǎn)化為兩定一動(dòng)將軍飲馬型求最值,難點(diǎn)在于如何

構(gòu)造母子相似。

阿氏圓最值問(wèn)題常見(jiàn)考法:點(diǎn)在圓外：向內(nèi)取點(diǎn)（系數(shù)小于1）;點(diǎn)在圓內(nèi)：向外取點(diǎn)（系數(shù)大于1）;一內(nèi)一外:提系

數(shù);隱圓型阿氏圓等。

注意區(qū)分胡不歸模型和阿氏圓模型:在前面的“胡不歸”問(wèn)題中，我們見(jiàn)識(shí)Ti（k-FA+PB”最值問(wèn)題，其中P點(diǎn)軌

跡是直線，而當(dāng)P點(diǎn)軌跡變?yōu)閳A時(shí)，即通常我們所說(shuō)的“阿氏圓”問(wèn)題.

1.（2024?浙江?校考一模）如圖，4B為。。的直徑，=2,點(diǎn)。與點(diǎn)。在的同側(cè)，且AD，AB,

，AB,A。=1,3,點(diǎn)P是。O上的一動(dòng)點(diǎn),則^-PD+PC的最小值為.

???

【答案】早

【分析】連接8,先利用勾股定理求得OD=0,AAOD=45°,在OD上截取。/=空，過(guò)/作汨，

于H,IG工BC于G,求得BG=IH=[■，/G=BH=?，CG=1■，進(jìn)而求得CI=乂|全，證明△PC"

△OOP求得PI=亨PD,利用兩點(diǎn)之間線段最短得到與PD+PC=PI+POIC,當(dāng)C、P、/共線時(shí)取

等號(hào)，即可求解.

【詳解】解:連接OD,YAB為。。的直徑，AB=2,

.?.O4=OB=1,1?在AtZVlOD中，OA=AD=1,OD=VAD^OA2=V2,ZAOD=45°,

在OD上截取O/=夸，過(guò)/作汨，48于H,/G，BC于G,連接IP、IC,

：.四邊形IHBG是矩形,IH=OH=與OI=f,：.BG=IH=[,IG=BH=OH+OB=^-,

:.CG=BC-BG=3-f=卷，在RtACIG中，CI=dIG2+CG2=

???禺=嘉=W，々OD是公共角，二AF。/?ADOP,.?.黑=緇=乎，則PI=警PO,

1\_yJLyZ1jLyZ乙

.?.孚PD+PC=P/+PC，/C,當(dāng)。、P、/共線時(shí)取等號(hào)，

故亨PD+PC的最小值為C/=工,故答案為：W工.

2.（2024.湖北.九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，已知正方形4BCD的邊長(zhǎng)為4,?？诘陌霃綖?,點(diǎn)P是。B上的

一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PD-^PC的最大值為.???

D

【答案】5

【詳解】分析：由PD—^PC=PD—PGWDG,當(dāng)點(diǎn)、P在DG的延長(zhǎng)線上時(shí)，PD-^-PC的值最大，最大

值為。G=5.

詳解：在BC上取一點(diǎn)G,使得BG=1,如圖，?.?祟=,=2,普=言=2,.?.祟=髡，

±>Gr1JrID/±>GrJrID

?：APBG=ZPBC,:ZBG?ACBP,.?.聚=鬻=[,.?.PG=[p。，

niIDzL

當(dāng)點(diǎn)P在DG的延長(zhǎng)線上時(shí)，PD—yFC的值最大，最大值為DG=V42+32=5.故答案為5

點(diǎn)睛：本題考查圓綜合題、正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)構(gòu)建相似三

角形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問(wèn)題,把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間線段最短解決，題目比較難，屬于中

3.（2023?北京?九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，邊長(zhǎng)為4的正方形，內(nèi)切圓記為。O,P是。。上一動(dòng)點(diǎn)，則，

+PB的最小值為.

【答案】2瓶

【分析】+亨PB）,利用相似三角形構(gòu)造字PB即可解答.???

【詳解】解:設(shè)。O半徑為r,

_

OP=r=^-BC=2,03=血7'=22，取03的中點(diǎn)/,連接刊,；.。/=由=四,

..小=工=回膽=3工=?.OPOB

,OIV2'OP2VO1=OP,ZO是公共角，,ABOPsAPOZ,

???哥=原=*.??/=卓也??.”+冬PB=”+H,

當(dāng)4P、/在一條直線上時(shí)，AP+?PB最小，作/E_L4B于E,

?.-2ABO=45。,：.IE=BE=^BI=1,:.AE=AB-BE=3,

：.AI=V^+P=V10,：.AP+笄PB最小值=A/=舊，

?/V2PA+PB=V2（PA+*PB）,/.V2FA+PB的最小值是V2AZ=V2xVW=275.故答案是2瓜

【點(diǎn)睛】本題是“阿氏圓”問(wèn)題，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是構(gòu)造相似三角形.

4.(2023?江蘇泰州?模擬預(yù)測(cè))如圖，。O與“軸、2軸的正半軸分別相交于點(diǎn)M、點(diǎn)N,?O半徑為6,點(diǎn)

40,3),點(diǎn)B(5,0),點(diǎn)C(O,12),將線段OC繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a(0°WaW90°),得線段OO,O。與

弧M2V交于點(diǎn)P,連PA,PB.則224+P8的最小值為.

【答案】13

【分析】連接PC,易證△QR4?△OCP,相似比為—，即可得到2PA=PC,可知當(dāng)。、P、B三點(diǎn)在同一條直

線上的時(shí)候，2R4+PB取得最小值，利用勾股定理即可求解.

【詳解】解:連接PC,???。4=3,OP=6,00=12,

V

[APOA^ACOPi

在ZXOBA和△OCT中，｛04=cp=i,.?.△OR4?△OCP,相似比為卷，故2R4=PC,

[~OP~~OC2

A當(dāng)C、P、B三點(diǎn)在同一條直線上的時(shí)候，2a4+PB取得最小值，

在RtdOCB中，2_R4+PB=CB=gC1+CB?=，醛?+5?=13.故2Q4+PB的最小值為13.

【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形中與圓結(jié)合中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，難度一般，正確作出輔助線，利用相似性，是順利解

題的關(guān)鍵.

5.（2024.山東.模擬預(yù)測(cè)）如圖，在A4BC中，N4BC=90°,AB=2BC=6,1,P在以8為圓心3為

半徑的圓上，則4P+6PD的最小值為.

【解答】解:在48上取點(diǎn)E,使跳；=得，?.?4B=2BC=6,=等=]

,:NPBE=AABP,XPBE?^ABP，:.售=置=三，：.PE=±PA,

iviAb//

在BD延長(zhǎng)線上取BF=9,=則第_=^=3,

riDJDL)

PFpR

又???4PBD=/FBP,：.\PBD?\FBP,：.希=建=3,：,PF=3PD,

PA+6PD=2（^-PA+3PD）=2（PE+PF）,

：.當(dāng)P為EF和圓的交點(diǎn)時(shí)PE+PF最小，即P4+6PD最小，且值為2EF,

?：EF=y/BE~+BF2=J（-|-）2+92=,二M+6尸。的最小值為2EF=3俯，故答案為：3，五.

6.（2023?陜西咸陽(yáng)?三模）如圖，在菱形4BCD中，對(duì)角線相交于點(diǎn)。，點(diǎn)E、斤分別是O。、OC

上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且即=4,P是EF的中點(diǎn)，連接OP、PC、尸。，若47=12,BD=16,則PC+:產(chǎn)D的

最小值為.

［答案］呼顯

【分析】在OD上取一點(diǎn)G,使得0G=1，連接PG、CG.根據(jù)菱形的性質(zhì)可知。。=6,OD=8,則空=

翳=5，結(jié)合2Gop=APOD,可得APOG?△DOP,利用相似三角形的性質(zhì)證得PG=:PD,根據(jù)

PC+POCG可知CG的長(zhǎng)即為PC+±PD的最小值，利用勾股定理求出CG便可解決問(wèn)題.

【詳解】解:如圖，在OD上取一點(diǎn)G,使得OG制，連接PG、CG.

?：四邊形ABCD為菱形,AC=12,BD=16,OC=^-AC=6,OD=~BD=8,AC±BD,

?.?EF=4,P是EF的中點(diǎn)，.?.OP=5EF=2,.?.黑=￡=9，器=看=［,

又-.-4Gop=APOD,/.APOG?^DOP,：.黑=；,即GP=,

?：PC+PG>CG,：.當(dāng)點(diǎn)G、P、。在同一直線上時(shí)，PC+，。取得最小值，

此時(shí)PC+十PD=PC+PG=CG=〃。。2+CG?=，故答案為：誓兄.???

【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握“胡不歸”問(wèn)題模型，正確

畫(huà)出輔助線，構(gòu)造相似三角形，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和勾股定理求解.

7.(2024?廣東?九年級(jí)階段練習(xí))如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，4(2,0),8(0,2),。(4,0),。(5,3),點(diǎn)P是

第一象限內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且AAPB=135°，則4PD+2PC的最小值為.

【答案】20

【分析】取一點(diǎn)T(1,0),連接。P,PT,TD,首先利用四點(diǎn)共圓證明OP=2,再利用相似三角形的性質(zhì)證明

PT=推出4PD+2PC=4(PD+*PC)=4(PD+PT),根據(jù)PD+DT,過(guò)點(diǎn)。作DE_LOC

交OC于點(diǎn)E,即可求出。T的最小值，即可得.

【詳解】解:如圖所示，取一點(diǎn)7(1,0),連接OP,PT,TD,

：42,0),5(0,2),C(4,0),.?.CU=OB=2,0(7=4,

以。為圓心，OA為半徑作。O,在優(yōu)弧43上取一點(diǎn)Q,連接QB,QA,

?.?ZQ-yZAOB=45°,/APB=135°,ZQ+AAPB=45°+135°=180°,

Q四點(diǎn)共圓，.?.OP=OA=2,

?：OP=2,OT=1,OC=4,：.OP2=OC-OT,：.沼=粵,

PTOpii

???ZFOT=ZFOC,AAFOT?△COP,?,?*=*二卷，?二PT=*PC,

：.4PD+2PC=4(Fn+yFC,)=4(PD+PT)，過(guò)點(diǎn)。作DE_L。。交OC于點(diǎn)E,

?.?。的坐標(biāo)為(5,3),.?.點(diǎn)E的坐標(biāo)為(5,0),TE=4,：.L>T=V32+42=5

?.?PD+PT>DT,.?.4PD+2PO20,.?.4PD+2PC的最小值是20,故答案為：20.

【點(diǎn)睛】本題考查了四點(diǎn)共圓，相似三角形，勾股定理,三角形三邊關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握這些知識(shí)點(diǎn).

8.(2024.湖北.九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí))(1)如圖1,已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,圓口的半徑為?2,點(diǎn)?P是圓?B

上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求PD+9PC的最小值，血尸。+4PC的最小值，PD—得PC的最大值.

（2）如圖2,已知正方形4BCD的邊長(zhǎng)為9,圓6的半徑為6,點(diǎn)P是圓B上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求PD+1~PC

O

的最小值，P?！狾PC的最大值，PC+烏PD的最小值.

OO

（3）如圖3,已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為4,=60°,圓B的半徑為2,點(diǎn)P是圓B上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求PD

+《PC的最小值和PD—《PC的最大值.PC+烏PD的最小值

226

【分析】⑴如圖1中，在BC上取一點(diǎn)G,使得BG=L由△FBG?△CBF,推出梁=管=/推出

1OrLJ/

PG=推出PD+3PC=DP+PG,由DP+PG>OG,當(dāng)。、G、P共線時(shí)，PD+J。。的值最小,

最小值為DG=V42+32=5.由PD—：PC=PD—PG^DG,當(dāng)點(diǎn)、P在DG的延長(zhǎng)線上時(shí)，PD-yPC

的值最大（如圖2中），最大值為DG=5;可以把V2PD+4PC轉(zhuǎn)化為4（空PD+P。）,這樣只需求出

V2PD+4PC的最小值，問(wèn)題即可解決。

（2）如圖3中，在BC上取一點(diǎn)G,使得BG=4.解法類(lèi)似（1）;

（3）如圖4中，在上取一點(diǎn)G,使得BG=4,作。F_L于F.解法類(lèi)似（1）;

【詳解】（1）如圖1中，在BC上取一點(diǎn)G,使得BG=L

..PB_2BC1.PB_BC

.樂(lè)一丁一可=9,?：APBG=ZPBC,：.APBG?△CBP,

2,2BGPB

???器=%=：.PG=^PC,：.PD+^PC=DP+PG,

■：DP+PODG,：.當(dāng)。、G、P共線時(shí)，0D+的值最小，最小值為DG=V42+32=5.

?/PD-yFC=PD-PG^DG,

當(dāng)點(diǎn)P在0G的延長(zhǎng)線上時(shí)，——PC的值最大（如圖2中），最大值為。G=5.

如圖，連接BD,在BD上取一點(diǎn)F,使得BF=除，作EF工BC

?：然=祟=4,：2PBF=ZPBD,：.APBF?/XPBD,：.PF=^PD,

13P13L）44

當(dāng)C、尸、P三點(diǎn)共線時(shí)會(huì)有FF+CP的最小值即空PD+PC,

由圖可知，ABEF為等腰直角三角形，BF=容，BE=EF=9,

：.最小值為FC-y/EF^EC2=^/（y）2+（4-y）2=-|-V2.?.，^PD+4PC的最小值為：1072.

（2）如圖3中，在BC上取一點(diǎn)G,使得8G=4.

..PB_6_3BC_9_3.PB_BC../—/?八「RP

F-NFF-《FlF-K，4PBG-PBC'.ZBG…BP,

???器=器=等,.?.PG=1~PC,...PD+1_PC=DP+PG,

?：DP+PODG,：.當(dāng)。、G、P共線時(shí)，PD+日PC的值最小，最小值為DG=不/=V106.

■：PD-卷PC=PD-PG&DG,當(dāng)熱P在DG的延長(zhǎng)線上時(shí)，PD-得。。的值最大，最大值為DG

OO

VW6.

⑶如圖4中，在BC上取一點(diǎn)G，使得BG=1,作_DF，BC于F.

BC

■：APBG=APBC,：.APBG?4CBP,

PB

二器=器=，.?.PG=]PC,.?.PD+^PC=nP+PG,

?.?_DP+PG>DG,.?.當(dāng)。、G、P共線時(shí)，0D+〈PC的值最小，最小值為。G.

在中，ZDCF=60°,CD=4,CD-sin60°=273,CF=2,

在RtdGDF中，。G=+52=居PC=PD—PGMDG,

當(dāng)點(diǎn)P在。G的延長(zhǎng)線上時(shí)，PD-/PC的值最大（如圖2中），最大值為。G

【點(diǎn)睛】本題考查圓綜合題、正方形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、兩點(diǎn)之間線段最短等知

識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)構(gòu)建相似三角形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問(wèn)題,把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間線段

最短解決，題目比較難，屬于中考?jí)狠S題.

9.（2023?重慶?模擬預(yù)測(cè)）如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=一3"+bx+c與直線y=一1力+2交

（1）求拋物線的函數(shù)解析式；（2）P為直線上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PQ〃"軸交直線BC

于點(diǎn)Q,求PQ+誓CQ的最大值和此時(shí)點(diǎn)尸的坐標(biāo);

5

【答案】（l）g=—力+2（2）（PQ+2^^CQ）的最大值為,此時(shí)JP（3,2）

【分析】（1）首先求出B（4,0）,。（0,2）,然后利用待定系數(shù)法求解即可；（2）首先求出3。=/032+002=

20，過(guò)點(diǎn)Q作QH〃c軸交y軸于點(diǎn)H,證明出△CHQ?△COB,得到CQ^^-HQ,PQ+軍顯CQ=

PQ+HQ.設(shè)P（t,—1■力2+~1~力+2）,—，力+2），表示出PQ+CQ——（右-3）?+得,然后利用二

次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；

【詳解】(1)直線g=—~+2當(dāng)力=0時(shí)，g=2,(7(0,2)

???當(dāng)g=0時(shí)，一去力+2=0解得力=4工B(4,0)將_8(4,0),C(0,2)代入g=—^-x2-\-bx-\-c,

得(-9*16+4b+c=0,解得(b=卷...拋物線的解析式為+_|_立+2；

[c=2,1c=222

(2)B(4,0),。(0,2),QB=4,OC=2,BC=VOB2+OC2=275.過(guò)點(diǎn)Q作QH〃加軸交夕軸于點(diǎn)H,

△CHQ?△。。凡???罟=黑.?.得=黑=浮.?.CQ=今HQ,

CJDUb〃用C715//

PQ+CQ=PQ+HQ.設(shè)P卜,―■力2+號(hào)1+2),Q1,—^力+2),

22

則PQ—yp—yQ——■廿+2t,HQ—xQ—t,：,PQ+2yCQ——^-t+3t=―1(t—3)+-1-.

ZJo///???

p

^/O\

—；VO,OV力V4,，當(dāng)力=3時(shí)，(PQ+2^^CQ)的最大值為巧■，此時(shí)P(3,2).

⑶由⑵知，。3')，點(diǎn)Q平移前的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)C,

.?.新拋物線是原拋物線向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移整個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的.

式=一卷0—3)2+9(2-3)+2一得=一卷"+葛,一宇，

?,倒0，—耳)，對(duì)稱(chēng)軸為2=設(shè)M"&m),由⑴知,B(4,0),

2222

加1E/2/9\.(.17\2I1I1857pD2Ziz?I/17\353八巾2Z(9\.2z1,

貝+\rn-\-——\=m+17mH——-—,EB=16+()=——,MB=(———44)+m=--+

zz￡4zqzq

m2.

①當(dāng)E7W2=Mg2時(shí)，m2_|__J_+7n2,解得館=_陽(yáng)佟，—；

2400,200/

②當(dāng)EB2=MB2時(shí),T=1+俏解得館=±2匹，.?.闖4,2回)，聞今,一2回).

綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(?■,―)或或(弓，一2，豆).

zOoZZ

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合問(wèn)題,待定系數(shù)法求解析式，二次函數(shù)的平移，線段周長(zhǎng)問(wèn)題，特殊三角形

問(wèn)題，勾股定理等知識(shí)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

=?習(xí)題練模型K,7'：

10.(2024?四川宜賓?中考真題)如圖,拋物線y=ax2+bx+c(a<0)的圖象交2軸于點(diǎn)4(—3,0)、8(1,0),

交“軸于點(diǎn)C.以下結(jié)論:①a+b+c=0；②a+3b+2c<0；③當(dāng)以點(diǎn)A、B、C為頂點(diǎn)的三角形是等

腰三角形時(shí)，c=。；④當(dāng)c=3時(shí)，在△49C內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)P,若OP=2,則CP+得4P的最小值為

O

)

???

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】。

【分析】根據(jù)拋物線圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(l,0),可得當(dāng)c=l時(shí)，y=a+b+c=0,據(jù)此可判斷①;根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸計(jì)算公

式求出b=2a,進(jìn)而推出c=—3a,則a+3b+2c—a+6a—6a=a■，再根據(jù)拋物線開(kāi)口向下，即可判斷②;對(duì)

稱(chēng)軸為直線加=—1,則ACW8C,求出48=4,OC=c,再分當(dāng)AC=4B=4時(shí)，當(dāng)BC=>1B=4時(shí)，兩種

情況求出對(duì)應(yīng)的c的值即可判斷③；當(dāng)c=3時(shí)，。(0,3),則OC=3,取點(diǎn)網(wǎng)一去，0),連接PH,則OH=

?，可證明4Hop?△POA,由相似三角形的性質(zhì)可得,_R4,則CP+日AP=CP+PH,故當(dāng)點(diǎn)P

在線段CH上時(shí)，CP+的值最小，即此時(shí)CP+^-AP的值最小，最小值為線段CH的長(zhǎng)，利用勾股定理

O

求出CH即可判斷④.

【詳解】解：:拋物線y—ax1+版+c(a<0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(l,0),

當(dāng)力=1時(shí)，g=a+b+c=0,故①正確；

拋物線y=ax2+bx+c(a<0)的圖象交力軸于點(diǎn)4(—3,0)、B(l,0),

拋物線對(duì)稱(chēng)軸為直線田=一=—1,

b—2at

，a+2Q+c=0,即c=—3a,

a+3b+2c=a+6a—6a=a,

TaVO,

???a+3b+2cV0,故②正確；

對(duì)稱(chēng)軸為直線/=—1,

???AC^BC;

vA(-3,0)>B(l,0),

OA=3,OB=1,

??.AB=4;

^y=ax2-\-bx-\-c(a<0)中，當(dāng)力=0時(shí)，g=c,

AC(O,c),

OC=c,

當(dāng)AC=AB=4時(shí)，則由勾股定理得AC2=OA2+OC2,

222

??.4=3+cf

c=V7或c=-V7(舍去)；

同理當(dāng)BC=AB=4時(shí)，可得c=，IK;

綜上所述，當(dāng)以點(diǎn)4反。為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，c=或c=6J,故③錯(cuò)誤;

當(dāng)c=3時(shí)，。(0,3),則00=3,

如圖所示,取點(diǎn)H(-y,0),連接PH,則OH^~,

4

.OH=在=2

一OP-T-T,

..OP=2

*OA3'

13

.OH=OP

"75P~~OA,

又：NHOP=/POA,

:.△HOPPOA,

.PH=OP=2

9

:?PH=亳PA,

o

9

：.CP-^^-AP=CP+PH

J9

當(dāng)點(diǎn)